8.3: Distorsiones por pérdida y dispersión

Líneas de transmisión con pérdida

En la mayoría de los sistemas electrónicos la pérdida de línea de transmisión es una preocupación porque la estrategia comercial generalmente dicta reducir los diámetros y costos de los cables hasta que surgen tales problemas Por ejemplo, el polisilicio que se usa a menudo para conductores en dispositivos de silicio integrados tiene una resistencia notable.

El modelo de circuito TEM de la Figura 8.3.1 incorpora dos tipos de pérdida. La resistencia en serie R por metro surge de la conductividad finita de los cables, mientras que la conductancia paralela G por metro surge de corrientes de fuga que fluyen entre los cables a través del medio que los separa.

Figura\(\PageIndex{1}\): Modelo de circuito distribuido para líneas de transmisión TEM con pérdida.

Cuando se incluyen estos elementos con pérdida, obtenemos las ecuaciones de los telegrafos:

\[\mathrm{dv} / \mathrm{dz}=-\mathrm{Ri}-\mathrm{L} \mathrm{di} / \mathrm{dt} \qquad \qquad \qquad \text{(telegraphers’ equation)}\]

\[\mathrm{di} / \mathrm{dz}=-\mathrm{Gv}-\mathrm{Cdv} / \mathrm{dt} \qquad \qquad \qquad \text{(telegraphers’ equation)}\]

Si los cables son resistivos, entonces la corriente que fluye a través de ellos introduce campos eléctricos longitudinales E _z, violando la suposición TEM: E _z = H _z = 0. Dado que la solución rigurosa de las ecuaciones de Maxwell para el caso no TEM es un desafío, las ecuaciones de los telegrafos a menudo se usan en su lugar si la pérdida es modesta. El mismo problema no surge con G porque no viola el supuesto TEM, como se muestra en la Sección 7.1.3. Dado que la propagación en tales líneas TEM con pérdida depende de la frecuencia, las ecuaciones de los telegrafos (8.3.1—2) y sus soluciones generalmente se expresan usando la notación compleja ⁴⁵:

\[\mathrm{d} \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z}) / \mathrm{dz}=-(\mathrm{R}+\mathrm{j} \omega \mathrm{L}) \mathrm{\underline I}(\mathrm{z}) \qquad \qquad \qquad \text{(telegraphers’ equation)}\]

\[\mathrm{d} \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{z}) / \mathrm{dz}=-(\mathrm{G}+\mathrm{j} \omega \mathrm{C}) \mathrm{\underline V}(\mathrm{z}) \qquad \qquad \qquad \text{(telegraphers’ equation) }\]

⁴⁵ Notación compleja se discute en la Sección 2.3.2 y Apéndice B. En general,\(\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\underline{\mathrm{V}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}\), donde\(R_{e}\left\{\bullet e^{j \omega t}\right\}\) se omite de las ecuaciones.

Diferenciar (8.3.3) con respecto a z, y sustituir (8.3.4) para\(\mathrm{d} \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{z}) / \mathrm{dz}\) arroja la ecuación de onda para líneas TEM con pérdida, donde se elige el signo de k ² para que k sea real, consistente con las soluciones sin pérdidas discutidas anteriormente en la Sección 7.1.2:

\[\mathrm{d}^{2} \mathrm{\underline V}(\mathrm{z}) / \mathrm{dz}^{2}=(\mathrm{R}+\mathrm{j} \omega \mathrm{L})(\mathrm{G}+\mathrm{j} \omega \mathrm{C}) \mathrm{\underline V}(\mathrm{z})=-\mathrm{k}^{2} \mathrm{\underline V}(\mathrm{z}) \qquad \qquad \qquad \text { (wave equation) }\]

\[\mathrm{\underline{k}=[-(R+j \omega L)(G+j \omega C)]^{0.5}=k^{\prime}-j k^{\prime \prime}} \qquad\qquad\qquad \text { (TEM propagation constant) }\]

Dado que la segunda derivada de\(\mathrm{\underline{V}(z)}\) es igual a una constante por sí misma, debe ser expresable como la suma de exponenciales que tienen esta propiedad:

\[\mathrm{\underline{V}(z)=\underline{V}_{+} \mathrm{e}^{-j \underline{\mathrm{k}} z}+\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{+j \mathrm{\underline k}z}} \qquad \qquad \qquad \text { (TEM voltage solution) }\]

Diferenciar (8.3.7) con respecto a z y sustituir el resultado en (8.3.3) rinde ambos\(\mathrm{\underline{I}(z)}\) y\(\mathrm{\underline{Y}_{0}}\):

\[\mathrm{\underline{I}(z)=\underline{Y}_{0}\left(\underline{V}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{\underline k} \mathrm{z}}-\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{+j \mathrm{\underline k} z}\right)} \qquad\qquad\qquad(\text {TEM current solution})\]

\[\mathrm{\underline{Z}_{0}=\frac{1}{\underline{Y}_{0}}=\sqrt{\frac{R+j \omega L}{G+j \omega C}}} \qquad\qquad\qquad(\text {characteristic impedance})\]

Cuando R = G = 0, (8.3.9) reduce al resultado bien conocido Z _o = (L/C) ^0.5.

Así surgen dos nuevas propiedades cuando las líneas TEM son disipativas: 1) porque\(\mathrm{\underline{k}}\) es compleja y una función no lineal de la frecuencia, las ondas se atenúan y dispersan a medida que se propagan de manera dependiente de la frecuencia, y 2)\(\underline{\mathrm{Z}}_{0}\) es compleja y dependiente de la frecuencia. Tanto k' como k” (8.3.6) son funciones de frecuencia, por lo que las señales que se propagan en líneas con pérdida cambian de forma, en parte porque diferentes componentes de frecuencia se propagan y decaen de manera diferente. La atenuación y dispersión resultantes se discuten en las Secciones 8.3.1 y 8.3.2, respectivamente. Las reflexiones se ven afectadas en las uniones por pérdidas, y también se atenúan con la distancia por lo que la impedancia de una línea con pérdidas\(\underline{\mathrm{Z}}(\mathrm{z}) \rightarrow \underline{\mathrm{Z}}_{0}\) independientemente de la carga se\(\mathrm{\underline{V}_{-}(z)}\) vuelve insignificante. Las reflexiones por uniones que involucran líneas con pérdida se analizan simplemente reemplazando Z _o por una impedancia compleja\( \underline{\mathrm{Z}}_{0}\) en las expresiones desarrolladas en la Sección 7.2 para líneas sin pérdida.

Las ondas que se propagan solo en la dirección +z obedecen (8.3.7), que se convierte en:

\[\mathrm{\underline{V}(z)=\underline{V}_{+} \mathrm{e}^{-j \underline{k} z}=\underline{V}_{+} \mathrm{e}^{-j \mathrm{k}^{\prime} z} \mathrm{e}^{-\mathrm{k}^{\prime \prime} z}} \qquad\qquad\qquad \text { (decaying propagating wave) }\]

Una combinación de R, L, C y G es particularmente interesante porque da como resultado una dispersión cero y una disminución independiente de la frecuencia que no distorsiona las formas de onda. Podemos descubrir esta combinación evaluando\(\underline{\mathrm{k}}\) usando (8.3.6):

\[\mathrm{\underline{k}=[-(R+j \omega L)(G+j \omega C)]^{0.5}=\omega\{L C[1-j(R / \omega L)][1-j(G / \omega C)]\}^{0.5}}\]

De (8.3.11) se deduce que si R/L = G/C, entonces la velocidad de fase (v _p = ω/k' = [LC] ^-0.5) y la tasa de decaimiento (k” = R [C/L] ^0.5) son ambas independientes de la frecuencia:

\[\mathrm{\underline k}=(\mathrm{LC})^{0.5}(\omega-\mathrm{jR} / \mathrm{L})=\mathrm{k}^{\prime}-\mathrm{jk}^{\prime \prime} \qquad \qquad \qquad \text{(distortionless line)}\]

La capacidad de evitar la distorsión de la señal debido a la absorción dependiente de la frecuencia fue explotada primero por las compañías telefónicas que agregaron pequeños inductores periódicamente en serie con sus líneas telefónicas más largas con el fin de reducir R/L para que equilibrara G/C; el resultado se llamó una línea sin distorsión, y la las bobinas se llaman bobinas Pupin después de su inventor ⁴⁶. Las consecuencias de la dispersión se exploran en la Sección 8.3.2.

⁴⁶ bobinas Pupin tuvieron que insertarse al menos cada λ/10 metros para evitar distorsiones adicionales, pero el λ más corto para las señales de voz telefónicas es ~c/f = 3×10 ⁸ /3000 = 100 km.

Otro límite es a veces de interés cuando los efectos de R dominan los de ΩL. Esto ocurre, por ejemplo, en polisilicio resistivo o líneas de difusión en circuitos integrados, que pueden modelarse aproximadamente eliminando L y G de la Figura 8.3.1. Entonces\(\underline{\mathrm{k}}\) (8.3.11) se convierte en:

\[\mathrm{\underline{k} \cong(-j \omega R C)^{0.5}=(\omega R C / 2)^{0.5}-j(\omega R C / 2)^{0.5}=k^{\prime}-j k^{\prime \prime}}\]

La raíz cuadrada de -j se eligió para corresponder a una onda en descomposición más que a un crecimiento exponencial. Las velocidades de fase y de grupo para esta línea son las mismas:

\[\mathrm{v}_{\mathrm{p}}=\omega / \mathrm{k}^{\prime}=(2 \omega / \mathrm{RC})^{0.5} \ \left[\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right]\]

\[\mathrm{v}_{\mathrm{g}}=\left(\partial \mathrm{k}^{\prime} / \partial \omega\right)^{-1}=2(\omega / \mathrm{RC})^{0.5} \ \left[\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right]\]

Aunque no es fácil relacionar estas velocidades dependientes de la frecuencia con retardos en circuitos digitales, demuestran que tales retardos existen y expresan su dependencia de R y C. Es decir, las constantes de tiempo de línea RC más grandes reducen las velocidades de pulso y aumentan los retardos. Dichas líneas se utilizan mejor cuando son cortas en comparación con la longitud de onda de interés más corta, D < λ = v _p /f _max = 2\(\pi\) (2/rcω _max) ^0.5. En líneas de polisilicio λ _min 1 mm para ω _max = 10 ¹⁰. La respuesta a la excitación de forma de onda arbitraria puede calcularse mediante: 1) Fourier transformando la señal, 2) propagando cada componente de frecuencia según lo dictado por (8.3.13), y luego 3) reconstruyendo la señal en la nueva ubicación con una transformada inversa de Fourier. Los valores típicos para R y C en metal, polisilicio y líneas de difusión se presentan en la Tabla 8.3.1, y corresponden a velocidades mucho menores que c. Los costos de estas tres opciones para formar conductores son desiguales y también deben ser considerados al diseñar circuitos integrados rápidos.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Resistencia y capacitancia por metro para líneas típicas de circuitos integrados.

Siempre que R no sea tan grande en comparación con ΩL que la aproximación TEM no sea válida debido a fuertes campos eléctricos longitudinales, entonces la potencia disipada es:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{d}}=\left(\left.\mathrm{R}\left|\underline{\mathrm{I}}^{2}+\mathrm{G}\right| \mathrm{\underline V}\right|^{2}\right) / 2 \ \left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-1}\right]\]

Líneas de transmisión dispersivas

Diferentes componentes de frecuencia se propagan a diferentes velocidades en líneas de transmisión dispersivas. La naturaleza y consecuencias de la dispersión se discuten más a fondo en la Sección 9.5.2. Considere primero un pulso de reloj de computadora de onda cuadrada a F Hz que se propaga a lo largo de una línea TEM dispersiva. La transformada de Fourier de esta señal tiene su fundamental a F Hz, con armónicos impares a 3F, 5F, etc., cada uno de los cuales tiene su propia velocidad de fase, como se sugiere en la Figura 8.3.2.

Figura\(\PageIndex{2}\): Onda cuadrada y sus sinusoides constituyentes.

La distorsión de pulso significativa ocurre si un armónico fuerte se desplaza tanto como ~90 ^o en relación con el fundamental. Para determinar el desplazamiento de fase relativo entre fundamental y armónico primero podemos multiplicar la diferencia en la velocidad de fase a F y 3F, por ejemplo, v _pF - v _P3f, por el tiempo de propagación T de interés. Esto produce el desplazamiento espacial entre estos dos armónicos, que podríamos limitar a λ/4 para 3F. Es decir, podríamos esperar distorsión significativa sobre una línea de transmisión de longitud D = v _p T metros si:

\[\left(\mathrm{v}_{\mathrm{pF}}-\mathrm{v}_{\mathrm{p} 3 \mathrm{F}}\right) \mathrm{T}>\sim \lambda_{3 \mathrm{F}} / 4=\mathrm{v}_{\mathrm{p} 3 \mathrm{F}} /(4 \times 3 \mathrm{F})\]

Hay un límite similar a la distancia de propagación de las señales de pulso de banda estrecha antes de que la distorsión de la forma de onda sea inaceptable. Los sistemas de comunicaciones digitales suelen utilizar pulsos de banda estrecha s (t) para señalización inalámbrica y por cable. Por ejemplo, la onda cuadrada en la Figura 8.3.2 también podría representar la envolvente\(\mathrm{A}(\mathrm{t})=\Sigma_{\mathrm{i}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}} \cos \omega_{\mathrm{i}} \mathrm{t}\) de amplitud de una sinusoide subyacente cosω _o t, donde ω _o >> ω _i>0 y juntas ocupan un ancho de banda estrecho. Es decir:

\[\mathrm{s}(\mathrm{t})=\left(\cos \omega_{\mathrm{o}} \mathrm{t}\right) \sum_{\mathrm{i}=1} \mathrm{a}_{\mathrm{i}} \cos \omega_{\mathrm{i}} \mathrm{t}=0.5 \sum_{\mathrm{i}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}}\left\{\cos \left[\left(\omega_{\mathrm{o}}+\omega_{\mathrm{i}}\right) \mathrm{t}+\cos \left[\left(\omega_{\mathrm{o}}-\omega_{\mathrm{i}}\right) \mathrm{t}\right]\right]\right\}\]

Dado que cada frecuencia ω _o ±ω _i se propaga a una velocidad de fase ligeramente diferente, un pulso de banda estrecha también se distorsionará cuando un armónico fuerte esté ~λ/4 fuera de fase en relación con la envolvente de onda original, que es mucho mayor que λ = 2\(\pi\) c/ω _o para señales de banda estrecha. Algunas aplicaciones son más sensibles a la distorsión dispersiva que otras; por ejemplo, las señales digitales distorsionadas generalmente pueden regenerarse sin distorsión, mientras que las señales analógicas requieren distorsión inversa, que a menudo es antieconómica.

La distorsión de las señales de banda estrecha generalmente se calcula en términos de la velocidad de grupo v _g, que es la velocidad de propagación para la envolvente de la forma de onda y es igual a la velocidad de energía o información, que nunca puede superar c, la velocidad de la luz en vacío. La onda sinusoidal que caracteriza la frecuencia promedio de un pulso de banda estrecha se propaga a la velocidad de fase v _p, que puede ser mayor o menor que c. Las señales de pulso de banda estrecha (por ejemplo, sinusoides modulados digitalmente) se distorsionan cuando la diferencia acumulada Δ en la propagación de envolvente distancias entre el extremo de alta y baja frecuencia del espectro de señal difiere en más de una pequeña fracción del ancho de pulso mínimo W [m] (por ejemplo, la longitud de un cero o uno). _{Dado que la diferencia en la velocidad de grupo a través del ancho de banda B [Hz] es (v g/f) B [m/s], y el tiempo de recorrido del pulso es D/v g, donde D es la distancia de propagación, se deduce que la diferencia en la distancia de propagación de envolvente a través de la banda es:}

\[\Delta=\frac{\partial \mathrm{v}_{\mathrm{g}}}{\partial \mathrm{f}} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{V}_{\mathrm{g}}} \ [\mathrm{m}]\]

Dado que el ancho de pulso mínimo W es ~v _g/B [m], el requisito de que D << W implica que la distancia máxima de propagación libre de distorsión D es:

\[\mathrm{D} \ll\left(\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{g}}}{\mathrm{B}}\right)^{2}\left(\frac{\partial \mathrm{v}_{\mathrm{g}}}{\partial \mathrm{f}}\right)^{-1}\]

La velocidad de grupo y fase se discute más a fondo en la Sección 9.5.2 y su efecto sobre la distorsión se explora en la Sección 12.2.2.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Los cables coaxiales típicos de 50 ohmios para distribución doméstica de señales de televisión e internet tienen resistencia en serie R 0.02 (f _MHz ^0.5) ohmios m ^-1. Supongamos ε = 4ε _o, μ = μ _o. ¿Hasta dónde pueden propagarse las señales antes de atenuar 60 dB?

Solución

Desde conductividad G 0, (8.3.11) dice\(\mathrm{\underline{k}=\omega[L C(1-j R / \omega L)]^{0.5}=k^{\prime}+j k^{\prime \prime}}\). La parte imaginaria de\(\underline{\mathrm{k}}\) corresponde a la decadencia exponencial. Para R << ωL,\(\mathrm{\underline{k} \cong \omega(L C)}^{0.5}(1-\mathrm{jR} / \omega \mathrm{L})^{0.5}\), entonces k” = - (ΩRc) ^0.5. Para encontrar C notamos la velocidad de fase\(\mathrm{v}=\left(\mu_{\mathrm{o}} 4 \varepsilon_{\mathrm{o}}\right)^{-0.5}=(\mathrm{LC})^{-0.5}=\mathrm{c} / 2 \cong 1.5 \times 10^{8} \ \left[\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right]\), y Z _o = 50 = (L/C) ^0.5. Por lo tanto\(\mathrm{C=2 / c Z_{0}}=2 /\left(3 \times 10^{8} \times 50\right) \cong 1.33 \times 10^{-10} \ [\mathrm F]\). Así a 100 MHz,\(\mathrm{k}^{\prime \prime}=-(\omega \mathrm{RC})^{0.5}=-\left(2 \pi 10^{8} \times 0.2 \times 1.33 \times 10^{-10}\right)^{0.5} \cong-0.017\). Dado que la potencia decae como e ^-2k"z, 60 dB corresponde a e ^-2k"z = 10 ^-6, entonces z = -ln (10 ^-6) /2k” = 406 metros. A 100 MHz la aproximación R << ΩL es bastante válida. Como los sistemas de cable coaxial aumentan las velocidades de datos y su frecuencia máxima por encima de 100-200 MHz, el aumento de la atenuación requiere amplificadores a intervalos tan cortos como para motivar el cambio a fibras ópticas que pueden propagar señales cientos de kilómetros sin amplificación.