9.1: Ondas en límites planos con incidencia normal
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Introducción a los problemas de valor límite
La sección 2.2 mostró cómo las ondas de planos uniformes podrían propagarse en cualquier dirección con cualquier polarización, y podrían superponerse en cualquier combinación para producir un campo electromagnético total. El problema general del valor de límite electromagnético tratado en las Secciones 9.1—4 implica determinar exactamente cuál, si la hay, combinación de ondas coincide con cualquier conjunto dado de condiciones límite, que son las relaciones entre los campos eléctrico y magnético adyacentes a ambos lados de cada límite. Estos límites generalmente pueden ser tanto activos como pasivos, siendo los límites activos generalmente fuentes. Las condiciones de contorno generalmente limitan\(\overline{\mathrm{E}}\) y/o\(\overline{\mathrm{H}}\) para siempre en el límite de la región de interés bidimensional o tridimensional.
El teorema de unicidad presentado en la Sección 2.8 establece que solo una solución satisface todas las ecuaciones de Maxwell si las condiciones límite son suficientes. Por lo tanto, podemos resolver problemas de valor límite simplemente planteando la hipótesis de la combinación correcta de ondas y probándola contra las ecuaciones de Maxwell. Es decir, dejamos indeterminadas las constantes numéricas que caracterizan la combinación elegida de ondas, para luego determinar qué valores de esas restricciones satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Esta estrategia facilita el reto de plantear la hipótesis de la respuesta final directamente. Además, la simetría y otras consideraciones a menudo sugieren la naturaleza de la combinación de ondas requerida por el problema, reduciendo así el número de constantes desconocidas que deben determinarse.
Los cuatro pasos básicos para resolver problemas de valor límite son:
- Determinar el comportamiento natural de cada sección homogénea del sistema de forma aislada (ausente sus límites).
- Expresar este comportamiento natural como la superposición de ondas caracterizadas por constantes desconocidas; la simetría y otras consideraciones pueden minimizar el número de ondas requeridas. Aquí nuestros bloques básicos suelen ser ondas planas uniformes, pero otras expansiones más compactas se utilizan típicamente si la simetría del problema lo permite, como se ilustra en la Sección 4.5.2 para geometrías cilíndricas y esféricas, Sección 7.2.2 para líneas de transmisión TEM y Sección 9.3.1 para modos de guía de ondas.
- Escribir ecuaciones para las condiciones de contorno que deben ser satisfechas por estos conjuntos de ondas superpuestas, y luego resolver para las constantes desconocidas.
- Pruebe la solución resultante contra cualquiera de las ecuaciones de Maxwell que aún no se hayan impuesto.
Las variaciones de este procedimiento de cuatro pasos se pueden utilizar para resolver casi cualquier problema reemplazando las ecuaciones de Maxwell por su equivalente aproximado para el dominio del problema dado.
Reflejo de conductores perfectos
Uno de los ejemplos más simples de un problema de valor límite es el de una onda plana uniforme en vacío que normalmente incide sobre un conductor plano perfecto a z ≥ 0, como se ilustra en la Figura 9.1.1 (a). El paso 1 del método general de solución de problemas de límites de la Sección 9.1.2 consiste simplemente en señalar que los campos electromagnéticos en el medio pueden representarse mediante ondas planas uniformes superpuestas.
Para este ejemplo incompletamente definido, la parte inicial del Paso 2 del método implica el refinamiento de la definición del problema al describir más explícitamente la onda incidente, por ejemplo:
\[\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) \ \left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\]
donde el número de onda k = 2\(\pi\) /λ = ω/c = ω (μ o ε o) 0.5, (2.3.24). El campo magnético asociado (2.3.25) es:
\[\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{y}\left(\mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \eta_{\mathrm{o}}\right) \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]
Esto define inequívocamente la fuente, y el límite es igualmente poco ambigoso: σ = ∞ y por lo tanto\(\overline{\mathrm{E}}=0\) para z ≥ 0. Esta definición más completa del problema es suficiente para dar una solución única. A menudo, el primer paso para resolver un problema es asegurar que su definición sea completa.
Dado que no puede haber ondas dentro del conductor perfecto, y dado que el campo fuente por sí solo no satisface la condición de límite\(\overline{\mathrm{E}}_{/ /}=0\) en z = 0, se deben superponer una o más ondas planas adicionales para producir una solución válida. En particular, necesitamos hacer coincidir la condición de límite\(\overline{\mathrm{E}}_{/ /}=0\) en z = 0. Esto se puede hacer agregando una sola onda plana uniforme que se propaga en la dirección -z con un campo eléctrico que cancela el campo eléctrico incidente en z = 0 para todo el tiempo t, así planteamos la hipótesis de que el campo eléctrico total es:
\[\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{x}\left[\mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})+\mathrm{E}_{1} \cos (\omega \mathrm{t}+\mathrm{kz}+\phi)\right]\]
donde hemos introducido las constantes E 1 y φ.
En el Paso 3 del método debemos resolver la ecuación (9.1.3) que caracteriza las restricciones de valor límite:
\[\overline{\mathrm{E}}(0, \mathrm{t})=\hat{x}\left[\mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-0)+\mathrm{E}_{1} \cos (\omega\mathrm{t}+0+\phi)\right]=0\]
\[\therefore \mathrm{E}_{1}=-\mathrm{E}_{\mathrm{o}}, \phi=0\]
El resultado (9.1.5) arroja la solución final del ensayo:
\[\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}[\cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})-\cos (\omega \mathrm{t}+\mathrm{kz})]=\hat{x} 2 \mathrm{E}_{\mathrm{o}}(\sin \omega \mathrm{t}) \sin \mathrm{kz}\]
\[\overline{\mathrm{H}}(z, t)=\hat{y} \mathrm{E}_{0}[\cos (\omega t-\mathrm{kz})+\cos (\omega t+\mathrm{kz})] / \eta_{\mathrm{o}}=\hat{y}\left(2 \mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \eta_{\mathrm{o}}\right)(\cos \omega \mathrm{t}) \cos \mathrm{kz}\]
Obsérvese que el signo del reflejado\(\overline{\mathrm{H}}\) y de la onda se invierte del reflejado\(\overline{\mathrm{E}}\), consistente con la inversión del vector Poynting solo para la onda reflejada. Hemos utilizado las identidades:
\[\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos [(\alpha+\beta) / 2] \cos [(\alpha-\beta) / 2]\]
\[\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin [(\alpha+\beta) / 2] \sin [(\alpha-\beta) / 2]\]
También tenga en cuenta que\(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\) está a 90 o fuera de fase\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \) con respecto tanto al tiempo como al espacio.
También necesitamos una solución de prueba para z > 0. Dentro del conductor\(\overline{\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{H}}=0\), y las condiciones de límite (2.6.17) requieren una corriente superficial:
\[\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}}=\hat{n} \times \overline{\mathrm{H}} \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]
El cuarto y último paso de este método de resolución de problemas es probar la solución de prueba completa contra todas las ecuaciones de Maxwell. Sabemos que nuestra solución de prueba satisface la ecuación de onda en nuestra región libre de fuentes porque nuestra solución es la superposición de ondas que sí; por lo tanto, también satisface las leyes de Faraday y Ampere en una región libre de fuentes, así como las leyes de Gauss. En el límite de conducción perfecta requerimos\( \overline{\mathrm{E}}_{ / /}=0\) y\(\overline{\mathrm{H}}_{\perp}=0\); estas limitaciones también son satisfechas por nuestra solución de prueba, y por lo tanto el problema se soluciona para el vacío. Los campos de valor cero dentro del conductor satisfacen todas las ecuaciones de Maxwell, y la corriente superficial\( \overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}}\) (9.1.10) satisface la condición de límite final.
La naturaleza de esta solución es interesante. Obsérvese que el campo eléctrico total es cero no sólo en la superficie del conductor, sino también en una serie de planos nulos paralelos al conductor y espaciados a intervalos Δ a lo largo del eje z de tal manera que kz nulls = -n\(\pi\), donde n = 0, 1, 2,... Es decir, el espaciado nulo Δ =\(\pi\) /k = λ/2, donde λ es la longitud de onda. Por otra parte, el campo magnético es máximo en aquellos planos donde E es cero (los planos nulos de E), y tiene nulos donde E es máximo. Dado que el flujo de potencia promedio de tiempo y el vector Poynting son claramente cero en cada uno de estos planos, no hay flujo de potencia neto a la derecha. Excepto en los nulos de campo, sin embargo, existe potencia reactiva, como se discute en la Sección 2.7.3. Debido a que ninguna potencia promedio fluye a través de estas ondas y la energía y las ondas son aproximadamente estacionarias en el espacio, la solución se llama onda estacionaria, como se ilustra en las Figuras 7.2.3 para VSWR y 7.4.1 para resonancia en líneas de transmisión TEM que reflejan perfectamente.
Reflexión desde límites transmisivos
A menudo, se debe agregar más de una ola a la ola incidente dada para satisfacer todas las condiciones de contorno. Por ejemplo, supongamos que la misma onda plana uniforme (9.1.1—2) en vacío es incidente sobre la misma interfaz plana, donde un medio que tiene μ, ε ≠ μ o, ε o para z ≥ 0 ha reemplazado al conductor. No tenemos ninguna razón para sospechar que los campos más allá de la interfaz son cero, por lo que podríamos probar una solución de prueba con una onda reflejada E r (z, t) y una onda transmitida E t (z, t) con amplitudes desconocidas (E r y E t) y fases (φ y θ) para las cuales podemos resolver:
\[\begin{align}&\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{x}\left[\mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})+\mathrm{E}_{\mathrm{r}} \cos (\omega \mathrm{t}+\mathrm{kz}+\phi)\right] &\quad(\mathrm{z}<0)\\&\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{t}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{t}} \cos \left(\omega \mathrm{t}-\mathrm{k}_{\mathrm{t}} \mathrm{z}+\theta\right) & \text{(z ≥ 0)}\\&\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{y}\left[\mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})-\mathrm{E}_{\mathrm{r}} \cos (\omega \mathrm{t}+\mathrm{kz}+\phi)\right] / \mathrm{\eta}_{\mathrm{o}} & \quad(\mathrm{z}<0)\\&\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{y} \mathrm{E}_{\mathrm{t}} \cos \left(\omega \mathrm{t}-\mathrm{k}_{\mathrm{t}} \mathrm{z}+\theta\right) / \mathrm{\eta}_{\mathrm{t}} & \text{(z ≥ 0)}\end{align}\]
donde\( \mathrm{k}=\omega \sqrt{\mu_{\mathrm{o}} \varepsilon_{\mathrm{o}}}\)\(\mathrm{k}_{\mathrm{t}}=\omega \sqrt{\mu \varepsilon} \),\(\eta_{\mathrm{o}}=\sqrt{\mu_{\mathrm{o}} / \varepsilon_{\mathrm{o}}} \), y\(\eta_{\mathrm{t}}=\sqrt{\mu / \varepsilon} \).
El uso de estas cuatro ecuaciones para hacer coincidir las condiciones de contorno en z = 0 para\( \overline{\mathrm{E}}_{/ /}\) y\(\overline{\mathrm{H}}_{ / /} \), ambas son continuas a través de un límite aislante, y dividiendo por E o, produce:
\[\begin{align}&\hat{x}\left[\cos (\omega \mathrm{t})+\left(\mathrm{E}_{\mathrm{r}} / \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\right) \cos (\omega \mathrm{t}+\phi)\right]=\hat{x}\left(\mathrm{E}_{\mathrm{t}} / \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\right) \cos (\omega \mathrm{t}+\theta) \\&\hat{y}\left[\cos (\omega \mathrm{t})-\left(\mathrm{E}_{\mathrm{r}} / \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\right) \cos (\omega \mathrm{t}+\phi)\right] / \eta_{\mathrm{o}}=\hat{y}\left[\left(\mathrm{E}_{\mathrm{t}} / \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\right) \cos (\omega \mathrm{t}+\theta)\right] / \eta_{\mathrm{t}}\end{align}\]
Primero observamos que para que estas ecuaciones sean satisfechas para todos los tiempos t debemos tener φ = θ = 0, a menos que invertimos los signos de E r o E t y dejar φ o θ =\(\pi\), respectivamente, que es equivalente.
Dividiendo estas dos ecuaciones por cos ωt rinde:
\[1+\left(\mathrm{E}_{\mathrm{r}} / \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\right)=\mathrm{E}_{\mathrm{t}} / \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\]
\[\left[1-\left(\mathrm{E}_{\mathrm{r}} / \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\right)\right] / \eta_{\mathrm{o}}=\left(\mathrm{E}_{\mathrm{t}} / \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\right) / \eta_{\mathrm{t}}\]
Estas dos últimas ecuaciones se pueden resolver fácilmente para obtener el coeficiente de reflexión de onda y el coeficiente de transmisión de onda:
\[\mathrm{\frac{E_{r}}{E_{o}}=\frac{\left(\eta_{t} / \eta_{0}\right)-1}{\left(\eta_{t} / \eta_{0}\right)+1}} \qquad \qquad \qquad \text{(reflection coefficient) }\]
\[\mathrm{\frac{E_{t}}{E_{o}}=\frac{2 \eta_{t}}{\eta_{t}+\eta_{o}}} \qquad \qquad \qquad \text{(transmission coefficient)}\]
El coeficiente de transmisión de onda E t /E o sigue de (9.1.17) y (9.1.19). Cuando la impedancia característica\(\eta_{\mathrm{t}}\) del dieléctrico es igual a la del medio incidente\(\eta_{\mathrm{o}}\), no hay reflexiones y la onda transmitida es igual a la onda incidente. Entonces tenemos una coincidencia de impedancia. Estos valores para E r/E o y E t/E o pueden sustituirse en (9.1.11—14) para producir la solución final para\( \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\) y\( \overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\).
El último paso del método de cuatro pasos para resolver problemas de valor límite implica verificar esta solución con todas las ecuaciones de Maxwell, están satisfechas.
Una onda plana uniforme 1-Wm -2 en vacío,\(\hat{x} \mathrm{E}_{+} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})), is normally incident upon a planar dielectric with ε = 4εo. What fraction of the incident power P+ is reflected? What is \(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{t})\) en la superficie dieléctrica (z = 0)?
Solución
\(\mathrm{P}_{-} / \mathrm{P}_{+}=\left|\mathrm{E}_{-} / \mathrm{E}_{+}\right|^{2}=\left|\left(\eta_{\mathrm{t}}-\eta_{\mathrm{o}}\right) /\left(\eta_{\mathrm{t}}+\eta_{\mathrm{o}}\right)\right|^{2}\), utilizando (5.1.19). Dado que\(\eta_{\mathrm{t}}=\sqrt{\mu_{\mathrm{o}} / 4 \varepsilon_{\mathrm{o}}}=\eta_{\mathrm{o}} / 2\), por lo tanto:\(\left.\mathrm{P}_{-} / \mathrm{P}_{+}=\|\left(\eta_{\mathrm{o}} / 2\right)-\eta_{\mathrm{o}}\right] /\left[\left(\eta_{\mathrm{o}} / 2\right)+\eta_{\mathrm{o}}\right]^{2}=(-1 / 3)^{2}=1 / 9\). Para la onda delantera:\(\overline{\mathrm{E}}=\hat{x} \mathrm{E}_{+} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})\) y\(\overline{\mathrm{H}}=\hat{y}\left(\mathrm{E}_{+} / \eta_{\mathrm{o}}\right) \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})\), donde\(\left|\mathrm{E}_{+}\right|^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}}=1\), así\(\mathrm{E}_{+}=\left(2 \eta_{\mathrm{o}}\right)^{0.5}=(2 \times 377)^{0.5} \cong 27 \ [\mathrm{V} / \mathrm{m}]\) La suma de los campos magnéticos incidentes y reflejados en z = 0 es
\[\overline{\mathrm{H}}=\hat{y}\left(\mathrm{E}_{+} / \eta_{\mathrm{o}}\right)[\cos (\omega \mathrm{t})-(1 / 3) \cos (\omega \mathrm{t})]\cong \hat{y}(27 / 377)(2 / 3) \cos (\omega \mathrm{t})=0.48 \hat{y} \cos (\omega \mathrm{t}) \ \left[\mathrm{A} \mathrm{m}^{-1}\right] \nonumber\]