9.2: Olas incidentes en límites planos en ángulos

Introducción a las ondas que se propagan en ángulos

Para determinar los campos electromagnéticos generalmente podemos resolver un problema de valor límite utilizando el método de la Sección 9.1.1, cuyo primer paso implica la caracterización de los campos y ondas cuasistáticos o dinámicos básicos que potencialmente podrían existir dentro de cada región separada del problema. La solución final es una combinación lineal de estos campos básicos y ondas que coincide con todas las condiciones de contorno en las interfaces entre las distintas regiones.

Hasta el momento hemos considerado sólo las ondas que se propagan a lo largo de los límites o normales a ellas. El caso general involucra ondas incidentes sobre límites en ángulos arbitrarios, por lo que buscamos una notación compacta que caracterice tales ondas que simplifique las ecuaciones de valores límite y sus soluciones. Debido a que el comportamiento de las ondas en los límites a menudo se vuelve dependiente de la frecuencia, es conveniente usar notación compleja como se introduce en la Sección 2.3.2 y se revisa en el Apéndice B, que puede representar explícitamente la dependencia de frecuencia de los fenómenos de onda Por ejemplo, podríamos representar el campo eléctrico asociado a una onda plana uniforme que se propaga en la dirección +z como\(\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kz}}\), donde:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}(\mathrm{z})=\overline{\mathrm{\underline E}}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k} \mathrm{z}}=\overline{\mathrm{\underline E}}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mathrm{z} / \lambda} \label{9.2.1}\]

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{o}}=\hat{x} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{ox}}+\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{oy}}\]

Esta notación es más simple que la representación en el dominio del tiempo. Por ejemplo, si esta onda fuera polarizada x, entonces la notación compleja compacta\(\hat{x} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}\) sería reemplazada en el dominio del tiempo por:

\[\begin{align}\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{t}) &=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\hat{x} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}(\mathrm{z}) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\hat{x} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\left(\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left[\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}(\mathrm{z})\right]+\mathrm{j} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}\left[\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}(\mathrm{z})\right]\right)(\cos \omega \mathrm{t}+\mathrm{j} \sin \omega \mathrm{t})\right\} \nonumber\\&=\hat{x}\left\{\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left[\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}(\mathrm{z})\right] \cos \omega \mathrm{t}-\mathrm{I}_{\mathrm{m}}\left[\mathrm{\underline E}_{\mathrm{x}}(\mathrm{z})\right] \sin \omega \mathrm{t}\right\}\end{align}\]

La expresión más general en el dominio del tiempo incluyendo los componentes x e y sería el doble de larga. Así, la notación compleja caracteriza adecuadamente la propagación de ondas dependiente de la frecuencia y es más compacta.

El significado físico de la Ecuación\ ref {9.2.1} se divide en dos partes: nos\(\mathrm{\overline{\underline E}_{0}}\) dice la polarización, amplitud y fase absoluta de la onda en el origen, y nos\(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi z / \lambda} \equiv \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi(z)}\) dice cómo la fase φ de esta onda varía con la posición. En este caso la fase disminuye 2\(\pi\) radianes a medida que z aumenta en una longitud de onda λ. La importancia física de un desplazamiento de fase φ de -2\(\pi\) radianes para z = λ es que los observadores ubicados en z = λ experimentan un retraso de 2\(\pi\) radianes; para sinusoides puros un desplazamiento de fase de 2 por supuesto no\(\pi\) es observable.

Por lo tanto, las ondas que se propagan en direcciones arbitrarias se representan fácilmente mediante expresiones similares a la Ecuación\ ref {9.2.1}, pero con una fase φ que es una función de x, y y z. Por ejemplo, una onda plana general sería:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}(\mathrm{z})=\overline{\mathrm{\underline E}}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}-\mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}=\underline{\mathrm{\overline E}}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \overline{\mathrm{k}} \cdot \mathrm{\overline r}}\]

dónde\( \overline{\mathrm{r}}=\hat{x} \mathrm{x}+\hat{y} \mathrm{y}+\hat{z} \mathrm{z}\) y:

\[\overline{\mathrm{k}}=\hat{\mathrm{x}} \mathrm{k}_{\mathrm{x}}+\hat{\mathrm{y}} \mathrm{k}_{\mathrm{y}}+\hat{\mathrm{z}} \mathrm{k}_{\mathrm{z}}\]

Llamamos\(\overline k\) al vector de propagación o número de onda\(\overline k\). Los números de onda k _x, k _y k _z tienen las dimensiones de radianes por metro y determinan la rapidez con la que varía la fase de onda φ con la posición a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. Las posiciones que tienen el mismo valor para\(\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{r}}\) tienen la misma fase y se encuentran en el mismo frente de fase. Una onda con frentes de fase planos es una onda plana, y si su amplitud es constante a través de cualquier frente de fase, es una onda plana uniforme.

Figura\(\PageIndex{1}\): Onda plana uniforme que se propaga en ángulo θ en el plano x-z.

El vector\(\overline k\) apunta en la dirección de propagación para ondas planas uniformes. La geometría se representa en la Figura 9.2.1 para una onda plana uniforme que se propaga en el plano x-z en un ángulo θ y longitud de onda λ _o. Los planos de fase constante son perpendiculares al vector de onda\(\overline k\) porque\(\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{r}}\) deben ser constantes en todas partes en dicho plano.

La solución (9.2.4) se puede sustituir en la ecuación de onda (2.3.21):

\[\left(\nabla^{2}+\omega^{2} \mu \varepsilon\right) \overline{\mathrm{\underline E}}=0\]

Esta sustitución produce ⁴⁷:

\[\left[-\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\right)+\omega^{2} \mu \varepsilon\right] \overline{\underline {\mathrm E}}=0\]

\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=\mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{2}=\omega^{2} \mu \varepsilon=|\overline{\mathrm{k}}|^{2}=\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{k}}\]

⁴⁷\(\nabla^{2} \underline{\mathrm{\overline E}}=\left(\partial^{2} / \partial \mathrm{x}^{2}+\partial^{2} / \partial \mathrm{y}^{2}+\partial^{2} / \partial \mathrm{z}^{2}\right) \overline{\mathrm{\underline E}}=-\left(\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}\right) \overline{\mathrm{\underline E}}\).

Por lo tanto, la cifra y (9.2.7) sugieren que:

\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}}=\overline{\mathrm{k}} \bullet \hat{x}=\mathrm{k}_{\mathrm{o}} \sin \theta, \mathrm{k}_{\mathrm{z}}=\overline{\mathrm{k}} \bullet \hat{z}=\mathrm{k}_{\mathrm{o}} \cos \theta\]

La figura también incluye los componentes del vector de propagación de onda\( \hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{x}}\) y\( \hat{z} \mathrm{k}_{\mathrm{z}}\).

Tres longitudes de onda proyectadas, λ _x, λ _{y y} λ _z, son percibidas por observadores que se mueven a lo largo de esos tres ejes. La distancia entre frentes de onda sucesivos a intervalos de 2\(\pi\) fases es λ _o en la dirección de propagación, y las distancias que separan estos mismos frentes de onda medidas a lo largo de los ejes x y z son iguales o mayores, como se ilustra en la Figura 9.2.1. Por ejemplo:

\[\lambda_{\mathrm{z}}=\lambda_{\mathrm{o}} / \cos \theta=2 \pi / \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \geq \lambda_{\mathrm{o}}\]

Combinando (9.2.8) y (9.2.10) rendimientos:

\[\lambda_{\mathrm{x}}^{-2}+\lambda_{\mathrm{y}}^{-2}+\lambda_{\mathrm{z}}^{-2}=\lambda_{\mathrm{o}}^{-2}\]

El campo eléctrico\( \overline{\mathrm{\underline E}}(\overline{\mathrm{r}})\) para la onda de la Figura 9.2.1 que se propaga en el plano x-z es ortogonal al vector de propagación de onda\(\overline{\mathrm{k}} \). Por simplicidad asumimos que esta onda es ypolarizada:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}(\overline{\mathrm{r}})=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \overline{\mathrm{k}} \cdot \mathrm{\overline r}}\]

El campo magnético correspondiente es:

\[\begin{align}\overline{\mathrm{\underline H}}(\overline{\mathrm{r}}) &=-(\nabla \times \overline{\mathrm{\underline E}}) / \mathrm{\mathrm{j} \omega \mu_{\mathrm{o}}=\left(\hat{x} \partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{z}-\hat{z} \partial \mathrm{\underline E}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{x}\right) / \mathrm{j} \omega \mu_{\mathrm{o}}} \nonumber\\&=(\hat{z} \sin \theta-\hat{x} \cos \theta)\left(\mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \eta_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{\overline k} \cdot \mathrm{\overline r}}\end{align}\]

Una diferencia entre esta onda plana polarizada y uniforme que se propaga en ángulo y otra que se propaga a lo largo de un eje cartesiano es que ya\(\overline{\mathrm{H}}\) no se encuentra a lo largo de un solo eje, aunque permanece perpendicular a ambos\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{k}}\). La siguiente sección trata más a tales olas.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Si λ _x = 2λ _z en la Figura 9.2.1, ¿qué son θ, λ _o y\(\overline{\mathrm{k}}\)?

Solución

Por geometría,\(\theta=\tan ^{-1}\left(\lambda_{z} / \lambda_{x}\right)=\tan ^{-1} 0.5 \cong 27^{\circ}\). Por (9.2.11)\(\lambda_{\mathrm{o}}^{-2}=\lambda_{\mathrm{x}}^{-2}+\lambda_{\mathrm{z}}^{-2}=(0.25+1) \lambda_{\mathrm{Z}}^{-2}\), entonces\(\lambda_{\mathrm{o}}=1.25^{-0.5} \lambda_{\mathrm{z}}=0.89 \lambda_{\mathrm{z}}\). \(\overline{\mathrm{k}}=\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{x}}+\hat{z} \mathrm{k}_{\mathrm{z}}=\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{o}} \sin \theta+\hat{z} \mathrm{k}_{\mathrm{o}} \cos \theta\), donde\(\mathrm{k}_{\mathrm{o}}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{o}}\). Alternativamente,\(\overline{\mathrm{k}}=\hat{x} 2 \pi / \lambda_{\mathrm{x}}+\hat{z} 2 \pi / \lambda_{\mathrm{z}}\).

Ondas en límites dieléctricos planos

Las ondas en límites dieléctricos planos se resuelven utilizando el método de problema-valor límite de la Sección 9.1.4 aplicado a ondas que se propagan en ángulos, como se introduce en la Sección 9.2.1.

Debido a que el comportamiento de las ondas en una interfaz depende de su polarización, necesitamos un sistema de coordenadas para caracterizarla. Para ello se define el plano de incidencia como el plano de proyección del vector de propagación de onda incidente\(\overline{\mathrm{k}}\) sobre la interfaz, como se ilustra en la Figura 9.2.2 (a). Un eje cartesiano se define tradicionalmente como normal a este plano de incidencia; en la figura es el eje y.

Figura\(\PageIndex{2}\): Onda plana uniforme incidente sobre una interfaz plana.

Sabemos por la Sección 2.3.4 que cualquier par de ondas planas uniformes polarizadas ortogonalmente puede superponerse para lograr cualquier polarización de onda arbitraria. Por ejemplo, las ondas x e ypolarizadas pueden superponerse. Es habitual reconocer dos tipos simples de ondas electromagnéticas incidentes que pueden superponerse para producir cualquier polarización de onda incidente: las ondas eléctricas transversales (ondas TE) están polarizadas linealmente transversales al plano de incidencia (polarizadas y en la figura), y transversales las ondas magnéticas (ondas TM) tienen la polarización lineal ortogonal de manera que el campo magnético es puramente transversal (nuevamente si polarizado y). Las ondas TE y TM son típicamente transmitidas y reflejadas con diferentes amplitudes.

Considere primero una onda TE incidente sobre la interfaz plana de la Figura 9.2.2 (b) en el ángulo de incidencia θ _i. El correspondiente\( \overline{\mathrm{H}}\) se encuentra en el plano x-z y es ortogonal a\( \overline{\mathrm{E}}\). \(\overline{\mathrm{H}} \)apunta hacia abajo en la figura, correspondiente a la potencia\(\overline{\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}} \) que se propaga hacia la interfaz, donde\( \overline{\mathrm{S}}\) se encuentra el vector Poynting para la onda incidente. La longitud de onda de la onda por encima de la interfaz se encuentra\(\lambda_{\mathrm{o}}=1 /(\mathrm{f} \sqrt{\mu \varepsilon}) \) en el medio caracterizado por la permitividad ε y la permeabilidad μ. El medio en el que se transmite parcialmente la onda se caracteriza por ε _t y μ _t, y allí la onda tiene longitud de onda\( \lambda_{\mathrm{t}}=1 /(\mathrm{f} \sqrt{\mu_{\mathrm{t}} \varepsilon_{\mathrm{t}}})\) y la misma frecuencia f. Esta onda TE incidente puede caracterizarse por:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{i}}=\hat{y} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_\mathrm{z} \mathrm{z}}\ \left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{i}}=-\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}} / \eta\right)\left(\hat{x} \sin \theta_{\mathrm{i}}+\hat{z} \cos \theta_{\mathrm{i}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z} } \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]

donde la impedancia característica del medio incidente es\( \eta=\sqrt{\mu / \varepsilon}\), y\(\overline{\mathrm{H}} \) es ortogonal a\(\overline{\mathrm{E}} \).

La onda transmitida generalmente sería similar, pero con diferentes η _t, θ _t, E _t, y\(\overline{\mathrm{k}}_{\mathrm t}\). También podríamos esperar una onda reflejada. El método de problema de valor límite de la Sección 9.1.2 requiere expresiones para todas las ondas que puedan estar presentes en ambas regiones de este problema. Además de la onda incidente, por lo tanto, podríamos agregar expresiones generales para ondas reflejadas y transmitidas que tienen la misma polarización TE. Si aún se necesitaran otras ondas, entonces ninguna solución que satisfaga todas las ecuaciones de Maxwell surgiría hasta que se agregaran también; aquí veremos que no se necesitan otras. Estas ondas generales reflejadas y transmitidas son:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{r}}=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rx}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rz}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{r}}=\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{r}} / \eta\right)\left(-\hat{x} \sin \theta_{\mathrm{r}}+\hat{z} \cos \theta_{\mathrm{r}}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rx}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rz}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{t}}=\hat{y} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{t}} \mathrm{e}^{\mathrm{jk}_{\mathrm{tx}} \mathrm{x}-\mathrm{jk}_{\mathrm{tz}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{t}}=-\left(\mathrm{\underline E}_{\mathrm{t}} / \eta_{\mathrm{t}}\right)\left(\hat{x} \sin \theta_{\mathrm{t}}+\hat{z} \cos \theta_{\mathrm{t}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{jk}_{\mathrm{tx}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{tz}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]

Las condiciones de contorno que deben cumplirse en todas partes de la superficie no conductora en x = 0 incluyen:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{i} / /}+\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{r} / /}=\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{t} / /}\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{i} / /}+\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{r} / /}=\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{t} / /}\]

Sustituir en (9.2.20) los valores de\(\overline{\mathrm{\underline E}}_{/ /} \) en los límites produce:

\[\underline{E}_{0} \mathrm{e}^{-j \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}+\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rz}} \mathrm{z}}=\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{t}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{t} \mathrm{z}} {\mathrm{z}}}\]

Esta ecuación se puede satisfacer para todos los valores de z solo si todos los exponentes son iguales. Por lo tanto e ^{−jk _z z} puede ser factorizado, simplificando las ecuaciones de condición límite para ambos\(\overline{\mathrm{\underline E}}_{/ /} \) y\(\overline{\mathrm{\underline H}}_{/ /} \).

\[\mathrm{\underline{E}_{0}+\underline{E}_{r}=\underline{E}_{t}} \qquad \qquad \qquad \text{(boundary condition for } \mathrm{E}_{//})\]

\[\mathrm{\frac{\underline E_{0}}{\eta} \cos \theta_{i}-\frac{\underline E_{r}}{\eta} \cos \theta_{r}=\frac{\underline E_{t}}{\eta_{t}} \cos \theta_{t}} \qquad \qquad \qquad \text{(boundary condition for } \mathrm{H}_{//})\]

Debido a que los términos exponenciales en (9.2.22) son todos iguales, se deduce que las fases de las tres ondas deben coincidir a lo largo del límite completo, y:

\[\mathrm{k}_{\mathrm{iz}}=\mathrm{k}_{\mathrm{rz}}=\mathrm{k}_{\mathrm{tz}}=\mathrm{k}_{\mathrm{i}} \sin \theta_{\mathrm{i}}=\mathrm{k}_{\mathrm{i}} \sin \theta_{\mathrm{r}}=\mathrm{k}_{\mathrm{t}} \sin \theta_{\mathrm{t}}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{z}}\]

Esta condición de adaptación de fase implica que las longitudes de onda de las tres ondas en la dirección z deben ser iguales a la misma λ _z. También implica que el ángulo de reflexión θ _r es igual al ángulo de incidencia θ _i, y que el ángulo de transmisión θ _t está relacionado con θ _i por la ley de Snell:

\[\frac{\sin \theta_{\mathrm{t}}}{\sin \theta_{\mathrm{i}}}=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{k}_{\mathrm{t}}}=\frac{\mathrm{c}_{\mathrm{t}}}{\mathrm{c}_{\mathrm{i}}}=\sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_{\mathrm{t}} \varepsilon_{\mathrm{t}}}} \qquad \qquad \qquad \text{(Snell’s law)}\]

Si μ = μ _t, entonces el ángulo de transmisión se convierte en:

\[\theta_{\mathrm{t}}=\sin ^{-1}\left(\sin \theta_{\mathrm{i}} \sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{\mathrm{t}}}}\right)\]

Estas restricciones de adaptación de fases, incluida la ley de Snell, se aplican igualmente a las ondas TM.

Las magnitudes de las ondas TE reflejadas y transmitidas se pueden encontrar resolviendo las ecuaciones simultáneas (9.2.23) y (9.2.24):

\[\mathrm{\underline{E}_{r} / \underline{E}_{0}=\underline{\Gamma}\left(\theta_{i}\right)=\frac{\eta_{t} \cos \theta_{i}-\eta \cos \theta_{t}}{\eta_{t} \cos \theta_{i}+\eta \cos \theta_{t}}=\frac{\eta_{n}^{\prime}-1}{\eta_{n}^{\prime}+1}}\]

\[\mathrm{\underline E}_{\mathrm{t}} / \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}}=\mathrm{\underline T}\left(\theta_{\mathrm{i}}\right)=\frac{2 \eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{i}}}{\eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{i}}+\eta \cos \theta_{\mathrm{t}}}=\frac{2 \eta_{\mathrm{n}}^{\prime}}{\eta_{\mathrm{n}}^{\prime}+1}\]

donde hemos definido la impedancia angular normalizada para ondas TE como\(\eta_{\mathrm{n}}^{\prime} \equiv \eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{i}} /\left(\eta \cos \theta_{\mathrm{t}}\right)\). Los coeficientes complejos de reflexión angular y transmisión\(\underline{\Gamma}\) y\(\underline T\) para las ondas TE se acercan a los dados por (9.1.19) y (9.1.20) para la incidencia normal en el límite θ _i → 0. El límite de incidencia de pastoreo no es tan sencillo, e incluso la forma de la onda transmitida puede cambiar marcadamente si se vuelve evanescente, como se discute en la siguiente sección. Los resultados de las ondas TM incidentes se posponen a la Sección 9.2.6. Figura 9.2.6 (a) gráficas\(|\underline\Gamma(\theta)|^{2}\) para una interfaz dieléctrica típica. A veces es útil señalar que (9.2.28) y (9.2.29) también se aplican a líneas TEM equivalentes para las cuales las impedancias características de las líneas de entrada y salida son\(\eta_{i} / \cos \theta_{i} \) y\(\eta_{t} / \cos \theta_{t} \), respectivamente. Cuando las ondas TM son incidentes, las impedancias equivalentes correspondientes son\( \eta_{\mathrm{i}} \cos \theta_{\mathrm{i}}\) y\(\eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{t}}\), respectivamente.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

¿Qué fracción de la potencia normalmente incidente (θ _i = 0) es reflejada por una sola lente de cámara de vidrio que tiene ε = 2.25ε _o? Si θ _i = 30 ^o, ¿qué es θ _t en el vaso?

Solución

En cada interfaz entre aire y vidrio, (9.2.28) rinde para θ _i = 0:\(\underline \Gamma_{L}=\left(\eta_{\mathrm{n}}^{\prime}-1\right) /\left(\eta_{\mathrm{n}}^{\prime}+1\right)\), donde\(\eta_{\mathrm{n}}^{\prime}=\left(\eta_{\mathrm{glass}} \cos \theta_{\mathrm{i}}\right) /\left(\eta_{\mathrm{air}} \cos \theta_{\mathrm{t}}\right)=\left(\varepsilon_{\mathrm{i}} / \varepsilon_{\mathrm{g}}\right)^{0.5}=1 / 1.5\). Así\(\underline \Gamma_{L}=(1- 1.5)/(1 + 1.5) = -0.2\), y\(|\underline\Gamma|^{2}=0.04\), así ~4 por ciento de la potencia se refleja de cada una de las dos superficies curvas para cada lente independiente, o ~8 por ciento total; estas reflexiones son incoherentes por lo que sus poderes reflejados suman. Las lentes modernas tienen muchos elementos con diferentes permitividades, pero los recubrimientos en ellas reducen estas reflexiones, como se discute en la Sección 7.3.2 para transformadores de cuarto de onda. La ley de Snell (9.2.26) rinde\(\theta_{t}=\sin ^{-1}\left[\left(\varepsilon_{i} / \varepsilon_{t}\right)^{0.5} \sin \theta_{i}\right]=\sin ^{-1}[(1 / 1.5)(0.5)]=19.5^{\circ}\).

Ondas evanescentes

La Figura 9.2.3 sugiere por qué a veces se requiere una forma especial de onda electromagnética para satisfacer las condiciones límite. La Figura 9.2.3 (a) ilustra cómo la igualdad requerida de los componentes z de los vectores de propagación de onda incidente, reflejada y transmitida\(\overline{\mathrm{k}}\) controla los ángulos de reflexión y transmisión, θ _r y θ _t. Los radios de los dos semicírculos corresponden a las magnitudes de\(\overline{\mathrm{k}}_{\mathrm i}\) y\(\overline{\mathrm{k}}_{\mathrm t}\).

La Figura 9.2.3 (b) muestra que una onda incidente en un cierto ángulo crítico θ _c producirá una onda transmitida que se propaga paralela a la interfaz, proporcionada\(\left|\overline{\mathrm{k}}_{\mathrm{t}}\right|<\left|\overline{\mathrm{k}}_{\mathrm{i}}\right|\). La ley de Snell (9.2.26) se puede evaluar para sin θ _t = 1 para producir:

\[\theta_{\mathrm{c}}=\sin ^{-1}\left(\mathrm{c}_{\mathrm{i}} / \mathrm{c}_{\mathrm{t}}\right) \text { for } \mathrm{c}_{\mathrm{i}}<\mathrm{c}_{\mathrm{t}} \qquad\qquad\qquad \text { (critical angle) }\]

Las figuras 9.2.3 (b) ilustran por qué la coincidencia de fase es imposible con ondas planas uniformes cuando θ> θ _c;\(\mathrm{k}_{\mathrm{z}}>\left|\overline{\mathrm{k}}_{\mathrm{t}}\right|\). Por lo tanto, la λ _z determinada por λ y θ _i es menor que λ _t, la longitud de onda natural del medio de transmisión a la frecuencia ω. Entonces se requiere una onda plana no uniforme para la adaptación de fase, como se analiza a continuación.

Figura\(\PageIndex{3}\): Ángulos de reflexión y transmisión, y el ángulo crítico θ _c.

El vector de propagación de onda\( \overline{\mathrm{k}}_{\mathrm{t}}\) debe satisfacer la ecuación de onda\(\left(\nabla^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{t}}^{2}\right) \overline{\mathrm{\underline E}}=0 \). Por lo tanto la onda transmitida debe ser proporcional a\(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \overline{\mathrm{k}}_\mathrm{t} \cdot \mathrm{\overline r}} \), donde\(\overline{\mathrm{k}}_{\mathrm{t}}=\hat{k} \mathrm{k}_{\mathrm{t}} \) y k _z = k _i sin θ _i, satisfacer la expresión:

\[\mathrm{k}_{\mathrm{t}}^{2}=\omega^{2} \mu_{\mathrm{t}} \varepsilon_{\mathrm{t}}=\mathrm{k}_{\mathrm{tx}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}\]

Cuando\(\mathrm{k}_{\mathrm{t}}^{2}<\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2} \) se deduce que:

\[ \mathrm{k_{t x}=\pm j\left(k_{z}^{2}-k_{t}^{2}\right)^{0.5}=\pm j \alpha}\]

Elegimos el signo positivo para\(\alpha\) que la amplitud de onda decae con la distancia de la fuente de energía en lugar de crecer exponencialmente.

La onda transmitida se convierte entonces en:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{t}}(\mathrm{x}, \mathrm{z})=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{t}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{tx}} \mathrm{x}-\mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}=\hat{y} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{t}} \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}}{\mathrm{z}}}\]

Tenga en cuenta que x es negativo en la región de decaimiento. La tasa de decaimiento\( \mathrm{\alpha=\left(k_{i}^{2} \sin ^{2} \theta_{i}-k_{t}^{2}\right)^{0.5}}\) es cero cuando θ _i = θ _c y aumenta a medida que θ _i aumenta más allá de θ _c; Las ondas que decaen con la distancia desde una interfaz y propagan la potencia paralela a ella se denominan ondas superficiales.

El campo magnético asociado se\(\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{t}}\) puede encontrar sustituyendo (9.2.33) en la ley de Faraday:

\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{t}}=\nabla \times \overline{\mathrm{\underline E}} /\left(-\mathrm{j} \omega \mu_{\mathrm{t}}\right)=-\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{t}} / \eta_{\mathrm{t}}\right)\left(\hat{x} \sin \theta_{\mathrm{t}}-\hat{\mathrm{z}} \cos \theta_{\mathrm{t}}\right) \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\]

Esta es la misma expresión que (9.2.19), que se obtuvo para la incidencia normal, excepto que el campo magnético y la onda ahora decaen con la distancia x desde la interfaz en lugar de propagarse en esa dirección. Además, dado que sinθ _t > 1 para θ _i > θ _c, cosθ _t es ahora imaginario y positivo, y no\(\overline{\mathrm{H}}\) está en fase con\( \overline{\mathrm{E}}\). Como resultado, el vector de Poynting para estas ondas superficiales tiene una parte real correspondiente a la potencia real que se propaga paralela a la superficie, y una parte imaginaria correspondiente a la potencia reactiva que fluye perpendicular a la superficie en la dirección de decaimiento de onda:

\[\overline{\mathrm{\underline S}}=\overline{\mathrm{\underline E}} \times \overline{\mathrm{\underline H}}^{*}=\left(-\mathrm{j} \alpha \hat{x}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}} \hat{z}\right)\left(\left|\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{t}}\right|^{2} / \omega \mu_{\mathrm{t}}\right) \mathrm{e}^{2 \alpha \mathrm{x}} \ \left[\mathrm{Wm}^{-2}\right]\]

La parte reactiva que fluye en la\(-\hat{x} \) dirección es\(\mathrm{+j \alpha\left|\underline{E}_{t}\right|^{2} / \omega \mu_{t} e^{2 a x}} \) y por lo tanto es inductiva (+j), correspondiente a un exceso de energía magnética almacenada en relación con la energía eléctrica dentro de esta onda superficial. Una onda como esta que decae en una dirección para la cual el flujo de potencia es puramente reactivo se designa como onda evanescente.

En la Figura 9.2.4 se muestra una vista instantánea de los campos eléctricos y magnéticos de una onda plana TE no uniforme formada en dicho límite dieléctrico; estos corresponden a los campos de (9.2.33) y (9.2.34).

Figura\(\PageIndex{4}\): Onda evanescente que viaja en la dirección +z en una interfaz dieléctrica.

La notación convencional utilizada aquí indica la intensidad del campo por la densidad de símbolos o líneas de campo, y las flechas indican la dirección del campo. Los círculos pequeños corresponden a líneas de campo que apuntan perpendicularmente a la página; los puntos centrales indican líneas de campo que apuntan hacia fuera de la página en la dirección +y y las cruces centrales indican lo contrario, es decir, líneas de campo que apuntan hacia la página.

La intensidad de onda promedio de tiempo en la\(+\hat{z} \) dirección para x negativo y fuera del dieléctrico es:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{z}}=0.5 \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\overline{\mathrm{\underline E}} \times \overline{\mathrm{\underline H}}^{*}\right\}=\left(\mathrm{k}_{\mathrm{z}}\left|\mathrm{\underline E}_{\mathrm{t}}\right|^{2} / 2 \omega \mu_{\mathrm{t}}\right) \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{x}} \ \left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-2}\right]\]

Dado que las partes reales e imaginarias de\(\underline{\mathrm{\overline S}} \) son ortogonales, no hay decaimiento en la dirección de propagación, y por lo tanto no hay absorción de energía o calentamiento de los medios. Más allá del ángulo crítico θ _c, la potencia se refleja perfectamente. En la siguiente sección veremos que las partes reales e imaginarias de muchas veces no\(\underline{\mathrm{\overline S}} \) son ortogonales ni paralelas.

Ondas en medios con pérdida

A veces uno o ambos de los dos medios son conductores. Esta sección explora la naturaleza de las ondas que se propagan en tales medios con pérdida que tienen conductividad σ > 0. En la sección 9.2.5 se discuten las reflexiones de dichos medios. También pueden surgir pérdidas si ε o μ son complejos. La relajación cuasistática de las distribuciones de carga, corriente y campo en medios con pérdida se discute por separado en la Sección 4.3.

Podemos determinar la naturaleza de las ondas en medios con pérdida utilizando el enfoque de la Sección 2.3.3 e incluyendo las corrientes de conducción\(\overline{\mathrm{J}} \) en la ley de Ampere:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{\underline H}}=\overline{\mathrm{\underline J}}+\mathrm{j} \omega \underline{\varepsilon} \overline{\mathrm{\underline E}}=\sigma \overline{\mathrm{\underline E}}+j \omega \underline{\varepsilon} \underline{\mathrm{\overline E}}=j \omega \underline{\varepsilon}_{\mathrm{eff}} \overline{\mathrm{\underline E}}\]

donde la permitividad compleja efectiva\( \underline{\varepsilon}_{\mathrm{eff}}\) es:

\[\underline{\varepsilon}_{\mathrm{eff}}=\varepsilon[1-(\mathrm{j} \sigma / \omega \varepsilon)]\]

La cantidad σ/ωε se llama la tangente de pérdida del medio e indica qué tan rápido decaimiento de las ondas. Como veremos, las ondas se propagan bien si σ ωε, a veces dentro de una fracción de una longitud de onda.

Sustituyendo\ (\ underline {\ varepsilon} _ {\ mathrm {eff}}) por ε en k ² = ω ² με produce la relación de dispersión:

\[\mathrm{\underline{k}^{2}=\omega^{2} \mu \varepsilon[1-(j \sigma / \omega \varepsilon)]=\left(k^{\prime}-j k^{\prime \prime}\right)^{2}}\]

donde definimos el número de onda complejo\(\underline{\mathrm{k}}\) en términos de sus partes reales e imaginarias como:

\[\mathrm{\underline{k}=k^{\prime}-j k^{\prime \prime}}\]

La forma de la solución de onda, siguiente (2.3.26), es por lo tanto:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}(\overline{\mathrm{r}})=\hat{y} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}^{\prime} \mathrm{z}-\mathrm{k}^{\prime \prime} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{v} \mathrm{m}^{-1}\right]\]

Esta onda tiene longitud de onda λ′, frecuencia ω, y velocidad de fase v _p dentro del conductor relacionado por:

\[\mathrm{k}^{\prime}=2 \pi / \lambda^{\prime}=\omega / \mathrm{v}_{\mathrm{p}}\]

y la onda decae exponencialmente con z as\( \mathrm{e}^{-\mathrm{k}^{\prime \prime} \mathrm{z}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{z} / \Delta}\). Tenga en cuenta que la onda decae en la misma dirección en que se propaga, correspondiente a la disipación de potencia, y que la profundidad de penetración de 1/e Δ es de 1/k” metros. Dentro de los conductores, λ′ y v _p son mucho menores que sus valores de espacio libre.

Ahora necesitamos determinar k' y k”. En general, al hacer coincidir las partes real e imaginaria de (9.2.39) se obtienen dos ecuaciones que se pueden resolver para k' y k”:

\[\left(\mathrm{k}^{\prime}\right)^{2}-\left(\mathrm{k}^{\prime \prime}\right)^{2}=\omega^{2} \mu \varepsilon\]

\[2 \mathrm{k}^{\prime} \mathrm{k}^{\prime \prime}=\omega \mu \sigma\]

Sin embargo, en los límites de valores muy altos o muy bajos de la tangente de pérdida σ/ωε, es mucho más fácil evaluar (9.2.39) directamente.

En el límite de baja pérdida donde σ << ωε, (9.2.39) rinde:

\[\underline{\mathrm{k}}=\omega \sqrt{\mu \varepsilon[1-(\mathrm{j} \sigma / \omega \varepsilon)]} \cong \omega \sqrt{\mu \varepsilon}-\mathrm{j} \sigma \eta / 2 \quad(\sigma<<\omega \varepsilon)\]

donde está la impedancia de onda aproximada del medio\(\eta=\sqrt{\mu / \varepsilon}\), y hemos utilizado la aproximación de la serie Taylor\(\sqrt{1+\delta} \cong 1+\delta / 2\) para δ << 1. En este límite vemos a partir de (9.2.45) que λ′ y v _p c son aproximadamente los mismos que para el caso sin pérdidas, y que la profundidad de penetración 1/e\(\Delta \cong 2 / \sigma \eta\), que se vuelve extremadamente grande como σ → 0.

En el límite de pérdidas altas donde σ >> ωε, (9.2.39) rinde:

\[\begin{align} \underline{\mathrm k} &=\mathrm{\omega \sqrt{\mu \varepsilon[1-(j \sigma / \omega \varepsilon)]} \cong \sqrt{-j \mu \omega \sigma}} \qquad(\sigma>>\omega \varepsilon) \\ & \mathrm{\cong \sqrt{\omega \mu \sigma} \sqrt{-j}=\pm \sqrt{\frac{\omega \mu \sigma}{2}}(1-j)} \end{align}\]

Las partes real e imaginaria de\(\underline{\mathrm{k}}\) tienen las mismas magnitudes, y la elección del signo determina la dirección de propagación. La onda generalmente decae exponencialmente a medida que se propaga, aunque el crecimiento exponencial ocurre en medios con conductividad negativa. La profundidad de penetración se llama comúnmente la profundidad de la piel δ en este límite (σ >> ωε), donde:

\[\delta=1 / \mathrm{k}^{\prime \prime} \cong(2 / \omega \mu \sigma)^{0.5} \ [\mathrm{m}] \qquad \qquad \qquad \text{(skin depth)}\]

Debido a que las partes real e imaginaria de\(\underline{\mathrm{k}}\) son iguales aquí, tanto la profundidad de la piel como la longitud de onda λ' dentro del conductor son extremadamente pequeñas en comparación con la longitud de onda del espacio libre λ; así:

\[\lambda^{\prime}=2 \pi / \mathrm{k}^{\prime}=2 \pi \delta \ [\mathrm{m}] \qquad \qquad \qquad \text{(wavelength in conductor)}\]

Estas distancias δ y λ' son extremadamente cortas en metales comunes como el cobre (σ 5.8×10 ⁷, μ = μ _o) a frecuencias como 1 GHz, donde δ 2×10 ^-6 m y λ' 13×10 ^-6 m, que son aproximadamente cinco órdenes de magnitud menores que la longitud de onda del espacio libre de 30 cm. La velocidad de fase v _p de la onda se reduce por el mismo factor grande.

En el límite de conductividad alta, la impedancia de onda del medio también se vuelve compleja:

\[\underline \eta=\mathrm{\sqrt{\frac{\mu}{\underline \varepsilon_{\mathrm{eff}}}}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon(1-j \sigma / \omega \varepsilon)}} \cong \sqrt{\frac{j \omega \mu}{\sigma}}=\sqrt{\frac{\omega \mu}{2 \sigma}}(1+j)}\]

donde +j es consistente con una onda en descomposición en un medio con pérdidas. La parte imaginaria de\ (\ subrayado\ eta) corresponde a la disipación de potencia, y es distinta de cero siempre que σ ≠ 0.

A menudo deseamos proteger la electrónica de la radiación externa no deseada que pueda introducir ruido, o asegurar que ninguna radiación se escape para producir interferencia de radiofrecuencia (RFI) que afecte a otros sistemas. Aunque el efecto de profundidad de la piel protege la radiación electromagnética, la alta conductividad reflejará la mayoría de la radiación incidente en cualquier caso. Los conductores generalmente proporcionan un buen blindaje a frecuencias más altas para las cuales los intervalos de tiempo son cortos en comparación con el tiempo de relajación magnética (4.3.15) mientras permanecen largos en comparación con el tiempo de relajación de carga (4.3.3); la Sección 4.3.2 y el Ejemplo 4.3B presentan ejemplos de difusión de campo magnético en conductores.

Ejemplo\(\PageIndex{C}\)

Una onda plana uniforme se propaga a la frecuencia f = c/λ = 1 MHz en un medio caracterizado por ε _o, μ _o y conductividad σ. Si σ 10 ^-3 ωε _o, ¿sobre qué distancia D disminuiría la amplitud de onda en un factor de 1/e? ¿Cuál sería la profundidad de penetración de onda 1/e δ en un buen conductor que tiene σ 10 ¹¹ ωε a esta frecuencia?

Solución

En el límite de bajas pérdidas donde σ << ωε,\(\mathrm{\underline{k} \cong \omega / c-j \sigma \eta / 2(9.2 .45)}\), entonces\(\mathrm{E} \propto \mathrm{e}^{-\sigma \eta \mathrm{z} / 2}=\mathrm{e}^{-\mathrm z / \mathrm{D}}\) donde\(\mathrm{D}=2 / \sigma \eta=2\left(\varepsilon_{0} / \mu_{\mathrm{o}}\right)^{0.5} / 10^{-3} \omega \varepsilon_{0}=2000 \mathrm{c} / \omega \cong 318 \lambda \ [\mathrm{m}]\). En el límite de altas pérdidas\(\underline{\mathrm{k}}\cong(1 \pm \mathrm{j})(\omega \mu \sigma / 2)^{0.5}\) así\(\mathrm{E} \propto \mathrm{e}^{-\mathrm{z} / \mathrm{\delta}}\), dónde\(\delta=(2 / \omega \mu \sigma)^{0.5}=\left(2 \times 10^{-11} / \omega^{2} \mu \varepsilon\right)^{0.5}=\left(2 \times 10^{-11}\right)^{0.5} \lambda / 2 \pi \cong 7.1 \times 10^{-7} \lambda=0.21 \ \mathrm{mm}\). Esta conductividad corresponde al metal típico y la profundidad de penetración resultante es una pequeña fracción de una longitud de onda de espacio libre.

Incidencia de olas sobre buenos conductores

Esta sección se centra principalmente en las ondas que se propagan dentro de buenos conductores. Las distribuciones de campo producidas fuera de buenos conductores por la superposición de ondas incidentes y reflejadas a partir de ellos se discuten en la Sección 9.2.3.

La sección 9.2.4 mostró que las ondas planas uniformes en los conductores con pérdida se decaen a medida que se propagan. La constante de propagación de onda\(\mathrm {\underline{k}}\) es entonces compleja para caracterizar la decadencia exponencial con la distancia:

\[\mathrm{\underline{k}=k^{\prime}-j k^{\prime \prime}}\]

Por lo tanto, la forma de una onda plana uniforme en medios con pérdida es:

\[\underline{\mathrm{\overline E}}(\overline{\mathrm{r}})=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}^{\prime} \mathrm{z}-\mathrm{k}^{\prime \prime} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{v} \mathrm{m}^{-1}\right]\]

Cuando una onda plana impacta una superficie conductora en un ángulo,\(\mathrm{\overline{\underline{k}}_{t}}\) se requiere un vector de propagación de onda compleja para representar la onda transmitida resultante. Las partes reales e imaginarias de generalmente\(\mathrm{\overline{\underline{k}}_{t}}\) están en cierto ángulo entre sí. El resultado es una onda plana no uniforme porque su intensidad no es uniforme en cada frente de fase.

Para ilustrar cómo se pueden encontrar tales ondas planas no uniformes transmitidas, considere un medio de transmisión con pérdida caracterizado por ε, σ y μ, donde podemos combinar ε y σ en una única permitividad compleja efectiva, como se hace en (9.2.38) ⁴⁸:

\[\underline{\varepsilon}_{\mathrm{eff}} \equiv \varepsilon(1-\mathrm{j} \sigma / \omega \varepsilon)\]

Si representamos el campo eléctrico como\(\overline{\mathrm{\underline E}}_{0} \mathrm{e}^{\mathrm{-j \mathrm{\overline {\underline k}} \cdot \mathrm{\overline r}}} \) y lo sustituimos en la ecuación de onda\(\left(\nabla^{2}+\omega^{2} \mu \varepsilon\right) \overline{\underline{\mathrm{E}}}=0 \), obtenemos para distinto de cero\(\overline{\mathrm{\underline E}} \) la relación de dispersión general para ondas planas en medios isotrópicos con pérdida:

\[\left[(-\mathrm j \overline{\mathrm{\underline k}}) \bullet(-\mathrm j \overline{\mathrm{\underline k}})+\omega^{2} \mu \underline\varepsilon_{\mathrm{eff}}\right] \overline{\mathrm{\underline E}}=0\]

\[\overline{\mathrm{\underline k}} \bullet \overline{\mathrm{\underline k}}=\omega^{2} \mu \underline \varepsilon_{\mathrm{eff}} \qquad\qquad\qquad \text { (dispersion relation) }\]

⁴⁸\(\nabla \times \overline{\mathrm{\underline H}}=\overline{\mathrm{\underline J}}+j \omega \underline{\mathrm{\overline E}}=\sigma \overline{\mathrm{\underline E}}+j \omega \underline{\mathrm{\overline E}}=\mathrm{j} \omega \underline \varepsilon_{\mathrm{eff}} \overline{\mathrm{\underline E}}\)

Una vez definido un plano de incidencia como el plano x-z, esta relación tiene cuatro desconocidas escalares: las partes real e imaginaria para cada uno de los componentes x y z (en plano) de\(\overline{\mathrm{\underline k}} \). En un límite plano hay cuatro incógnitas de este tipo para cada una de las ondas reflejadas y transmitidas, o un total de ocho incógnitas. Cada uno de estos cuatro componentes de\( \overline{\mathrm{\underline k}}\) (real e imaginario, paralelo y perpendicular) debe satisfacer una condición límite, produciendo cuatro ecuaciones. La relación de dispersión (9.2.55) tiene partes reales e imaginarias para cada lado del límite, proporcionando así cuatro ecuaciones más. El conjunto resultante de ocho ecuaciones se puede resolver para las ocho incógnitas, y generalmente conducen a partes reales e imaginarias para\(\overline{\mathrm{\underline k}}_{\mathrm t} \) que no son paralelas ni perpendiculares entre sí o al límite. Es decir, las partes reales e imaginarias de\(\overline{\mathrm{\underline k}} \) y\(\overline{\mathrm{\underline S}} \) pueden apuntar en cuatro direcciones diferentes.

Es útil considerar el caso especial de reflexiones de conductores planos para los cuales σ >> ωε. En este límite la solución es simple porque la onda transmitida dentro del conductor se propaga casi perpendicular a la interfaz, lo que se puede mostrar de la siguiente manera. La ecuación (9.2.47) dio la constante de propagación\(\underline{\mathrm{k}}\) para una onda plana uniforme en un medio con σ >> ωε:

\[\mathrm{\underline{k} \cong \pm \sqrt{\frac{\omega \mu \sigma}{2}}(1-j)}\]

La parte real de tal\(\overline{\mathrm{\underline k}}\) es tan grande que incluso para los ángulos de incidencia de pastoreo, θ _i 90 ^o, el ángulo de transmisión θ _t debe ser casi cero para que coincida con las fases, como sugiere la Figura 9.2.3 (a) en el límite donde kt es órdenes de magnitud mayores que k _i. Como resultado, la potencia disipada en el conductor es esencialmente la misma que para θ _i = 0 ^o, y por lo tanto depende de una manera sencilla de la corriente superficial inducida y del campo magnético superficial paralelo\(\overline{\underline{\mathrm{H}}}_{ / /}\). \(\overline{\underline{\mathrm{H}}}_{ / /}\)es simplemente el doble de lo asociado solo con la onda incidente\(\left(\overline{\mathrm{H}}_{\perp} \cong 0\right)\); esencialmente toda la potencia incidente se refleja de manera que las ondas incidentes y reflejadas tienen las mismas amplitudes y sus campos magnéticos se suman.

La densidad de potencia P _d [W m ^-2] disipada por las ondas que viajan en la dirección +z en conductores con una interfaz en z = 0 se puede encontrar usando el vector Poynting:

\[\mathrm{P_{d}=\left.\frac{1}{2} R_{e}\left\{\left(\overline{\underline E} \times \overline{\underline H}^{*}\right) \bullet \hat{z}\right\}\right|_{Z=0_{+}}=R_{e}\left\{\frac{\left|\underline{T E}_{i}\right|^{2}}{2 \underline \eta_{t}}\right\}=\frac{1}{2} R_{e}\left\{\frac{1}{\underline \eta_{t}}\right\} \eta_{i}^{2}\left|\underline{H}_{i} \underline T\right|^{2}}\]

La impedancia\(\underline\eta_{t}\) de onda del conductor (σ >> ωε) se derivó en (9.2.50), y (9.2.29) mostró que\(\underline{\mathrm{T}}=2 \underline \eta_{\mathrm{n}}^{\prime} /\left(\underline{\eta}_{\mathrm{n}}^{\prime}+1\right) \cong 2 \underline \eta_{\mathrm{n}}^{\prime}\) para las ondas TE y\(\underline \eta_{\mathrm{n}}^{\prime}=\frac{\eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{i}}}{\eta_{\mathrm{i}} \cos \theta_{\mathrm{t}}} \ll 1\):

\[\underline \eta_{\mathrm{t}} \cong\left(\omega \mu_{\mathrm{t}} / 2 \sigma\right)^{0.5}(1+\mathrm{j})\]

\[\underline{\mathrm{T}}_{\mathrm{TE}}\left(\theta_{\mathrm{i}}\right) \cong 2 \underline \eta_{\mathrm{n}}^{\prime} /\left(\underline \eta_{\mathrm{n}}^{\prime}+1\right) \cong 2 \underline \eta_{\mathrm{n}}^{\prime} \cong 2 \underline \eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{t}} / \eta_{\mathrm{i}}=\left(2 \omega \mu_{\mathrm{t}} \varepsilon_{\mathrm{i}} / \mu_{\mathrm{i}} \sigma\right)^{0.5}(1+\mathrm{j}) \cos \theta_{\mathrm{i}}\]

Por lo tanto (9.2.57), (9.2.58) y (9.2.59) rinden:

\[\mathrm{P_{d} \cong \sqrt{\frac{\sigma}{2 \omega \mu_{t}}} \frac{\mu_{i}}{\varepsilon_{i}}\left|\underline{H}_{i}\right|^{2} \frac{4 \omega \mu_{t} \varepsilon_{i}}{2 \mu_{i} \sigma}=|\overline{\underline H}(z=0)|^{2} \sqrt{\frac{\omega \mu}{8 \sigma}}\left[W / m^{2}\right]}\]

Una manera sencilla de recordar (9.2.60) es observar que produce la misma densidad de potencia disipada que resultaría si la misma corriente superficial\( \overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}}\) fluyera uniformemente a través de una losa conductora que tiene conductividad σ y un espesor igual a la profundidad de la piel\( \delta=\sqrt{2 / \omega \mu \sigma}\):

\[\mathrm{P_{d}=\frac{\delta}{2} R_{e}\left\{\overline{\underline E} \bullet \underline{\overline J}^{*}\right\}=|\overline{\underline J}|^{2} \frac{\delta}{2 \sigma}=\frac{\left|\overline {\underline J}_{S}\right|^{2}}{2 \sigma \delta}=|\overline{\underline H}(z=0)|^{2} \sqrt{\frac{\omega \mu}{8 \sigma}} \ \left[W / m^{2}\right]}\]

La importancia de este resultado es que simplifica el cálculo de la potencia disipada cuando las ondas impactan conductores; solo necesitamos evaluar el campo magnético superficial bajo el supuesto de que el conductor es perfecto, y luego usar (9.2.61) para calcular la potencia disipada por metro cuadrado.

Ejemplo\(\PageIndex{D}\)

¿Qué fracción de la potencia de 10 GHz reflejada por una antena parabólica se disipa resistivamente en el metal si σ = 5×10 ⁷ Siemens por metro? Asumir incidencia normal. Un alambre de diámetro D y hecho del mismo metal lleva una corriente\( \mathrm {\underline{I}}\). ¿Cuál es la potencia aproximada disipada por metro si la profundidad de piel δ a la frecuencia elegida es mucho mayor que D? ¿Qué es esta disipación si δ << D?

Solución

La intensidad de onda plana es\( \mathrm{I}=\eta_{\mathrm{o}}\left|\underline{\mathrm{H}}_{+}\right|^{2} / 2 \ \left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right]\), y la potencia absorbida por un buen conductor viene dada por (9.2.61):\(\mathrm{P}_{\mathrm{d}} \cong\left|2 \underline{\mathrm{H}}_{+}\right|^{2} \sqrt{\omega \mu / 4 \sigma} \), donde el campo magnético cerca de un buen conductor es el doble del campo magnético incidente debido a la onda reflejada. El poder fraccional absorbido es:

\[ \mathrm{P}_{\mathrm{d}} / \mathrm{I}=4 \sqrt{\omega \mu / \sigma} / \eta_{\mathrm{o}}=4 \sqrt{\omega \varepsilon_{\mathrm{o}} / \sigma} \cong 4\left(2 \pi 10^{10} \times 8.8 \times 10^{-12} / 5 \times 10^{7}\right)^{0.5}=4.2 \times 10^{-4}\nonumber. \]

Si δ >> D, entonces un cable se disipa\(\mathrm{|\underline{I}|^{2} \mathrm{R} / 2 \text { watts }=2|\underline{I}|^{2} / \sigma \pi \mathrm{D}^{2}} \ \left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right] \). El campo magnético alrededor de un cable es:\(\underline{\mathrm{H}}=\mathrm{\underline I} / \pi \mathrm{D} \), y si δ << D, entonces la potencia disipada por metro es:\( \pi \mathrm{D}|\mathrm{\underline H}|^{2} \sqrt{\omega \mu / 4 \sigma}=|\mathrm{\underline I}|^{2} \sqrt{\omega \mu / 4 \sigma} / \pi \mathrm{D} \ \left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right]\), donde el área superficial para la disipación es\(\pi\) D [m ²]. Tenga en cuenta que esta última disipación es ahora aumenta con la raíz cuadrada de frecuencia y es proporcional a\(1 / \sqrt{\sigma} \), no a 1/σ.

Dualidad y ondas TM en límites dieléctricos

Las ondas magnéticas transversales (TM) se reflejan desde superficies planas al igual que las ondas TE, excepto con diferentes amplitudes en función del ángulo. Los ángulos de reflexión y transmisión son los mismos que para las ondas TE, sin embargo, porque tanto las ondas TE como las TM deben satisfacer la misma condición de límite de coincidencia de fase (9.2.25).

El comportamiento de las ondas TE en los límites planos se caracteriza por las ecuaciones (9.2.14) y (9.2.15) para los campos eléctricos y magnéticos incidentes, (9.2.16) y (9.2.17) para la onda reflejada, y (9.2.18) y (9.2.19) para la onda transmitida, complementadas con expresiones para la reflexión y transmisión complejas coeficientes\(\mathrm{\underline \Gamma=\underline{E}_{r} / \underline E_{0}}\), (9.2.28), y\(\mathrm{\underline T}=\mathrm{ \underline E}_{\mathrm{t}} / \mathrm{\underline E}_{0}\), (9.2.29). Aunque el comportamiento análogo de las ondas TM podría derivarse utilizando el mismo método de resolución de problemas de valor límite utilizado en la Sección 9.2.2 para las ondas TE, el principio de dualidad puede proporcionar las mismas soluciones con mucho menos esfuerzo.

La dualidad funciona porque las ecuaciones de Maxwell sin cargas ni corrientes son duales de sí mismas. Es decir, al transformar\(\overline{\mathrm{E}} \Rightarrow \overline{\mathrm{H}}\),\(\overline{\mathrm{H}} \Rightarrow-\overline{\mathrm{E}}\) y\(\varepsilon \Leftrightarrow \mu \), el conjunto de ecuaciones de Maxwell no cambia:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\mu \partial \overline{\mathrm{\underline H}} / \partial \mathrm{t} \quad \rightarrow \quad \nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\varepsilon \partial \overline{\mathrm{E}} / \partial \mathrm{t}\]

\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\varepsilon \partial \overline{\mathrm{E}} / \partial \mathrm{t} \quad \rightarrow \quad-\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=\mu \partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{t}\]

\[\nabla \bullet \varepsilon \overline{\mathrm{E}}=0 \quad \rightarrow \quad \nabla \bullet \mu \overline{\mathrm{H}}=0\]

\[\nabla \bullet \mu \overline{\mathrm{H}}=0 \quad \rightarrow \quad \nabla \bullet \varepsilon \overline{\mathrm{E}}=0\]

El conjunto transformado de ecuaciones en el lado derecho de (9.2.62) a (9.2.65) es el mismo que el original, aunque secuenciado de manera diferente. Como resultado, cualquier solución a las ecuaciones de Maxwell también es una solución al problema dual donde las variables y las condiciones de contorno se transforman como se indicó anteriormente.

Las condiciones de contorno derivadas en la Sección 2.6 para una interfaz plana entre dos medios aislantes no cargados son que\(\overline{\mathrm{E}}_{/ /}\)\(\overline{\mathrm{H}}_{/ /}\),\( \mu \overline{\mathrm{H}}_{\perp}\), y\( \varepsilon \overline{\mathrm{E}}_{\perp}\) sean continuas a través del límite. Dado que la transformación de la dualidad deja sin cambios estas condiciones límite, también son duales. Sin embargo, la dualidad no puede ser utilizada, por ejemplo, en presencia de conductores perfectos que fuerzan\(\overline{\mathrm{E}}_{/ /} \) a cero, pero no\(\overline{\mathrm{H}}_{/ /}\).

Figura\(\PageIndex{5}\): Ondas dobles TE y TM incidentes sobre un límite plano dual.

La Figura 9.2.5 (b) ilustra una onda plana TM incidente sobre un límite plano donde tanto la onda como las condiciones límite son duales a la onda TE ilustrada en (a).

Por lo tanto, el comportamiento de las ondas TM en los límites planos entre medios no conductores se caracteriza por transformaciones de dualidad de Ecuaciones (9.2.62—65) para ondas TE, complementadas por transformaciones similares de las expresiones para los coeficientes complejos de reflexión y transmisión\(\mathrm{\Gamma=\underline{E}_{r} / \underline{E}_{0}}), (9.2.28), and \( \mathrm{T}=\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{t}} / \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}}\), (9.2.29). Después de las transformaciones\(\overline{\mathrm{E}} \Rightarrow \overline{\mathrm{H}}\)\(\overline{\mathrm{H}} \Rightarrow-\overline{\mathrm{E}}\), y\(\varepsilon \Leftrightarrow \mu\), las ecuaciones (9.2.14—19) se convierten en:

\[\underline{\mathrm{\overline H}}_{\mathrm{i}}=\hat{y} \underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{\mathrm{jk}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{i}}=\left(\underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{o}} \eta\right)\left(\hat{x} \sin \theta_{\mathrm{i}}+\hat{z} \cos \theta_{\mathrm{i}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\]

\[\underline{\mathrm{\overline H}}_{\mathrm{r}}=\hat{y} \underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rx}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{r}}=\left(\underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}} \eta\right)\left(\hat{x} \sin \theta_{\mathrm{r}}-\hat{z} \cos \theta_{\mathrm{r}}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rx}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{t}}=\hat{y} \underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{t}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{tx}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{t}}=\left(\underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{t}} \eta_{\mathrm{t}}\right)\left(\hat{x} \sin \theta_{\mathrm{t}}+\hat{z} \cos \theta_{\mathrm{t}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{jk}_{\mathrm{tx}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\]

Los coeficientes complejos de reflexión y transmisión para las ondas TM son versiones transformadas de (9.2.28) y (9.2.29), donde definimos un nuevo ángulo dependiente\(\eta_{\mathrm{n}} \) intercambiando μ ↔ ε in\( \eta_{\mathrm{n}}^{\prime}\) in (9.2.28):

\[\underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}} / \mathrm{\underline H}_{\mathrm{o}}=\left({\eta}_{\mathrm{n}}^{-1}-1\right) /\left({ }_{\eta}{ }_{\mathrm{n}}^{-1}+1\right)\]

\[\underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{t}} / \underline{\mathrm{H}}_{\mathrm{o}}=2{\eta}_{\mathrm{n}}^{-1} /\left({ }_{\eta}{ }_{\mathrm{n}}^{-1}+1\right)\]

\[\eta_{\mathrm{n}}^{-1} \equiv \eta \cos \theta_{\mathrm{i}} /\left(\eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{t}}\right)\]

Estas ecuaciones, (9.2.66) a (9.2.74), describen completamente el caso TM, una vez que la coincidencia de fases proporciona θ _r y θ _t.

Es interesante comparar la potencia reflejada para las ondas TE y TM en función del ángulo de incidencia θ _i. El poder en ondas planas uniformes es proporcional a ambos\(|\overline{\mathrm{\underline E}}|^{2}\) y\( |\overline{\mathrm{\underline H}}|^{2}\). La Figura 9.2.6 esboza cómo la potencia fraccional reflejada o la reflectividad superficial varía con el ángulo de incidencia θ _i para ambas ondas TE y TM para diversos desajustes de impedancia, asumiendo\(\mu=\mu_{\mathrm{t}}\) y σ = 0 en todas partes. Si la onda es incidente sobre un medio con ε _t > ε, entonces\(|\underline{\Gamma}|^{2} \rightarrow 1\) como θ → 90 ^°, mientras que\(|\underline \Gamma|^{2} \rightarrow 1\) en el ángulo crítico θ _c si ε _t < ε, y permanece la unidad para θ _c < θ < 90 ^o (este caso θ _c no es ilustrado).

Figura\(\PageIndex{6}\): Potencia reflejada desde interfaces dieléctricas planas para\(\mu=\mu_{\mathrm{t}}\).

La Figura 9.2.6 revela un fenómeno importante: hay una transmisión perfecta en el ángulo θ _B de Brewster para una de las dos polarizaciones. En este caso, el ángulo de Brewster ocurre para la polarización TM porque μ es el mismo en todas partes y ε no lo es, y ocurriría para la polarización TE si μ variara a través del límite mientras ε no. Este fenómeno es ampliamente utilizado en ventanas de ángulo Brewster de vidrio cuando se debe evitar incluso la más mínima reflexión o cuando se requiere polarización lineal pura (la onda reflejada es pura).

Podemos calcular θ _B anotando\(\underline{\mathrm{H}}_{\mathrm r} / \underline{\mathrm{H}}_{0}\) y, usando (9.2.72),\( \eta_{\mathrm{n}}=1\). Si μ = μ _t, entonces (9.2.74) rinde\( \varepsilon_{\mathrm{t}}^{0.5} \cos \theta_{\mathrm{i}}=\varepsilon^{0.5} \cos \theta_{\mathrm{t}}\). Ley de Snell para μ = μ _t rendimientos\(\varepsilon^{0.5} \sin \theta_{i}=\varepsilon_{t}^{0.5} \sin \theta_{t}\). Estas dos ecuaciones se satisfacen si\(\sin \theta_{i}=\cos \theta_{t}\) y\(\cos \theta_{i}=\sin \theta_{t}\). Dividiendo esta forma de ley de Snell por\(\left[\cos \theta_{i}=\sin \theta_{t}\right]\) rendimientos:\(\tan \theta_{\mathrm{i}}=\left(\varepsilon_{\mathrm{t}} / \varepsilon_{\mathrm{i}}\right)^{0.5}\), o:

\[\theta_{\mathrm{B}}=\tan ^{-1} \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{t}} / \varepsilon_{\mathrm{i}}}\]

Además, dividiendo [sin θ _i = cos θ _t] por [cos θ _i = sin θ _t] produce tan θ _B = cos θ _t, lo que implica θ _B + θ _t = 90°. Usando esta ecuación es fácil mostrar que θ _B > 45 ^o para interfaces donde θ _t < θ _i, y cuando θ _t > θ _i, se deduce que θ _B < 45 ^o.

Una forma de interpretar físicamente el ángulo de Brewster para las ondas TM es observar que en θ _B los ejes polares de los dipolos eléctricos inducidos en el segundo dieléctrico ε _t apuntan exactamente al ángulo de reflexión requerido por la coincidencia de fase, pero los dipolos no irradian nada a lo largo de su eje polar; La Figura 9.2.6 (b) ilustra la geometría. Es decir, θ _B + θ _t = 90 ^o. Para medios magnéticos se inducen dipolos magnéticos, y para las ondas TE sus ejes apuntan en la dirección de reflexión en el ángulo de Brewster.

Otra forma más de interpretar físicamente el ángulo de Brewster es notar que se puede lograr una transmisión perfecta si las condiciones límite pueden coincidir sin invocar una onda reflejada. Esto requiere la existencia de un par de ángulos de incidencia y transmisión θ _i y θ _t de manera que los componentes paralelos de ambas\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) para estas dos ondas coincidan a través del límite. Tal par consistente con la ley de Snell siempre existe para las ondas TM en los límites dieléctricos planos, pero no para las ondas TE. Por lo tanto, hay una adaptación de impedancia perfecta en el ángulo de Brewster.

Ejemplo\(\PageIndex{E}\)

¿Cuál es el ángulo θ _B de Brewster si μ ₂ = 4μ ₁, y ε ₂ = ε ₁, y para qué polarización se observaría el fenómeno?

Solución

Si las permeabilidades difieren, pero no las permitividades, entonces el ángulo de Brewster se observa solo para las ondas TE. En el ángulo de Brewster θ _B + θ _t = 90 ^°, y dice la ley de Snell\(\frac{\sin \theta_{\mathrm{t}}}{\sin \theta_{\mathrm{B}}}=\sqrt{\frac{\mu}{\mu_{\mathrm{t}}}}\). Pero\(\sin \theta_{\mathrm{t}}=\sin \left(90^{\circ}-\theta_{\mathrm{B}}\right)=\cos \theta_{\mathrm{B}}\), así se convierte la ley de Snell:\( \tan \theta_{\mathrm{B}}=\sqrt{\mu_{\mathrm{t}} / \mu}=2\) y\(\theta_{B} \cong 63^{\circ} \).