9.5: Ondas en medios complejos
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Olas en medios anisotrópicos
Hay muchos tipos de medios que se pueden analizar simplemente usando las ecuaciones de Maxwell, las cuales caracterizan a los medios por su permitividad ε, permeabilidad μ y conductividad σ. En general ε, η y σ pueden ser complejas, dependientes de la frecuencia y funciones de dirección de campo. También pueden ser funciones de densidad, temperatura, intensidad de campo y otras cantidades. Además también pueden acoplarse\( \overline{\mathrm{E}}\) a\(\overline{\mathrm{B}}\),\(\overline{\mathrm{H}} \) a\(\overline{\mathrm{D}} \). En esta sección solo tratamos los casos especiales de medios anisotrópicos (Sección 9.5.1), medios dispersivos (Sección 9.5.2) y plasmas (Sección 9.5.3). Los medios con baja fueron tratados en las Secciones 9.2.4 y 9.2.5.
Los medios anisotrópicos, por definición, tienen permitividades, permeabilidades y/o conductividades que son funciones de la dirección del campo. Generalmente podemos representar estas dependencias mediante matrices 3×3 (tensores), es decir:
\[\overline{\mathrm{D}}=\overline{ \overline{\varepsilon}} \overline{\mathrm{E}}\]
\[\overline{\mathrm{B}}=\overline{\overline{\mu}} \ \overline{\mathrm{H}}\]
\[\overline{\mathrm{J}}=\overline{\overline{\sigma}} \ \overline{\mathrm{E}}\]
Por ejemplo, (9.5.1) dice:
\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {D} _ {\ mathrm {x}} =\ varepsilon_ {\ mathrm {xx}}\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} +\ varepsilon_ {\ mathrm {xy}}\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {y}} +\ varepsilon_ _ {\ mathrm {xz}}\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}}\
\ mathrm {D} _ {\ mathrm {y}} =\ varepsilon_ {\ mathrm {yx}}\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} +\ varepsilon_ {\ mathrm {\ mathrm {yy}}\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} +\ varepsilon_ {\ mathrm {yz}}\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}}\
\ mathrm {D} _ {\ mathrm {z}} =\ varepsilon_ {\ mathrm {zx}}\ mathrm {E} {\ mathrm {x}} +\ varepsilon_ {\ mathrm {zy}}\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} +\ varepsilon_ {\ mathrm {zz}}\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {z}}
\ end {array}\]
La mayoría de los medios son simétricos de manera que ε ij = ε ji; en este caso la matriz siempre se\(\overline{\overline{\varepsilon}}\) puede diagonalizar rotando el sistema de coordenadas para definir nuevas direcciones x, y y z que producen ceros fuera del eje:
\[\overline{\overline{\varepsilon}}=\left(\begin{array}{ccc}\varepsilon_{\mathrm{x}} & 0 & 0 \\0 & \varepsilon_{\mathrm{y}} & 0 \\0 & 0 & \varepsilon_{\mathrm{z}}\end{array}\right)\]
Estos nuevos ejes se denominan los ejes principales del medio. El medio es isotrópico si las permitividades de estos tres ejes son iguales, uniaxial si sólo dos de los tres ejes son iguales, y biaxial si los tres difieren. Por ejemplo, los cristales tetragonales, hexagonales y romboédricos son uniaxiales, y los cristales ortorrómbos, monoclínicos y triclínicos son biaxiales. La mayoría de los tensores constitutivos son simétricos (igualan su propia transposición), siendo la excepción más notable los tensores de permeabilidad para medios magnetizados como plasmas y ferritas, los cuales son herméticos 49 y no discutidos en este texto.
49 Matrices hermeticas equivalen al complejo conjugado de su transposición.
Una consecuencia inmediata de la permitividad anisotrópica y (9.5.4)\(\overline{\mathrm D}\) es que generalmente ya no es paralela a\(\overline{\mathrm E}\), como se sugiere en la Figura 9.5.1 para un medio uniaxial. Cuando ε xx ≠ ε zz,\(\overline{\mathrm E}\) y\(\overline{\mathrm D}\) son paralelos solo si se encuentran a lo largo de uno de los ejes principales. Como se explica en breve, esta propiedad de los medios uniaxiales o biaxiales puede ser utilizada para convertir cualquier polarización de onda en cualquier otra.
Los orígenes de la anisotropía en los medios son fáciles de entender en términos de modelos simples para cristales. Por ejemplo, una red cúbica isotrópica se vuelve uniaxial si se comprime o estira a lo largo de uno de esos ejes, como se ilustra en la Figura 9.5.2 (a) para la compresión del eje z. Que tales columnas comprimidas actúen para aumentar la permitividad efectiva en su dirección axial se puede entender señalando que cada una de estas columnas atómicas funciona como columnas de dieléctrico entre placas de condensadores, como se sugiere en la Figura 9.5.2 (b). Los condensadores de placa paralela se discutieron en la Sección 3.1.3. Alternativamente, el mismo volumen de dieléctrico podría estar estratificado sobre una de las placas del condensador, como se ilustra en la Figura 9.5.2 (c).
A pesar de que la mitad del volumen entre las placas del condensador está ocupado por dieléctrico en ambos casos, la capacitancia para las columnas [Figura 9.5.2 (b)] es mayor, lo que corresponde a una mayor permitividad efectiva\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\). Esto se puede mostrar usando la Ecuación (3.1.10), que dice que tiene un condensador de placa paralela\(\mathrm{C}=\varepsilon_{\mathrm{eff}} \mathrm{A} / \mathrm{d}\), donde A es el área de la placa y d es la distancia entre las placas. Las capacitancias C a y C b para las Figuras 9.5.2 (b) y (c) corresponden a dos condensadores en paralelo y en serie, respectivamente, donde:
\[\mathrm{C}_{\mathrm{a}}=(\varepsilon \mathrm{A} / 2 \mathrm{d})+\left(\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{A} / 2 \mathrm{d}\right)=\left(\varepsilon+\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{A} / 2 \mathrm{d}=\varepsilon_{\mathrm{eff}(\mathrm{a})} \mathrm{A} / \mathrm{d}\]
\[\mathrm{C}_{\mathrm{b}}=\left[(\varepsilon \mathrm{A} 2 / \mathrm{d})^{-1}+\left(\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{A} 2 / \mathrm{d}\right)^{-1}\right]^{-1}=\left[\varepsilon \varepsilon_{\mathrm{o}} /\left(\varepsilon+\varepsilon_{\mathrm{o}}\right)\right] 2 \mathrm{A} / \mathrm{d}=\varepsilon_{\mathrm{eff}(\mathrm{b})} \mathrm{A} / \mathrm{d}\]
En el límite donde ε >> ε o la relación de permitividad ε eff (a)/ε eff (b) → ε/4ε o > 1. En todos los casos compresivos ε eff (a) ≥ ε eff (b). Si el cristal se estirara en lugar de comprimirse, esta desigualdad se revertiría. Sin embargo, los materiales exóticos complejos pueden exhibir un comportamiento invertido.
Dado que la permitividad aquí interactúa directamente solo con\(\overline{\mathrm{E}}\), no\(\overline{\mathrm{H}}\), la velocidad de propagación\(c=1 / \sqrt{\mu \varepsilon}\) depende únicamente de la permitividad en la dirección de\(\overline{\mathrm{E}}\). Por lo tanto, esperamos una propagación más lenta de ondas linealmente polarizadas de manera que\(\overline{\mathrm{E}}\) sea paralela a un eje con valores más altos de ε. Podemos derivar este comportamiento a partir de las ecuaciones de Maxwell libres de fuentes y de la relación constitutiva matricial (9.5.4).
\[\mathrm{\nabla \times \overline{\underline{E}}=-j \omega \mu \overline{\underline{H}}}\]
\[\nabla \times \underline{\mathrm{\overline H}}=\mathrm{j} \omega \underline{\mathrm{\overline D}}\]
\[\nabla \bullet \overline{\underline{\mathrm D}}=0\]
\[\nabla \bullet \overline{\underline{\mathrm B}}=0\]
Combinar el rizo de la ley de Faraday (9.5.8) con la ley de Ampere (9.5.9), como hicimos en la Sección 2.3.3, arroja:
\[\nabla \times(\nabla \times \overline{\mathrm{\underline E}})=\nabla(\nabla \bullet \overline{\mathrm{\underline E}})-\nabla^{2} \overline{\mathrm{\underline E}}=\omega^{2} \mu \overline{\mathrm{\underline D}}\]
Ahora asumimos, y luego probamos, eso\(\nabla \bullet \overline{\underline{\mathrm E}}=0 \), así (9.5.12) se convierte en:
\[\nabla^{2} \overline{\mathrm{\underline E}}+\omega^{2} \mu \overline{\mathrm{\underline D}}=0\]
Esta expresión se puede separar en ecuaciones independientes para cada eje. Las ondas que se propagan en la dirección z se rigen por los componentes x e y de (9.5.13):
\[\left[\left(\partial^{2} / \partial \mathbf{z}^{2}\right)+\omega^{2} \mu \varepsilon_{\mathrm{x}}\right] \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}=0\]
\[\left[\left(\partial^{2} / \partial z^{2}\right)+\omega^{2} \mu \varepsilon_{y}\right] \mathrm{ \underline{E}_{y}}=0\]
La ecuación de onda (9.5.14) caracteriza la propagación de ondas polarizadas x y (9.5.15) caracteriza a las ondas polarizadas y; sus velocidades de onda son\(\left(\mu \varepsilon_{\mathrm{x}}\right)^{-0.5}\) y\(\left(\mu \varepsilon_{\mathrm{y}}\right)^{-0.5}\), respectivamente. Si ε x ≠ ε y entonces el eje con la velocidad más baja se llama el eje “lento”, y el otro es el eje “rápido”. Este fenómeno de doble velocidad se llama birrefringencia. Que nuestra suposición\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}=0\) es correcta se ve fácilmente al señalar que la solución de onda estándar para las ondas polarizadas x e y satisface estas restricciones. Dado que es distributiva, la ecuación también se satisface para combinaciones lineales arbitrarias de ondas polarizadas x e y, que es el caso más general aquí.
Si una onda tiene componentes polarizados x e y, la polarización de su superposición evolucionará a medida que se propaguen a lo largo del eje z a diferentes velocidades. Por ejemplo, una onda linealmente polarizada a 45 grados con respecto a los ejes x e y evolucionará a polarización elíptica y luego circular antes de evolucionar de nuevo a polarización lineal ortogonal a la entrada.
Esta capacidad de un medio birrefringente para transformar la polarización se ilustra en la Figura 9.5.3. En este caso podemos representar la onda linealmente polarizada en z = 0 como:
\[\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}=0)=\mathrm{E}_{\mathrm{o}}(\hat{x}+\hat{y})\]
Si los números de onda para los ejes x e y son k x y k y, respectivamente, entonces la onda en la posición z será:
\[\overline{\mathrm{E}}(\mathrm z)=\mathrm{E}_{\mathrm{o}} e^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{z}}\left(\hat{x}+\hat{y} e^{\mathrm{j}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{x}}-\mathrm{k}_{\mathrm{y}}\right) \mathrm{z}}\right)\]
La diferencia de fase entre los componentes polarizados x e y del campo eléctrico es, por lo tanto, Δ\(\phi\) = (k x - k y) z. Como se sugiere en la figura, la polarización circular resulta cuando los dos componentes están 90 grados desfasados (Δ\(\phi\) = ±90 o), y el resultados de polarización lineal ortogonal cuando Δ\(\phi\) = 180 o.
La conversión de polarización se usa comúnmente en sistemas ópticos para convertir la polarización lineal a circular, o viceversa, a través de una placa de cuarto de onda para la cual Δ\(\phi\) es 90 o, equivalente a un cuarto de longitud de onda. Una placa de media onda (Δ\(\phi\) = 180 o) invierte el sentido de cualquier polarización.
Un cierto medio birrefringente se caracteriza por μ o, ε x = 2ε o, ε y = 2.002ε o. ¿Qué tan gruesa debe ser D una placa de cuarto de onda si λ = 5×10 -7 [m] en el espacio libre (luz visible)? ¿A qué espesor D' podría esta misma placa rotar la polarización lineal apropiada 90 grados?
Solución
Los rezagos de fase a lo largo de los ejes x e\( \mathrm{e}^{-\mathrm{jk}_{\mathrm{x}} \mathrm{D}}\) y surgen de y\( \mathrm{e}^{-\mathrm{jk}_{\mathrm{y}} \mathrm{D}}\), respectivamente, y la diferencia es\(\pi / 2=\left(\mathrm{k}_{\mathrm{y}}-\mathrm{k}_{\mathrm{x}}\right) \mathrm{D} \) para una placa de cuarto de onda. Pero\(\mathrm{k}_{\mathrm{i}}=\omega\left(\mu_{\mathrm{o}} \varepsilon_{\mathrm{i}}\right)^{0.5} \), entonces\(\left(\mathrm{k}_{\mathrm{y}}-\mathrm{k}_{\mathrm{x}}\right) \mathrm{D}=\omega\left(\mu_{\mathrm{o}} \varepsilon_{\mathrm{x}}\right)^{0.5}\left[(1+1.001)^{0.5}-1\right] \mathrm{D} \cong\left(\omega / \mathrm{c}_{\mathrm{x}}\right)^{0.5} 0.0005 \mathrm{D}=\pi / 2 \). Ya que\( \omega / c_{x}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{x}}\), por lo tanto\( D=2000 \lambda_{x} / 4\) donde\( \lambda_{\mathrm{x}}=5 \times 10^{-7}\left(\varepsilon_{\mathrm{o}} / \varepsilon_{\mathrm{x}}\right)^{0.5}\). Así\(D=500 \lambda_{x}=0.18 \) mm, que es aproximadamente el grosor de una transparencia Vu-Graph que actúa como placa de cuarto de onda. Un retardo de fase diferencial\(\pi\) produce una rotación de polarización de 90° para ondas linealmente polarizadas en un ángulo de 45° con respecto a los ejes principales x e y, por lo que el grosor se duplicaría a ~0.36 mm.
Ondas en medios dispersivos
Los medios dispersivos tienen velocidades de onda que dependen de la frecuencia debido a la dependencia de frecuencia de μ, ε o σ. Estas dependencias de frecuencia surgen en todos los materiales debido a las respuestas físicas no instantáneas de los electrones a los campos. A menudo, estos retardos de tiempo son tan breves que solo a frecuencias ópticas se convierten en una fracción significativa de un período, aunque la propagación a través de trayectorias suficientemente largas puede introducir diferencias acumulativas significativas en los efectos a través de cualquier banda de frecuencia o brecha. Solo el vacío es esencialmente no dispersivo.
La principal consecuencia de la dispersión es que las señales de pulso de banda estrecha presentan dos velocidades, la velocidad de fase v p de las sinusoides dentro de la envolvente del pulso y la velocidad de grupo v g a la que se propagan la envolvente del pulso, la energía y la información. Debido a que la energía y la información viajan a la velocidad del grupo, nunca excede la velocidad de la luz aunque la velocidad de fase con frecuencia lo hace.
Una manera sencilla de revelar este fenómeno es superponer dos ondas sinusoidales idénticas que se propagan a frecuencias ligeramente diferentes, ω ± Δω; la superposición es válida porque las ecuaciones de Maxwell son lineales. Los números de onda correspondientes son k ± Δk, donde Δk << k y Δω << ω. Tal superposición para dos sinusoides que se propagan en la dirección +z es:
\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} (\ mathrm {t},\ mathrm {z}) &=\ mathrm {E} _ {\ mathrm {o}}\ cos [(\ omega+\ Delta\ omega)\ mathrm {t} - (\ mathrm {k} +\ Delta\ mathrm {k})\ mathrm z {}] +\ mathrm {E} _ {\ mathrm {o}}\ cos [(\ omega-\ Delta\ omega\ mathrm {t}) - (\ mathrm {k} -\ Delta\ mathrm {k})\ mathrm {z}]\ nonumber\\
& amp; =\ mathrm {E} _ {\ mathrm {o}} 2\ cos (\ omega\ mathrm {t} -\ mathrm {kz})\ cos (\ Delta\ omega\ mathrm {t} -\ Delta\ mathrm {kz})
\ end {align}\]
donde usamos la identidad\( \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos [(\alpha+\beta) / 2] \cos [(\alpha-\beta) / 2]\). El primer factor en el lado derecho de (9.5.18) es una onda sinusoidal que se propaga en la frecuencia central ω a la velocidad de fase:
\[\mathrm{v}_{\mathrm{p}}=\omega / \mathrm{k} \qquad \qquad \qquad \text{(phase velocity) }\]
El segundo factor es la envolvente de modulación de baja frecuencia y longitud de onda larga que se propaga a la velocidad de grupo\( \mathrm{v}_{\mathrm{g}}=\Delta \omega / \Delta \mathrm{k}\), que es la pendiente de la relación de dispersión ω (k):
\[\mathrm{v}_{\mathrm{g}}=\partial \omega / \partial \mathrm{k}=(\partial \mathrm{k} / \partial \omega)^{-1} \qquad \qquad \qquad \text{(group velocity) }\]
La Figura 9.5.4 (a) ilustra las sinusoides originales más su superposición en dos puntos en el tiempo, y la Figura 9.5.4 (b) ilustra la relación de dispersión correspondiente.
Obsérvese que esta relación de dispersión tiene una velocidad de fase que se acerca al infinito en las frecuencias más bajas, que es lo que sucede en los plasmas cercanos a la frecuencia plasmática, como se discute en la siguiente sección
Los sistemas de comunicaciones emplean pulsos de duración finita con componentes de Fourier en todas las frecuencias, por lo que si dichos pulsos viajan lo suficientemente lejos incluso la envolvente con su ancho de banda finito se distorsionará. Como resultado, los medios dispersivos se evitan o compensan en la mayoría de los sistemas de comunicaciones a menos que los anchos de banda sean suficientemente estrechos. La compensación es posible porque la dispersión es un proceso lineal, por lo que los filtros inversos son fácilmente diseñados. La Sección 12.2.2 analiza la dispersión en el contexto de las fibras ópticas.
¿Cuándo\( \omega=c_{0}^{0.5}\), cuáles son las velocidades de fase y grupo v p y v g en un medio que tiene la relación de dispersión\(\mathrm{k}=\omega^{2} / \mathrm{c}_{\mathrm{o}} \)?
Solución
\(\mathrm{v}_{\mathrm{p}}=\omega / \mathrm{k}=\mathrm{c}_{\mathrm{o}} / \omega=\mathrm{c}_{\mathrm{o}}^{0.5} \ \left[\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right]\). \(\mathrm{v}_{\mathrm{g}}=(\partial \mathrm{k} / \partial \omega)^{-1}=\mathrm{c}_{\mathrm{o}} / 2 \omega=\mathrm{c}_{\mathrm{o}}^{0.5} / 2 \ \left[\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right]\).
Olas en plasmas
Un plasma es un conjunto gaseoso de carga neutra de átomos o moléculas con suficientes electrones libres para influir significativamente en la propagación de ondas. Los ejemplos incluyen la ionosfera 50, el sol, interiores de bombillas fluorescentes o reactores de fusión nuclear, e incluso electrones en metales o pares de electrones en superconductores. Podemos caracterizar campos en plasmas una vez que conocemos su permitividad ε a la frecuencia de interés.
50 La ionosfera terrestre es una capa parcialmente ionizada a altitudes de ~50-5000 km, dependiendo principalmente de la ionización solar. Su densidad máxima de electrones es de ~10 12 electrones m -3 a 100-300 km durante la luz del día.
Para calcular la permitividad de un plasma no magnetizado recordamos (2.5.8) y (2.5.13):
\[\overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{P}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}+\mathrm{nq} \overline{\mathrm{d}}\]
donde q = -e es la carga electrónica,\(\overline{\mathrm{d}} \) es el desplazamiento medio inducido por el campo de los electrones desde sus posiciones de equilibrio, y n 3 es el número de electrones por metro cúbico. Aunque también se desplazan iones positivos, estos desplazamientos son generalmente despreciables en comparación con los de los electrones debido a que las masas de electrones m e son mucho menores. Podemos tomar en cuenta la masa m i de los iones simplemente reemplazando m e en las ecuaciones por m r, la masa reducida de los electrones, donde se puede demostrar que\(\mathrm{m}_{\mathrm{r}}=\mathrm{m}_{\mathrm{e}} \mathrm{m}_{\mathrm{i}} /\left(\mathrm{m}_{\mathrm{e}}+\mathrm{m}_{\mathrm{i}}\right) \cong \mathrm{m}_{\mathrm{e}}\).
Para determinar ε en (9.5.21) para un plasma sin colisiones, simplemente necesitamos resolver la ley de Newton para\(\overline{\mathrm{d}}(\mathrm{t})\), donde la fuerza se\(\overline{\mathrm{f}} \) desprende de (1.2.1):
\[\overline{\mathrm{f}}=\mathrm{q} \overline{\mathrm{E}}=\mathrm{m} \overline{\mathrm{a}}=\mathrm{m}(\mathrm{j} \omega)^{2} \overline{\mathrm{d}}\]
Resolviendo (9.5.22)\(\overline{\mathrm{d}}\) y sustituyéndolo en la expresión para\(\overline{\mathrm{P}}\) rendimientos:
\[\overline{\mathrm{P}}=\mathrm{nq} \overline{\mathrm{d}}=-\mathrm{ne} \overline{\mathrm{d}}=\overline{\mathrm{E}} \mathrm{ne}^{2} \mathrm{m}^{-1}(\mathrm{j} \omega)^{-2}\]
Combinando (9.5.21) y (9.5.23) rendimientos:
\[\overline{\mathrm{D}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{P}}=\varepsilon_{\mathrm{o}}\left[1+\mathrm{ne}^{2} / \mathrm{m}(\mathrm{j} \omega)^{2} \varepsilon_{\mathrm{o}}\right] \overline{\mathrm{E}}=\varepsilon_{\mathrm{o}}\left[1-\omega_{\mathrm{p}}^{2} / \omega^{2}\right] \overline{\mathrm{E}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}\]
donde ω p se define como la frecuencia de plasma:
\[\omega_{\mathrm{p}} \equiv\left(\mathrm{ne}^{2} / \mathrm{m} \varepsilon_{\mathrm{o}}\right)^{0.5} \ \left[\text { radians } \mathrm{s}^{-1}\right]\]
La frecuencia plasmática es la frecuencia natural de oscilación de un electrón desplazado o grupo de electrones alrededor de su ubicación de equilibrio en un plasma neutro, y veremos que la propagación de ondas por encima y por debajo de esta frecuencia es marcadamente diferente.
La relación de dispersión para un plasma no magnético sin colisiones es así:
\[\mathrm{k}^{2}=\omega^{2} \mu \varepsilon=\omega^{2} \mu_{0} \varepsilon_{0}\left(1-\omega_{\mathrm{p}}^{2} / \omega^{2}\right)\]
que se representa como ω (k) en la Figura 9.5.5 junto con las pendientes que representan las velocidades de fase y grupo de las olas en plasmas.
Usando las expresiones (9.5.19) y (9.5.20) para la velocidad de fase y grupo encontramos para plasmas:
\[\mathrm{v}_{\mathrm{p}}=\omega / \mathrm{k}=\mathrm{c}\left[1-\left(\omega_{\mathrm{p}} / \omega\right)^{2}\right]^{-0.5}\]
\[\mathrm{v}_{\mathrm{g}}=(\partial \mathrm{k} / \partial \omega)^{-1}=\mathrm{c}\left[1-\left(\omega_{\mathrm{p}} / \omega\right)^{2}\right]^{0.5}\]
Dado que v p v g = c 2, y dado que v g ≤ c, se deduce que v p siempre es igual o mayor que c. Sin embargo, para ω < ω p encontramos que v p y v g se vuelven imaginarios porque la propagación de onda normal es reemplazada por otro comportamiento.
Desde (9.5.26) vemos que cuando ω < ω p:
\[\mathrm{\underline{k}=\frac{\omega}{c} \sqrt{1-\left(\omega_{p} / \omega\right)^{2}}=\pm j \alpha}\]
\[\underline{\eta}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\eta_{\mathrm{o}} / \sqrt{1-\left(\omega_{\mathrm{p}} / \omega\right)^{2}}=\mp \mathrm{j} \frac{\mu_{\mathrm{o}} \omega}{\alpha}\]
Por lo tanto, una onda polarizada x que se propaga en la dirección +z sería:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}=\hat{x} \mathrm{E}_{0} \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}}\]
\[\overline{\mathrm{H}}=\hat{y} \underline{\eta}^{-1} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\alpha z}=\mathrm{j} \hat{y}\left(\alpha / \omega \mu_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}}\]
donde se eligió el signo de ±jα (-) para corresponder a la decadencia exponencial de la onda más que al crecimiento. Encontramos a partir de (9.5.32) que H (t) se retrasa 90 o por detrás de E (t), que ambos decaen exponencialmente con z, y que el vector Poynting\(\overline{\mathrm{\underline S}}\) es puramente imaginario:
\[\overline{\mathrm{\underline S}}=\overline{\mathrm{\underline E}} \times \overline{\mathrm{\underline H}}^{*}=-\mathrm{j} \hat{z}\left(\alpha\left|\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}}\right|^{2} / \omega \mu_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{-2 \alpha z}\]
Tal onda evanescente decae exponencialmente y lleva solo potencia reactiva y ninguna potencia promedio en el tiempo debido a la ortogonalidad temporal de E y H. La potencia reactiva implica que por debajo de ω p la energía promedio almacenada es predominantemente eléctrica, pero en este caso la energía almacenada es en realidad dominada por la energía cinética de los electrones. Es esta energía extra la que permite que la permitividad ε se vuelva negativa por debajo de ω p aunque μ o se mantenga constante. La frecuencia ω p por debajo de la cual ocurre la conversión de propagación a evanescencia se denomina frecuencia de corte, que es la frecuencia plasmática aquí.
¿Cuál es la frecuencia plasmática f p [Hz] de la ionosfera cuando n e = 10 12 m -3?
Solución
\(\mathrm{f}_{\mathrm{p}}=\omega_{\mathrm{p}} / 2 \pi=\left(10^{12} \mathrm{e}^{2} / \mathrm{m} \varepsilon_{0}\right)^{0.5} / 2 \pi \cong 9.0 \ \mathrm{MHz}\).