9.4: Resonadores de cavidad

Resonadores de cavidad rectangular

Los resonadores de cavidad rectangular son cajas conductoras rectangulares huecas de ancho a, alto b y largo d, donde d ≥ a ≥ b por convención. Ya que son simplemente guías de onda rectangulares terminadas en ambos extremos por paredes conductoras, y los campos eléctricos deben seguir obedeciendo la ecuación de onda\(\left(\nabla^{2}+\omega^{2} \mu \varepsilon\right) \overline{\mathrm{\underline E}}=0 \), por lo tanto\(\overline{\mathrm{\underline E}} \) para los modos TE deben tener la forma de los campos de guía de onda TE (9.3.27), pero con una dependencia z sinusoidal que coincida con el límite condiciones en z = 0 y z = d; por ejemplo, ondas iguales que se propagan hacia adelante y hacia atrás formarían la onda estacionaria:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}=\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}} / \mathrm{k}_{\mathrm{o}}\right)\left(\hat{\mathrm{x}} \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \operatorname{sink}_{\mathrm{y}} \mathrm{y} \operatorname{cosk}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\hat{\mathrm{y}} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \operatorname{sink}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right)\left(\mathrm{\underline A} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}+\mathrm{\underline B} \operatorname{cosk}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}\right)\]

donde B = 0 asegura\( \overline{\mathrm{E}}_{ / /}=0\) en z = 0, y k _z = p\(\pi\) /d lo asegura para z = d, donde p = 1, 2,...

A diferencia de las guías de onda rectangulares que propagan cualquier frecuencia por encima del corte para la distribución de campo espacial (modo) de interés, los resonadores de cavidad operan solo a frecuencias resonantes específicas o combinaciones de ellas para que coincidan con todas las condiciones de contorno. Las frecuencias resonantes ω _mnp para un resonador de cavidad rectangular siguen de la relación de dispersión:

\[\omega_{\mathrm{mnp}}^{2} \mu \varepsilon=\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=(\mathrm{m} \pi / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi / \mathrm{b})^{2}+(\mathrm{p} \pi / \mathrm{d})^{2}\]

\[\omega_{\mathrm{mnp}}=\left[(\mathrm{m} \pi \mathrm{c} / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi \mathrm{c} / \mathrm{b})^{2}+(\mathrm{p} \pi \mathrm{c} / \mathrm{d})^{2}\right]^{0.5} \ \left[\mathrm{r} \mathrm{s}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text { (cavity resonances) }\]

El modo fundamental para un resonador de cavidad es el modo de frecuencia más baja. Dado que las condiciones límite no se pueden cumplir a menos que al menos dos de los números cuánticos m, n y p no sean cero, la frecuencia resonante más baja se asocia con las dos dimensiones más largas, d y a. por lo tanto, la frecuencia resonante más baja es:

\[\omega_{101}=\left[(\pi \mathrm{c} / \mathrm{a})^{2}+(\pi \mathrm{c} / \mathrm{d})^{2}\right]^{0.5} \ [\text { radians } / \mathrm{sec}] \qquad \qquad \qquad \text { (lowest resonance) }\]

Por lo tanto, los resonadores de cavidad a veces se llenan con dieléctricos o materiales magnéticos para reducir sus frecuencias resonantes al reducir c.

Los campos para el modo fundamental de un resonador de cavidad rectangular, TE ₁₀₁, siguen de (9.4.1) y la ley de Faraday:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}=\hat{x} \underline{\mathrm{E}}_{0} \sin (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a}) \sin (\pi z / \mathrm{d}) \qquad \qquad \qquad \text { (fundamental waveguide mode) }\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}=\mathrm{j} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}}\left(\pi \omega \mathrm{c}^{2} / \mathrm{n}\right)[\hat{y} \sin (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a}) \cos (\pi \mathrm{z} / \mathrm{d}) / \mathrm{d}-\hat{z} \cos (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a}) \sin (\pi \mathrm{z} / \mathrm{d}) / \mathrm{a}]\]

La energía total w [J] = w _e (t) + w _m (t) en cada modo m, n, p de un resonador de cavidad se puede calcular utilizando (2.7.28) y (2.7.29), y decaerá exponencialmente a una velocidad que depende de la disipación de potencia total P _d [W] debido a pérdidas en las paredes y en cualquier aislante que llene el cavidad interior:

\[\mathrm{w}(\mathrm{t}) \cong \mathrm{w}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{P}_{\mathrm{d}} \mathrm{t} / \mathrm{w}}=\mathrm{w}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\omega \mathrm{t} / \mathrm{Q}}\]

Las pérdidas de pared y cualquier disipación en aisladores se pueden estimar integrando (9.2.60) y (2.7.30), respectivamente, sobre el volumen del resonador de cavidad. La energía almacenada, la disipación de potencia y Q pueden ser bastante diferentes para diferentes modos, y se caracterizan por w _mnp, P _{d, mnp} y Q _mnp, respectivamente, como se define por (3.5.23) o (7.4.43):

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{mnp}}=\omega \mathrm{w}_{\mathrm{mnp}} / \mathrm{P}_{\mathrm{d}_{\mathrm{mnp}}}\]

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Cuáles son las frecuencias resonantes más bajas y su Q para una cavidad metálica perfectamente conductora de dimensiones a, b, d si está llena de un medio caracterizado por ε, μ y σ? Asumir Q >> 1.

Solución

La frecuencia resonante más baja ω ₁₀₁ viene dada por (9.4.4), donde\(\mathrm{c}=(\mu \varepsilon)^{-0.5}\):\(\omega_{101}=\pi(\mu \varepsilon)^{-0.5}\left(\mathrm{a}^{-2}+\mathrm{d}^{-2}\right)^{0.5}\). \(\mathrm{Q}_{101}=\omega_{101} \mathrm{W}_{\mathrm{T} 101} / \mathrm{P}_{\mathrm{d} 101}\)donde la energía total almacenada w _T101 es el doble de la energía eléctrica promedio almacenada ya que los almacenamientos totales de energía eléctrica y magnética son iguales. En cada punto del resonador la densidad de energía eléctrica promedio en el tiempo almacenada es\(\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{e}}\right\rangle=\varepsilon|\overline{\mathrm{\underline E}}|^{2} / 4 \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-3}\right] \) y la potencia promedio en el tiempo disipada es\( \sigma|\overline{\mathrm{\underline E}}|^{2} / 2\), [W m ^-3] por lo que la relación de densidad de energía eléctrica/disipación en todas partes es ε/2σ, y así\(\mathrm{w}_{\mathrm{T} 101} / \mathrm{P}_{\mathrm{d} 101}=\varepsilon / \sigma\), así\(\mathrm{Q}_{101}=\pi \varepsilon(\mu \varepsilon)^{-0.5}\left(\mathrm{a}^{-2}+\mathrm{d}^{-2}\right)^{0.5} / \sigma\).

Perturbación de frecuencias de resonador

A menudo nos gustaría sintonizar una resonancia a alguna frecuencia cercana. Esto generalmente se puede lograr cambiando ligeramente la forma del resonador. Aunque la relación entre la forma y la frecuencia resonante puede evaluarse utilizando las ecuaciones de Maxwell, aquí se toma un enfoque más simple y físico.

La energía almacenada en un resonador puede considerarse como una población de N fotones atrapados a la frecuencia f que rebota por dentro. Dado que la energía E por fotón es hf (1.1.10), la energía total en el resonador es:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\mathrm{Nhf} \ [\mathrm J]\]

Si obligamos a las paredes de un resonador a moverse lentamente hacia su nueva forma, se moverán ya sea en oposición a las fuerzas impuestas por los campos electromagnéticos en su interior, o en la misma dirección, y con ello harán trabajo positivo o negativo, respectivamente, sobre esos campos. Si hacemos un trabajo positivo, entonces la energía electromagnética total w _T debe aumentar. Dado que el número de fotones permanece constante si el cambio de forma es lento en comparación con la frecuencia, el trabajo positivo en los campos da como resultado un aumento de la energía electromagnética y la frecuencia f. Si las paredes del resonador se mueven en la dirección de las fuerzas electromagnéticas aplicadas, las aplicadas externamente trabajan en los campos es negativo y la energía y la frecuencia resonante disminuyen.

El paradigma anterior conduce a una expresión simple para el cambio en la frecuencia resonante de cualquier resonador debido a pequeños cambios físicos. Considere el caso de una cavidad metálica llena de aire de cualquier forma que se perturbe al empujar hacia adentro o hacia afuera las paredes ligeramente en uno o más lugares. La fuerza electromagnética sobre un conductor tiene componentes asociados tanto con las atractivas presiones eléctricas como magnéticas repulsivas sobre los conductores dadas por (4.1.15) y (4.1.23), respectivamente. Para las ondas sinusoidales estas presiones son:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{e}}=-\varepsilon_{\mathrm{o}}\left|\mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}}\right|^{2} /4 \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right]\qquad \qquad\qquad \text{(electric pressure)}\]

\[\mathrm{P}_{\mathrm{m}}=\mu_{\mathrm{o}}\left|\mathrm{\underline H}_{\mathrm{o}}\right|^{2}/4 \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right] \qquad \qquad\qquad \text{(magnetic pressure) }\]

Pero estas presiones, a excepción del signo negativo de P _e (correspondiente a la atracción), son las densidades de energía eléctrica y magnética [J m ^-3].

El trabajo Δw realizado al mover ligeramente el límite de la cavidad es la presión P _e/m aplicada, multiplicada por el área sobre la que se aplica, veces la distancia desplazada perpendicular al límite. Por ejemplo, Δw es igual a la presión electromagnética interna (± densidad de energía) multiplicada por el aumento en el volumen agregado por el límite móvil. Pero este aumento en la energía electromagnética almacenada total es simplemente:

\[\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\mathrm{Nh} \Delta \mathrm{f}=-\left(\mathrm{P}_{\mathrm{e}}+\mathrm{P}_{\mathrm{m}}\right) \Delta \mathrm{v}_{\text {olume }}=\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{e}}-\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}\]

Los signos para los aumentos en el almacenamiento de energía eléctrica y magnética Δw _e y Δw _m y las presiones P _e y P _m son diferentes porque las presiones P _e y P _m están en direcciones opuestas, donde Δw _e = W _e Δv _ol, y\(\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}=-\mathrm{P}_{\mathrm{m}} \Delta \mathrm{v}_{\mathrm{ol}}=-\mathrm{W}_{\mathrm{m}} \Delta \mathrm{v}_{\mathrm{ol}}\). Δw _e se define como la energía eléctrica almacenada en el volumen aumentado de la cavidad, Δv _ol, asumiendo que la intensidad del campo eléctrico permanece constante a medida que la pared se mueve ligeramente; Δw _m se define de manera similar. La principal restricción aquí es que los muros no se pueden mover tan lejos que la densidad de fuerza en los muros cambie, ni su forma puede cambiar abruptamente por la misma razón. Por ejemplo, una punta afilada concentra campos eléctricos y violaría esta restricción.

Dividir (9.4.12) por\(w_T = Nhf\) produce la ecuación de perturbación de frecuencia:

\[\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\Delta \mathrm{f} / \mathrm{f}=\left(\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{e}}-\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}\right) / \mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\Delta \mathrm{v}_{\mathrm{ol}}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{e}}-\mathrm{W}_{\mathrm{m}}\right) / \mathrm{w}_{\mathrm{T}} \qquad \qquad\qquad \text{(frequency perturbation)}\]

Un ejemplo sencillo ilustra su uso. Considera un resonador de cavidad rectangular operando en el modo TE ₁₀₁ con los campos dados por (5.4.37) y (5.4.38). Si empujamos en el centro de la parte superior o inferior de la cavidad donde\(\overline{\mathrm{\underline H}} \cong 0\) y\( \overline{\mathrm{E}} \neq 0\) estamos reduciendo el volumen asignado al almacenamiento de energía eléctrica, entonces Δw _e es negativo y la frecuencia resonante bajará de acuerdo con (9.4.13). Sin embargo, si empujamos en los lados, la frecuencia resonante aumentará porque estamos reduciendo el volumen donde se almacena la energía magnética y Δw _m es negativa; la densidad de energía eléctrica en las paredes laterales es cero. En términos físicos, empujar en el centro superior donde los campos eléctricos tiran hacia adentro en la pared significa que esos campos están trabajando en la pared móvil y por lo tanto pierden energía y frecuencia. Empujar en donde los campos magnéticos están empujando hacia afuera funciona en los campos, aumentando su energía y frecuencia. Esta técnica puede ser utilizada para determinar experimentalmente el modo resonante desconocido de una cavidad así como afinarlo.