10.3: Ganancia de antena, área efectiva y propiedades del circuito

Directividad y ganancia de la antena

La intensidad de campo lejano\( \overline{\mathrm{P}}(\mathrm{r}, \theta)\) [W m ^-2] radiada por cualquier antena es una función de la dirección, como se da para una antena dipolo corto por (10.2.27) y se ilustra en la Figura 10.2.4. La ganancia de antena G (θ, φ) se define como la relación de la intensidad P (θ, φ, r) a la intensidad [Wm ^-2] que resultaría si la misma potencia total disponible en los terminales de antena, P _A [W], se radiara isotrópicamente sobre 4π esteradianos. G (θ, φ) a menudo se llama “ganancia sobre isotrópico” donde:

\[\mathrm{G}(\theta, \phi) \equiv \frac{\mathrm{P}(\mathrm{r}, \theta, \phi)}{\left(\mathrm{P}_{\mathrm{A}} / 4 \pi \mathrm{r}^{2}\right)} \qquad \qquad \qquad \text{(antenna gain definition) }\]

Una cantidad relacionada es la directividad de antena D (θ, φ), que se normaliza a la potencia total radiada P _T en lugar de a la potencia P _A disponible en los terminales de antena:

\[\mathrm{D}(\theta, \phi) \equiv \frac{\mathrm{P}(\mathrm{r}, \theta, \phi)}{\left(\mathrm{P}_{\mathrm{T}} / 4 \pi \mathrm{r}^{2}\right)} \qquad \qquad \qquad \text{(antenna directivity definition)}\]

La potencia transmitida es menor que la potencia disponible si la antena no coincide o tiene pérdidas. Dado que la potencia total irradiada es\( \mathrm{P}_{\mathrm{T}}=\mathrm{r}^{2} \int_{4 \pi} \mathrm{P}(\mathrm{r}, \theta, \phi) \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi\), se desprende una relación útil de (10.3.2):

\[\oint_{4 \pi} \mathrm{D}(\theta, \phi) \sin \theta \mathrm d \theta \mathrm d \phi=4 \pi \]

La ecuación (10.3.3) dice que si la directividad o ganancia es grande en una dirección, debe disminuirse correspondientemente en otra parte, como se sugiere en la Figura 10.2.4, donde se traza el patrón relativo a un radiador isotrópico y exhibe su “lóbulo principal” en la dirección θ = 90°. Este patrón es independiente de φ. El ancho de haz de antena de media potencia en la dirección θ es el ángulo θ _B entre dos direcciones donde la potencia radiada es la mitad de la radiada en el pico, como se ilustra. Así (10.3.3) y la figura también sugieren que las antenas de alta directividad tienen anchos de haz más estrechos θ _B, o son más “directivas”.

La relación P _T /P _A es aquella fracción de la potencia disponible en los terminales de antena (P _A) que se irradia; se define como la eficiencia de radiación\(\eta_{\mathrm{R}} \):

\[\eta_{\mathrm{R}} \equiv \mathrm{P}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{A}} \qquad \qquad \qquad \text{(radiation efficiency)}\]

\[\mathrm{G}(\theta, \phi) \equiv \eta_{\mathrm{R}} \mathrm{D}(\theta, \phi)\]

La eficiencia de radiación suele estar cerca de la unidad porque las pérdidas resistivas y las pérdidas reflectantes debidas a desajustes de impedancia son pequeñas en la mayoría de los sistemas. Las excepciones típicas a la regla\(\eta_{\mathrm{R}} \cong 1 \) incluyen la mayoría de dipolos cortos y antenas que se utilizan sobre anchos de banda mucho mayores que una octava; sus impedancias son difíciles de igualar.

La directividad de una antena dipolo corto se da sustituyendo (10.2.27) y (10.2.28) en (10.3.2):

\[\mathrm{D}(\theta, \phi)=\frac{\left(\eta_{\mathrm{o}} / 2\right)\left|\mathrm{\underline I}_{\mathrm{o}} \mathrm{d} / \lambda 2 \mathrm{r}\right|^{2} \sin ^{2} \theta}{\left(\eta_{\mathrm{o}} \pi / 3\right)\left|\mathrm{\underline I}_{\mathrm{o}} \mathrm{d} / \lambda\right|^{2} / 4 \pi \mathrm{r}^{2}}=1.5 \sin ^{2} \theta \qquad\qquad\qquad(\text { short dipole directivity })\]

Las antenas dipolo corto emparejadas sin pérdidas tienen ganancia:

\[\mathrm{G}(\theta, \phi)=1.5 \sin ^{2} \theta \qquad \qquad \qquad \text{(short-dipole antenna gain) }\]

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Cuál es el ángulo sólido máximo\(\Omega_{\mathrm{B}}\) [esteradianos] sobre el cual una antena emparejada sin pérdidas puede tener ganancia constante G _o = 40 dB? Si el haz es circular, aproximadamente ¿cuál es su diámetro θ _B? ¿Cuánta potencia del transmisor P _T se requiere para producir\(\underline{\mathrm E}_{0}=1 \) voltios por metro a 10 kilómetros?

Solución

Desde G (θ, φ) = D (θ, φ) para una antena emparejada sin pérdidas, y\(\int_{4 \pi} \mathrm{D}(\theta, \phi) \mathrm{d} \Omega=4 \pi \), se deduce que\(\mathrm{G}_{\mathrm{o}} \Omega_{\mathrm{B}}=4 \pi \) dado que la ganancia máxima resulta cuando todos los lóbulos laterales tienen G = 0. Por lo tanto\( \Omega_{\mathrm{B}}=4 \pi \times 10^{-4}\), correspondiente a\( \pi \theta_{\mathrm{B}}^{2} / 4 \cong \Omega_{\mathrm{B}} \Rightarrow \theta_{\mathrm{B}} \cong 2\left(\Omega_{\mathrm{B}} / \pi\right)^{0.5} \cong 2\left(4 \pi \times 10^{-4} / \pi\right)^{0.5} \cong 0.04 \text { radians } \cong 2.4^{\circ}\). \(\mathrm{G}_{\mathrm{o}} \mathrm{P}_{\mathrm{T}} / 4 \pi \mathrm{r}^{2}=\left|\mathrm{E}_{\mathrm{o}}\right|^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}} \Rightarrow \mathrm{P}_{\mathrm{T}}=4 \pi \mathrm{r}^{2}\left|\mathrm{\underline E}_{0}\right|^{2} / 2 \eta_{0} \mathrm{G}_{0}=4 \pi\left(10^{4}\right)^{2} \times 1^{2} /\left(2 \times 377 \times 10^{4}\right) \cong 166 \ [\mathrm{W}] \).

Propiedades de circuito de antenas

Las antenas se conectan a circuitos eléctricos, y por lo tanto es importante entender las propiedades del circuito de las antenas. La linealidad de las ecuaciones de Maxwell se aplica a las antenas, por lo que pueden modelarse por un circuito equivalente a Thevenin que consiste en una impedancia equivalente a\( \underline{\mathrm{Z}}_ \mathrm{A}\) Thevenin en serie con una fuente de voltaje Thevenin e\( \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{Th}}\). Esta sección evalúa la impedancia equivalente de Thevenin\(\underline{\mathrm{Z}}_ \mathrm{A} \), y la Sección 10.3.3 evalúa\(\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{Th}} \). La dependencia de frecuencia de estos equivalentes de circuito generalmente no se mapea claramente en la de inductores, condensadores y resistencias, y así simplemente usamos notación compleja y una generalizada\( \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{A}}(\omega)\) en su lugar, donde:

\[\underline{\mathrm Z}_{\mathrm{A}}(\omega)=\mathrm{R}(\omega)+j \mathrm{X}(\omega)\]

R (ω) es la parte resistiva de la impedancia correspondiente a la potencia total disipada e irradiada, y X (ω) es la parte reactiva, correspondiente al almacenamiento de energía de campo cercano.

Para encontrar\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{A}}(\omega) \) podemos usar la forma integral del teorema de Poynting (2.7.23) para un volumen V limitado por el área de superficie A para relacionar el voltaje\( \underline{\mathrm V}\) y la corriente\( \underline{\mathrm I}\) del terminal con los campos cercanos y lejanos de cualquier antena:

\[\oiint_{\mathrm{A}}\left(\overline{\mathrm{\underline E}} \times \overline{\mathrm{\underline H}}^{*}\right) \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}=-\int \int \int_{\mathrm{V}}\left\{\overline{\mathrm{\underline E}} \bullet \overline{\mathrm{\underline J}}^{*}+\mathrm{j} \omega\left(\overline{\mathrm{\underline H}}^{*} \bullet \overline{\mathrm{\underline B}}-\overline{\mathrm{\underline E}} \bullet \overline{\mathrm{\underline D}}^{*}\right)\right\} \mathrm{d} \mathrm{v}\]

Por ejemplo, la antena dipolo corto en la Figura 10.2.3 se muestra rodeada por un área de superficie A = A' + A” + A"', donde A' es el área de sección transversal de la línea de alimentación TEM, A” es la superficie exterior de la línea de alimentación coaxial y A"' está lejos de la antena e intercepta solo campos radiados.

Estas tres contribuciones (A', A” y A"') a la integral de superficie en el lado izquierdo de (10.3.9) vienen dadas por las siguientes tres ecuaciones:

\[\frac{1}{2} \int \int_{A^{\prime}}\left(\overline{\mathrm{\underline E}} \times \overline{\mathrm{\underline H}}^{*}\right) \bullet \hat{\mathrm{n}} \mathrm{da}=-\frac{1}{2} \underline{\mathrm{V}} \underline{\mathrm{I}}^{*}=-\frac{1}{2} \underline{\mathrm{Z}}\left|\underline{\mathrm{I}}_{\mathrm{o}}\right|^{2} \ [\mathrm{W}]\]

La ecuación (10.3.10) simplemente expresa de dos maneras diferentes la potencia que fluye lejos de la antena a través de la línea de alimentación TEM; el signo negativo resulta porque el vector de Poynting aquí está orientado hacia afuera y el flujo de corriente\( \underline{\mathrm I}\) está orientado hacia adentro. Debido a que no hay flujos de potencia perpendiculares a la vaina conductora de la línea de alimentación, tenemos:

\[\int \int_{\mathrm{A}^{\prime \prime}}\left(\overline{\mathrm{\underline E}} \times \overline{\mathrm{\underline H}}^{*}\right) \bullet \hat{\mathrm{n}} \mathrm{da}=0\]

La tercera integral sobre los campos lejanos A"' captura la potencia total radiada por la antena, que debe igualar la potencia real en la antena asociada a la radiación, o bien\( \mathrm{R}_{\mathrm{r}}\left|\mathrm{\underline I}_{\mathrm{o}}\right|^{2} \big/ 2\), donde (10.3.12) define la resistencia a la radiación _{R r} de una antena. En el campo lejano el lado izquierdo es puramente real:

\[\frac{1}{2} \int \int_{\mathrm{A}^{\prime \prime \prime}}\left(\overline{\mathrm{\underline E}} \times \overline{\mathrm{\underline H}}^{*}\right) \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}=\mathrm{P}_{\mathrm{T}} \equiv \frac{1}{2}\left|\mathrm{\underline I}_{\mathrm{o}}\right|^{2} \mathrm{R}_{\mathrm{r}} \ [\mathrm{W}] \qquad \qquad \qquad \text { (radiation resistance) }\]

Al combinar la expresión for\( \underline{\mathrm Z}(\omega)\) in (10.3.10) con ecuaciones (10.3.9—12) obtenemos:

\[\mathrm{\underline{Z}(\omega)=R+j X=R_{r}+\int \int \int_{V}\left\{\left[\overline{\underline E} \bullet \overline{\underline J}^{*}+j \omega\left(\overline {\underline H}^{*} \bullet \overline{\underline B}-\overline{\underline E} \bullet {\overline{\underline D}}^{*}\right)\right] \Big/\left|\underline{I}_{0}\right|^{2}\right\} d v}\]

\[\mathrm{R(\omega)=R_{r}+\int \int \int_{V} j R_{e}\left\{\left[\overline{\underline E } \bullet \overline{\underline J}^{*}+\omega\left(\overline {\underline H}^{*} \bullet \overline{\underline B}-\overline {\underline E} \bullet \overline {\underline D}^{*}\right)\right] \Big/\left|\underline I_{0}\right|^{2}\right\} d v=R_{r}+R_{d}}\]

\[\mathrm{X(\omega)=\int \int \int_{V} I_m\left\{\left[\overline{\underline E } \bullet \overline{\underline J}^{*}+j\omega\left(\overline {\underline H}^{*} \bullet \overline{\underline B}-\overline {\underline E} \bullet \overline {\underline D}^{*}\right)\right] \Big/\left|\underline I_{0}\right|^{2}\right\} d v}\]

X (ω) es la reactancia de la antena, y la integral en (10.3.14) es el componente disipativo R _d (ω) de la resistencia de la antena R (ω). Si el almacenamiento promedio de energía magnética de campo cercano excede el almacenamiento de energía eléctrica, entonces la reactancia X de la antena es positiva e inductiva; si la energía almacenada es predominantemente eléctrica, entonces X es negativa y capacitiva. En la práctica la parte real del término jω en (10.3.14) suele ser cero, como lo es la parte imaginaria del\(\mathrm{\overline{\underline E } \bullet \overline{\underline J}^{*}}\) término en (10.3.15), pero puede haber excepciones. Las R y X de las antenas rara vez se calculan analíticamente, pero generalmente se determinan mediante experimentos o herramientas computacionales.

La resistencia a la radiación _{R r} de las antenas dipolo cortas se puede estimar utilizando (10.3.12) y (10.2.28); la resistencia disipativa R _d en cables cortos dada por (10.3.14) suele ser insignificante:

\[\mathrm{R_{r}=\frac{2 P_{T}}{\left|\underline I_{0}\right|^{2}}=\frac{2 \eta_{0} \pi}{3}\left(\frac{d_{e f f}}{\lambda}\right)^{2}} \text { ohms } \qquad\qquad\qquad(\text { radiation resistance, short dipole })\]

La longitud efectiva d _eff de un dipolo corto es aproximadamente la mitad de su longitud física [ver (10.2.25) y Figura 10.2.3].

La reactancia X de una antena dipolo corto se puede encontrar usando (10.3.15); resulta principalmente de la energía almacenada en los campos cercanos. La energía de campo cercano para dipolos cortos o hertzianos es predominantemente eléctrica, ya que el campo cercano\( \overline{\mathrm{E}} \propto \mathrm{r}^{-3}\) (10.2.15) mientras que el campo cercano\(\overline{\mathrm{H}} \propto \mathrm{r}^{-2}\) (10.2.16), y r→ 0. Dado que el término eléctrico de (10.3.15) es mucho mayor que el término magnético, X es negativo.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Una cierta antena emparejada irradia un vatio (P _r) cuando se acciona con\(\underline{\mathrm V}_{0}=10\) voltios de voltaje. ¿Cuál es la resistencia a la radiación de la antena _{R r}?

Solución

\(\mathrm{P_{r}=\left|\underline{V}_{0}\right|^{2} / 2 R_{r} \Rightarrow R_{r}=\left|\underline{V}_{0}\right|^{2} / 2 P_{r}=10^{2} /(2 \times 1)=50 \Omega}\)

Recepción de propiedades de antenas

Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales en intensidad de campo, las antenas tienen circuitos equivalentes que consisten en una impedancia equivalente Thevenin\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{A}}(\omega) \), dada por (10.3.13), en serie con una fuente de voltaje Thevenin\( \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{Th}}(\omega)\) que ahora podemos evaluar. Los voltajes distintos de cero aparecen cuando las antenas reciben señales, donde estos voltajes dependen de la dirección, polarización e intensidad de las ondas interceptadas.

La Figura 10.3.1 (a) ilustra el circuito equivalente de Thevenin para cualquier antena, y la Figura 10.3.1 (b) ilustra los campos eléctricos y los equipotenciales asociados con una antena dipolo corto que intercepta una onda plana uniforme polarizada paralela al eje del dipolo. Cuando la longitud de onda λ excede en gran medida d y otras dimensiones locales de interés, es decir λ → ∞, entonces las ecuaciones de Maxwell se convierten en:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{\underline E}}=-\mathrm{j}(2 \pi \mathrm{c} / \lambda) \overline{\mathrm{\underline B}} \rightarrow 0 \quad \text { for } \lambda \rightarrow \infty\]

\[\nabla \times \mathrm{\overline{\underline{H}}=\overline{\mathrm{\underline J}}+\mathrm{j}(2 \pi \mathrm{c} / \lambda) \overline{\mathrm{\underline D}} \rightarrow \overline{\mathrm{\underline J}}} \quad \text { for } \lambda \rightarrow \infty\]

Pero estos límites son las ecuaciones de electrostática y magnetostática. Por lo tanto, podemos esbozar rápidamente las líneas de campo eléctrico cerca del dipolo corto de la Figura 10.3.1 utilizando una versión tridimensional de la técnica de mapeo de campo cuasistático de la Sección 4.6.2.

Figura\(\PageIndex{3}\): Voltaje Thevenin inducido en una antena dipolo corto.

Lejos del dipolo, las líneas de campo\( \overline{\mathrm{E}}\) en la Figura 10.3.1 (b) son las de la onda plana incidente cuasistática, es decir, uniforme y paralela al dipolo. Cerca del dipolo conductor\( \overline{\mathrm{E}}\) se distorsiona para que coincida con las condiciones límite: 1)\( \overline{\mathrm{E}}_{||}\), y 2) cada mitad del dipolo es un equipotencial, interceptando solo una línea equipotencial (negrita, discontinua). Si los alambres que comprenden el dipolo corto son muy delgados, los efectos de cada cable en el otro son despreciables. Bajo estos supuestos, la simetría dicta la forma para tres de los equipotenciales en la Figura 10.3.1: los equipotenciales a través del centro del dipolo y a través de cada una de sus dos mitades son líneas rectas. Los otros equipotenciales esbozados con líneas discontinuas se curvan alrededor de los conductores. Las líneas de campo\( \overline{\mathrm{E}}\) se esbozan con líneas continuas localmente perpendiculares a los equipotenciales. Las líneas de campo terminan en cargas en la superficie de los conductores y posiblemente en el infinito, según se rige por la ley de Gauss:\(\hat{n} \bullet \overline{\mathrm{D}}=\sigma_{\mathrm{S}} \).

Las figuras 10.3.1 (b) y (c) sugieren por qué el voltaje de circuito abierto V _Th de la antena dipolo corto equivale a la diferencia de potencial entre los centros de las dos mitades de este dipolo ideal:

\[ \mathrm{V}_{\mathrm{Th}} \equiv-\overline{\mathrm{E}} \bullet \overline{\mathrm{d}}_{\mathrm{eff}} \qquad\qquad\qquad \text { (voltage induced on dipole antenna) }\]

La longitud efectiva del dipolo,\(\overline{\mathrm{d}}_{\mathrm{eff}} \), se define por (10.3.19), y es la misma que la longitud efectiva definida en términos de la distribución de corriente (10.2.25) para alambres rectos infinitesimalmente delgados de longitud d << λ. Generalmente\(\mathrm{d}_{\mathrm{eff}} \cong \mathrm{d} / 2 \), que es la distancia entre los centros de los dos conductores. Cada conductor está esencialmente muestreando el potencial electrostático en sus proximidades y transportándolo a los terminales de la antena. La orientación de\(\overline{\mathrm{d}}_{\mathrm{eff}} \) es la del flujo de corriente dipolo que sería impulsado por fuentes externas que tienen la polaridad terminal definida.

La potencia máxima que una antena puede entregar a un circuito externo de impedancia\( \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}\) se calcula fácilmente una vez que se conoce el circuito equivalente de antena. Para maximizar esta transferencia primero es necesario agregar una reactancia de carga externa, -Jx _L, en serie para cancelar la reactancia de antena +jX (X es negativo para una antena dipolo corto porque es capacitiva). Entonces la parte resistiva de la carga R _L debe coincidir con la de la antena, es decir, R _L = R _r. La transferencia máxima de potencia ocurre cuando las impedancias coinciden, por lo que las ondas incidentes no se reflejan. En este caso de conjugado-coincidencia (Z _L = Z _A *), el voltaje Thevenin de la antena\(\mathrm{\underline{V}_{T h}}\) se divide entre las dos resistencias R _r y _RL de manera que el voltaje a través de _RL es\(\mathrm{\underline{V}_{T h}} / 2\) y la potencia recibida por la antena dipolo corto es:

\[\mathrm{P_{r}=\frac{1}{2 R_{r}}\left|\frac{\underline V_{T h}}{2}\right|^{2}} \ [W] \qquad\qquad\qquad(\text { received power })\]

La sustitución en (10.3.20) de R _r (10.3.16) y V _Th (10.3.19) produce la potencia recibida:

\[\mathrm P_{\mathrm{r}}=\frac{3}{4 \eta_{0} \pi(\mathrm{d} / \lambda)^{2}}\left|\frac{\mathrm{\overline{\underline E}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} \sin \theta}{2}\right|^{2}=\frac{|\overline{\mathrm{\underline E}}|^{2}}{2 \eta_{\mathrm{o}}} \frac{\lambda^{2}}{4 \pi}\left(1.5 \sin ^{2} \theta\right)\]

\[\mathrm P_{\mathrm{r}}=I(\theta, \varphi) \frac{\lambda^{2}}{4 \pi} \mathrm{G}(\theta, \varphi)=\mathrm{I}(\theta, \varphi) \mathrm{A}(\theta, \varphi) \ [\mathrm{W}] \qquad\qquad\qquad \text { (power received) }\]

donde I (θ, φ) es la intensidad de potencia [^Wm-2] de la onda plana que llega desde la dirección (θ, φ), G (θ, φ) = D (θ, φ) = 1.5 sin ² θ es la ganancia de antena de una antena dipolo corto sin pérdidas (10.3.7), y A (θ, φ) es el área efectiva de la antena definida por la ecuación P _r ≡ I (θ, φ) A (, φ) [W] por el poder recibido. La Sección 10.3.4 demuestra que la relación simple entre la ganancia G (θ, φ) y el área efectiva A (θ, φ) probada en (10.3.22) para un dipolo corto se aplica esencialmente a todas las ⁵³ antenas:

\[A(\theta, \varphi)=\frac{\lambda^{2}}{4 \pi} G(\theta, \varphi) \ \left[\mathrm m^{2}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (antenna effective area) }\]

⁵³ Esta expresión requiere que todos los medios cercanos a la antena sean recíprocos, lo que significa que no deben estar presentes plasmas o ferritas magnetizados para que las matrices de permitividad y permeabilidad ε y μ en todas partes iguales a sus propias transposiciones.

La ecuación (10.3.23) dice que el área efectiva de una antena de dipolo corto coincidente es equivalente a un cuadrado aproximadamente λ/3 en un lado, independiente de la longitud de la antena. Una estructura de alambre pequeña (<< λ/3) puede capturar energía de esta área mucho mayor si tiene una coincidencia conjugada, que generalmente requiere una resonancia de Q alta, grandes intensidades de campo y altas pérdidas. En la práctica, las antenas de dipolo corto generalmente tienen un desajuste reactivo que reduce su área efectiva por debajo del óptimo.

Relación generalizada entre ganancia de antena y área efectiva

La Sección 10.3.3 demostró para una antena de dipolo corto la relación básica (10.3.23) entre la ganancia de antena G (θ,\(\phi\)) y el área efectiva de la antena A (θ,\(\phi\)):

\[\mathrm{A}(\theta, \phi)=\frac{\lambda^{2}}{4 \pi} \mathrm{G}(\theta, \phi)\]

Esta relación se puede probar para cualquier antena arbitraria siempre que todos los medios dentro y cerca de la antena sean médi a recíprocos, es decir, sus matrices complejas de permitividad, permeabilidad y conductividad\(\underline{\varepsilon}\)\(\underline{\mu}\), y todos\(\underline{\sigma}\) son simétricos:

\[\underline{\varepsilon}=\underline{\varepsilon}^{\mathrm{t}}, \ \ \underline{\mu}=\underline{\mu}^{\mathrm{t}}, \ \ \underline{\sigma}=\underline{\sigma}^{\mathrm{t}}\]

donde definimos el operador de transposición t tal que\( \underline{\mathrm{A}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{t}}=\underline{\mathrm{A}}_{\mathrm{ji}}\). Los medios no recíprocos son raros, pero incluyen plasmas magnetizados y ferritas magnetizadas; no se discuten en este texto. Los medios caracterizados por matrices se discuten en la Sección 9.5.1.

Para probar (10.3.24) caracterizamos una red lineal general de 2 puertos por su matriz de impedancia:

\[\overline{\underline{\mathrm{Z}}}=\left[\begin{array}{ll} \underline{\mathrm{Z}}_{11} & \underline{\mathrm{Z}}_{12} \\ \underline{\mathrm{Z}}_{21} & \underline{\mathrm{Z}}_{22} \end{array}\right] \qquad\qquad\qquad \text{(impedance matrix)}\]

\[\overline{\mathrm{\underline V}}=\overline{\overline{\mathrm{\underline Z}}} \bar{\mathrm{\underline I}}\]

donde\( \overline{\mathrm{\underline V}}\) y\( \overline{\mathrm{\underline I}}\) son los vectores de voltaje y corriente de dos elementos\( \left[\mathrm{\underline{V}_{1}, \underline{V}_{2}}\right]\) y\(\left[\mathrm{\underline{I}_{1}, \underline{I}_{2}}\right] \),\( \underline{\mathrm {V}}_{\mathrm i}\) y y\( \underline{\mathrm {I}}_{\mathrm i}\) son la tensión y corriente en el par de terminales i. Esta matriz\( \overline{\mathrm{\overline Z}}\) no depende de la red a la que esté conectado el puerto 2. Si el sistema de 2 puertos es una red recíproca, entonces\(\overline{\overline{\underline{\mathrm{Z}}}}=\overline{\overline{\underline{\mathrm{Z}}}}^{\mathrm t} \), entonces\(\underline{\mathrm{Z}}_{12}=\underline{\mathrm{Z}}_{21} \).

Dado que las ecuaciones de Maxwell son lineales,\(\underline{\mathrm V} \) está linealmente relacionada con\( \underline{\mathrm I}\), y podemos definir una impedancia de antena\( \underline{\mathrm Z}_{11}\) que consiste en una parte real (10.3.14), típicamente dominada por la resistencia a la radiación Rr (10.3.12), y una parte reactiva Jx (10.3.15). Así\( \mathrm{\underline{Z}_{11}=R_{1}+j X_{1}}\), donde _R1 es igual a la suma de la resistencia disipativa R _d1 y la resistencia a la radiación R _r1. Para la mayoría de las antenas R _d << R _r.

La Figura 10.3.2 ilustra una antena recíproca desconocida (1) que se comunica con una antena de prueba de dipolo corto (2) que está dirigida a la antena (1). Debido a que las relaciones entre los voltajes y corrientes en los terminales están determinadas por ondas electromagnéticas gobernadas por las ecuaciones lineales de Maxwell, las dos antenas constituyen una red de dos puertos gobernada por (10.3.26) y (10.3.27) y la matriz de impedancia compleja\( \overline{\overline{\mathrm{\underline Z}}}\). La notación compleja es apropiada aquí porque las antenas dependen de la frecuencia. Esta representación de impedancia introduce fácilmente la restricción de reciprocidad a la relación entre G (θ,\(\phi\)) y A (θ,\(\phi\)). Suponemos que cada antena se corresponde con su carga\( \mathrm{\underline{Z}_{L}=R_{r}-j X}\) para maximizar la transferencia de energía.

Figura\(\PageIndex{2}\): Antenas recíprocas acopladas para relacionar G (θ,\(\phi\)) a A (θ,\(\phi\)).

La potencia P _r recibida por cada antena y disipada en la carga se puede expresar de dos maneras equivalentes, en términos de impedancia mutua de antena\(\underline{\mathrm Z}_{\mathrm{ij}} \) y en términos de ganancia de antena y área efectiva:

\[P_{\mathrm{r} 1}=\frac{\left|\mathrm{\underline V}_{\mathrm{Th} 1}\right|^{2}}{8 \mathrm{R}_{\mathrm{r} 1}}=\frac{\left|\mathrm{\underline Z}_{12} \mathrm{\underline I}_{2}\right|^{2}}{8 \mathrm{R}_{\mathrm{r} 1}}=\frac{\mathrm{G}_{2} \mathrm{P}_{\mathrm{t} 2}}{4 \pi \mathrm{r}^{2}} \mathrm{A}_{1}\]

\[P_{\mathrm{r} 2}=\frac{\left|\mathrm{\underline V}_{\mathrm{Th} 2}\right|^{2}}{8 \mathrm{R}_{\mathrm{r} 2}}=\frac{\left|\underline{\mathrm{Z}}_{21} \mathrm{\underline I}_{\mathrm{I}}\right|^{2}}{8 \mathrm{R}_{\mathrm{r} 2}}=\frac{\mathrm{G}_{1} \mathrm{P}_{\mathrm{t} 1}}{4 \pi \mathrm{r}^{2}} \mathrm{A}_{2}\]

Tomando la relación de estas dos ecuaciones en términos de G y A rinde:

\[\frac{P_{r 2}}{P_{r 1}}=\frac{G_{1} A_{2} P_{t 1}}{G_{2} A_{1} P_{t 2}}\]

\[\therefore \frac{\mathrm{A}_{1}}{\mathrm{G}_{1}}=\frac{\mathrm{A}_{2}}{\mathrm{G}_{2}} \frac{\mathrm{P}_{\mathrm{t} 1} \mathrm{P}_{\mathrm{r} 1}}{\mathrm{P}_{\mathrm{t} 2} \mathrm{P}_{\mathrm{r} 2}}\]

Pero la relación de las mismas ecuaciones en términos de\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{ij}}\) también rinde:

\[\mathrm{\frac{P_{\mathrm{r} 1}}{P_{\mathrm{r} 2}}=\frac{\left|\underline{Z}_{12} \underline I_{2}\right|^{2} R_{\mathrm{r} 2}}{\left|\underline Z_{21} \underline I_{1}\right|^{2}}=\frac{\left|\underline{Z}_{12}\right|^{2} P_{\mathrm{t} 2}}{\left|\underline Z_{2}\right|^{2} P_{\mathrm{t} 1}}}\]

Por lo tanto si aplica reciprocidad, de manera que\( \mathrm{\left|\underline{Z}_{12}\right|^{2}=\left|\underline{Z}_{21}\right|^{2}}\), entonces (10.3.23) para un dipolo corto y la sustitución de (10.3.32) en (10.3.31) demuestra que todas las antenas recíprocas obedecen a la misma relación A/G:

\[\frac{\mathrm{A}_{1}(\theta, \phi)}{\mathrm{G}_{1}(\theta, \phi)}=\frac{\mathrm{A}_{2}}{\mathrm{G}_{2}}=\frac{\lambda^{2}}{4 \pi} \qquad \qquad \qquad \text{(generalized gain-area relationship) }\]

Enlaces de comunicación

Ahora podemos combinar las propiedades de transmisión y recepción de las antenas para producir la potencia que se puede transmitir de un lugar a otro. Por ejemplo, la intensidad I (θ,\(\phi\)) a la distancia r que resulta de transmitir _Pt vatios desde una antena con ganancia _Gt (θ,\(\phi\)) es:

\[\mathrm{I}(\theta, \phi)=\mathrm{G}(\theta, \phi) \frac{\mathrm{P}_{\mathrm{t}}}{4 \pi \mathrm{r}^{2}} \ \left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(radiated intensity)}\]

La potencia recibida por una antena con área efectiva A (θ,\(\phi\)) en la dirección θ,\(\phi\) desde la cual llega la señal es:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{r}}=\mathrm{I}(\theta, \phi) \mathrm{A}(\theta, \phi) \ [\mathrm{W}] \qquad \qquad \qquad \text{(received power)}\]

donde el uso de los mismos ángulos θ,\(\phi\) para la transmisión y recepción implica aquí que el mismo rayo se está transmitiendo y recibiendo, aunque los sistemas de coordenadas transmisor y receptor son típicamente distintos. La ecuación (10.3.33) dice:

\[\mathrm{A}(\theta, \phi)=\frac{\lambda^{2}}{4 \pi} \mathrm{G}_{\mathrm{r}}(\theta, \phi)\]

donde G _r es la ganancia de la antena receptora, por lo que la potencia recibida (10.3.35) se convierte en:

\[\mathrm{P_{r}=\frac{P_{t}}{4 \pi r^{2}} G_{t}(\theta, \phi) \frac{\lambda^{2}}{4 \pi} G_{r}(\theta, \phi)=P_{t} G_{t}(\theta, \phi) G_{r}(\theta, \phi)\left(\frac{\lambda}{4 \pi r}\right)^{2} }\ [W]\]

Aunque (10.3.37) sugiere que la potencia recibida se vuelve infinita como r → 0, esto violaría la suposición de campo lejano de que r >> λ/2\(\pi\).

Ejemplo\(\PageIndex{C}\)

Dos teléfonos inalámbricos con antenas dipolo corto emparejadas que tienen d _eff igual a un metro se comunican entre sí a lo largo de una trayectoria sin obstrucciones de diez kilómetros. ¿Cuál es la potencia máxima P _A disponible para el receptor si se transmite un vatio a f = 1 MHz? ¿A 10 MHz? ¿Qué es P _A a 1 MHz si los dos dipolos están a 45° entre sí?

Solución

P _A = AI, donde A es el área efectiva del dipolo receptor e I es la intensidad de onda incidente [W m ^-2]. \(\mathrm{P_{A}=A\left(P_{t} G_{t} / 4 \pi r^{2}\right)}\)donde\(\mathrm{A=G_{r} \lambda^{2} / 4 \pi} \) y G _t ≤1.5; G _r ≤1.5. Así\( \mathrm{P_{A}=\left(G_{r} \lambda^{2} / 4 \pi\right)\left(P_{t} G_{t} / 4 \pi r^{2}\right)=P_{t}(1.5 \lambda / 4 \pi r)^{2}=P_{t}(1.5 c / 4 \pi r f)^{2}}=1\left(1.5 \times 3 \times 10^{8} / 4 \pi 10^{4} \times 10^{6}\right)^{2} \cong 1.3 \times 10^{-5} \ [\mathrm{W}]\). A 10 MHz la salida de energía disponible es de ~1.3×10 ^-7 [W]. Si los dipolos están a 45° entre sí, la sección transversal receptora se reduce en un factor de\(\sin ^{2} 45^{\circ}=0.5 \Rightarrow P_{\mathrm{A}} \cong 6.4 \times 10^{-6}\ [\mathrm{W}] \).

Ejemplo\(\PageIndex{D}\)

En cuanto al campo eléctrico incidente\( \underline{\mathrm{E}}_{0}\), ¿cuál es la fuente de voltaje equivalente Thevenin máxima\( \mathrm{\underline{V}_{T h}}\) para una pequeña antena de bucle de giro N que opera a frecuencia f? Una antena de bucle se realiza enrollando N vueltas de un cable en un círculo plano de diámetro D, donde D << λ. Si N = 1, ¿qué debe ser D para que esta antena de bucle tenga el\( \mathrm{\underline{V}_{T h}}\) mismo máximo que una antena dipolo corto con longitud efectiva d _eff?

Solución

El voltaje de circuito abierto\( \mathrm{\underline{V}_{T h}}\) inducido en los terminales de un bucle de cable pequeño (D << λ) se desprende de la ley de Ampere:\(\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{Th}}=\int_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{\underline E}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=-\mathrm{N} \int \int \mathrm{j} \omega \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{\underline H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{a}}=-\mathrm{Nj} \omega \mu_{\mathrm{o}} \underline{\mathrm{H}} \pi \mathrm{D}^{2} / 4=-\mathrm{Nj} \omega \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{\underline E} \pi \mathrm{D}^{2} / 4 \eta_{\mathrm{o}} \). Pero\( \omega \mu_{\mathrm{o}} \pi / 4 \eta_{\mathrm{o}}=\mathrm{f} \pi^{2} / 2 \mathrm{c}\), entonces\( \left|\underline{\mathrm V}_{\mathrm{T h}}\right|=\mathrm{Nf} \pi^{2}\left|\mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}}\right| \mathrm{D}^{2} / 2 \mathrm{c}\). Para una antena dipolo corto el máximo\(\left|\underline{\mathrm V}_{\mathrm{Th}}\right|=\mathrm{d}_{\mathrm{eff}}\left|\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}}\right| \), así\( \mathrm{D}=\left(2 \mathrm{cd}_{\mathrm{eff}} / \mathrm{f} \pi^{2} \mathrm{N}\right)^{0.5}=\left(2 \lambda \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / \pi^{2} \mathrm{N}\right)^{0.5} \cong 0.45\left(\mathrm{d}_{\mathrm{eff}} \lambda / \mathrm{N}\right)^{0.5}\).