10.4: Matrices de Antenas
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Arreglos de dos dipolos
Aunque algunos servicios de comunicaciones, como los teléfonos móviles, utilizan antenas dipolo eléctricas o magnéticas casi omnidireccionales (antenas de dipolo corto y de bucle), la mayoría de los servicios fijos, como los servicios punto a punto, difusión y satélite, se benefician de mayores ganancias de antena. Además, algunas aplicaciones requieren una dirección rápida del haz de la antena de un punto a otro, o incluso la capacidad de observar o transmitir en múltiples direcciones estrechas simultáneamente. Los arreglos de antenas con dos o más dipolos pueden soportar todas estas necesidades. Las matrices de otros tipos de antenas pueden aumentar de manera similar el rendimiento.
Dado que el área efectiva de una antena, A (θ,\(\phi\)), está simplemente relacionada por (10.3.36) con la ganancia de antena G (θ,\(\phi\)), la ganancia de una matriz de dipolos caracteriza completamente su comportamiento, que está determinado por la distribución de corriente de la matriz. A veces algunos de los dipolos son simplemente imágenes espejadas de otros.
En todos los casos el campo total irradiado es simplemente la superposición de los campos radiados por cada dipolo contribuyente en proporción a su fuerza, y retrasados en proporción a su distancia del observador. Para matrices de dos dipolos, la longitud de trayectoria diferencial al receptor puede conducir a un refuerzo si las dos ondas sinusoidales están en fase, cancelación si están 180 o fuera de fase e iguales, y resistencia intermedia en caso contrario.
Es conveniente representar las señales como fasores ya que los patrones dependen de la frecuencia, por lo que el campo eléctrico total observado\( \underline{\mathrm{\overline E}}=\sum_{\mathrm{i}} \overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{i}}\), donde\( \overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{i}}\) se encuentra la contribución observada desde el dipolo corto i, incluyendo su retraso de fase asociado de\( \gamma_{i}\) radianes debido a la distancia recorrida. Considere primero la matriz de dos dipolos en la Figura 10.4.1 (a), donde los dipolos están orientados al eje z, paralelos, alimentados en fase y distanciados L lateralmente en la dirección y. Cualquier observador en el plano x-z que separa los dipolos recibe contribuciones iguales en fase de cada dipolo, duplicando así el campo lejano observado\(\overline{\mathrm{E}}_\mathrm{ff} \) y cuadruplicando la intensidad de potencia P [Wm -2] radiada en esa dirección θ con respecto a lo que sería transmitido por un solo dipolo.
La potencia radiada P (r,\(\phi\)) en la Figura 10.4.1 depende del retardo de fase diferencial\( \gamma\) entre las contribuciones de las dos antenas. Cuando los dos dipolos se excitan por igual\(\mathrm{\left(\underline{I}_{1}=\underline{I}_{2}=\underline{I}\right)} \) y están separados L = λ/2, los dos rayos se suman en fase en todas partes en el plano x-z perpendicular al eje de la matriz, pero están desfasados λ/2 (180 o) y cancelan a lo largo del eje de la matriz (y). El G (\(\phi\)) resultante se esboza en la Figura 10.4.2 (a) para el plano x-y. Si L = λ como se ilustra en la Figura 10.4.2 (b), entonces los dos rayos se suman en fase a lo largo tanto del plano x-z como del eje y, pero se cancelan en el plano x-y en\(\phi_{\text {null }}=30^{\circ} \) donde el retardo diferencial entre los dos rayos es λ/2, como sugiere el triángulo rectángulo en la figura.
La Figura 10.4.2 (c) ilustra cómo se puede sintetizar un patrón no simétrico excitando los dos dipolos fuera de fase. En este caso el dipolo inferior conduce 90 grados al dipolo superior, de manera que la diferencia de fase total entre los dos rayos que se propagan en la dirección y negativa es de 180 grados, produciendo cancelación; esta diferencia de fase es de cero grados para la radiación en la dirección +y, por lo que los dos rayos suman. A lo largo del eje ±x los dos rayos están desfasados 90 grados por lo que el E total es\(\sqrt{2} \) mayor que el de un solo dipolo, y la intensidad se duplica. Cuando los dos fasores están en fase el E total se duplica y la intensidad radiada es 4 veces la de un solo dipolo; así la intensidad radiada a lo largo del eje ±x es la mitad de la irradiada a lo largo del eje +y. La Figura 10.4.2 (d) ilustra cómo se puede sintetizar un patrón libre de nulos con excitación no igual de los dos dipolos. En este caso los dos dipolos son impulsados en fase de manera que la diferencia de fase radiada es de 180 grados a lo largo del eje ±y debido a la separación λ/2 de los dipolos. Los nulos se evitan excitando cualquiera de los dipolos con una corriente que es ~40 por ciento del otro de manera que la relación de ganancia máxima a ganancia mínima sea ~ [(1 + 0.4)/(1 - 0.4)] 2 = 5.44, y el patrón es vagamente rectangular.
También se puede derivar una expresión matemática para el patrón de ganancia. Superposición (10.2.8) para\( \underline{\mathrm{I}}_1\) y\(\underline{\mathrm{I}}_2 \) rinde:
\[\begin{align} \overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}} & \cong \hat{\theta} \mathrm{j}\left(\mathrm{k} \eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / 4 \pi \mathrm{r}\right) \sin \theta\left(\underline{\mathrm{I}}_{1} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{1}}+\underline{\mathrm{I}}_{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{2}}\right) \nonumber \\ & \cong \hat{\theta} \mathrm{j}\left(\eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / 2 \lambda \mathrm{r}\right) \sin \theta \ \underline{\mathrm{I}} \ \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}}\left(\mathrm{e}^{+0.5 \mathrm{jkL} \sin \phi}+\mathrm{e}^{-0.5 \mathrm{jkL} \sin \phi)}\right.\\ & \cong \hat{\theta} \mathrm{j}\left(\eta_{\mathrm{o}} \underline{\mathrm{I}} \mathrm d_{\mathrm{eff}} / \lambda \mathrm{r}\right) \sin \theta \mathrm e^{-\mathrm{jkr}} \cos \left(\pi \mathrm{L} \lambda^{-1} \sin \phi\right) \end{align}\]
donde hemos utilizado las identidades\(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \alpha}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \alpha}=2 \cos \alpha \) y\( \mathrm{k}=2 \pi / \lambda\).
Si los dos dipolos de la Figura 10.4.1 se alimentan en fase y su separación es L = 2λ, ¿en qué ángulos\(\phi\) en el plano x-y hay nulos y picos en la ganancia G (\(\phi\))? ¿Son iguales estos picos? Repita este análisis para L = λ/4, suponiendo que el voltaje que acciona el dipolo a y > 0 tiene un retardo de fase de 90° con relación al otro dipolo.
Solución
Haciendo referencia a la Figura 10.4.1, existen nulos cuando la diferencia de fase γ entre los dos rayos que llegan al receptor es\(\pi\) o 3\(\pi\), o equivalentemente, D = λ/2 o 3λ/2, respectivamente. Esto sucede en los ángulos\(\phi=\pm \sin ^{-1}(\mathrm{D / L})=\pm \sin ^{-1}[(\lambda / 2) / 2 \lambda]=\pm \sin ^{-1}(0.25) \cong \pm 14^{\circ}\), y\(\phi=\pm \sin ^{-1}(0.75) \cong \pm 49^{\circ}\). También hay nulos, por simetría, en ángulos a 180° de distancia, o\(\phi\) a ±194° y ±229°. Hay picos de ganancia cuando los dos rayos están en fase (\(\phi\)= 0° y 180°) y cuando difieren en fase en 2\(\pi\) o 4\(\pi\), lo que ocurre cuando\(\phi=\pm \sin ^{-1}(\lambda / 2 \lambda)=\pm 30^{\circ}\) y\(\phi\) = ±210°, o cuando\(\phi\) = ±90°, respectivamente. Los picos de ganancia son iguales porque todos corresponden a los dos rayos sumando coherentemente con las mismas magnitudes. Cuando L = λ/4 los dos rayos se suman en fase a\(\phi\) = 90° a lo largo del eje +y porque en esa dirección el retardo de fase equilibra el retraso de 90° que sufre el rayo del dipolo en el eje -y. A\(\phi\) = 270° estos dos retardos de 90 grados se suman en lugar de cancelar, por lo que los dos rayos se cancelan en esa dirección, produciendo un nulo perfecto.
Antenas de matriz con espejos
Una de las formas más sencillas de aumentar la ganancia de una antena dipolo corta es colocar un espejo detrás de ella para reforzar la radiación en la dirección de avance deseada y cancelarla detrás. La Figura 10.4.3 ilustra cómo un elemento de corriente corta I colocado cerca de una superficie plana perfectamente conductora se comportará como si el espejo fuera reemplazado por una corriente de imagen a igual distancia detrás del espejo y apuntando en la dirección opuesta paralela al espejo pero en la misma dirección normal al espejo. Los campos frente al espejo son idénticos con y sin el espejo si es suficientemente grande. Detrás del espejo los campos se acercan a cero, claro. Las corrientes de imagen y las cargas se discutieron en la Sección 4.2.
La Figura 10.4.3 (a) ilustra una forma común de aumentar la ganancia hacia delante de una antena dipolo colocándola λ/4 frente a un espejo plano y paralela a éste.
La corriente de imagen está desfasada 180 grados, por lo que el retardo λ/2 sufrido por el rayo de imagen lo lleva a la coherencia de fase con el rayo directo, duplicando efectivamente el campo lejano E ff y cuadruplicando la intensidad y ganancia G o relativa a la ausencia del espejo. En todas las direcciones más casi paralelas al espejo la fuente y la imagen están más casi desfasadas, por lo que la ganancia en esas direcciones disminuye en relación con la ausencia del espejo. La ganancia de antena resultante G (θ,\(\phi\)) se esboza en la Figura 10.4.3 (b), y no tiene lóbulos posteriores.
Para el caso donde la corriente dipolo\( \mathrm{\underline{I}_{2}=-\underline{I}_{1}}\) y\( \mathrm{kr}_{1}=\mathrm{kr}-(\pi / 2) \cos \beta\), el campo lejano en la dirección hacia adelante es la suma de las contribuciones de\(\underline{\mathrm I}_1 \) y\(\underline{\mathrm I}_2 \), según lo dado por (10.4.1):
\[\begin{align}\underline{\mathrm{\overline E}}_{\mathrm{ff}} &=\hat{\theta}\left(\mathrm{j} \eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / 2 \lambda \mathrm{r}\right) \sin \theta\left(\underline{\mathrm{I}}_{1} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{1}}+\underline{\mathrm{I}}_{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{2}}\right) \nonumber \\ &=\hat{\theta}\left(\mathrm{j} \eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / 2 \lambda \mathrm{r}\right) \sin \theta \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \underline{\mathrm{I}}_{1}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\pi / 2) \cos \beta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\pi / 2) \cos \beta)}\right.\\ &=-\hat{\theta}\left(\eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / \lambda \mathrm{r}\right) \sin \theta \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \underline{\textrm{I }}_{1} \sin [(\pi / 2) \cos \beta] \end{align}\]
Esta expresión revela que el patrón de antena no tiene lóbulos laterales y está pellizcado algo más en la dirección θ que en la dirección β (estas direcciones no son ortogonales). Un observador en el eje recibirá una señal polarizada z.
Los espejos también pueden ser parabólicos y enfocar la energía en el infinito, como se discute más adelante en la Sección 11.1. Las propiedades libres de lóbulos laterales de este dipolo-más-espejo lo convierten en una buena alimentación de antena para irradiar energía hacia reflectores parabólicos mucho más grandes.
Las antenas de automóviles a menudo son barras de metal delgadas de ~ 1 metro de largo colocadas perpendiculares a una superficie metálica aproximadamente plana en el automóvil; la varilla y la superficie plana están eléctricamente aisladas entre sí. La varilla es alimentada comúnmente por un cable coaxial, el conductor central se une a la base de la varilla y la funda se une a la carrocería adyacente del automóvil. Aproximadamente ¿cuál es la resistencia a la radiación y el patrón en la banda de transmisión de radio de 1 MHz, asumiendo que la placa plana es infinita?
Solución
La Figura 4.2.3 muestra cómo la imagen de una corriente que fluye perpendicular a un plano conductor fluye en la misma dirección que la corriente original, por lo que cualquier corriente que fluye en la varilla tiene una corriente de imagen que efectivamente duplica la longitud de esta antena. La longitud de onda a 1 MHz es de ~300 metros, mucho más larga que la antena, por lo que se aplica la aproximación del dipolo corto y la distribución de corriente en la varilla y su imagen se asemeja a la de la Figura 10.2.3; así d eff 1 metro y el patrón por encima del plano metálico es la mitad superior de la ilustrada en Figura 10.2.4. La resistencia a la radiación de una antena dipolo corto normal (10.3.16) es\(\mathrm{R}_{\mathrm{r}}=2 \mathrm{P}_{\mathrm{T}} /\left|\mathrm{I}_{\mathrm{o}}\right|^{2}=2 \eta_{\mathrm{o}} \pi\left(\mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / \lambda\right)^{2} / 3=0.0088\) ohmios para d eff = 1 metro. Aquí, sin embargo, la potencia total irradiada P T es la mitad de la irradiada por un dipolo corto de longitud 2 metros debido a que no hay potencia radiada por debajo del plano conductor, por lo que R r = 0.0044 ohmios. El tamaño finito de un automóvil efectivamente se deformará y acorta tanto la corriente de imagen como la longitud efectiva del dipolo, aunque el patrón de antena para una corriente recta siempre es dipolar por encima del plano de tierra.
Factores de elementos y matrices
La potencia radiada por las matrices de dipolos depende de las características direccionales de las antenas dipolares individuales, así como de su espaciado relativo a la longitud de onda λ. Por ejemplo, (10.4.3) puede generalizarse a N dipolos orientados de manera idéntica pero posicionados y excitados independientemente:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_\mathrm{ff} \cong\left[\hat{\theta} \frac{\mathrm{j} \eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}}}{2 \lambda \mathrm{r}} \sin \theta\right]\left[\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}} \mathrm{\underline I}_{\mathrm{i}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{\mathrm{i}}}\right]=\overline {\underline \varepsilon}(\theta, \phi) \underline{F}(\theta, \phi)\]
El factor de elemento\(\overline{\underline \varepsilon}(\theta, \phi) \) para la matriz de dipolos representa el comportamiento de un solo elemento, asumiendo que los elementos individuales están orientados de manera idéntica. El factor array,\(\underline{F}(\theta, \phi)=\mathrm{\sum_{i}^{N} \underline I_{i} \mathrm{e}^{-j k_{i}}}\), representa los efectos de las fortalezas relativas y la colocación de los elementos. La distancia entre el observador y cada elemento i de la matriz es r i, y el retardo de fase kr i = 2\(\pi\) r i /λ.
Considere el factor elemento en el plano x-y para los dos dipolos orientados en z de la Figura 10.4.4 (a).
Este factor de elemento\(\overline{\underline \varepsilon}(\theta, \phi) \) es constante, independiente de\(\phi\), y tiene un patrón circular. El patrón de antena total es\( |\overline{\underline \varepsilon}(\theta, \phi) \underline{F}(\theta, \phi)|^{2}\) donde el factor de matriz\( \underline{F}(\theta, \phi)\) controla el patrón de antena de matriz en el plano x-y para estos dos dipolos. El patrón de antena resultante\(|\underline{F}(\theta, \phi)|^{2} \) en el plano x-y se traza en la Figura 10.4.4 (a) y (b) para los casos especiales L = λ/2 y L = λ, respectivamente. Tanto el array como los factores de elemento contribuyen al patrón de esta antena en el plano x-z, estrechando su ancho de haz (no ilustrado).
La Figura 10.4.4 ilustra un caso en el que tanto el elemento como los factores de matriz son importantes; L = λ/2 aquí y los dipolos se alimentan 180 o fuera de fase. En este caso las señales fuera de fase de los dos dipolos se cancelan en todas partes en el plano x-y y se suman en fase a lo largo del eje z, correspondiente al factor de matriz trazado en la Figura 10.4.4 (b) para el plano y-z. Tenga en cuenta que cuando θ = 60 o los dos fasores están 45 o fuera de fase y\(|\underline{F}(\theta, \phi)|^{2} \) tiene la mitad de su valor pico. El factor elemento en el plano y-z aparece en la Figura 10.4.4 (c), y el patrón de antena discontinua\(|\underline{\varepsilon}(\theta) \underline{F}(\theta)|^{2} \propto \mathrm{G}(\theta) \) en la Figura 10.4.4 (d) muestra los efectos de ambos factores (solo se representa uno de los cuatro lóbulos). Este patrón de antena es una figura de revolución alrededor del eje z y se asemeja a dos conos redondeados anchos orientados en direcciones opuestas.
¿Cuáles son los factores de elemento y matriz para la matriz de dos dipolos para la primera parte del Ejemplo 10.4A?
Solución
De (10.4.5) el factor elemento para tales dipolos es\(\hat{\theta} \mathrm{j}\left(\eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / 2 \lambda \mathrm{r}\right) \sin \theta \). El último factor de (10.4.5) es el factor de matriz para tales matrices de dos dipolos:
\[\begin{aligned}\underline{F}(\theta, \phi) &=\underline{\mathrm{I}}\left(\mathrm{e}^{+0.5(\mathrm{j} 2 \pi 2 \lambda / \lambda) \sin \phi}+\mathrm{e}^{-0.5(\mathrm{j} 2 \pi 2 \lambda / \lambda) \sin \phi}\right) \\&=\left(\mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{jsin} \phi}+\mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{jsin} \phi}\right)=2\mathrm {\underline I}\cos (2 \pi \sin \phi)\end{aligned}\]
Matrices de dipolos uniformes
Las matrices de dipolos uniformes consisten en N antenas dipolo idénticas igualmente espaciadas en línea recta. Su excitación de corriente\(\underline{\mathrm I}_1 \) tiene magnitudes iguales para todos i, y un ángulo de fase que aumenta uniformemente en\(\psi\) radianes entre dipolos adyacentes. Los campos irradiados por la matriz se pueden determinar usando (10.4.5):
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_\mathrm{ff} \cong\left[\hat{\theta} \mathrm{j}\left(\eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{\mathrm{eff}} / 2 \lambda \mathrm{r}\right) \sin \theta\right]\left[\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}} \mathrm{\underline I}_{\mathrm{i}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{\mathrm{i}}}\right]=\overline{\underline{\varepsilon}}(\theta, \phi) \underline{F}(\theta, \phi)\]
El eje z se define por la orientación de los dipolos, que son todos paralelos a él. La disposición más simple de los dipolos es a lo largo de ese mismo eje z, como en la Figura 10.4.5, aunque (10.4.6) se aplica igualmente bien si los dipolos están espaciados en cualquier dirección arbitraria. La Figura 10.4.1 (a) ilustra el caso alternativo donde dos dipolos están espaciados a lo largo del eje y, y la Figura 10.4.2 muestra los efectos sobre los patrones.
Considere la matriz de elementos N para la Figura 10.4.5 (a). La diferencia principal entre estos casos de dos dipolos y matrices uniformes de N elementos radica en el factor de matriz:
\[\underline{F}(\theta, \phi)=\mathrm{\sum_{i=1}^{N} \underline I_{i} \mathrm{e}^{-j \mathrm{kr}_{i}}=\underline{I}_{0} \mathrm{e}^{-j \mathrm{kr}} \sum_{i=0}^{\mathrm{N}-1} \mathrm{e}^{j i \psi} \mathrm{e}^{j \mathrm{jka} \cos \theta}=\underline{I}_{0} \mathrm{e}^{-j \mathrm{kr}} \sum_{i=0}^{\mathrm{N}-1}\left[\mathrm{e}^{j(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta)}\right]^i}\]
La geometría ilustrada en la Figura 10.4.5 (a) produce una diferencia de fase de (\(\psi\)+ ka cosθ) entre las contribuciones de dipolos adyacentes.
Usando las dos identidades:
\[\mathrm{\sum_{i=0}^{N-1} x^{i}=\left(1-x^{N}\right) /(1-x)}\]
\[1-\mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{A}}=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{A} / 2}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{A} / 2}-\mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{A} / 2}\right)=-2 \mathrm{je}^{\mathrm{j} \mathrm{A} / 2} \sin (\mathrm{A} / 2)\]
(10.4.7) se convierte en:
\[\begin{align}\underline{F}(\theta, \phi) &=\underline{\mathrm{I}}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \frac{1-\mathrm{e}^{\mathrm{jN}}(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta)}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta)}} \nonumber\\&=\underline{\mathrm{I}}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \times \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{N}(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta) / 2}}{\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta) / 2}} \frac{\sin [\mathrm{N}(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta) / 2]}{\sin [(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta) / 2]}\end{align}\]
Dado que el factor de elemento es independiente de\(\phi\), la ganancia de la antena tiene la forma:
\[\mathrm{G}(\theta) \propto|\underline{F}(\theta, \phi)|^{2} \propto \frac{\sin ^{2}[\mathrm{N}(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta) / 2]}{\sin ^{2}[(\psi+\mathrm{ka} \cos \theta) / 2]}\]
Si los elementos se excitan en fase (\(\psi\)= 0), entonces la ganancia máxima es anchas con θ = 90 0, porque solo en esa dirección todos los rayos N se suman en fase perfecta. En este caso los primeros nulos θ primer nulo delimitando el haz principal ocurren cuando el numerador de (10.4.11) es cero, lo que sucede cuando:
\[\frac{\mathrm{N}}{2} \mathrm{ka} \cos \theta_{\text {first null }}=\pm \pi\]
Obsérvese que el factor ka = 2\(\pi\) a/λ está en unidades de radianes, y por lo tanto\(\cos \theta_{\text {first null }}=\pm \lambda /\mathrm{ N a} \). Si\( \theta_{\text {first null }} \equiv \pi / 2 \pm \theta_{\mathrm{fn}}\) donde θ fn es el ángulo nulo medido desde el plano x-y en lugar del eje z, entonces tenemos\(\cos \theta_{\text {first null }}=\sin \theta_{\mathrm{fn}} \cong \theta_{\mathrm{fn}} \) y:
\[\theta_{\mathrm{fn}} \cong \pm \lambda / \mathrm{Na} \ [\text { radians }]\]
El siguiente argumento geométrico simple da la misma respuesta. La Figura 10.4.5 (b) muestra que el primer nulo de esta matriz de 6 dipolos ocurre cuando los rayos del primer y cuarto elemento dipolo cancelan, para entonces los rayos del segundo y quinto, y el tercero y sexto también cancelarán. Esta cancelación total se produce cuando el retardo entre el primer y el cuarto rayo es λ/2, que corresponde al ángulo\(\theta_{\mathrm{fn}}=\pm \sin ^{-1}[(\lambda / 2) /(\mathrm{aN} / 2)] \cong \pm \lambda / \mathrm{aN}\).
El ángulo θ fn entre el eje del haz y el primer nulo es aproximadamente el ancho de haz de media potencia θ B de una matriz de antenas de N-elementos. La ganancia de antena G (θ) asociada a (10.4.11) para N = 6,\(\psi\) = 0, y a = λ/2 se esboza en la Figura 10.4.6 (a), junto con los cuadrados del factor de matriz [de (10.4.10)] y factor elemento [de (10.4.6)]. En este caso\(\theta_{\mathrm{fn}}=\pm \sin ^{-1}(2 / \mathrm{N}) \cong \pm 2 / \mathrm{N} \text { radians } \cong \theta_{\mathrm{B}}\).
Si\(\psi\) ≠ 0 para que la fase de excitación varíe linealmente a través de la matriz, entonces el haz principal y el resto del patrón son “entrecerrados” o “escaneados” a un lado por ángulo\(\alpha\). Dado que un retardo de fase de\(\psi\) es equivalente a un retardo de trayectoria de\(\delta\), donde\(\psi\) = k\(\delta\), y dado que la distancia entre dipolos adyacentes es a, se deduce que los rayos adyacentes para un haz escaneado estarán en fase en ángulo\(\theta=\pi / 2+ \sin ^{-1}(\delta / a)=\pi / 2+\alpha\), donde:
\[\alpha=\sin ^{-1}(\delta / \mathrm{a})=\sin ^{-1}(\psi \lambda / 2 \pi \mathrm{a}) \qquad\qquad\qquad(\text { scan angle })\]
como se esboza en la Figura 10.4.6 (b) para el caso\(\psi\) = 2 radianes, a = λ/2,\(\alpha\) y 40 o.
Tenga en cuenta que las separaciones de elementos más grandes pueden producir múltiples lóbulos principales separados por otros más pequeños. Lóbulos principales adicionales aparecen cuando el argumento (\(\psi\)+ ka cosθ) /2 en el denominador de (10.4.11) es un múltiplo integral de\(\pi\) por lo que el denominador es cero; el numerador es cero en los mismos ángulos, por lo que la relación es finita aunque grande. Para evitar múltiples lóbulos principales, el espaciado debe ser < λ, o incluso < λ/2 si se escanea la matriz.
Una fila uniforme de 100 antenas dipolo orientadas a x se encuentra a lo largo del eje z con espaciamiento entre dipolos a = 2λ. ¿En qué ángulos θ en el plano y-z es la ganancia máxima? Vea la Figura 10.4.5 para la geometría, pero tenga en cuenta que los dipolos para nuestro problema están orientados a x en lugar de orientados a z. ¿Cuál es el ángulo\(\delta\) entre los dos nulos adyacentes a θ\(\pi\) /2? ¿Cuál es la diferencia de ganancia\(\delta\) G (dB) entre el lóbulo principal a θ =\(\pi\) /2 y sus lóbulos laterales inmediatamente adyacentes? ¿Qué diferencia en la fase de excitación\(\psi\) entre dipolos adyacentes se requiere para escanear estos lóbulos principales 10° a un lado?
Solución
La ganancia es máxima cuando los rayos de los dipolos adyacentes se suman en fase, y por lo tanto todos los rayos se suman en fase. Esto ocurre a θ = 0, ±\(\pi\) /2, y ±sin −1 (λ/a) 30° [ver Figura 10.4.5 (b) para la geometría aproximada, donde queremos un retraso de fase de λ para lograr un máximo de ganancia]. Los nulos más cercanos θ =\(\pi\) /2 ocurren a ese θ fn cuando los rayos de los dipolos primero y 51 primero cancelan [ver texto después de (10.4.13)], o cuando\(\theta_{\mathrm{fn}}=\frac{\pi}{2} \pm \sin ^{-1}\left(\frac{\lambda / 2}{\mathrm{aN} / 2}\right)=\frac{\pi}{2} \pm \sin ^{-1}\left(\frac{\lambda / 2}{2 \lambda \mathrm{N} / 2}\right) \cong \frac{\pi}{2} \pm \frac{1}{2 \mathrm{N}}\); así\(\delta\) = 1/N radianes 0.57 o. Los factores de matriz para este problema y la Figura 10.4.5 (a) son los mismos, por lo que se aplica (10.4.10). Cerca de θ\(\pi\) /2 el factor elemento es aproximadamente constante y, por lo tanto, puede ignorarse porque solo buscamos relaciones de ganancia. Definimos β≡\(\pi\) /2 − θ así que cos θ se convierte en pecado β. Por lo tanto (10.4.11) se convierte en\(\mathrm{G}_{\mathrm{o}}(\theta) \propto|\mathrm{F}(\theta, \phi)|^{2} \propto \sin ^{2}(\mathrm{Nk} \lambda \sin \beta) / \sin ^{2}(\mathrm{k} \lambda \sin \beta) \) donde\(\psi=0 \). \(\beta<<1\), entonces\( \sin \beta \cong \beta\). Del mismo modo,\(\mathrm{k} \lambda \beta<<1 \) así\( \sin (\mathrm{k} \lambda \beta) \cong \mathrm{k} \lambda \beta\). Así\(\mathrm{G}_{\mathrm{o}}(\beta=0) \propto \sim(\mathrm{Nk} \lambda \beta)^{2} /(\mathrm{k} \lambda \beta)^{2}=\mathrm{N}^{2} \), y el primer pico adyacente en ganancia se produce cuando\( \mathrm{Nk} \lambda \sin \beta_{\text {first peak }}=1\), así\( \mathrm{G}\left(\beta=\beta_{\text {first peak }}\right) \propto \sim\left(\mathrm{k} \lambda \beta_{\text {first peak }}\right)^{-2}\). El numerador es unidad cuando\( \mathrm{Nk} \lambda \beta_{\text {first peak }} \cong 3 \pi / 2\), o\(\beta_{\text {first peak }} \cong 3 \pi / 2 \mathrm{Nk} \lambda=3 /(4 \mathrm{N}) \). Por lo tanto\( \mathrm{G}\left(\beta=\beta_{\text {first peak }}\right) \propto \sim(2 \pi 3 / 4 \mathrm{N})^{-2} \cong 0.045 \mathrm{N}^{2}\), que es\( 10 \log _{10}(0.045)=-13.5 \ \mathrm{dB}\) relativo al pico N 2. Un ángulo de escaneo de 10° requiere que los rayos de los dipolos adyacentes estén en fase en ese ángulo, y por lo tanto los\(\delta\) medidores de retraso físico entre los dos rayos deben satisfacer\( \sin \beta_{\mathrm{scan}}=\delta / \mathrm{a}=\delta / 2 \lambda\). El retraso de fase correspondiente en el dipolo principal es\( \psi=\mathrm{k} \delta=(2 \pi / \lambda)\left(2 \lambda \sin \beta_{\mathrm{scan}}\right)=4 \pi \sin \left(10^{\circ}\right) \mathrm{radians}=125^{\circ}\).
Adición de fasores en antenas de matriz
La adición de fasores puede ser una herramienta útil para analizar antenas. Considere la matriz de dipolos lineales de la Figura 10.4.5, que consiste en N antenas dipolo orientadas en Z idénticas espaciadas a una distancia igual a lo largo del eje z. En la dirección θ desde el eje z, el factor de matriz es la suma de los fasores emitidos desde cada dipolo. La Figura 10.4.6 (a) muestra esta suma\(\underline{\mathrm{A}} \) para el plano x-y (θ = 90°) cuando los dipolos están todos excitados en fase y N = 8. Esto produce la máxima ganancia posible para esta antena. A medida que θ se aleja de 90° (radiación de lado ancho) los fasores giran cada uno de manera diferente y se suman para formar una suma progresivamente más pequeña\( \underline{\mathrm{B}}\). Cuando el fasor total\(\underline{\mathrm{B}} \) corresponde a\(\delta\)\(\phi\) = rezago de 5 grados por cada contribución sucesiva, entonces\(\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{5}{360} \frac{\lambda}{\mathrm{a}}\right) \). La Figura 10.4.6 (b, c y d) muestra la suma\(\underline{\mathrm B}\) cuando\(\delta\)\(\phi\) es 45°, 72° y 90°, respectivamente. La ganancia de la antena es proporcional a\( |\underline{\mathrm B}|^{2}\). Las figuras (b) y (d) corresponden a ángulos de radiación θ que producen nulos en el patrón\( (|\underline{\mathrm B}|=0)\), mientras que (c) está cerca de un máximo local en el patrón de antena. Porque\(\mid \underline{\mathrm C} \mid \) es\(\sim 0.2|\mathrm{\underline A}| \), la ganancia de este lóbulo lateral es ~0.04 veces la ganancia máxima\( \left(|\underline{C}|^{2} \cong 0.04|\underline{A}|^{2}\right)\), o ~14 dB más débil. 54 Los ángulos espaciales θ correspondientes a (a) - (d) dependen de la distancia interdipolo 'a'.
Si a = 2λ, entonces los ángulos θ del eje z que corresponden al fasor\( \underline{\mathrm{A}}\) en la Figura 10.4.7 (a) son 0°, 60°, 90°, 120° y 180°; los picos a 0 y 180° caen sobre el nulo del factor elemento y pueden ignorarse. El ángulo desde el eje de la matriz es θ, y 'a' es el espaciado entre elementos, como se ilustra en la Figura 10.4.5. Los ángulos θ = 0° y 180° corresponden a\( \cos ^{-1}(2 \lambda / 2 \lambda)\),, mientras que θ = 60° y θ = 120° corresponden a\(\cos ^{-1}(\lambda / 2 \lambda) \), y θ = 90° corresponde a\( \cos ^{-1}(0 / 2 \lambda)\); el numerador en el argumento de cos -1 es la distancia de retardo en dirección θ, y el denominador es el espaciamiento de elementos 'a'. Así, esta antena tiene tres picos iguales en ganancia: θ = 60, 90 y 120°, junto con numerosos lóbulos laterales más pequeños entre esos picos.
54 dB ≡ 10 log 10 N, por lo que N = 0.04 corresponde a ~-14 dB.
Cuatro pequeños lóbulos laterales ocurren entre los picos adyacentes a 60°, 90° y 120°. El primer lóbulo lateral se produce en cada caso para\(\phi\) 70° como se ilustra en la Figura 10.4.2 (c), es decir, aproximadamente a mitad de camino entre los nulos a\(\phi\) = 45° [Figura 10.4.2 (b)] y\(\phi\) = 90° [Figura 10.4.2 (d)], y el segundo lóbulo lateral se produce para\(\phi\) 135°, entre los nulos para\(\phi\) = 90° [Figura 10.4.2 (d)] y\(\phi\) = 180° (no ilustrado). Consideremos, por ejemplo, el lóbulo principal del lado ancho a θ = 90°; para este caso\(\phi\) = 0°. A medida que θ disminuye de 90° hacia cero,\(\phi\) aumenta hacia 45°, donde el primer nulo ocurre como se muestra en (b); el correspondiente\(\theta_{\text {null }}=\cos ^{-1}[(\phi \lambda / 360) / 2 \lambda]=86.4^{\circ} \). El denominador 2λ en el argumento es nuevamente el espaciado entre elementos. El primer lóbulo lateral ocurre cuando\(\phi\) 72° como se muestra en (c), y\( \theta \cong \cos ^{-1}[(\phi \lambda / 360) / 2 \lambda]=84.4^{\circ}\). El siguiente nulo ocurre a\(\phi\) = 90° como se muestra en (d), y\(\theta_{\text {null }}=\cos ^{-1}[(\phi \lambda / 360) / 2 \lambda]=82.8^{\circ} \). El segundo lóbulo lateral se produce\(\phi\) para 135°, seguido de un nulo cuando\(\phi\) = 180°. El tercer y cuarto lóbulos laterales se producen para\(\phi\) 225° y 290° a medida que los patrones de fasores se repiten en secuencia inversa: (d) es seguido por (c) y luego (b) y (a) a medida que θ continúa disminuyendo hacia el segundo lóbulo principal a θ = 60°. Por lo tanto, todo el patrón de ganancia tiene tres picos principales a 60, 90 y 120°, típicamente separados por cuatro lóbulos laterales más pequeños que intervienen entre cada par principal, y también agrupados cerca de θ = 0° y 180°.
¿Cuál es la ganancia G S del primer lóbulo lateral de una matriz de dipolos lineales de n elementos con respecto al lóbulo principal G o como n → ∞?
Solución
Haciendo referencia a la Figura 10.4.7 (c), vemos que como n→∞ el primer lóbulo lateral tiene un campo eléctrico E FFs que es el diámetro del círculo formado por los n fasores cuando\(\mathrm{\sum_{i=1}^{n}\left|\underline{E}_{i}\right|}= \mathrm{E_{f f o}}\) es ~1.5 veces la circunferencia de ese círculo, o\(\). La relación de las ganancias es por lo tanto\(\mathrm{G}_{\mathrm{S}} / \mathrm{G}_{\mathrm{o}}=\left|\mathrm{E}_{\mathrm{ffs}} / \mathrm{E}_{\mathrm{ffo}}\right|^{2}=(1 / 1.5 \pi)^{2}=0.045\), o -13.5 dB.
Matrices de antenas multihaz
Algunas matrices de antenas están conectadas para producir varios haces independientes orientados en diferentes direcciones simultáneamente; las antenas de radar de matriz en fase y las estaciones base de telefonía celular son ejemplos comunes. Cuando se utilizan múltiples antenas para la recepción, cada una puede filtrarse y amplificarse antes de agregarlas de tantas formas diferentes como se desee. En ocasiones estas combinaciones son predeterminadas y fijas, y a veces se ajustan en tiempo real para colocar nulos en fuentes de interferencia o para colocar máximos en transmisores de interés, o para hacer ambas cosas.
El siguiente ejemplo de telefonía celular ilustra algunos de los problemas de diseño. El tema impulsor aquí es el serio límite a la capacidad de la red impuesto por el ancho de banda limitado disponible en frecuencias adecuadas para entornos urbanos. El espectro mucho más amplio disponible en las bandas de onda centímetro y milimétrica se propaga principalmente a la línea de visión y no es muy útil para aplicaciones móviles; en su lugar se utilizan frecuencias más bajas que difractan bien, aunque el ancho de banda disponible es menor. La solución es reutilizar las mismas frecuencias bajas múltiples veces, incluso dentro de la misma pequeña área geográfica. Esto se logra usando antenas de matriz que pueden tener múltiples entradas y salidas.
Una cara típica de una antena de estación base celular tiene 3 o 4 elementos que irradian solo hacia el medio espacio delantero. También podrían tener un circuito de combinación que forme dos o más haces deseados. Una forma alternativa de usar estas matrices basadas en la conmutación se describe más adelante. Tres de tales caras, como las ilustradas en la Figura 10.4.8 (a) con cuatro elementos espaciados a 3λ, podrían estar dispuestas en un triángulo y producir dos conjuntos de lóbulos de antena, por ejemplo, el conjunto\(\phi\) = 0 y el\(\pi\) conjunto\(\phi\) = indicados en (b) por líneas rellenas y discontinuas, respectivamente.
Como antes,\(\phi\) es la diferencia de ángulo de fase introducida entre los elementos de antena adyacentes. Las separaciones interantenas de 3λ dan como resultado solo 5 lóbulos principales por cara, ya que los dos picos en el plano de cada cara son aproximadamente cero para factores de elemento típicos. Entre cada par de picos hay dos pequeños lóbulos laterales, aproximadamente 14 dB más débiles como se muestra arriba.
Estos dos conjuntos (\(\phi\)= 0,\(\phi\) =\(\pi\)) pueden compartir las mismas frecuencias porque las técnicas de comunicación digital pueden tolerar señales superpuestas si una es más de ~10-dB más débil. Dado que cada cara de la antena se puede conectar simultáneamente a dos receptores independientes y dos transmisores independientes, hasta seis llamadas podrían usar simultáneamente la misma banda de frecuencia, dos por cara. Sin embargo, una sola cara normalmente no transmitiría y recibiría simultáneamente la misma frecuencia. Las posiciones de los lóbulos también se pueden escanear en ángulo\(\phi\) variando para llenar cualquier valor nulo. Diseñar tales antenas para maximizar la reutilización de frecuencias requiere cuidado y debe adaptarse a la distribución de los usuarios dentro del entorno local. En entornos sin obstrucciones no hay un límite fuerte en el número de elementos y haces independientes que se pueden usar por cara, o al grado de reutilización de frecuencia. Además, la mitad de los haces podrían polarizarse de una manera, digamos circular a la derecha u horizontal, y la otra mitad podría polarizarse con la polarización ortogonal, duplicando así nuevamente el número de posibles usuarios de las mismas frecuencias. La diversidad de polarización funciona mal para los teléfonos celulares, sin embargo, porque los usuarios orientan sus antenas dipolo como deseen.
En la práctica, la mayoría de las torres celulares urbanas actualmente no ponen en fase sus antenas como se muestra anteriormente debido a que muchos entornos sufren severos efectos multitrayecto donde las versiones reflejadas de las mismas señales llegan a la torre receptora desde muchos ángulos con retardos variables. El resultado es que en cada elemento de antena los fasores que llegan desde diferentes direcciones con diferentes fases y amplitudes se sumarán para producir una amplitud de señal neta que puede ser grande o pequeña. Como resultado, uno de los elementos orientados a una dirección particular puede tener una relación señal/interferencia que es más de 10 dB más fuerte que otro solo por esta razón, a pesar de que los elementos de antena están a solo unas pocas longitudes de onda de distancia en un entorno local libre de obstaculos. Las señales tienen diferentes retardos diferenciales a diferentes frecuencias y, por lo tanto, sus valores máximos sumados en cada elemento de antena dependen de la frecuencia. La estrategia de uso de antenas en este caso es asignar a los usuarios a frecuencias y elementos individuales que se observen como fuertes para ese usuario, de manera que otro usuario pueda superponerse en la misma frecuencia mientras se usa un elemento de antena diferente apuntando en la misma dirección. La misma estrategia de frecuencia-reutilización también funciona cuando se transmite debido a la reciprocidad.
Que las intensidades de la señal dependen de la frecuencia en entornos multitrayecto se ve fácilmente considerando que una antena recibe tanto la señal directa de línea de visión con retardo t1 como una segunda señal reflejada con intensidad y retardo t 2 comparables. Si el retardo diferencial c (t 2 - t 1) = nλ = D para el entero n, entonces las dos señales se sumarán en fase y se reforzarán entre sí. Si el lag D = (2n + 1) λ/2, entonces cancelarán parcial o completamente. Si D = 10λ y la frecuencia f aumenta un 10 por ciento, entonces el retraso medido en longitudes de onda también cambiará 10 por ciento ya que la suma hace un ciclo completo de pico a pico con un nulo entre. Así, la brecha entre los nulos de frecuencia es ~\(\delta\) f = f (λ/D) = C/d Hz. La profundidad del nulo depende de las magnitudes relativas de los dos rayos que interfieren. A medida que aumenta el número de rayos, la estructura de frecuencias se vuelve más compleja. Este fenómeno de señales que se desvanecen en frecuencia y tiempo a medida que cambian las trayectorias y las frecuencias se denomina desvanecimiento multitrayecto.