11.1: Antenas de Apertura y Difracción

Introducción

Las antenas acoplan circuitos a la radiación, y viceversa, a longitudes de onda que pueden extenderse hacia la región infrarroja y más allá. La salida de una antena es un voltaje o campo proporcional a la intensidad del campo de entrada\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{t}) \) y a la misma frecuencia. Por esta definición, los dispositivos que simplemente amplifican, detectan o mezclan señales no son antenas porque no conservan la fase y la frecuencia, aunque generalmente están conectados a las salidas de las antenas. Por ejemplo, algunos sensores simplemente detectan el aumento de la temperatura y el calentamiento causados por las ondas entrantes. El capítulo 10 introdujo antenas de dipolo corto y bucle pequeño, y matrices de las mismas. El Capítulo 11 continúa con una discusión introductoria de antenas de apertura y difracción en la Sección 11.1, y de antenas de alambre en 11.2. Luego se discuten las aplicaciones en la Sección 11.4 después de estudiar los conceptos básicos de propagación de olas y emisión térmica en la Sección 11.3. Estas aplicaciones incluyen comunicaciones, radar y LIDAR, radioastronomía y teledetección. La mayoría de las aplicaciones ópticas se aplazan al Capítulo 12.

Difracción por Aperturas

Las ondas planas que pasan por aberturas finitas emergen propagándose en todas las direcciones mediante un proceso llamado difracción. Las antenas que irradian o reciben ondas planas dentro de aberturas finitas son antenas de apertura. Los ejemplos incluyen las antenas reflectoras parabólicas utilizadas para radioastronomía, radar y recepción de señales de televisión por satélite, así como las lentes y aberturas finitas empleadas en cámaras, microscopios, telescopios y muchos sistemas de comunicaciones ópticas. Como en el caso de las antenas dipolo; asumimos reciprocidad y conocimiento de los campos fuente o corrientes equivalentes.

Dado que ya hemos derivado expresiones para campos irradiados por distribuciones corrientes arbitrarias, un enfoque para encontrar campos radiados por abertura es determinar distribuciones actuales equivalentes a los campos de apertura dados. Entonces estas corrientes equivalentes pueden ser reemplazadas por una matriz continua de dipolos hertzianos para los cuales conocemos los campos lejanos radiados.

Considere una hoja de corriente uniforme\(\overline{\underline{\mathrm J}} \) [A m ^-1] que ocupa el plano x-z, como se ilustra en la Figura 11.1.1. Las ecuaciones de Maxwell son satisfechas por:

\[\underline{\mathrm{\overline E}}=\hat{z} \mathrm{\underline E}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{jky}} \qquad \underline{\mathrm{\overline H}}=\hat{x}\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}} / \eta_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{jky}} \qquad(\text { for } \mathrm{y}>0)\]

\[\overline{\mathrm{\underline E}}=\hat{z} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{ky}} \qquad \overline{\mathrm{\underline H}}=-\hat{x}\left(\mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} / \eta_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{ky}} \qquad(\text { for } \mathrm{y}<0)\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Radiación de apertura de una hoja de corriente equivalente.

El campo eléctrico\( \mathrm{\hat{z} \underline{E}_{0} \equiv \overline{\underline E}_{0}}\) debe cumplir la condición límite (2.6.11) que:

\[\overline{\mathrm{\underline J}}_{\mathrm{S}}=\hat{y} \times\left[\overline{\mathrm{\underline H}}\left(\mathrm{y}=0_{+}\right)-\overline{\mathrm{\underline H}}\left(\mathrm{y}=0_{-}\right)\right]=\hat{y} \times\left[\hat{x} \frac{\mathrm{\underline E}_{0}}{\eta_{\mathrm{o}}}+\hat{x} \frac{\mathrm{\underline E}_{0}}{\eta_{\mathrm{o}}}\right]\]

\[\overline{\mathrm{\underline J}}_{\mathrm{S}}=-\hat{z} 2 \frac{\mathrm{\underline E}_{0}}{ \underline{\eta_{\mathrm{o}}}}=-2 \frac{\overline{\mathrm{\underline E}}_{0}}{\eta_{\mathrm{o}}}\left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]

Por lo tanto, podemos considerar cualquier onda plana que emerge de una abertura como emanada de una hoja de corriente equivalente\( \underline{\mathrm{\overline J}}_{\mathrm{\underline S}}\) dada por (11.1.4) siempre que descuidemos la radiación de las cargas y corrientes inducidas en los bordes de la abertura. Generalmente se pueden descuidar si la apertura es grande en comparación con una longitud de onda y si permanecemos cerca del eje y en la dirección de propagación, porque entonces el área de apertura domina el área radiante observable. Esta aproximación (11.1.4) para una apertura finita es válida incluso si la fuerza de la onda plana varía lentamente a través de la abertura en relación con una longitud de onda.

La hoja de corriente equivalente (11.1.4) irradia según (11.1.5) [de (10.2.8)], donde representamos la hoja actual por una matriz equivalente de dipolos hertzianos de longitud dz y corriente\( \mathrm{\overline{\underline I}=\underline{\overline J}_{s} d x}\):

\[\overline{\mathrm{\underline E}}=\hat{\theta} \frac{\mathrm{jk} \mathrm{\underline{I}d} \eta_{\mathrm{o}}}{4 \pi \mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \sin \theta \qquad \qquad \qquad \text{(far-field radiation) }\]

Los campos lejanos irradiados por la hoja de corriente polarizada z\( \mathrm{\overline{\mathrm{\underline J}}_S (x,z)}\) en la abertura A son entonces:

\[\begin{align}\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}(\theta, \phi) & \cong \hat{\theta} \frac{\mathrm{j} \eta_{\mathrm{o}}}{2 \lambda \mathrm{r}} \sin \theta \int_{\mathrm{A}} \underline{\mathrm{J}}_{\mathrm{Z}}(\mathrm{x}, \mathrm{z}) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}(\mathrm{x}, \mathrm{z})} \mathrm{d} \mathrm{x} \ \mathrm{dz} \nonumber \\& \cong-\hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{\lambda \mathrm{r}} \sin \theta \int_{\mathrm{A}} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}(\mathrm{x}, \mathrm{z})} \mathrm{dx} \ \mathrm{dz}\end{align}\]

Para simplificar la integral podemos suponer que todos los rayos son paralelos usando la aproximación de campo lejano de Fraunhofer:

\[\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}(\mathrm{x}, \mathrm{z})} \cong \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{\mathrm{o}}} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{k} \hat{r} \bullet \mathrm{r}^{\prime}} \qquad\qquad\qquad(\textit{Fraunhofer approximation})\]

donde definimos la posición dentro de la abertura\( \overline{\mathrm{r}}^{\prime} \equiv \mathrm{x} \hat{x}+\mathrm{z} \hat{z}\), y la distancia\( \mathrm{r_{0}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{0.5}}\). La aproximación Fraunhofer se utiliza generalmente cuando\( \mathrm{r}_{\mathrm{o}}>2 \mathrm{L}^{2} / \lambda\). Entonces:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}(\theta, \phi) \cong-\hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{\lambda \mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{\mathrm{o}}} \sin \theta \int_{\mathrm{A}} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{oz}}(\mathrm{x}, \mathrm{z}) \mathrm{e}^{+j k \hat{r} \bullet \mathrm {\overline r}^\prime} \mathrm{dx} \ \mathrm{dz}\]

Aquellos puntos en el espacio demasiado cerca de la abertura para que se aplique la aproximación de Fraunhofer se encuentran en la región de Fresnel donde r < ~ ^2L 2/λ, como se muestra en (11.1.4). Si nos limitamos a ángulos cercanos al eje y podemos definir los ángulos\( \alpha_{\mathrm x}\) y\( \alpha_{\mathrm z}\) desde el eje y en las direcciones x y z, respectivamente, como se ilustra en la Figura 11.1.1, de manera que:

\[\mathrm{\hat{r} \bullet \bar{r}^{\prime} \cong x \sin \alpha_{x}+z \sin \alpha_{z} \cong x \alpha_{x}+z \alpha_{z}}\]

Por lo tanto, cerca del eje y (11.1.8) se puede aproximar ⁵⁵ como:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}\left(\alpha_{\mathrm{x}}, \alpha_{\mathrm{z}}\right) \cong-\hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{\lambda \mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{\mathrm{o}}} \int_{\mathrm{A}} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{oz}}(\mathrm{x}, \mathrm{z}) \mathrm{e}^{+\mathrm{j} 2 \pi\left(\mathrm{x} \alpha_{\mathrm{x}}+\mathrm{z} \alpha_{\mathrm{z}}\right) / \lambda} \mathrm{dx} \ \mathrm{dz}\]

que es la transformada de Fourier de la distribución del campo de apertura\(\mathrm{\underline{E}_{o z}(x, z)} \), multiplicada por un factor que depende de la distancia r y la longitud de onda λ. A diferencia de la transformada habitual de Fourier para convertir señales entre los dominios de tiempo y frecuencia, esta transformada reversible en (11.1.10) se encuentra entre el dominio espacial de apertura y el dominio angular de campo lejano.

⁵⁵ En la aproximación de Huygen se agrega un factor de (1 + cos\(\alpha\)) /2 para mejorar la precisión, pero esto tiene poco impacto cerca del eje y. En esta expresión α es el ángulo desde la dirección de propagación (eje y) en cualquier dirección.

Como referencia, la transformada de Fourier para señales es:

\[\mathrm{\underline{S}(f)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j 2 \pi f t} d t}\]

\[\mathrm{s(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \underline{S}(f) e^{j 2 \pi f t} d f}\]

La transformada de Fourier (11.1.11) tiene exactamente la misma forma que la integral de (11.1.10) si reemplazamos las coordenadas de apertura x y z con sus equivalentes normalizados de longitud de onda x/λ y z/λ, análogos al tiempo t; α es análogo a la frecuencia f.

Supongamos que la abertura de la Figura 11.1.1 es polarizada en z\(\mathrm{L}_{\mathrm{x}} \times \mathrm{L}_{\mathrm{z}}\), tiene dimensiones y está uniformemente iluminada con amplitud\(\mathrm{\underline E}_{0}\). Entonces sus campos lejanos se pueden calcular usando (11.1.10):

\[\underline{\mathrm{\overline E}}_{\mathrm{ff}}\left(\alpha_{\mathrm{x}}, \alpha_{\mathrm{z}}\right) \cong-\hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{\lambda \mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{\mathrm{o}}} \int_{-\mathrm{L}_{\mathrm{z}} / 2}^{+\mathrm{L}_{\mathrm{z}} / 2} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} 2 \pi \alpha_{\mathrm{z}} \mathrm{z} / \lambda} \int_{-\mathrm{L}_{\mathrm{x}} / 2}^{+\mathrm{L}_{\mathrm{x}} / 2} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}}(\mathrm{x}, \mathrm{z}) \mathrm{e}^{+\mathrm{j} 2 \pi \alpha_{\mathrm{x}} \mathrm{x} / \lambda} \mathrm{dx} \ \mathrm{dz}\]

La integral interna rinde:

\[\begin{align}\int_{-\mathrm{L}_{\mathrm{x}} / 2}^{+\mathrm{L}_{\mathrm{x}} / 2} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}}(\mathrm{x}, \mathrm{z}) \mathrm{e}^{+\mathrm{j} 2 \pi \alpha_{\mathrm{x}} \mathrm{x} / \lambda} \mathrm{dx} &=\mathrm{\underline E}_{\mathrm o} \frac{\lambda}{\mathrm{j} 2 \pi \alpha_{\mathrm{x}}}\left[\mathrm{e}^{+\mathrm{j} \pi \alpha_{\mathrm{x}} \mathrm{L}_{\mathrm{x}} / \lambda}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \pi \alpha_{\mathrm{x}} \mathrm{L}_{\mathrm{x}} / \lambda}\right] \nonumber \\&=\mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} \frac{\sin \left(\pi \alpha_{\mathrm{x}} \mathrm{L}_{\mathrm{x}} / \lambda\right)}{\pi \alpha_{\mathrm{x}} / \lambda}\end{align}\]

La integral externa produce un resultado similar, por lo que el campo lejano es:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}(\theta, \phi) \cong-\hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{\lambda \mathrm{r}} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{oz}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{\mathrm{o}}} \bullet \mathrm{L}_{\mathrm{x}} \mathrm{L}_{\mathrm{z}} \frac{\sin \left(\pi \alpha_{\mathrm{x}} \mathrm{L}_{\mathrm{x}} / \lambda\right)}{\pi \alpha_{\mathrm{x}} \mathrm{L}_{\mathrm{x}} / \lambda} \frac{\sin \left(\pi \alpha_{\mathrm{z}} \mathrm{L}_{\mathrm{z}} / \lambda\right)}{\pi \alpha_{\mathrm{Z}} \mathrm{L}_{\mathrm{z}} / \lambda}\]

La potencia total P _t radiada a través de la abertura es simplemente\(\mathrm{A}\left|\mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}}\right|^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}} \), donde A = L _x L _z, por lo que la ganancia de antena\(\mathrm{G}\left(\alpha_{\mathrm{X}}, \alpha_{\mathrm{Z}}\right)\) dada por (10.3.1) es:

\ [\ begin {align}
\ mathrm {G}\ left (\ alpha_ {\ mathrm {x}},\ alpha_ {\ mathrm {z}}\ derecha) &\ cong\ frac {\ izquierda|\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {ff}}\ izquierda (\ alpha_ {\ mathrm {x}},\ alpha_ {\ mathrm {z}}\ derecha)\ derecha|^ {2}/2\ eta_ {\ mathrm {o}}} {\ mathrm {P} _ {\ mathrm {t}}/4\ pi\ mathrm {r} ^ {2}}\\
&\ cong\ mathrm {A}\ frac {4\ pi} {\ lambda^ {2}}\ izquierda (\ frac {\ sin ^ {2}\ izquierda (\ pi\ alpha_ {\ mathrm {x}}\ mathrm {L} _ {\ mathrm {x}}/\ lambda\ derecha)} {\ izquierda (\ pi\ alpha_ {\ mathrm {x}}\ mathrm {x}\ mathrm {L} _ {\ mathrm {x}}/\ lambda\ derecha) ^ {2}}\ derecha)\ izquierda (\ frac {\ sin ^ {2}\ izquierda (\ pi\ alpha_ {\ mathrm {z}}\ mathrm {L} _ _ {\ mathrm {z}}/\ lambda\ derecha)} {\ izquierda (\ pi\ alpha_ {\ mathrm {z}}\ mathrm {L} _ {\ mathrm {z}}/\ lambda\ derecha) ^ {2}}\ derecha)
\ end {align}\]

La función (sin x) /x aparece tan a menudo en ingeniería eléctrica que tiene su propio símbolo 'sinc (x) '. Tenga en cuenta que sinc (0) = 1 ya que\(\mathrm{\sin (x) \cong x-\left(x^{3} / 6\right) \text { for } x<<1} \). Este patrón de ganancia se representa en la Figura 11.1.2. Los primeros nulos ocurren cuando\(\pi \alpha_{1} \mathrm{L}_{\mathrm{i}} / \lambda=\pi \) (i = x o z), y por lo tanto\(\alpha_{\text {null }}=\lambda / \mathrm{L} \) donde un ancho de haz más estrecho α corresponde a una apertura más ancha L. La ganancia en el eje es:

\[\mathrm{G}(0,0)=\frac{4 \pi}{\lambda^{2}} \mathrm{A} \qquad \qquad \qquad \text{(gain of uniformly illuminated aperture area A) }\]

La ecuación (11.1.18) se aplica a cualquier antena de apertura uniformemente iluminada, y dichas antenas tienen áreas efectivas en el eje A (θ,\(\phi\)) que se acercan a sus áreas físicas A y tienen ganancias máximas\(\mathrm{G}_{\mathrm{o}}=4 \pi \mathrm{A} / \lambda^{2} \). El patrón de antena de la Figura 11.1.2 se asemeja vagamente al de las aberturas circulares, y el mismo ángulo nominal al primer nulo, λ/L, se aplica aproximadamente a todos. Tales patrones de difracción explican en gran medida la resolución angular limitante de telescopios, cámaras, ojos de animales y equipos fotolitográficos utilizados para la fabricación de circuitos integrados.

Figura\(\PageIndex{2}\): Ganancia de antena para apertura rectangular iluminada uniformemente.

El acoplamiento entre dos antenas de apertura enfrentadas que tienen áreas efectivas _A1 y _A2 es:

\[\mathrm{P_{r_{2}}=\frac{P_{t_{1}}}{4 \pi r^{2}} G_{1} A_{2}=\frac{P_{t_{1}}}{\lambda^{2} r^{2}} A_{1} A_{2}=P_{t_{1}}\left(\frac{\lambda}{4 \pi r}\right)^{2} G_{1} G_{2}}\]

donde\( \mathrm{P_{r_{2}}}\) y\( \mathrm{P_{t_{1}}}\) son la potencia recibida por la antena 2 y la potencia total transmitida por la antena 1, respectivamente. Para que (11.1.19) sea válido,\(r^{2} \lambda^{2}>>A_{1} A_{2} \); si A ₁ = A ₂ = D ², entonces requerimos\(\mathrm{r}>>\mathrm{D}^{2} / \lambda\) para la validez. De lo contrario (11.1.19) podría predecir que se recibiría más potencia de la que se transmitió.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Cuál es el ángulo entre los primeros nulos del patrón de difracción para un láser visible (λ = 0.5 micras) iluminando una abertura cuadrada de 1 mm (aproximadamente del tamaño de un iris humano)? ¿Cuál es la resolución angular limitada por difracción aproximada del sistema visual humano? ¿Cómo se compara esto con los diámetros angulares máximos de Venus, Júpiter y la luna (~1, ~1 y ~30 minutos de arco de diámetro, respectivamente)?

Solución

El primer nulo ocurre en

\( \phi=\sin ^{-1}(\lambda / \mathrm{L}) \cong 5 \times 10^{-7} / 10^{-3}=5 \times 10^{-4} \ \text {radians }=0.029^{\circ} \cong 1.7 \ \text{arc}\)minutos.

Esto es 70 por ciento más grande que los planetas Venus y Júpiter en sus puntos de acercamiento más cercano a la Tierra, y ~6 por ciento del diámetro lunar. Las conexiones neuronales inteligentemente diseñadas en el sistema visual humano mejoran esto para las características lineales, al igual que un iris adaptado a la oscura, que tiene un diámetro mayor.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Una antena dipolo de teléfono celular irradia un vatio hacia una antena de apertura cuadrada uniformemente iluminada de área A = un metro cuadrado. Si el receptor requiere P _r = 10 ^-9 vatios para un rendimiento satisfactorio del enlace, ¿qué tan separados pueden estar r estos dos terminales? ¿Depende esto de la forma de la antena de apertura si A permanece constante?

Solución

\[ \mathrm{P_{r}=A P_{t} G_{t} / 4 \pi r^{2} \Rightarrow r=\left(A P_{t} G_{t} / 4 \pi P_{r}\right)^{0.5}=\left(1 \times 1 \times 1.5 / 4 \pi 10^{-9}\right)^{0.5} \cong 10.9 \ \mathrm{km}}\]

La ganancia en el eje G _t de una antena de apertura de fase constante uniformemente iluminada viene dada por (11.1.18). El denominador depende únicamente de la potencia transmitida a través de la abertura A, no de su forma. El numerador depende únicamente del campo lejano sobre el eje E _ff, dado por (11.1.10), que de nuevo es independiente de la forma porque el término de fase en la integral es la unidad sobre toda la abertura. Dado que la ganancia en el eje es independiente de la forma de la abertura, también lo es el área efectiva A desde entonces\(\mathrm{A}(\theta, \phi)=\mathrm{G}(\theta, \phi) \lambda^{2} / 4 \pi \). El área efectiva en el eje de una abertura uniformemente iluminada se aproxima a su área física.

Antenas de apertura común

Sección 11.1.2 derivó la ecuación básica (11.1.10) que caracteriza los campos lejanos radiados por antenas de apertura excitadas con campos eléctricos polarizados z\( \mathrm{\overline{\underline E}_{0}(x, z)=\hat{z} \underline{E}_{0 z}(x, z)}\) en el plano de apertura x-z:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}(\theta, \phi) \cong \hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{\lambda \mathrm{r}} \sin \theta \mathrm{e}^{-\mathrm{jkr}} \oiint_{\mathrm{A}} \mathrm{E}_{\mathrm{oz}}(\mathrm{x}, \mathrm{z}) \mathrm{e}^{\mathrm{jk} \hat{\mathrm{r}} \bullet \overline{\mathrm{r}^{\prime}}} \mathrm{dx} \ \mathrm{dz}\]

El vector unitario\( \hat{\mathrm{r}}\) apunta desde la antena hacia el receptor y\(\overline{\mathrm r^{\prime}} \) es un vector que se localiza\(\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm o}\left(\mathrm{r}^{\prime}\right) \) dentro de la abertura. Esta expresión supone que el receptor está lo suficientemente lejos de la abertura como para que un solo vector unitario sea\(\hat{\mathrm{r}} \) suficiente para toda la abertura y que el receptor se encuentre, por lo tanto, en la región de Fraunhofer. La alternativa es la región de Fresnel de campo cercano donde\(r< 2D^2/λ\), como se discute en la Sección 11.1.4; D es el diámetro de la abertura. También asume que el observador está cerca del eje perpendicular a la abertura, digamos dentro de ~40°. La aproximación de Huygen extiende este ángulo más allá reemplazando senθ con (1 + cosβ) /2, donde θ se mide desde el eje de polarización y β se mide desde el eje y:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}(\theta, \phi) \cong \hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{2 \lambda \mathrm{r}}(1+\cos \beta) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \oiint_{\mathrm{A}} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{oz}}(\mathrm{x}, \mathrm{z}) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k} \hat{\mathrm{r}} \bullet \mathrm{\overline r}^{\prime}} \text { dx dz } \qquad \qquad \qquad (\textit {Huygen's approximation})\]

Evaluar la ganancia en el eje de una apertura uniformemente excitada del área física A que tiene\( \mathrm{\underline{E}_{o z}(x, z)=E_{o z}}\) es sencillo cuando se usa (11.1.21) porque el factor exponencial en la integral es la unidad dentro de toda la abertura. La ganancia se desprende de (11.1.16). Los resultados son:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}(0,0) \cong \hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{\lambda \mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \oiint_{\mathrm{A}} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{oz}} \mathrm{dx} \ \mathrm{dz} \qquad \qquad \qquad \text { (on-axis field) }\]

\[\mathrm{G}(0,0)=\frac{|\overline{\mathrm{\underline E}}_\mathrm{ff}(0,0)|^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}}}{\mathrm{P}_{\mathrm{T}} / 4 \pi \mathrm{r}^{2}} \qquad \qquad \qquad \text{(on-axis gain) }\]

Pero la potencia total P _T transmitida a través del área de apertura A se puede evaluar más fácilmente que la alternativa de integrar la intensidad radiada I (θ, φ) sobre todos los ángulos. La intensidad I dentro de la abertura es\( \left|\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{oz}}\right|^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}}\), por lo tanto:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{T}}=\frac{\left|\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{oz} }\right|^{2}}{2 \eta_{\mathrm{o}}} \mathrm{A}\]

Luego, la sustitución de (11.1.22) y (11.1.24) en (11.1.23) produce la ganancia de una apertura sin pérdidas uniformemente iluminada del área física A:

\[\mathrm{G}(0,0)=\frac{(\lambda \mathrm{r})^{-2}\left(\mathrm{E}_{\mathrm{oz}} \mathrm{A}\right)^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}}}{\left(\mathrm{E}_{\mathrm{oz}}^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{A} / 4 \pi \mathrm{r}^{2}}=\frac{\lambda^{2}}{4 \pi} \mathrm{A} \qquad \qquad \qquad \text { (gain of uniform aperture) }\]

La ganancia fuera del eje de una abertura uniformemente iluminada depende de su forma, aunque la ganancia en el eje no.

Quizás las antenas de apertura de radio más familiares son las placas parabólicas que tienen una alimentación puntual que irradia energía hacia un espejo parabólico para producir un frente de onda plana para su transmisión, como se sugiere en la Figura 11.1.3 (a). Por el contrario, la radiación entrante es enfocada por el espejo en la alimentación de la antena, que la intercepta y la conecta a una línea de transmisión conectada al receptor. Las distancias focales típicas (etiquetadas con “f” en la figura) son ~la mitad del diámetro D para los sistemas de radio, y a menudo son mucho más largas para los espejos ópticos que producen imágenes.

Figura\(\PageIndex{3}\): Antenas de apertura y ángulo de primer nulo.

La figura 11.1.3 (b) sugiere el ángulo\( \theta_{\mathrm{n}}\) en el que se produce el primer nulo de una abertura rectangular uniformemente iluminada de ancho D; es el ángulo en el que todos los fasores que emanan de cada punto de la abertura se integran en (11.1.10) a cero. En este caso es fácil emparejar los fasores que se originan D/2 separados por lo que cada par se cancela en\( \theta_{\mathrm{n}}\). Por ejemplo, la radiación del elemento de apertura 2 tiene que viajar λ/2 más lejos que la radiación del elemento 1 y por lo tanto se cancelan entre sí. Del mismo modo la radiación de los elementos 3 y 4 se cancela, y la suma de todos estos pares se cancela en el ángulo nulo:

\[\theta_{\mathrm{n}}=\sin ^{-1}(\lambda / \mathrm{D}) \ [\text { radians }]\]

donde\(\theta_{\mathrm n} \cong \lambda / D \) para λ/D << 1.

Aproximadamente el mismo ángulo nulo resulta para aberturas circulares uniformemente iluminadas, para las cuales rinde la integración\(\theta_{\mathrm{n}} \cong 1.2 \lambda / \mathrm{D} \). Considera el ojo humano, que tiene una pupila que normalmente tiene ~2 mm de diámetro, pero puede dilatarse a ~1 cm en la oscuridad. Para una longitud de onda de 5×10 ^-7 metros, encontramos que la resolución angular normal limitada por difracción del ojo es ~λ/D = 5×10 ^-7/(2×10 ^-3) = 2.5×10 ^-4 radianes o ~0.014 grados, o ~0.9 minutos de arco. A modo de comparación, los planetas Venus y Júpiter tienen aproximadamente 1 minuto de arco de diámetro a la aproximación más cercana, y la luna y el sol tienen aproximadamente 30 minutos de arco de diámetro.

Un telescopio astronómico grande como el sistema de 200 pulgadas en Palomar tiene un límite de difracción nominal de\( \lambda / \mathrm{D} \cong 5 \times 10^{-7} / 5.08 \cong 10^{-7}\) radianes o ~0.02 segundos de arco, donde hay 60 segundos de arco en un minuto de arco y 60 minutos de arco en un grado. Esto es adecuado para resolver un automóvil en la luna. Desafortunadamente, las imperfecciones de la superficie del espejo, la ubicación del foco y la turbulencia atmosférica limitan la resolución angular real de Palomar a ~1 segundo de arco en las mejores noches; la turbulencia diurna normal es mucho peor.

Los temas prácticos generalmente dan forma al diseño de las antenas de radio parabólicas. Primero, los problemas mecánicos (gravedad y viento) y térmicos (gradientes de temperatura) suelen limitar su resolución angular a ~1 minuto de arco; sin embargo, la mayoría de las antenas son demasiado pequeñas en relación con λ para lograr esta resolución. Segundo, la alimentación de antena que ilumina la parábola tiende a rociar su radiación en un patrón amplio que se extiende más allá del borde del reflector creando lóbulos traseros. En tercer lugar, la extensión finita de la abertura da como resultado un patrón de antena con lóbulos laterales y una respuesta no deseada a direcciones más allá del lóbulo principal.

La ecuación (11.1.10) mostró cómo la dependencia angular de los campos lejanos de una abertura era proporcional a la transformada de Fourier de la función de excitación de apertura. Por ejemplo, (11.1.17) y la Figura 11.1.2 mostraron el patrón de radiación de una abertura uniformemente iluminada que mide L _x por _Lz. La energía significativa se irradió más allá de los primeros nulos en\(\mathrm{\alpha_{x}=\lambda / L_{x}}\) y\( \mathrm{\alpha_{z}=\lambda / L_{z}}\). Una apertura finita necesariamente irradia algo en todos los ángulos, así como un pulso de voltaje finito en un circuito tiene al menos algo de energía en todas las frecuencias; cuanto más nítidos sean los bordes del pulso, más contenido de alta frecuencia tienen. Por lo tanto, reducir las discontinuidades agudas en la intensidad de campo en el borde de la abertura, una estrategia llamada ahusamiento, puede reducir los lóbulos laterales de difracción. Las alimentaciones de antena se diseñan típicamente para reducir las intensidades de campo por factores de 2-4 en los bordes del espejo por esta razón, pero la reducción efectiva resultante en el diámetro de la abertura produce un lóbulo principal ligeramente más ancho, así como la transformada de Fourier de un pulso más estrecho produce una banda espectral más amplia.

Una consideración final a veces es importante a la hora de diseñar antenas de apertura, y eso implica el bloqueo de apertura, lo que resulta cuando la radiación transmitida reflejada desde el espejo es bloqueada o dispersada por la alimentación de la antena en el foco de la parábola. No sólo la radiación dispersa contribuye a los lóbulos laterales o traseros, sino que también se pierde en la viga principal. El ejemplo 11.1C ilustra estos temas.

Ejemplo\(\PageIndex{C}\)

Una abertura cuadrada uniformemente iluminada tiene 1000 longitudes de onda de largo en cada lado. ¿Cuál es su ganancia de antena\( \mathrm{G}\left(\alpha_{\mathrm{x}}, \alpha_{\mathrm{z}}\right)\) para α << 1? ¿Cuál es la ganancia G _o 'si el centro de esta abertura completamente iluminada está bloqueado por un absorbedor cuadrado de 100 longitudes de onda en un lado? ¿Cuál es la extensión y magnitud aproximada de los lóbulos laterales introducidos por el bloqueo?

Solución

La ganancia en el eje\(\mathrm{G}_{\mathrm{o}}=\mathrm{A} 4 \pi / \lambda^{2}=1000^{2} \times 4 \pi \). La dependencia angular es proporcional al cuadrado del campo lejano\( \left|\mathrm{E}\left(\alpha_{\mathrm{x}}, \alpha_{\mathrm{z}}\right)\right|^{2}\), donde el campo lejano es la transformada de Fourier de la distribución del campo de apertura. La solución completa para\( \mathrm{G}\left(\alpha_{\mathrm{x}}, \alpha_{\mathrm{z}}\right)\) se desarrolla en Ecuaciones (11.1.13—17). Si la porción bloqueada de la abertura se ilumina para que la energía allí se absorba, entonces la potencia transmitida total _Pt en la expresión (11.1.16) para ganancia no cambia, mientras que el área sobre la que\( \overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}^{\prime}\) se integra en (11.1.13) se reduce en el bloqueo del 1 por ciento (100 ² es 1 por ciento de 1000 ²). Por lo tanto\( \left|\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}^{\prime}(0,0)\right|^{2}\), el numerador de (11.1.16), y G _o '(0,0) se reducen en un factor de 0.99 ² 0.98. Así G _o '0.98 G _o. Si la porción bloqueada de la abertura no se iluminara para evitar la absorción del uno por ciento, entonces G _o '(0,0) se reduciría solo en 1 por ciento:\( \mathrm{G}_{\mathrm{o}}^{\prime}=\mathrm{A}^{\prime} 4 \pi / \lambda^{2}\). Los lóbulos laterales para la apertura bloqueada siguen de la transformada de Fourier (11.1.13), donde la excitación de apertura E _o (x, z) es la suma de una función cuadrada positiva de “vagón” 1000λ en un lado, y un vagón cuadrado negativo 100λ en un lado. Dado que esta transformación es lineal,\( \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{ff}}\left(\alpha_{\mathrm{x}}, \alpha_{\mathrm{z}}\right)\) es la suma de las transformaciones de las funciones de vagón positivo y negativo, y los lóbulos laterales de la antena por lo tanto tienen contribuciones de cada uno. Lo más importante es el lóbulo principal del patrón de difracción del vagón de “bloqueo” más pequeño, que tiene una magnitud ~0.01 ² la de G _o ', y un ancho de haz de media potencia\(\theta_{\mathrm{BB}} \) que es 10 veces mayor que el lóbulo principal del vagón de caja más grande:\( \theta_{\mathrm{BB}} \cong \lambda / \mathrm{D}_{\mathrm{B}}=\lambda / 100 \lambda\). El patrón total de la antena es el cuadrado de las transformaciones sumadas y más complicado; los pocos lóbulos laterales más internos son aproximadamente los de la antena original, mientras que los lóbulos laterales inducidos por bloqueo son más importantes en ángulos mayores.

Difracción de campo cercano y zonas de Fresnel

A menudo, los receptores están lo suficientemente cerca de la fuente como para que la aproximación de rayos paralelos de Fraunhofer de (11.1.7) no sea válida. Entonces se puede usar la aproximación de Huygen (11.1.21):

\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}} \cong \hat{\theta} \frac{\mathrm{j}}{2 \lambda_{\mathrm{r}}}(1+\cos \beta) \oiint_{\mathrm{A}} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{oz}}(\mathrm{x}, \mathrm{z}) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k} \mathrm{r}(\mathrm{x}, \mathrm{y})} \mathrm{dx} \ \mathrm{dz} \qquad\qquad\qquad \text { (Huygen's approximation) }\]

para lo cual la distancia entre el receptor y el punto x, y en la abertura se define como r (x, y). Esta región cercana a una fuente u obstáculo donde la aproximación de Fraunhofer no es válida se llama región de Fresnel.

Si la fase de\( \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{oz}}\) en la abertura de la fuente es constante en todas partes, entonces las contribuciones a\( \mathrm{\underline E}_{\mathrm{ff}}(0,0)\) desde algunas partes de la abertura tenderán a cancelar las contribuciones de otras partes porque están desfasadas. Por ejemplo, las contribuciones de la zona circular central donde r (x, y) varía de r _o a r _o + λ/2 cancelarán en gran medida las contribuciones del anillo circundante donde r (x, y) varía de r _o + λ/2 a r _o + λ; se muestra fácilmente que estos dos anillos tienen aproximadamente la misma área, al igual que todos los anillos sobre los cuales el retraso varía en λ/2. ^Tales anillos se ilustran en la Figura 11.1.4 (a)

⁵⁶ El área del círculo interno (radio a) es\(\mathrm{\pi a^{2}=\pi\left[\left(r_{0}+\lambda / 2\right)^{2}-r_{0}^{2}\right] \cong \pi r_{0} \lambda}\) si λ << 2r _o. El área del anillo de Fresnel inmediatamente circundante (radio b) es\(\mathrm{\pi\left(b^{2}-a^{2}\right)=\pi\left[\left(r_{0}+\lambda\right)^{2}-r_{0}^{2}\right]-\pi\left[\left(r_{0}+\lambda / 2\right)^{2}-r_{0}^{2}\right] \cong \pi r_{0} \lambda}\), sujeta a la misma aproximación. De igual manera, se puede mostrar que todos los demás anillos de Fresnel tienen aproximadamente la misma área si λ << 2r _o.

Figura\(\PageIndex{4}\): Placa de zona de Fresnel.

Una técnica para maximizar la difracción hacia un observador es, por lo tanto, simplemente bloquear físicamente la radiación de aquellas zonas alternas que aportan campos negativos, como se sugiere en la Figura 11.1.4 (a). Tal dispositivo de bloqueo se llama placa de zona de Fresnel. El anillo central que tiene fase positiva se denomina zona de Fresnel. Obsérvese que si solo se permite el paso de la zona central, la intensidad recibida es máxima, y si pasan las dos primeras zonas, la intensidad recibida es casi nula porque tienen aproximadamente la misma área. La segunda zona es más débil, sin embargo, porque r y θ son más grandes. Tres zonas pueden producir casi la misma intensidad que la primera zona sola porque dos de las tres zonas casi se cancelan, y así sucesivamente. Al bloquear zonas alternas la intensidad recibida puede ser muchas veces mayor que si no hubiera ningún bloqueo. Así, una placa de zona multianillo actúa como lente enfocando la energía recibida sobre un área mucho mayor que la que sería interceptada solo por el receptor. Este tipo de lente es particularmente valioso para enfocar radiación de onda muy corta, como los rayos X que son difíciles de reflejar o difractar usando espejos o lentes tradicionales.

Otra ventaja de las lentes de placa de zona es que se pueden fabricar litográficamente, y sus dimensiones críticas suelen ser muchas veces mayores que las longitudes de onda involucradas. Por ejemplo, una placa de zona de rayos X diseñada para operar a λ = 10 ^-8 [m] a una distancia r _o de un centímetro tendrá una zona central de\(2\left[\left(\mathrm{r}_{0}+\lambda / 2\right)^{2}-\mathrm{r}_{0}^{2}\right]^{0.5} \cong 2\left(\mathrm{r}_{0} \lambda\right)^{0.5}=2 \times 10^{-5} \) metros de diámetro, una dimensión fácilmente fabricada utilizando modernas técnicas litográficas de semiconductores.

Otro ejemplo de difracción son las comunicaciones inalámbricas en entornos urbanos, que a menudo implican la recepción de líneas de visión de ondas más allá de obstáculos lineales ligeramente hacia un lado o oscureciendo ligeramente la fuente. Nuevamente, la ecuación de Huygen (11.1.27) puede ser utilizada para determinar el resultado. Haciendo referencia a la Figura 11.1.4 (b), si no hay bloqueo, se pueden utilizar ecuaciones tradicionales para calcular la intensidad recibida. Si exactamente la mitad de la trayectoria está bloqueada por una pared que oscurece la mitad inferior de la abertura iluminada, por ejemplo, entonces la integral in (11.1.27) producirá exactamente la mitad del valor anterior de E _ff, y la potencia (proporcional a E _ff ²) se reducirá en un factor de cuatro, o ~6dB. Si el observador se mueve hacia arriba o hacia abajo menos de ~la mitad del radio de la zona de Fresnel, entonces la potencia recibida variará solo modestamente. Por ejemplo, una radio FM (digamos 10 ⁸ Hz) a unos 100 metros más allá de una pared metálica alta y ancha puede tener una línea de visión que pase a través de la pared una distancia de ~ (rλ) ^0.5 /2 = 17 metros por debajo de su parte superior sin sufrir una gran pérdida; (rλ) ^0.5 es el radio de la zona de Fresnel. Por el contrario, una línea de visión que pase menos de ~17 metros por encima de la parte superior del muro también experimentará modestos efectos difractivos.

La región de Fresnel comienza aproximadamente cuando el rayo central llega a la distancia r _o, más de λ/16 por delante de los rayos desde el perímetro de una abertura de diámetro D. Es decir:

\[\mathrm{\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+r_{0}^{2}}-r_{0} \ \tilde{>} \ \frac{\lambda}{16}}\]

Para D << R esto se convierte en:

\[\mathrm{r}_{\mathrm{o}}\left(\sqrt{\left(\frac{\mathrm{D}}{2 \mathrm{r}_{\mathrm{o}}}\right)^{2}+1}-1\right) \cong \frac{\mathrm{D}^{2}}{8 \mathrm{R}} \ \tilde{>} \ \frac{\lambda}{16}\]

Por lo tanto, la región de Fresnel es:

\[\mathrm{r}_{\mathrm{o}} \ \tilde{<} \ \frac{2 \mathrm{D}^{2}}{\lambda} \qquad \qquad \qquad \text{(Fresnel region)}\]