11.2: Antenas de Alambre
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Introducción a las Antenas de Alambre
La solución exacta de las ecuaciones de Maxwell para antenas es difícil porque las antenas suelen tener formas complejas para las que es difícil coincidir con las condiciones de contorno. A menudo se requieren expansiones de ondas complejas con muchos grados de libertad, e incluso las herramientas de software modernas pueden ser desafiadas. Afortunadamente, las antenas de cable más comunes permiten que sus distribuciones de corriente se adivinen con precisión en relación con la corriente de terminal dada, como se explica en la Sección 11.2.2. Una vez que se conoce la distribución de corriente en todas partes, se pueden calcular los campos radiados, la radiación y la resistencia disipativa, la ganancia de la antena y el área efectiva de la antena. Si la antena se usa a una frecuencia alejada de la resonancia, también se puede estimar la reactancia.
Si la antena es pequeña en comparación con una longitud de onda λ entonces su distribución de corriente\(\underline{\mathrm I} \) y el voltaje de circuito abierto se\( \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{Th}}\) pueden determinar usando la aproximación cuasistática. Si se conoce la distribución actual, entonces los campos lejanos radiados se\(\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}} \) pueden calcular utilizando (10.2.8) integrando las contribuciones\( \Delta \underline{\mathrm{\overline E}}_{\mathrm{ff}}\) de cada elemento de corriente corto\(\mathrm{\underline{I}d} \) (d es la longitud del elemento y se reemplaza por ds en la integral), donde:
\[\Delta \overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}}=\hat{\theta} \frac{\mathrm{j} \mathrm{k} \mathrm{\underline{I}d} \eta_{\mathrm{o}}}{4 \pi \mathrm{r}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \sin \theta \label{11.2.1}\]
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}} \cong \frac{\mathrm{jk} \eta_{\mathrm{o}}}{4 \pi \mathrm{r}} \int_{\mathrm{S}}{\hat{\theta}} \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{s}) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \sin \theta \mathrm{d} \mathrm{s} \label{11.2.2}\]
Para antenas pequeñas en comparación con λ el factor antes de la integral de (\ ref {11.2.2}) es casi constante sobre la longitud integrada S, por lo que los valores promedio son suficientes. Si los cables discurren en más de una dirección, la definición de\(\hat{\theta} \) y θ debe cambiar en consecuencia; θ se define por el ángulo local entre\( \overline{\underline{\mathrm I}}\) y\( \hat{\mathrm{r}}\), donde\(\hat{\mathrm{r}} \) está el vector unitario apuntando desde la antena al observador, como se sugiere en la Figura 10.2.3. La ecuación\ ref {11.2.2}, no es sorprendente, se reduce a la Ecuación\ ref {11.2.1} para un cable recto corto que transporta corriente constante\(\underline{\mathrm I} \) sobre una distancia\(\mathrm d \ll λ\).
Una vez que se conocen los campos radiados para una corriente de entrada de antena dada\(\underline{\mathrm I} \), la intensidad radiada se puede integrar sobre una esfera que rodea la antena para producir la potencia total irradiada P R y la resistencia a la radiación R r, que generalmente domina el componente resistivo del impedancia de antena y corresponde a la pérdida de potencia a través de la radiación (10.3.16). La resistencia a la radiación se relaciona simplemente con P R:
\[\mathrm{R}_{\mathrm{r}}=\frac{2 \mathrm{P}_{\mathrm{R}}}{| \mathrm{\underline I}^{2}|} \ [\text { ohms }] \qquad \qquad \qquad \text{(radiation resistance) } \label{11.2.3}\]
El voltaje de circuito abierto también se puede estimar fácilmente para antenas de cable pequeñas en comparación con λ. Por ejemplo, el voltaje de circuito abierto inducido a través de una antena dipolo corto que se muestra en la Figura 10.3.1 es simplemente la proyección del campo eléctrico incidente\( \overline{\mathrm{E}}\) en los centros eléctricos de las dos estructuras metálicas que comprenden el dipolo, y el Ejemplo 10.3D mostró cómo el voltaje de circuito abierto a través de un bucle antena fue proporcional a la derivada del tiempo del flujo magnético a través de ella. En ambos casos el voltaje de circuito abierto revela las propiedades direccionales de la antena. Sin embargo, el cálculo de la resistencia a la radiación requiere el conocimiento de los campos radiados y la integración de la potencia radiada en todos los ángulos. La ecuación (10.3.16) mostró que la resistencia a la radiación de una antena dipolo corto de longitud d es\( \left(2 \pi \eta_{\mathrm{o}} / 3\right)(\mathrm{d} / \lambda)^{2}\) ohmios. Integrales ligeramente más complicadas sobre ángulos producen la resistencia a la radiación para dipolos de media onda de longitud d y antenas de bucle de giro N de diámetro d << λ: ~73 ohmios y\( \sim 1.9 \times 10^{4} \mathrm{N}^{2}(\mathrm{d} / \lambda)^{4}\) ohmios, respectivamente. La mayor resistencia a la radiación de las antenas de bucle a menudo las convierte en la antena de elección cuando el espacio es limitado en relación con la longitud de onda, particularmente cuando están enrolladas en un núcleo de ferrita (\( \mu \gg \mu_{0}\)) que aumenta su momento dipolo magnético.
La mayoría de las antenas de cable no son pequeñas en comparación con una longitud de onda, sin embargo, y los métodos de la siguiente sección se utilizan a menudo.
Distribución de corriente en cables
La distribución de corriente en los cables se rige por las ecuaciones de Maxwell, las cuales se resuelven más fácilmente para geometrías simples como la de un cable coaxial, como se discute en el Ejemplo 7.1B. Los campos para una onda TEM en un cable coaxial son simétricos cilindricamente y una función del radio r:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}(\mathrm{r}, \mathrm{z})=\hat{\mathrm{r}} \underline{\mathrm{E}}_{0}(\mathrm{z}) / \mathrm{r} \ \left[\mathrm{V} \mathrm{m}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(coaxial cable electric field)} \label{11.2.4}\]
\[\overline{\mathrm{\underline H}}(\mathrm{r}, \mathrm{z})=\hat{\theta} \underline{\mathrm{H}}_{0}(\mathrm{z}) / \mathrm{r} \ \left[\mathrm{A} \mathrm{m}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(coaxial cable magnetic field)}^{57} \label{11.2.5}\]
57 El campo magnético alrededor de un cable central, H = I/2\(\pi\) r, se dio en (1.4.3).
La densidad de energía y el vector de Poynting son proporcionales a la fuerza de campo al cuadrado, por lo que decaen como r -2. Por lo tanto, el comportamiento electromagnético de la línea está dominado por la geometría cerca del conductor central donde se encuentra la mayor parte de la energía electromagnética, y el conductor externo puede deformarse sustancialmente antes de que los campos cercanos al centro se perturben significativamente. Por ejemplo, dos tercios de la potencia se propaga dentro de los 10 cm de un cable de 1 mm centrado dentro de un cilindro exterior de 1 metro, aunque esto representa solo el uno por ciento del volumen. Esto se muestra fácilmente integrando la densidad de energía del radio a al radio b\( \mathrm{\int_{a}^{b} E_{o}^{2} r^{-2} 2 \pi r d r=2 \pi E_{o}^{2} \ln (b / a)}\), y comparando los resultados para diferentes subvolúmenes.
Por lo tanto, los campos cercanos al eje del cable coaxial ilustrado en la Figura 11.2.1 (a) se alteran pero poco si el conductor externo es reemplazado por un plano de tierra como se ilustra en la Figura 11.2.1 (b), o incluso por un segundo cable, como se muestra en la Figura 11.2.1 (c). La importancia de la Figura 11.2.1 es, por lo tanto, que las distribuciones de corriente en antenas de cable delgado se asemejan mucho a las de líneas TEM equivalentes, siempre que las líneas no tengan tantas longitudes de onda que la energía se pierda antes de que llegue al final, o tan fuertemente dobladas que los segmentos induzcan tensiones fuertes en sus vecinos. Esta aproximación TEM es válida para entender los ejemplos de esta sección.
Una antena ampliamente utilizada es el dipolo de media onda, ilustrado en la Figura 11.2.1 (d), que esencialmente no exhibe impedancia reactiva debido a que los almacenamientos de energía eléctrica y magnética se equilibran aproximadamente. La resistencia a la radiación para cualquier dipolo de media onda en el espacio libre es de ~73 ohmios. La Sección 7.4.2 discute cómo estas energías se equilibran en cualquier estructura TEM de longitud D = nλ/2 donde n es un número entero. Los anchos de banda típicos Δω de un dipolo de media onda son\(\Delta \omega / \omega_{\mathrm{o}}=1 / \mathrm{Q} \cong 0.1 \), donde\( \mathrm{Q}=\omega_{\mathrm{o}} \mathrm{W}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{d}}\), como se discute en la Sección 7.4.3 y (7.4.4).
La Figura 11.2.2 ilustra distribuciones nominales de corriente en varias estructuras de antena; estas corrientes son consistentes con las de líneas TEM comparables que propagan señales a la velocidad de la luz. Las distribuciones de corriente en la figura representan distribuciones instantáneas en el momento del máximo de corriente.
En estos casos idealizados, las corrientes en todas partes de la antena se acercan a cero un cuarto de ciclo después, ya que la energía se convierte de magnética a eléctrica. Las distribuciones de voltaje cuando las corrientes son cero se asemejan a las de las líneas TEM equivalentes, y están desplazadas espacialmente por λ/4; en resonancia los picos de voltaje coinciden con los nulos de corriente. Por ejemplo, los voltajes y corrientes para la Figura 11.2.2 (a) se asemejan a los del resonador TEM de circuito abierto de la Figura 7.4.1 (a). Las distribuciones reales de corriente y voltaje son ligeramente diferentes de las que se muestran en la imagen porque la radiación tiende a debilitar las corrientes más alejadas de los terminales de la antena, y porque tales cables independientes o doblados no son verdaderas líneas TEM.
La Figura 11.2.2 (b) ilustra cómo las corrientes terminales (I o) se pueden hacer menos de un tercio de las corrientes pico (3.2 I o) que fluyen en la antena simplemente alargando los dos brazos para que cada uno sea ligeramente más largo que λ/2 de manera que la corriente esté cerca de un nulo en los terminales. Debido a que las corrientes terminales más pequeñas corresponden así a corrientes de antena más grandes y potencia radiada, la resistencia efectiva a la radiación de esta antena se incrementa muy por encima de los 73 ohmios nominales del dipolo de media onda de (a). Sin embargo, la reactancia es ligeramente capacitiva y debe cancelarse con un inductor. La Figura 11.2.2 (c) ilustra cómo las corrientes de pico se pueden hacer diferentes en los dos brazos; obsérvese que las corrientes alimentadas a los dos brazos deben ser iguales y opuestas, y este hecho obliga a las dos corrientes pico en los brazos a diferir. Las figuras (d) y (e) muestran configuraciones más elaboradas, demostrando que las antenas de alambre no tienen que estar en línea recta. Los patrones para estas antenas se discuten en la siguiente sección.
Patrones de antena
Una vez que se conocen las distribuciones de corriente en las antenas de cable, los patrones de antena se pueden calcular usando (\ ref {11.2.2}). Considere primero la antena dipolo de la Figura 11.2.2 (a) y deje que su longitud sea d, su corriente terminal sea I o ′, y su corriente máxima sea I o. Entonces (\ ref {11.2.2}) se convierte en:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_\mathrm{ff} \cong \frac{\mathrm{jk} \eta_{\mathrm{o}}}{4 \pi \mathrm{r}} \int_{-\mathrm{d} / 2}^{\mathrm{d} / 2} \hat{\theta} \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{s}) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \sin \theta \ \mathrm{ds} \label{11.2.6}\]
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}} \cong \hat{\theta} \frac{\mathrm{j} \eta_{\mathrm{o}} \mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}}}{2 \pi \mathrm{rsin} \theta}\left[\cos \left(\frac{\mathrm{kd}}{2} \cos \theta\right)-\cos \left(\frac{\mathrm{kd}}{2}\right)\right] \label{11.2.7}\]
Esta expresión, que requiere de algún esfuerzo para derivar, se aplica a antenas dipolares simétricas de cualquier longitud modesta d; I o es la corriente máxima, que no es necesariamente la corriente terminal. El dipolo común de media onda tiene d = λ/2, por lo que (\ ref {11.2.7}) se reduce a:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{ff}} \cong \hat{\theta}\left(\mathrm{j} \eta_{\mathrm{o}} \mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} / 2 \pi \mathrm{r} \sin \theta\right) \cos [(\pi / 2) \cos \theta] \qquad\qquad\qquad \text { (half-wave dipole) } \label{11.2.8}\]
La antena de la Figura 11.2.2 (b) puede considerarse como una matriz de antenas de dos elementos (ver Sección 10.4.1) para la cual los dos fasores radiados se suman en algunas direcciones y cancelan en otras, dependiendo del retardo de fase diferencial entre los dos rayos. La antena (b) tiene su ganancia máxima en θ =\(\pi\) /2, pero su ancho de haz es menor que para (a) porque los rayos de los dos brazos del dipolo están cada vez más desfasados para direcciones de propagación más cercanas al eje z, incluso más que para el dipolo de media onda; así la ganancia de (b) supera modestamente a la de (a). Si uno determina patrones numéricamente o usando el enfoque más intuitivo de adición de fasores de las Secciones 10.4.1 y 10.4.5 es una cuestión de elección. La antena (c) tiene nulos muy modestos para θ cerca del eje ±z. Los nulos son débiles porque el campo eléctrico debido a 3.2I o solo se reduce ligeramente por las contribuciones del segmento de fase invertida que lleva I o.
La simple inspección de la distribución de corriente para la antena de la Figura 11.2.2 (d) y el uso de los métodos de la Sección 10.4.1 revelan que su patrón tiene picos de ganancia a lo largo de los ejes ±x y ±y, y un nulo a lo largo de los ejes ±z. Extender argumentos de superposición simple y cancelación de fase a otras direcciones angulares permite adivinar la forma del patrón completo de antena G (θ,\(\phi\)) y, por lo tanto, verificar la precisión de cualquier integración usando (\ ref {11.2.6}) para todos los brazos de antena. Un análisis similar de adición/cancelación de fase simple revela que la antena más complicada (e) tiene picos de ganancia a lo largo de los ejes ±x y ±y, y nulos a lo largo de los ejes ±z, aunque la polarización de cada pico es algo diferente, como se discute en un ejemplo. La determinación exacta del patrón (e) se confunde por el hecho de que estos cables están lo suficientemente cerca entre sí para interactuar, por lo que la distribución de corriente puede modificarse en relación con la suposición TEM nominal esbozada en la figura.
Ejemplo\(\PageIndex{A}\)
Determinar las ganancias y polarizaciones relativas a lo largo de los ejes ±x, ±y y ±z para la antena ilustrada en la Figura 11.2.2 (e).
Solución
Los dos cables orientados x no irradian en la dirección ±x. Los cuatro cables orientados en Z emiten radiación que se cancela en esa dirección (un par cancela el otro), mientras que los dos cables orientados en Y irradian radiación polarizada en Y en fase en la dirección ±x con intensidad de campo eléctrico total relativa E y = 2. Suponemos que cada segmento λ/2 irradia un campo eléctrico relativo de unidad. De manera similar, los dos cables orientados y no irradian en la dirección ±y. Los cuatro cables orientados en Z emiten radiación que se cancela en esa dirección (un par cancela el otro), mientras que los dos cables orientados a x irradian radiación polarizada x en fase en la dirección ±y con una intensidad de campo eléctrico total relativa E x = 2. Los cuatro cables orientados en z no irradian en la dirección ±z, y los dos pares de corrientes fuera de fase en las direcciones x e y también se cancelan en esa dirección, dando un nulo perfecto. Así, las ganancias son iguales en las direcciones x e y (pero con polarización x a lo largo del eje y, y polarización y a lo largo del eje x), y la ganancia es cero en el eje z.