13.3: Radiación Acústica y Antenas

Cualquier superficie que vibre mecánicamente puede irradiar ondas acústicas. Al igual que en el caso de las ondas electromagnéticas, es más fácil entender primero una fuente puntual, y luego superponer dichos radiadores en combinaciones que produzcan el patrón de radiación total deseado. La reciprocidad se aplica a la acústica lineal, por lo que las propiedades de recepción y transmisión de las antenas acústicas son proporcionales, como lo son para las ondas electromagnéticas; i.e\(G(θ,φ) ∝ A(θ,φ)\).

La ecuación de onda acústica para la presión permite el análisis de un radiador monopolo acústico:

\[\left[\nabla^{2}+\left(\omega / \mathrm c_{\mathrm{s}}\right)^{2}\right] \mathrm{\underline p}=0 \label{13.3.1}\]

Si el radiador acústico es simplemente una esfera aislada con un radio sinusoidalmente oscilante\(\underline{\mathrm{a}} \), entonces la fuente es esféricamente simétrica y también lo es la solución; así\(∂/∂θ = ∂/∂φ = 0\). Si definimos\(ω/c_s = k\), entonces (\ ref {13.3.1}) se convierte en:

\[\left[\mathrm{r}^{-2} \mathrm{d}\left(\mathrm{r}^{2} \mathrm{d} / \mathrm{dr}\right)+\mathrm{k}^{2}\right] \mathrm{\underline p}=\left[\mathrm{d}^{2} / \mathrm{dr}^{2}+2 \mathrm{r}^{-1} \mathrm{d} / \mathrm{dr}+\mathrm{k}^{2}\right] \mathrm{\underline p}=0 \label{13.3.2}\]

Esto se puede reescribir de manera más simple como:

\[\mathrm{d}^{2}(\mathrm{r\underline p}) / \mathrm{dr}^{2}+\mathrm{k}^{2}(\mathrm{r \underline p})=0 \label{13.3.3}\]

Esta ecuación se satisface si\(\mathrm{r\underline p}\) es exponencial, por lo que una onda acústica radial que se propaga hacia afuera tendría la forma:

\[\mathrm{\underline{p}(r)=\underline{K} r^{-1} e^{-j k r} \ \left[N \ m^{-2}\right]} \label{13.3.4}\]

La velocidad acústica asociada\( \underline{\mathrm{\overline u}}(\mathrm{r})\) se desprende de la forma compleja de la ley de Newton (13.1.7)\(\mathrm{\nabla \underline{p} \cong-j \omega \rho_{o} \overline{\underline{u}} \ \left[N \ m^{-3}\right]} \):

\[\underline{\mathrm{\overline u}}(\mathrm{r})=-\nabla \mathrm{\underline p} / \mathrm{j} \omega \mathrm{r}_{\mathrm{o}}=\hat{r} \underline{\mathrm{K}}\left(\eta_{\mathrm{s}} \mathrm{r}\right)^{-1}\left[1+(\mathrm{jkr})^{-1}\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{jkr}} \label{13.3.5}\]

Los términos primero y segundo en la solución (\ ref {13.3.5}) corresponden al campo lejano acústico y al campo cercano acústico, respectivamente. Cuando kr >> 1 o, equivalentemente, r >> λ/2\(\pi\), entonces se puede descuidar el término de campo cercano, de modo que la velocidad de campo lejano correspondiente a (\ ref {13.3.4}) es:

\[\underline{\mathrm{\overline u}}_{\mathrm{ff}}(\mathrm{r})=\hat{r} \underline{\mathrm{K}}\left(\eta_{\mathrm{s}} \mathrm{r}\right)^{-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \left[\mathrm{m} \ \mathrm{s}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(far-field acoustic velocity)} \label{13.3.6}\]

La velocidad de campo cercano de (\ ref {13.3.5}) es:

\[\underline{\mathrm{\overline u}}_{\mathrm{nf}}=-\mathrm{j} \mathrm{\underline K} \hat{r}\left(\mathrm{k} \eta_{\mathrm{s}} \mathrm{r}^{2}\right)^{-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \ \left[\mathrm{m} \ \mathrm{s}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(near-field acoustic velocity) } \label{13.3.7}\]

Dado que k = ω/c _s, la velocidad de campo cercano es proporcional a ω ^-1, y se vuelve muy grande a bajas frecuencias. Así, un micrófono de velocidad, es decir, uno que responda a la velocidad acústica u en lugar de a la presión, responderá mucho más fuertemente a las frecuencias bajas que a las altas cuando el micrófono se mantiene cerca de los labios (r > λ/2\(\pi\)), aunque son sensibles a la turbulencia del viento local.

La intensidad acústica I (r) se puede calcular usando (13.1.22) para una esfera de radio que\(\underline{\mathrm{a}} \) oscila con una velocidad superficial\(\underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{o}} \) a r = a. en este caso\(\underline{\mathrm{\overline u}}(\mathrm{a})=\hat{r} \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{o}} \), y sustituyendo este valor por\( \underline{\mathrm{\overline u}}\) into (\ ref {13.3.7}) produce la constante\( \mathrm{\underline{K}=j \underline{u}_{0} \eta_{s} a^{2}}\); esta ecuación de campo cercano es apropiado sólo si un << λ/2\(\pi\). Así, usando (\ ref {13.3.4}) y (\ ref {13.3.6}), la intensidad del campo lejano es:

\[\mathrm{I}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{\underline{pu}}^{*}\right\} / 2=\left\lfloor\left.\underline{\mathrm{K}}\right|^{2} / 2 \eta_{\mathrm{s}} \mathrm{r}^{2}=\eta_{\mathrm{s}}\left|2 \pi \underline{\mathrm{u}}_{0} \mathrm{a}^{2}\right|^{2} \Big/ 2 \ \left[\mathrm{W} \ \mathrm{m}^{-2}\right]\right. label{13.3.8}\]

La integración de I sobre una esfera de radio r produce la potencia acústica total transmitida:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{t}}=2 \pi \eta_{\mathrm{s}}\left|\omega \mathrm{a}^{2} \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{o}} / \mathrm{c}_{\mathrm{s}}\right|^{2 \ }[\mathrm{W}] \qquad \qquad \qquad \text{(acoustic power radiated) } \label{13.3.9}\]

donde 2\(\pi\) /λ = ω/c _s ha sido sustituido. Así P _t es proporcional a\( \eta_{\mathrm{s}} \omega^{2} \mathrm{a}^{4}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{o}} / \mathrm{c}_{\mathrm{s}}\right)^{2}\). Esto sugiere la importancia de usar una ω de alta frecuencia y un radio grande a si se va a irradiar una potencia sustancial usando una fuente de velocidad\(\underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{o}} \).

Si imaginamos una fuente acústica equivalente a Thevenin proporcionando una “corriente” de u _o, entonces, usando (\ ref {13.3.9}), la resistencia a la radiación acústica de esta antena acústica es:

\[\mathrm{R}_{\mathrm{r}}=\mathrm{P}_{\mathrm{t}} \Big/\left(\left|\underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{o}}\right|^{2} / 2\right)=4 \pi \eta_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{ka}^{2}\right)^{2} \ \left[\mathrm{kg} \ \mathrm{s}^{-1}\right] \label{13.3.10}\]

Las matrices de tales fuentes acústicas pueden sintetizar una amplia variedad de patrones de antena porque se aplica superposición y, por lo tanto, la presión acústica y las velocidades tenderán a cancelarse en algunas direcciones y agregarse en otras. Por ejemplo, dos fuentes iguales espaciadas a la distancia d a lo largo del eje z, cercanas en comparación con una longitud de onda y expulsadas de fase, irradiarían la presión de campo lejano:

\[\underline{\mathrm p}(\mathrm{r}) \cong\left(\mathrm j \mathrm{k} \eta_{\mathrm{s}} \mathrm{a}^{2} \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{o}} / \mathrm{r}\right)\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{1}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}_{2}}\right)=\left(2 \mathrm{k} \eta_{\mathrm{s}} \mathrm{a}^{2} \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{o}} / \mathrm{r}\right) \sin [(\mathrm{kd} / 2) \cos \theta] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \label{13.3.11}\]

donde r _1,2 r ± (d/2) cosθ. En el límite donde kd = 2\(\pi\) d/λ << 1, (\ ref {13.3.11}) se convierte en:

\[\mathrm{p}(\mathrm{r}) \cong\left(\mathrm{k}^{2} \mathrm{d} \eta_{\mathrm{s}} \mathrm{a}^{2} \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{o}} / \mathrm{r}\right) \cos \theta \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kr}} \label{13.2.12}\]

La intensidad radiada I (θ) para este dipolo acústico se esboza en la Figura 13.3.1 (a), y es proporcional a p ² y por lo tanto a k ⁴ y ω ⁴.

Figura\(\PageIndex{1}\): Radiadores acústicos: (a) dipolo, (b) altavoz, (c) altavoz con pantalla.

Por lo tanto, irradia mal a bajas frecuencias. Su ganancia de antena acústica G (θ) es 3cos ² θ, la cual puede calcularse comparando la intensidad acústica I con la potencia acústica total radiada _Pt, tal como se hace para las antenas electromagnéticas. Es decir, la ganancia acústica sobre un radiador isotrópico es:

\[\mathrm{G}(\theta, \phi)=\mathrm{I}(\theta, \phi, \mathrm{r}) \big/\left[\mathrm{P}_{\mathrm{t}} / 4 \pi \mathrm{r}^{2}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(acoustic antenna gain)} \label{13.3.13}\]

\[\mathrm{P_{t}=\int_{0}^{2 \pi \pi} \int_{0}^{I(\theta, \phi, r) r^{2}} \sin \theta \ d \theta \ d \phi \ [W]} \label{13.3.14}\]

Una forma común de producir este patrón acústico dipolo se ilustra en la Figura 13.3.1 (b) para el caso de un altavoz r sin desconcertación para bloquear la radiación desde la parte posterior de su cono de altavoz vibrante; el lado posterior está claramente 180 ^o desfasado con la velocidad del lado frontal. Desafortunadamente, la radiación de un altavoz sin desconcertar puede reflejarse desde las paredes de la habitación e interferir con el sonido desde la parte frontal, reforzando aquellas frecuencias para las que los dos rayos se suman en fase, y disminuyendo aquellas frecuencias para las que están desfasadas. Como resultado, la mayoría de los buenos altavoces están desconcertados, por lo que la onda inversa queda atrapada y no puede interferir con la onda primaria radiada hacia adelante. Esto altera la impedancia acústica del altavoz, pero se puede compensar eléctricamente. El resultado es un monopolo acústico que irradia potencia total en proporción a p ², k ², y por lo tanto ω ², en lugar de ω ⁴ como para el dipolo.

Una matriz lineal de fuentes acústicas monopolo de longitud total L tiene un patrón de difracción similar al de una matriz de dipolos hertzianos. Si las fuentes están todas en fase, entonces irradian la máxima potencia de lado ancho (θ ≡ 0) donde todos los rayos permanecen en fase. Exhiben su primer nulo a θ ±λ/L. Consulte la Sección 10.4 para mayor discusión de matrices de radiadores. Los micrófonos de matriz acústica tienen patrones direccionales similares, y los micrófonos que alimentan reflectores parabólicos de gran dimensión L tienen ganancias aún mayores, donde la ganancia de una antena acústica es proporcional a su área efectiva. El área efectiva de un reflector parabólico grande en comparación con una longitud de onda es aproximadamente su sección transversal física si se ilumina uniformemente sin derrame, como se muestra en (11.1.25) para ondas electromagnéticas.