13.2: Ondas acústicas en interfaces y en estructuras de guía y resonadores

Condiciones de contorno y ondas en las interfaces

El comportamiento de las ondas acústicas en los límites está determinado por las condiciones de límites acústicos. En las paredes rígidas, el componente normal de la velocidad acústica debe ser claramente cero, y la presión del fluido no está restringida allí. En los límites entre dos fluidos o gases en equilibrio, tanto la presión\( \mathrm{p}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})\) acústica como la componente normal de la velocidad acústica\(\overline{\mathrm{u}}_{\perp}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t}) \) deben ser continuas. Si la presión fuera discontinua, entonces una fuerza finita normal a la interfaz estaría actuando sobre la masa infinitesimal, dándole una aceleración infinita, lo cual no es posible. Si fueran discontinuos, entonces p/t en la interfaz sería infinito, lo que tampoco es posible; (13.1.8) dice\( \nabla \bullet \overline{\mathrm{u}}=-\left(1 / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \partial \mathrm{p} / \partial \mathrm{t}\). Estas condiciones de límite acústico en un límite entre los medios 1 y 2 se pueden establecer como:

\[\mathrm{p_{1}=p_{2}} \qquad \qquad \qquad \text { (boundary condition for pressure) } \label{13.2.1}\]

\[\overline{\mathrm{u}}_{1 \perp}=\overline{\mathrm{u}}_{2 \perp} \qquad \qquad \qquad \text { (boundary condition for velocity) } \label{13.2.2}\]

Una onda plana acústica uniforme incidente sobre un límite plano entre dos medios que tienen diferentes propiedades acústicas generalmente tendrá un componente transmitido y un componente reflejado, como se sugiere en la Figura 13.2.1. Los ángulos de incidencia, reflexión y transmisión son θ _i, θ _r y θ _t, respectivamente.

Figura\(\PageIndex{1}\): Ondas acústicas en una interfaz plana con coincidencia de fase.

Un ejemplo típico es el límite entre el aire frío que recubre un lago y el aire caliente arriba; el aire cálido es menos denso, aunque las presiones a través del límite deben equilibrarse. Desde\(\mathrm{c}_{\mathrm{s}} \propto \rho_{\mathrm{o}}^{-0.5}\) y\(\eta_{\mathrm{s}} \propto \rho_{\mathrm{o}}^{ \ 0.5}\), tanto las amplitudes como los ángulos de propagación deben cambiar a la discontinuidad de densidad.

Como se hizo con las ondas electromagnéticas (ver Sección 9.2.2), podemos comenzar con expresiones generales tentativas para las ondas planas incidentes, reflejadas y transmitidas:

\[\underline{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}(\overline{\mathrm{r}})=\underline{\mathrm{p}}_{\mathrm{io}} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{ix}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{iz}^{\mathrm z}}} \qquad \qquad \qquad \text{(incident wave) } \label{13.2.3}\]

\[\underline{\mathrm{p}}_{\mathrm{r}}(\overline{\mathrm{r}})=\underline{\mathrm{p}}_{\mathrm{ro}} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rx}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{rz}}^{\ \mathrm z}} \qquad \qquad \qquad \text{(reflected wave) } \label{13.2.4}\]

\[\underline{\mathrm{p}}_{\mathrm{t}}(\overline{\mathrm{r}})=\underline{\mathrm{p}}_{\mathrm{to}} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{tx}} \mathrm{x}-\mathrm{jk}_{\mathrm{t} \mathrm{z}}^{\ \mathrm{z}}} \label{13.2.5}\]

En x = 0 la presión es continua a través del límite (\ ref {13.2.1}), entonces\(\mathrm{\underline{p}_{i}(\bar{r})+\underline{p}_{r}(\bar{r})=\underline{p}_{t}(\bar{r})} \), lo que requiere que las fases (-jkz) coincidan:

\[\mathrm{k}_{\mathrm{iz}}=\mathrm{k}_{\mathrm{rz}}=\mathrm{k}_{\mathrm{tz}} \equiv \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \label{13.2.6}\]

Pero k _z es la proyección del\(\overline{\mathrm{k}} \) sobre el eje z, entonces k _iz = k _i sin θ _i, donde k _i = ω/c _si, y:

\[\mathrm{k}_{\mathrm{i}} \sin \theta_{\mathrm{i}}=\mathrm{k}_{\mathrm{r}} \sin \theta_{\mathrm{r}}=\mathrm{k}_{\mathrm{t}} \sin \theta_{\mathrm{t}} \label{13.2.7}\]

\[\theta_{\mathrm{i}}=\theta_{\mathrm{r}} \label{13.2.8}\]

\[\sin \theta_{\mathrm{t}} / \sin \theta_{\mathrm{i}}=\mathrm{c}_{\mathrm{si}} / \mathrm{c}_{\mathrm{st}} \qquad \qquad \qquad (\textit{acoustic Snell’s law}) \label{13.2.9}\]

Así, las ondas acústicas se refractan en los límites como las ondas electromagnéticas (9.2.26).

Las ondas acústicas también pueden ser evanescentes para θ _i > θ _c, donde el ángulo crítico θ _c es el ángulo de incidencia (9.2.30) requerido por la ley de Snell cuando θ _t = 90°:

\[\theta_{\mathrm{c}}=\sin ^{-1}\left(\mathrm{c}_{\mathrm{si}} / \mathrm{c}_{\mathrm{st}}\right) \qquad\qquad\qquad (\textit {acoustic critical angle}) \label{13.2.10}\]

Cuando θ _i > θ _c, entonces k _tx se vuelve imaginario, análogo a (9.2.32), la onda acústica transmitida es evanescente, y hay reflexión total de la onda acústica incidente. Así:

\[\mathrm{k_{t x}=\pm j\left(k_{t}^{2}-k_{z}^{2}\right)^{0.5}=\pm j \alpha} \label{13.2.11}\]

\[\mathrm{\underline{p}_{t}(x, z)=\underline{p}_{t o} e^{-\alpha x-j k_{z} z}} \label{13.2.12}\]

De la versión compleja de (13.1.7) se desprende que:

\[\underline{\mathrm{\overline u}}_{\mathrm{t}}=-\nabla \underline{\mathrm{p}}_{\mathrm{t}} / \mathrm{j} \omega \rho_{\mathrm{o}}=\left(\alpha \hat{x}+\mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \hat{z}\right) \mathrm{\underline p}_{\mathrm{t}} / \mathrm{j} \omega \rho_{\mathrm{o}} \label{13.2.13}\]

El flujo de potencia complejo en esta onda evanescente acústica es\(\mathrm{\underline{pu}}^{*} \), análogo a (9.2.35), por lo que la potencia que fluye en la dirección -x es imaginaria y el flujo de potencia real promedio en el tiempo es:

\[\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\{\mathrm{\underline p} \underline{\mathrm{\overline u}} ^*\} / 2=\hat{z}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{z}} / 2 \omega \rho_{\mathrm{o}}\right)\left|\mathrm{\underline p}_{\mathrm{to}}\right|^{2} \mathrm{e}^{-2 \alpha \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{W} \ \mathrm{m}^{-2}\right] \label{13.2.14}\]

La fracción de potencia reflejada desde un límite acústico se puede encontrar aplicando las condiciones límite y resolviendo la amplitud reflejada desconocida. Si definimos\(\mathrm{\underline p}_{\mathrm{ro}}\) y\(\mathrm{\underline p}_{\mathrm{to}}\) as\(\underline{\Gamma \mathrm{p}}_{\mathrm{io}} \) y\( \underline{\mathrm{T} \mathrm{p}}_{\mathrm{io}}\), respectivamente, entonces hacer coincidir las condiciones de contorno en x = z = 0 rinde:

\[\mathrm{p}_{\mathrm{io}}+\mathrm{p}_{\mathrm{ro}}=\mathrm{p}_{\mathrm{to}} \Rightarrow 1+\underline{\Gamma}=\underline{\mathrm{T}} \label{13.2.15}\]

Necesitamos una condición de límite adicional, y podemos combinar\( \underline{\mathrm{\overline u}}=-\nabla \mathrm{\underline p} / \mathrm{j} \omega \rho_{\mathrm{o}}\) (13.1.7) con la expresión for\( \underline{\mathrm p}\) (\ ref {13.2.3}) para producir:

\[\underline{\mathrm{\overline u}}_{\mathrm{i}}=\left[\left(-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{xi}} \hat{x}+\mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \hat{z}\right) / \mathrm{j} \omega \rho_{\mathrm{oi}}\right] \mathrm{\underline p}_{\mathrm{io}} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{ix}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{iz}} \mathrm{z}} \label{13.2.16}\]

Expresiones similares para\( \overline{\mathrm{u}}_{\mathrm{r}}\) y se\(\overline{\mathrm{u}}_{\mathrm{t}} \) pueden encontrar, y hacer cumplir la continuidad\(\overline{\mathrm{u}}_{\perp} \) a través del límite en x = z = 0 rinde:

\[\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{xi}}}{\omega \rho_{\mathrm{oi}}}-\underline{\Gamma} \frac{\mathrm{k}_{\mathrm{xi}}}{\omega \rho_{\mathrm{oi}}}=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{xt}}}{\omega \rho_{\mathrm{ot}}} \mathrm{T} \label{13.2.17}\]

\[1-\underline{\Gamma}=\underline{\mathrm{T}} \frac{\mathrm{k}_{\mathrm{xt}} \rho_{\mathrm{oi}}}{\mathrm{k}_{\mathrm{xi}} \rho_{\mathrm{ot}}}=\underline{\mathrm{T}} \frac{\eta_{\mathrm{i}} \cos \theta_{\mathrm{t}}}{\eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{i}}} \equiv \frac{\mathrm{\underline T}}{\eta_{\mathrm{n}}} \label{13.2.18}\]

donde definimos la impedancia acústica normalizada dependiente del ángulo\(\eta_{\mathrm{n}} \equiv\left(\eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{i}} / \eta_{\mathrm{i}} \cos \theta_{\mathrm{t}}\right) \) y recordamos\(\mathrm{k_{\mathrm{xt}}=k_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{t}}} \),\(\mathrm{k}_{\mathrm{t}}=\omega / \mathrm{c}_{\mathrm{st}} \), y\(\eta_{\mathrm{t}}=\mathrm{c}_{\mathrm{st}} \rho_{\mathrm{ot}} \). Combinando (\ ref {13.2.15}) y (\ ref {13.2.18}) rinde:

\[\underline{\Gamma}=\frac{\underline{\eta}_{\mathrm{n}}-1}{\underline{\eta}_{\mathrm{n}}+1} \label{13.2.19}\]

\[\underline{\mathrm{T}}=1+\underline{\Gamma}=\frac{2 \underline{\eta}_{\mathrm{n}}}{\underline{\eta}_{\mathrm{n}}+1} \label{13.2.20}\]

Estas expresiones para\(\underline{\Gamma} \) y\( \underline{\mathrm{T}}\) son esencialmente las mismas que para las ondas electromagnéticas, (7.2.31) y (7.2.32), aunque las expresiones para\(\eta_{\mathrm{n}} \) son diferentes. La fracción de potencia acústica reflejada es\(|\underline{\Gamma}|^{2} \). La impedancia acústica\( \underline{\eta}(\mathrm z)\) para ondas que se propagan perpendiculares a los límites, por lo tanto, también se rige por (7.2.24)

\[\underline{\eta}(\mathrm z)=\eta_{0} \frac{\underline{\eta}_{\mathrm L}-j \eta_{0} \operatorname{tankz}}{\eta_{0}-j \underline{\eta}_{\mathrm L} \operatorname{tankz}} \label{13.2.21}\]

También se puede utilizar el método de gráfico Smith de la Sección 7.3.2.

Incluso puede haber un ángulo acústico de Brewster θ _B cuando\(\underline{\Gamma}=0 \), análogo a (9.2.75). La ecuación (\ ref {13.2.19}) sugiere que esto sucede cuando\( \eta_{\mathrm{n}}=1\) o, desde (\ ref {13.2.18}), cuándo\( \eta_{\mathrm i} \cos \theta_{\mathrm t}= \eta_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\mathrm{B}}\). Después de alguna manipulación se puede demostrar que el ángulo de Brewster es:

\[\theta_{\mathrm{B}}=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{\left(\eta_{\mathrm{t}} / \eta_{\mathrm{i}}\right)^{2}-1}{1-\left(c_{\mathrm{s}_{\mathrm{t}}} / c_{\mathrm{s}_{\mathrm{i}}}\right)^{2}}} \label{13.2.22}\]

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Una puerta típica utilizada para bloquear sonidos podría tener 3 cm de grosor y tener una densidad de 1000 kg m ^-3, grande en comparación con 1.29 kg m ^-3 para el aire. Si c _s = 330 m s ^-1 en el aire y 1000 m s ^-1 en la puerta, ¿cuáles son sus respectivas impedancias acústicas,\(\eta_{\mathrm{a}} \) y\(\eta_{\mathrm{d}} \)? ¿Qué fracción de potencia acústica normalmente incidente de 500 Hz sería reflejada por la puerta? El hecho de que la puerta no sea gaseosa es irrelevante aquí si es libre de moverse y no está asegurada a la jamba de su puerta.

Solución

La impedancia acústica\(\eta=\rho_{0} \mathrm{c_{s}}=425.7\) en aire y 10 ⁶ en la puerta (13.1.23). La impedancia en la superficie frontal de la puerta dada por (\ ref {13.2.21}) es\(\eta_{\mathrm{fd}}=\eta_{\mathrm{d}}\left(\eta_{\mathrm{a}}-j \eta_{\mathrm{d}} \tan \mathrm{kz}\right) /\left(\eta_{\mathrm{d}}-j \eta_{\mathrm{a}} \tan \mathrm{kz}\right)\), donde\( \mathrm{k}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{d}}\) y z = 0.03. \(\lambda_{\mathrm{d}}=\mathrm{c}_{\mathrm{d}} / \mathrm{f}=1000/500 = 2\), entonces kz =\(\pi\) z = 0.094, y tan kz = 0.095. Así\(\eta_{\mathrm{fd}}=425.7+3.84 \) y\(\eta_{\mathrm{fd}} / \eta_{\mathrm{a}}=1.0090\). Usando (\ ref {13.2.19}) la fracción de potencia reflejada =\(|\Gamma|^{2}=\left|\left(\eta_{\mathrm{n}}-1\right) /\left(\eta_{\mathrm{n}}+1\right)\right|^{2}\) donde\(\eta_{\mathrm{n}}=\eta_{\mathrm{fd}} / \eta_{\mathrm{a}}=1.0090\), encontramos\(|\Gamma|^{2} \cong 2 \times 10^{-5}\). Prácticamente toda la potencia acústica pasa a través. Si esta puerta sólida estuviera segura en su marco, las fuerzas de corte (descuidadas aquí) conducirían a un aislamiento acústico mucho mejor.

Líneas de transmisión acústicas de onda plana

Las ondas planas acústicas guiadas dentro de tubos de sección transversal constante satisfacen las condiciones límite que plantean las paredes rígidas: 1)\(\mathrm{u}_{\perp}=0 \), y 2) cualquiera\(\mathbf{u}_{/ /} \) y p está permitido. Si estos tubos se curvan lentamente en relación con una longitud de onda, entonces se conserva su comportamiento de onda plana. La viscosidad de los gases es suficientemente baja como para que las pérdidas por fricción en la pared generalmente se puedan descuidar en pequeños dispositivos acústicos. Las ondas resultantes se rigen por la ecuación de onda acústica (13.1.20), que tiene las soluciones para p, uz, y\(\eta \) dadas por (13.1.21), (13.1.22) y (13.1.23), respectivamente. La intensidad de onda se rige por (13.1.26), el coeficiente de reflexión complejo\( \underline{\Gamma}\) viene dado por (\ ref {13.2.19}), y las transformaciones de impedancia se rigen por (\ ref {13.2.21}). Este conjunto de ecuaciones es adecuado para resolver la mayoría de los problemas de líneas de transmisión acústica en tubos individuales una vez que modelamos sus terminaciones.

Dos terminaciones acústicas para tubos se tratan fácilmente: extremos cerrados y extremos abiertos. La condición límite planteada en el extremo cerrado de una tubería acústica es simplemente que u = 0. En un extremo abierto la presión es suficientemente liberada que p 0 ahí. Si relacionamos intuitivamente la velocidad acústica u (t, z) con la corriente i (z, t) en una línea TEM, y p (z, t) con la tensión v (t, z), entonces una tubería cerrada es análoga a un circuito abierto, y una tubería abierta es análoga a un cortocircuito (lo contrario de lo que podríamos esperar). ⁷⁵ Las ondas estacionarias existen en cualquier caso, con separaciones λ/2 entre nulos de presión o entre nulos de velocidad.

⁷⁵ Aunque también se pueden utilizar métodos directamente análogos a las líneas de transmisión TEM para analizar tubos de diferentes secciones transversales unidas en cruces, las sutilezas sitúan a este tema fuera del alcance de este texto.

Guías de ondas acústicas

Las guías de onda acústicas son tuberías que transportan sonido en uno o más modos de guía de onda. La sección 13.2.2 consideró solo el caso especial donde las ondas eran uniformes y la velocidad acústica\(\overline{\mathrm{u}} \) se limitó a la dirección ±z. De manera más general, la presión y velocidad de onda deben satisfacer la ecuación de onda acústica, análoga a (2.3.21):

\[\left(\nabla^{2}+\omega^{2} / c_{\mathrm{s}}^{2}\right)\left\{\frac{\mathrm{\underline p}}{\underline{\mathrm{u}}}\right\}=0 \label{13.2.23}\]

Las soluciones a (\ ref {13.2.23}) en coordenadas cartesianas son apropiadas para guías de onda rectangulares, como se discute en la Sección 9.3.2. Supongamos que dos de los muros están en x = 0 e y = 0. Entonces una onda que se propaga en la dirección +z podría tener la forma general:

\[\underline{\mathrm p}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\underline{\mathrm{p}}_{0}\left\{\begin{array}{l} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \\ \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y} \\ \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y} \end{array}\right\} \mathrm{e}^{-\mathrm{jk}_\mathrm{z}{\mathrm{z}}} \label{13.2.24}\]

La elección entre seno y coseno viene dictada por condiciones de límite sobre\( \underline{\mathrm{\overline u}}\), que se pueden encontrar usando\( \underline{\mathrm{\overline u}}=-\nabla \mathrm{\underline p} / \mathrm{j} \omega \rho_{\mathrm{o}}\) (\ ref {13.2.13}). Dado que la velocidad\( \underline{\mathrm{\overline u}}\) perpendicular a las paredes de la guía de ondas en x = 0 e y = 0 debe ser cero, así debe ser el gradiente p en las mismas direcciones x e y perpendiculares en las paredes. Solo los factores coseno en (\ ref {13.2.24}) tienen esta propiedad, por lo que los factores sinusoidales deben ser cero, produciendo:

\[\mathrm{\underline{p}=\underline{p}_{0} \cos k_{x} x \cos k_{y} y e^{-j k_{z} z}} \label{13.2.25}\]

\[\begin{align} \mathrm{ \overline { \underline H}}=&\left[\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{z}}\left\{\sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \textit { or } \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right\}\right. \nonumber \\ &\left.-\hat{y}\left(\mathrm{jk}_{\mathrm{y}} / \mathrm{k}_{\mathrm{o}}\right) \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \ \sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}+\hat{z}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{z}} / \mathrm{k}_{\mathrm{o}}\right) \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \ \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \label{13.2.26} \end{align}\]

Dado que\(\overline{\mathrm{\underline u}}_{\perp} \) (es decir\( \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{x}}\) y\( \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{y}}\)) también debe ser cero en los muros ubicados en x = a e y = b, se deduce que k _x a = m\(\pi\), _{y k y} b = n\(\pi\), donde m y n son enteros: 0,1,2,3,... La sustitución de cualquiera de estas soluciones (\ ref {13.2.25}) en la ecuación de onda (13.1.9) produce:

\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=(\mathrm{m} \pi / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi / \mathrm{b})^{2}+\left(2 \pi / \lambda_{\mathrm{z}}\right)^{2}=\mathrm{k}_{\mathrm{s}}^{2}=\omega^{2} \rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}=\omega^{2} / \mathrm{c}_{\mathrm{s}}^{2}=\left(2 \pi / \lambda_{\mathrm{s}}\right)^{2} \label{13.2.27}\]

\[\mathrm{k}_{\mathrm{Z}_{\mathrm{mn}}}=\sqrt{\mathrm{k}_{\mathrm{s}}^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}_{\mathrm{s}}}\right)^{2}-\left(\frac{\mathrm{m} \pi}{\mathrm{a}}\right)^{2}-\left(\frac{\mathrm{n} \pi}{\mathrm{b}}\right)^{2}} \rightarrow \pm \mathrm{j} \alpha \ \mathrm{at} \ \mathrm{\omega_n} \label{13.2.28}\]

Por lo tanto, cada modo acústico A _mn tiene su propia frecuencia de corte\(\omega_{\mathrm{mn}}\) donde k _z se vuelve imaginario. Así, cada modo se vuelve evanescente para frecuencias por debajo de su frecuencia de corte f _mn, análoga a (9.3.22), donde:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{mn}}=\omega_{\mathrm{mn}} / 2 \pi=\left[\left(\mathrm{c}_{\mathrm{s}} \mathrm{m} / 2 \mathrm{a}\right)^{2}+\left(\mathrm{c}_{\mathrm{s}} \mathrm{n} / 2 \mathrm{b}\right)^{2}\right]^{0.5} \ [\mathrm{Hz}] \qquad\qquad\qquad \text { (cutoff frequency) } \label{13.2.29}\]

\[\lambda_{\mathrm{mn}}=\mathrm{c}_{\mathrm{s}} / \mathrm{f}_{\mathrm{mn}}=\left[(\mathrm{m} / 2 \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} / 2 \mathrm{b})^{2}\right]^{-0.5} \ [\mathrm{m}] \qquad\qquad\qquad \text { (cutoff wavelength) } \label{13.2.30}\]

Por debajo de la frecuencia de corte f _mn para cada modo acústico el modo acústico evanescente se propaga como\( \mathrm{e}^{-\mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}=\mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}}\), análogo a (9.3.31), donde la tasa de decaimiento de onda es:

\[\alpha=\left[(\mathrm{m} \pi / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi / \mathrm{b})^{2}-\left(\omega_{\mathrm{mn}} / \mathrm{c}_{\mathrm{s}}\right)^{2}\right]^{0.5} \label{13.2.31}\]

La onda total en cualquier guía de ondas acústica es aquella superposición de modos separados que coincide con las condiciones y fuentes de límite dadas, donde uno (A ₀₀) o más modos siempre se propagan y un número infinito (m→∞, n→∞) son evanescentes y reactivos. La expresión for\(\underline{\mathrm p}\) sigue de (\ ref {13.2.25}) where\( \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \rightarrow \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}}\), y la expresión for\(\underline{\mathrm{\overline u}} \) sigue de\( \underline{\mathrm{\overline u}}=-\nabla \mathrm{\underline p} /\left(\mathrm{j} \omega \rho_{\mathrm{o}}\right)\) (\ ref {13.2.13}).

Resonadores acústicos

Cualquier contenedor cerrado que atrapa energía acústica exhibe resonancias al igual que los contenedores de baja pérdida de radiación electromagnética. Podemos considerar una habitación rectangular, o tal vez una caja más pequeña, como una guía de ondas acústica rectangular terminada en sus extremos por paredes (nulos de velocidad para u _z). Las ondas acústicas en su interior deben obedecer (\ ref {13.2.27}):

\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=(\mathrm{m} \pi / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi / \mathrm{b})^{2}+(\mathrm{q} \pi / \mathrm{d})^{2}=\omega^{2} / \mathrm{c}_{\mathrm{s}}^{2} \label{13.2.32}\]

donde\( \mathrm{k}_{\mathrm{z}}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{z}}\) ha sido reemplazado por k _z = q\(\pi\) /d usando la restricción de que si el cuadro es corto- o de circuito abierto en ambos extremos entonces su longitud d debe ser un número entero q de medias longitudes de onda\(\lambda_{\mathrm{z}} / 2\); por lo tanto\(\mathrm{d}=\mathrm{q} \lambda_{\mathrm{z}} / 2 \) y\( 2 \pi / \lambda_{\mathrm{z}}=\mathrm{q} \pi / \mathrm{d}\). Así, análogamente a (9.4.3), las frecuencias resonantes acústicas de una caja cerrada de dimensiones a, b, d son:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{mnq}}=\mathrm{c}_{\mathrm{s}}\left[(\mathrm{m} / 2 \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} / 2 \mathrm{b})^{2}+(\mathrm{q} / 2 \mathrm{d})^{2}\right]^{0.5} \ [\mathrm{Hz}] \qquad \qquad \qquad (\text { resonant frequencies }) \label{13.2.33}\]

Una construcción geométrica simple produce la densidad de modo (modes/Hz) tanto para resonadores acústicos rectangulares acústicos como electromagnéticos de volumen V = abd, como se sugiere en la Figura 13.2.2.

Figura\(\PageIndex{2}\): Modos resonantes de una cavidad rectangular.

Cada modo resonante A _mnq corresponde a un conjunto de números cuánticos m, n, q y a una celda en la figura. Haciendo referencia a (\ ref {13.2.11}) se puede observar que la frecuencia en la figura corresponde a la longitud de un vector desde el origen hasta el modo A _mnq de interés. _{El número total N o de modos acústicos con resonancias a frecuencias menores a f o es aproximadamente el volumen de la octava esfera que se muestra en la figura, dividido por el volumen de cada celda de dimensión (c s/2a) × (c s /2b) × (c s /2d), donde cada celda} corresponde a un modo acústico. La aproximación mejora a medida que f aumenta. Así:

\[\mathrm{N}_{\mathrm{o}} \cong\left[4 \pi \mathrm{f}_{\mathrm{o}}^{3} /(3 \times 8)\right] /\left(\mathrm{c}_{\mathrm{s}}^{3} / 8 \mathrm{abd}\right)=4 \pi \mathrm{f}_{\mathrm{o}}^{3} \mathrm{V} / 3 \mathrm{c}_{\mathrm{s}}^{3} \ \ \left[\operatorname{modes}<\mathrm{f}_{\mathrm{o}}\right] \label{13.2.34}\]

En el caso electromagnético cada conjunto de números cuánticos m, n, q corresponde tanto a un modo resonante TE como a un TM de una cavidad rectangular, por lo que N _o se duplica entonces:

\[{ }^{3} \mathrm{N}_{\mathrm{o}} \cong 8 \pi \mathrm{f}_{\mathrm{o}} \mathrm{V} / 3 \mathrm{C}^{2} \quad\left(\text { electromagnetic modes }<\mathrm{f}_{\mathrm{o}}\right) \label{13.2.35}\]

La densidad numérica n _o de los modos acústicos por Hertz es el volumen de una capa delgada de espesor Δf, nuevamente dividida por el volumen de cada celda:

\[\mathrm{n}_{\mathrm{o}} \cong \Delta \mathrm{f} \times 4 \pi \mathrm{f}^{2} /\left(8 \mathrm{c}_{\mathrm{s}}^{3} / 8 \mathrm{abd}\right)=\Delta \mathrm{f} 4 \pi \mathrm{f}^{2} \mathrm{V} / \mathrm{c}_{\mathrm{s}}^{3} \ \ \left[\operatorname{modes} \mathrm{Hz}^{-1}\right] \label{13.2.36}\]

Así, los modos de un resonador se superponen más y tienden a mezclarse a medida que aumenta la frecuencia. La densidad de los modos electromagnéticos en una cavidad similar vuelve a ser el doble que para los modos acústicos.

Los ejemplos típicos de resonadores acústicos incluyen instrumentos musicales como cuernos, instrumentos de viento de madera, tubos de órganos y el tracto vocal humano. Las habitaciones con paredes reflectantes son otro ejemplo. En cada caso si deseamos excitar un modo particular de manera eficiente la fuente no solo debe excitarlo con la frecuencia deseada, sino también desde una ubicación favorable.

Una forma de identificar ubicaciones favorables para la excitación modal es asumir que la fuente acústica ejerce presión p a través de una pequeña abertura en la pared o interior del resonador, y luego calcular la intensidad acústica incremental transferida desde esa fuente al resonador usando (13.1.27):

\[\mathrm{I}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{pu}^{*} / 2\right\} \label{13.2.37}\]

En esta expresión suponemos que\( \overline{\mathrm{\underline u}}\) está dominado por ondas ya presentes en el resonador a la frecuencia resonante de interés y que el vector\( \overline{\mathrm{ u}}\) es normal a la superficie a través de la cual se aplica p. Por lo tanto, las fuentes de presión ubicadas en nulos de velocidad para un modo particular no transfieren potencia y no se produce excitación. Por el contrario, la transferencia de potencia se maximiza si se aplica presión a velocidades máximas. De manera similar, las fuentes de velocidad acústica se ubican mejor a una presión máxima de un modo deseado. Por ejemplo, todos los modos acústicos tienen máximos de presión en las esquinas de las habitaciones rectangulares, por lo que los altavoces de velocidad ubicados ahí excitan todos los modos por igual.

Lo contrario también es cierto. Si deseamos humedecer ciertos modos acústicos podemos poner absorbedor a su velocidad o presión máxima, dependiendo del tipo de absorbedor utilizado. Una malla de alambre que introduce amortiguadores de resistencia a altas velocidades y superficies que reflejan las olas débilmente (como agujeros en tuberías) humedezcan los máximos de presión. Los modos de alta frecuencia están más fuertemente amortiguados en atmósferas húmedas que los modos de baja frecuencia, pero tales mecanismos de absorción masiva no discriminan entre ellos de otra manera.

Debido a que los máximos de presión y velocidad se ubican de manera diferente para cada modo, cada modo normalmente tiene una Q diferente, que es el número de radianes antes de que la energía total almacenada w _T decae en un factor de e ^-1. Por lo tanto, la Q de cualquier modo particular m, n, p es (7.4.34):

\[\mathrm{Q}=\omega_{\mathrm{o}} \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{d}} \qquad \qquad \qquad \text{(acoustic Q)} \label{13.2.38}\]

Las frecuencias resonantes y las energías almacenadas vienen dadas por (\ ref {13.2.33}) y (13.1.25), respectivamente, donde basta con calcular ya sea la máxima cinética almacenada o la energía potencial, pues son iguales. La potencia disipada P _d se puede encontrar integrando la expresión de intensidad (\ ref {13.2.37}) sobre las paredes blandas del resonador, y agregando cualquier disipación que ocurra en el interior.

Pequeños cambios en la forma del resonador pueden perturbir las frecuencias resonantes acústicas, al igual que las resonancias electromagnéticas están perturbadas. Si una indentación suave aumenta o disminuye una frecuencia resonante particular depende de si la presión acústica promedio en el tiempo para el modo de interés es positiva o negativa en esa indentación. Es útil señalar que la energía acústica se cuantifica, donde cada fonón tiene energía hf Julios donde h es la constante de Planck; esto es directamente análogo a un fotón a la frecuencia f. Por lo tanto, la energía acústica total en un resonador a la frecuencia f es:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\mathrm{nhf} \ [\mathrm{J}] \label{13.2.39}\]

Si la forma de la cavidad cambia lentamente con relación a la frecuencia, el número n de fonones acústicos permanece constante y cualquier cambio en w _T da como resultado un cambio correspondiente en f. El trabajo Δw _T realizado en el campo de fonones cuando las paredes de la cavidad se mueven hacia adentro Δz es positivo si el tiempo promedio acústico presión P _a es hacia afuera (positiva), y negativa si esa presión es hacia adentro o negativa: Δw _T = P _a Δz. Es bien sabido que el flujo gaseoso paralelo a una superficie tira de esa superficie como resultado del efecto Bernoulli, que es el mismo efecto que explica cómo se soportan las alas de avión en vuelo y cómo funcionan los aspiradores. Por lo tanto, si un resonador acústico es suavemente indentado a una velocidad máxima para una resonancia particular, esa frecuencia resonante f se reducirá ligeramente debido a que el campo de fonones que tira de la pared hacia adentro habrá trabajado en la pared. Todas las velocidades acústicas en las paredes deben ser paralelas a ellas. Por el contrario, si la indentación ocurre cerca de los máximos de presión para un conjunto de modos, la fuerza acústica neta es hacia afuera y por lo tanto la indentación sí funciona en el campo fonónico, aumentando la energía y frecuencia de esos modos.

El ejemplo más penetrante de este fenómeno es el habla humana, que emplea un tracto vocal quizás de 16 cm de largo, típicamente menos en mujeres y todos los niños. Un extremo es excitado por breves pulsos en la presión del aire producidos a medida que las cuerdas vocales vibran a la frecuencia de tono de cualquier vocal que se pronuncia. El tren resultante de pulsos de presión periódicos con periodo T tiene un espectro de frecuencia que consiste en impulsos espaciados a ^T-1 Hz, típicamente por debajo de 500 Hz. El tracto vocal acentúa entonces aquellos impulsos que caen cerca de cualquier resonancia de ese tracto.

Figura\(\PageIndex{3}\): Resonancias acústicas en tubos.

La Figura 13.2.3 ilustra las resonancias acústicas de menor frecuencia posibles en tuberías que son: (a) cerradas en ambos extremos, (b) abiertas en ambos extremos, y (c) cerradas en un extremo y abiertas en el otro; cada modo se designa A ₀₀₁ para su propia estructura, donde 00 corresponde al hecho de que la onda acústica es uniforme en el plano x-y, y 1 indica que es el modo resonante de frecuencia no cero más bajo. El resonador (a) es capaz de almacenar energía a frecuencia cero por presurización (en el modo A ₀₀₀), y el resonador (b) podría almacenar energía en el modo A ₀₀₀ si hubiera una velocidad constante en una dirección a través de la estructura; estos modos A ₀₀₀ generalmente no tienen interés, y algunos expertos no los consideran modos en absoluto.

Un boceto del tracto vocal humano aparece en la Figura 13.2.4 (a); en resonancia generalmente está abierto en la boca y cerrado en las cuerdas vocales, análogo al resonador representado en la Figura 13.2.3 (c). Esta estructura resuena cuando su longitud D corresponde a un cuarto de longitud de onda, tres cuartos de longitud de onda, o generalmente (2n-1) /4 longitudes de onda para el modo A _00n, como se esboza en la Figura 13.2.3 (b). Para un tramo vocal de 16 cm de largo y una velocidad de sonido c _s = 340 m s ^-1, la frecuencia resonante más baja\(\mathrm{f_{001}=c_{s} / \lambda_{001}}=340 /(4 \times 0.16)=531 \ \mathrm{Hz}\). Las siguientes resonancias, f ₂ y f ₃, caen a 1594 y 2656 Hz, respectivamente.

Figura\(\PageIndex{4}\): Tracto vocal humano.

Si la lengua ahora sangra el tracto vocal en la flecha indicada en (a) y (b) de la Figura 13.2.4, entonces las tres resonancias ilustradas se desplazarán todas como se indica en (c) de la figura. La resonancia f ₁ se desplaza solo ligeramente hacia arriba porque la indentación ocurre entre los picos de velocidad y presión, pero más cerca del pico de presión. Las resonancias se desplazan más significativamente hacia abajo para f ₂ y hacia arriba para f ₃ porque esta indentación ocurre cerca de la velocidad y la presión máxima para estas dos resonancias, respectivamente, mientras que ocurre cerca de un nulo para la variable complementaria. Simplemente controlando el ancho del tracto vocal en varias posiciones usando la lengua y los dientes, estas resonancias del tracto pueden modularse hacia arriba y hacia abajo para producir nuestra gama completa de vocales.

Estas resonancias son impulsadas por impulsos periódicos de aire liberados por las cuerdas vocales a un tono controlado por el hablante. El tono es una fracción de la frecuencia resonante más baja del tracto vocal, y los impulsos son suficientemente breves para que sus armónicos varíen hasta 5 kHz y más. El habla también incluye ruido de banda ancha aguda causado por el aire turbulento que silba más allá de los dientes u otros obstáculos como en las consonantes s, h y f, y picos impulsivos causados por cierres temporales de vías, como en las consonantes b, d y p. Por lo tanto, el habla incluye ambos sonoros (impulsados por impulsos de cuerdas vocales) y componentes sin voz. El contenido espectral de la mayoría de las consonantes puede ser modulado de manera similar por el tracto vocal y la boca.

Es posible cambiar la composición del aire en el tracto vocal, alterando así la velocidad del sonido c _s y las frecuencias resonantes del tracto, que son proporcionales a c _s (\ ref {13.2.30}). Así, al respirar helio todas las frecuencias de resonancia del tracto aumentan en una fracción notable, equivalente a acortar el tracto vocal. Tenga en cuenta que el tono no es alterado significativamente por el helio porque el tono natural de las cuerdas vocales está determinado principalmente por su tensión, composición y longitud.