1.1: La Ley Coulomb

Una discusión cuantitativa de la electrodinámica clásica, partiendo de la electrostática, requiere un acuerdo común sobre el significado de las siguientes nociones: ²

• cargas eléctricas\(\ q_{k}\), como se revela, más explícitamente, mediante la observación de la interacción electrostática entre las partículas cargadas;
• cargas puntuales: las partículas cargadas tan pequeñas que su posición en el espacio, para el problema dado, puede describirse completamente (en un marco de referencia dado) por sus vectores de radio\(\ \mathbf{r}_{k}\); y
• conservación de carga eléctrica — el hecho de que la suma algebraica de todas las cargas\(\ q_{k}\) dentro de cualquier volumen cerrado se conserva a menos que las partículas cargadas crucen el borde del volumen.

Asumiré que estas nociones son bien conocidas por el lector. Utilizándolos, la ley Coulomb ³ para la interacción de dos cargas puntuales estacionarias puede formularse de la siguiente manera:

\ [\\ text {Ley Coulomb}\ quad\ quad\ quad
\ begin {reunidos}
\ mathbf {F} _ {k k^ {\ prime}} =\ kappa q_ {k} q_ {k^ {\ prime}}\ frac {\ mathbf {r} _ {k} -\ mathbf {r} _ _ {k^ {\ prime}}} {\ izquierda |\ mathbf {r} _ {k^ {\ prime}}} {\ izquierda |\ mathbf {r} _ _ {k^

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    at (Fisica/Electricidad_y_Magnetismo/Posgrado_Esencial_Física_-_Electrodinámica_Clásica_(Likharev)/01:_Interacción_de_carga_eléctrica/1.01:_La_Ley_Coulomb), /content/body/p[3]/span, line 1, column 2

\ equiv\ kappa\ frac {q_ {k} q_ {k^ {\ prime}}} {R_ {k k^ {\ prime}} ^ {2}}\ mathbf { n} _ _ {k k^ {\ prime}},\
\ texto {con}\ mathbf {R} _ {k k^ {\ prime}}\ equiv\ mathbf {r} _ {k} -\ mathbf {r} _ {k^ {\ prime}},\ quad\ mathbf {n} _ {k k^ {\ prime}}\ equiv\ frac {\ mathbf {R} _ _ {k k^ {\ prime}}} {R_ {k k^ {\ prime}}},\ quad R_ {k k^ {\ prime}}\ equiv\ izquierda|\ mathbf {R} _ {k k^ {\ prime}}\ derecha|\ texto {.}
\ fin {reunidos}\ etiqueta {1.1}\]

donde\(\ \mathbf{F}_{k k^{\prime}}\) denota la fuerza electrostática (Coulomb) ejercida sobre el número de carga\(\ k\) por el número de carga\(\ k^{\prime}\), separada de él por la distancia\(\ R_{k k^{\prime}}\) — ver Fig. 1.

Fig. 1.1. Direcciones de fuerza de Coulomb (para el caso\(\ q_{k} q_{k^{\prime}}>0\)).

Estoy seguro de que esta ley es muy familiar para el lector, pero algunos comentarios aún pueden ser debidos:

1. Volteando los índices\(\ k\) y\(\ k^{\prime}\), vemos que la Ec. (1) cumple con la ley\(\ 3^{\mathrm{rd}}\) Newton: la fuerza recíproca es igual en magnitud pero opuesta en dirección:\(\ \mathbf{F}_{k^{\prime} k}=-\mathbf{F}_{k k^{\prime}}\).
2. Dado que el vector\(\ \mathbf{R}_{k k^{\prime}} \equiv \mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\), por su definición, se dirige desde el punto\(\ \mathbf{r}_{k^{\prime}}\) hacia el punto\(\ \mathbf{r}_{k}\) (Fig. 1), la Ec. (1) describe correctamente el hecho experimental de que las cargas del mismo signo (es decir, con\(\ q_{k} q_{k^{\prime}}>0\)) se repulsan, mientras que aquellas con signos opuestos se\(\ \left(q_{k} q_{k^{\prime}}<0\right)\) atraen entre sí.
3. En algunos libros de texto, la ley Coulomb (1) se da con el calificativo “en espacio libre” o “en vacío”. Sin embargo, en realidad, la ecuación (1) sigue siendo válida incluso en presencia de cualesquiera otras cargas —por ejemplo, de cargas internas en un medio cuasi-continuo que pueda rodear las dos cargas (número\(\ k\) y\(\ k^{\prime}\)) bajo consideración. La confusión se deriva del hecho (que se discutirá en detalle en el capítulo 3 infra) de que en algunos casos es conveniente representar formalmente el efecto de los otros cargos como una modificación efectiva de la ley Coulomb.
4. La constante\(\ k\) en la Ec. (1) depende del sistema de unidades que utilicemos. En las unidades gaussianas,\(\ k\) se establece en 1, por el precio de introducir una unidad especial de carga (el statculomb) que haría compatibles los datos experimentales con la Ec. (1), si la fuerza\(\ \mathbf{F}_{k k^{\prime}}\) se mide en las unidades gaussianas (dinas). Por otro lado, en el Sistema Internacional (“SI”) de unidades, la unidad de carga es un culombo (abreviado C), ⁴ y\(\ k\) es diferente de 1:

   \[\ \left.k\right|_{\mathrm{SI}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}, \quad\quad\quad k\text{ in SI units}\tag{1.2}\]

   donde\(\ \varepsilon_{0} \approx 8.854 \times 10^{-12}\) se llama la constante eléctrica.

Desafortunadamente, la continua lucha entre los celosos defensores de estos dos sistemas tiene todas las características no tan agradables de una guerra religiosa, con una posibilidad igualmente escasas de que cualquier bando la gane en un futuro previsible. En mi humilde opinión, cada uno de estos sistemas tiene sus ventajas y desventajas (que se señalarán a continuación en varias ocasiones), y todo físico educado no debería tener ningún problema en usar ninguno de ellos. Siguiendo las recomendaciones insistentes de los sindicatos científicos internacionales, estoy usando las unidades SI a través de mi serie. Sin embargo, para la comodidad de los lectores, en este curso (donde la diferencia entre los sistemas gaussiano y SI es especialmente significativa) escribiré las fórmulas más importantes con la constante (2) claramente mostrada —por ejemplo, la Ec. (1) como

\[\ \mathbf{F}_{k k^{\prime}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{k} q_{k^{\prime}} \frac{\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}}{\left|\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right|^{3}},\tag{1.3}\]

de manera que el traslado a las unidades gaussianas se pueda realizar sólo por el reemplazo formal\(\ 4 \pi \varepsilon_{0} \rightarrow 1\). (En los raros casos en que la transferencia no es obvia, duplicaré tales fórmulas en las unidades gaussianas.)

Además de la Ec. (3), otra ley experimental clave de la electrostática es el principio de superposición lineal: las fuerzas electrostáticas ejercidas sobre alguna carga puntual (digamos,\(\ q_{k}\)) por otras cargas se suman como vectores, formando la fuerza neta

\[\ \mathbf{F}_{k}=\sum_{k^{\prime} \neq k} \mathbf{F}_{k k^{\prime}},\tag{1.4}\]

donde la suma se extiende sobre todas las cargas pero\(\ q_{k}\), y la fuerza parcial\(\ \mathbf{F}_{k k^{\prime}}\) se describe en la Ec. (3). El hecho de que la suma esté restringida\(\ k^{\prime} \neq k\) significa que una carga puntual, en estática, no interactúa consigo misma. Este hecho puede parecer obvio a partir de la ecuación (3), cuyo lado derecho diverge en\(\ \mathbf{r}_{k} \rightarrow \mathbf{r}_{k^{\prime}}\), pero se vuelve menos evidente (aunque aún cierto) en la mecánica cuántica, donde la carga de incluso una partícula elemental se extiende efectivamente alrededor de algún volumen, junto con la función de onda de la partícula. ⁵

Ahora podemos combinar las ecuaciones (3) y (4) para obtener la siguiente expresión para la fuerza neta F que actúa sobre una carga de sonda\(\ q\) ubicada en el punto r:

\[\mathbf{F}(\mathbf{r})=q \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{\mathbf{r}_{k^{\prime}} \neq \mathbf{r}} q_{k^{\prime}} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right|^{3}}.\tag{1.5}\]

Esta igualdad implica que tiene sentido introducir la noción del campo eléctrico en el punto r (como entidad independiente de\(\ q\)), caracterizado por el siguiente vector:

\[\ \text{Electric field: definition}\quad\quad\quad \mathbf{E}(\mathbf{r}) \equiv \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{q},\tag{1.6}\]

formalmente llamado la fuerza del campo eléctrico —pero con mucha más frecuencia, solo el “campo eléctrico”. En estos términos, la Ec. (5) se convierte en

\[\ \text{Electric field of point charges}\quad\quad\quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{\mathbf{r}_{k^{\prime}} \neq \mathbf{r}} q_{k^{\prime}} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right|^{3}}.\tag{1.7}\]

Simplemente conveniente es la electrostática, la noción de campo se vuelve prácticamente inevitable para la descripción de fenómenos dependientes del tiempo (como las ondas electromagnéticas, ver Capítulo 7 y adelante), donde el campo electromagnético se manifiesta como una forma específica de materia, con masa de reposo cero, y por lo tanto diferente de la partículas habituales de “material”.

Muchos problemas del mundo real involucran múltiples cargos puntuales ubicados tan cerca que es posible aproximarlos con una distribución de carga continua. En efecto, consideremos un grupo de muchos cargos\(\ (d N>>1)\) cercanos, ubicados en puntos\(\ \mathbf{r}_{k^{\prime}}\), todos dentro de un volumen elemental\(\ d^{3} r^{\prime}\). Para puntos de observación de campo relativamente distantes\(\ \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right| \gg d r^{\prime}\), con, el factor geométrico en los términos correspondientes de la ecuación (7) es
esencialmente el mismo. En consecuencia, estos cargos pueden ser tratados como un solo cargo elemental\(\ d Q\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\). Dado que en\(\ d N \gg 1\), esta carga elemental es proporcional al volumen elemental\(\ d^{3} r^{\prime}\), podemos definir la densidad de carga 3D local\(\ \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\) mediante la siguiente relación:

\[\ \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime} \equiv d Q\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \equiv \sum_{r_{k^{\prime}} \in d^{3} r^{\prime}} q_{k^{\prime}},\tag{1.8}\]

y reescribir la Eq. (7) como integral (sobre el volumen que contiene todas las cargas esenciales):

\[\ \text{Electric field of continuous charge}\quad\quad\quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^{3}} d^{3} r^{\prime}.\tag{1.9}\]

Obsérvese que para una densidad de carga continua y suave\(\ \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\), la integral en la Ec. (9) no diverge en\(\ \mathbf{R} \equiv \mathbf{r}-\mathbf{r^{\prime}\rightarrow}\ 0\), porque en este límite la fracción debajo de la integral aumenta como\(\ R^{-2}\), es decir, más lenta que la disminución del volumen elemental\(\ d^{3} r^{\prime}\), proporcional a\(\ R^{3}\).

Permítanme enfatizar el doble uso de la Ec. (9). En el caso cuando\(\ \rho(\mathbf{r})\) es una función continua que representa la carga promedio, definida por la Ec. (8), la ecuación (9) no es válida a distancias\(\ \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right|\) del orden de la distancia entre las cargas puntuales adyacentes, es decir, no describe variaciones rápidas del campo eléctrico a estas distancias. Tal campo aproximado, suavemente cambiante E (r), se llama macroscópico; volveremos repetidamente a esta noción en los siguientes capítulos. Por otro lado, la Ec. (9) también puede ser utilizada para la descripción del campo exacto (frecuentemente llamado microscópico) de cargas puntuales discretas, empleando la noción de la\(\ \delta\) función de Dirac, que es la aproximación matemática para una función muy nítida igual a cero en todas partes menos un punto, y aún que tiene una integral finita (igual a 1). ⁶ En efecto, en este formalismo, un conjunto de cargas\(\ q_{k^{\prime}}\) puntuales ubicadas en puntos\(\ \mathbf{r}_{k^{\prime}}\), puede ser representado por
densidad pseudo-continua

\[\ \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)=\sum_{k^{\prime}} q_{k^{\prime}} \delta\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right).\tag{1.10}\]

Conectando esta expresión a la ecuación (9), volvemos a su versión exacta y discreta (7). En este sentido, la ecuación (9) es
exacta, y podemos usarla como expresión general para el campo eléctrico.

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Referencia

² Además de las nociones más generales del espacio newtoniano clásico, las partículas puntuales y las fuerzas, como se usa en la mecánica clásica — véase, por ejemplo, CM Sec. 1.1.

³ Formulado en 1785 por Charles-Augustin de Coulomb, a partir de sus experimentos anteriores, a su vez enraizamiento en estudios previos de fenómenos electrostáticos, con notables contribuciones de William Gilbert, Otto von Guericke, Charles François de Cisternnay Du Fay, y Benjamin Franklin.

⁴ Desde 2018, se define un culombo, en la metrología “legal”, como un número determinado, exactamente fijo de las cargas eléctricas fundamentales e, y el valor SI “legal” de no\(\ \mathcal{E}_{0}\) es más exactamente igual a\(\ 10^{7} / 4 \pi c^{2}\) (dónde\(\ c\) está la velocidad de la luz) como era antes de eso, sino que permanece extremadamente cerca de esa fracción, con la diferencia relativa del
orden de\(\ 10^{-10}\) — ver apéndice CA: Constantes Físicas Seleccionadas.

⁵ Tenga en cuenta que algunas aproximaciones ampliamente utilizadas, por ejemplo, la teoría funcional de la densidad (DFT) de los sistemas de múltiples partículas, esencialmente violan esta ley, limitando así su precisión y aplicabilidad — véase, por ejemplo, QM Sec. 8.4.

⁶ Véase, e.g., MA Sec. 14. La densidad de carga 2D (área)\(\ \sigma\) y la densidad 1D (lineal)\(\ \lambda\) pueden definirse de manera absolutamente similar a la densidad 3D (volumica)\(\ \rho\):\(\ d Q=\sigma d^{2} r, d Q=\lambda d r\). Obsérvese que las aproximaciones en que cualquiera\(\ \sigma \neq 0\) o\(\ \lambda \neq 0\) implican que\(\ \rho\) es formalmente infinito en la ubicación de carga; por ejemplo, el modelo en que un plano\(\ z=0\) está cargado con densidad de área\(\ \sigma \neq 0\), significa que\(\ \rho=\sigma \delta(z)\), donde\(\ \delta(z)\) está la función delta de Dirac.