1.2: La Ley Gauss

Debido a la extensión de la ecuación (9) a los cargos puntuales (“discretos”), puede parecer que no necesitamos nada más para resolver ningún problema de electrostática. En la práctica, sin embargo, esto no es del todo cierto —en primer lugar, porque el uso directo de la Ec. (9) frecuentemente conduce a cálculos complejos. En efecto, intentemos resolver un problema muy sencillo: encontrar el campo eléctrico inducido por una distribución de carga esféricamente simétrica con densidad\(\ \rho\left(r^{\prime}\right)\). Podemos usar inmediatamente la simetría del problema para argumentar que el campo
eléctrico también debe ser esféricamente simétrico, con un solo componente en las coordenadas esféricas:\(\ \mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r) \mathbf{n}_{r}\), donde\(\ \mathbf{n}_{r} \equiv \mathbf{r} / r\) está el vector unitario en la dirección del punto de observación del campo\(\ \mathbf{r}\) (Fig. 2).

Fig. 1.2. Uno de los problemas más simples de la electrostática: el campo eléctrico producido por una distribución de carga esféricamente simétrica.

Tomando esta dirección para el eje polar de un sistema de coordenadas esféricas, podemos usar la simetría axial evidente del sistema para reducir la ecuación (9) a

\[\ E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} 2 \pi \int_{0}^{\pi} \sin \theta^{\prime} d \theta^{\prime} \int_{0}^{\infty} r^{\prime 2} d r^{\prime} \frac{\rho\left(r^{\prime}\right)}{R^{2}} \cos \theta,\tag{1.11}\]

donde\(\ \theta\) y\(\ R\) son los parámetros geométricos marcados en la Fig. 2. Dado que todos ellos pueden expresarse fácilmente a través de\(\ r^{\prime}\) y\(\ \theta^{\prime}\), utilizando los parámetros auxiliares\(\ a\) y\(\ h\),

\[\ \cos \theta=\frac{r-a}{R}, \quad R^{2}=h^{2}+\left(r-r^{\prime} \cos \theta\right)^{2}, \quad \text { where } a \equiv r^{\prime} \cos \theta^{\prime}, \quad h \equiv r^{\prime} \sin \theta^{\prime},\tag{1.12}\]

La ecuación (11) puede reducirse eventualmente a una integral explícita sobre\(\ r^{\prime}\) y\(\ \theta^{\prime}\), y trabajada analíticamente, pero eso requeriría algún esfuerzo.

Para otros problemas, la integral (9) puede ser mucho más complicada, desafiando una solución analítica. Se podría argumentar que con la abundancia actual de computadoras y bibliotecas de algoritmos numéricos, siempre se puede recurrir a la integración numérica. Este argumento puede ser potenciado por el hecho de que la integración numérica se basa en la sustitución de la integral requerida por una suma discreta, y la suma es mucho más robusta a los errores de redondeo (inevitables) que los esquemas de diferencia finita típicos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Estos argumentos, sin embargo, sólo están parcialmente justificados, ya que en muchos casos el enfoque numérico se encuentra con un problema a veces llamado la maldición de la dimensionalidad —la dependencia exponencial del número de cálculos necesarios del número de parámetros independientes del problema. ⁷ Así, a pesar de la proliferación de métodos numéricos en física, los resultados analíticos tienen un valor eterno, y debemos tratar de obtenerlos siempre que podamos. Para nuestro problema actual de encontrar el campo eléctrico generado por un conjunto fijo de cargas eléctricas, gran ayuda puede provenir de la llamada ley Gauss.

Para derivarlo, consideremos una carga de un solo punto\(\ q\) dentro de una superficie lisa y cerrada S (Fig. 3), y calculemos el producto\(\ E_{n} d^{2} r\), donde\(\ d^{2} r\) es un área elemental de la superficie (que puede estar bien aproximada con un fragmento plano de esa área), y\(\ E_{n} \equiv \mathbf{E} \cdot \mathbf{n}\) es el componente de la campo eléctrico en ese punto, normal al plano.

Fig. 1.3. Derivar la ley Gauss: una carga puntual\(\ q\) (a) dentro del volumen\(\ V\), y (b) fuera de ese volumen.

Este componente puede calcularse como\(\ E \cos \theta\), donde\(\ \theta\) está el ángulo entre el vector E y el vector unitario n normal a la superficie. Ahora notemos que el producto no\(\ \cos \theta d^{2} r\) es más que el área\(\ d^{2}r^{\prime}\) de la proyección de\(\ d^{2} r\) sobre el plano perpendicular al vector r conectando la carga\(\ q\) con este punto de la superficie (Fig. 3), debido a que el ángulo entre los planos\(\ d^{2}r^{\prime}\) y \(\ d^{2} r\)también es igual a\(\ \theta\). Usando la ley Coulomb para E, obtenemos

\[\ E_{n} d^{2} r=E \cos \theta d^{2} r=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} d^{2} r^{\prime}.\tag{1.13}\]

Pero la relación no\(\ d^{2} r^{\prime} / r^{2}\) es más que el ángulo sólido elemental\(\ d \Omega\) bajo el cual las áreas\(\ d^{2}r^{\prime}\) y\(\ d^{2} r\) se ven desde el punto de carga, por lo que se\(\ E_{n} d^{2} r\) puede representar como solo un producto de\(\ d \Omega\) por una constante\(\ \left(q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right)\). Al sumar estos productos en toda la superficie, obtenemos

\[\ \oint_{S} E_{n} d^{2} r=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oint_{S} d \Omega \equiv \frac{q}{\varepsilon_{0}},\tag{1.14}\]

ya que el ángulo sólido completo es igual\(\ 4 \pi\). (La integral en el lado izquierdo de esta relación se llama flujo del campo eléctrico a través de la superficie S.)

La relación (14) expresa la ley Gauss por un punto de carga. No obstante, sólo es válido si la carga se encuentra dentro del volumen\(\ V\) limitado por la superficie\(\ S\). Para encontrar el flujo creado por una carga ubicada fuera del volumen, todavía podemos usar la Eq. (13), pero hay que tener cuidado con los signos de las contribuciones elementales\(\ E_{n} d A\). Usemos la convención común para dirigir el vector unitario n fuera del volumen cerrado que estamos considerando (la llamada normal externa), de manera que el producto elemental\(\ E_nd^2r=(\mathbf{E} \cdot \mathbf{n}) d^{2} r\) y por lo tanto\(\ d \Omega=E_{n} d^{2} r^{\prime} / r^{2}\) sea positivo si el vector E está señalando fuera del volumen (como en el ejemplo mostrado en la Fig. 3a y el área superior derecha en la Fig. 3b), y negativo en el caso opuesto (por ejemplo, en el área inferior izquierda en la Fig. 3b). Como muestra esta última figura, si la carga se ubica fuera del volumen, por cada contribución positiva siempre\(\ d \Omega\) hay una contribución igual y opuesta a la integral. Como resultado, en la integración sobre el ángulo sólido, las contribuciones positivas y negativas cancelan exactamente, de manera que

\[\ \oint_{S} E_{n} d^{2} r=0.\tag{1.15}\]

El verdadero poder de la ley Gauss se revela por su generalización al caso de varios cargos dentro del volumen\(\ V\). Dado que el cálculo del flujo es una operación lineal, el principio de superposición lineal (4) significa que el flujo creado por varias cargas es igual a la suma (algebraica) de flujos individuales de cada carga, para lo cual son válidos ya sea la Ec. (14) o la Eq. (15), dependiendo de la posición de carga (dentro o fuera de la volumen). Como resultado, para el flujo total obtenemos:

\[\ \oint_{S} E_{n} d^{2} r=\frac{Q_{V}}{\varepsilon_{0}} \equiv \frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum_{\mathbf{r}_{j} \in V} q_{j} \equiv \frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime},\quad\quad\quad\text{Gauss Law}\tag{1.16}\]

donde\(\ Q_{V}\) esta la carga neta dentro del volumen\(\ V\). Esta es la versión completa de la ley Gauss. ⁸

Para apreciar el poder de resolución de problemas de la ley, volvamos al problema ilustrado en la Fig. 2, es decir, una distribución de carga esférica. Debido a su simetría, que ya había sido discutida anteriormente, si aplicamos la Ec. (16) a una esfera de radio r, el campo eléctrico debería ser normal a la esfera en cada uno de sus puntos (i.e.,\(\ E_{n}=E\)), y su magnitud la misma en todos los puntos:\(\ E_{n}=E(r)\). Como resultado, el cálculo del flujo es elemental:

\[\ \oint E_{n} d^{2} r=4 \pi r^{2} E(r)\tag{1.17}\]

Ahora, aplicando la ley Gauss (16), obtenemos:

\[\ 4 \pi r^{2} E(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{r^{\prime}<r} \rho\left(r^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime}=\frac{4 \pi}{\varepsilon_{0}} \int_{0}^{r} r^{\prime 2} \rho\left(r^{\prime}\right) d r^{\prime},\tag{1.18}\]

para que, finalmente,

\[\ E(r)=\frac{1}{r^{2} \varepsilon_{0}} \int_{0}^{r} r^{\prime 2} \rho\left(r^{\prime}\right) d r^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q(r)}{r^{2}},\tag{1.19}\]

donde\(\ Q(r)\) está la carga completa dentro de la esfera de radio\(\ r\):

\[\ Q(r) \equiv \int_{r^{\prime}<r} \rho\left(r^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime}=4 \pi \int_{0}^{r} \rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} d r^{\prime}.\tag{1.20}\]

En particular, esta fórmula muestra que el campo fuera de una esfera de radio finito\(\ R\) es exactamente el mismo que si toda su carga\(\ Q=Q(R)\) estuviera concentrada en el centro de la esfera. (Tenga en cuenta que este importante resultado solo es válido para una distribución de carga esféricamente simétrica). Para el campo dentro de la esfera, encontrar el campo eléctrico aún requiere la integración explícita (20), pero esta integral 1D es mucho más simple que la integral 2D (11), y en algunos casos importantes puede elaborarse fácilmente analíticamente. Por ejemplo, si la carga\(\ Q\) se distribuye uniformemente dentro de una esfera de radio\(\ R\),

\[\ \rho\left(r^{\prime}\right)=\rho=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{(4 \pi / 3) R^{3}},\tag{1.21}\]

la integración es elemental:

\[\ E(r)=\frac{\rho}{r^{2} \varepsilon_{0}} \int_{0}^{r} r^{\prime 2} d r^{\prime}=\frac{\rho r}{3 \varepsilon_{0}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q r}{R^{3}}.\tag{1.22}\]

Vemos que en este caso, el campo está creciendo linealmente desde el centro hasta la superficie de la esfera, y sólo en los\(\ r>R\) inicios para disminuir de acuerdo con la Ec. (19) con constante\(\ Q(r)=Q\). Obsérvese también que el campo eléctrico es continuo para todos\(\ r\) (incluyendo\(\ r = R\)) — como para todos los sistemas con densidad volumica finita,

Para subrayar la importancia de la última condición, consideremos un ejemplo más elemental pero muy importante de la aplicación de la ley Gauss. Dejar que una lámina plana delgada (Fig. 4) se cargue uniformemente, con una densidad de área\(\ \sigma=\operatorname{const}\). En este caso, es fructífero utilizar el volumen Gauss en forma de un “pastillero” plano de espesor\(\ 2z\) (donde\(\ z\) está la coordenada cartesiana perpendicular al plano) y cierta área\(\ A\) — ver las líneas discontinuas en la Fig. 4. Debido a la simetría del problema, es evidente que el campo eléctrico debe ser: (i) dirigido a lo largo del\(\ z\) eje -eje, (ii) constante en cada uno de los lados superior e inferior del pastillero, (iii) igual y opuesto en estos lados, y (iv) paralelo a las superficies laterales de la caja. Como resultado, el flujo completo del campo eléctrico a través de la superficie del pastillero es justo\(\ 2 A E(z)\), de manera que la ley Gauss (16) rinde\(\ 2 A E(z)=Q_{A} / \varepsilon_{0} \equiv \sigma A / \varepsilon_{0}\), y obtenemos una fórmula muy simple pero importante

\[\ E(z)=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}=\text { const }.\tag{1.23}\]

Fig. 1.4. El campo eléctrico de un avión cargado.

Observe que, algo contraintuitivamente, la magnitud del campo no depende de la distancia desde el plano cargado. Desde el punto de vista de la ley Coulomb (5), este resultado puede explicarse de la siguiente manera: cuanto más lejos esté el punto de observación del plano, más débil será el efecto de cada carga elemental\(\ d Q=\sigma d^{2} r\), pero cuanto más dichos cargos elementales den contribuciones al\(\ z\) -componente del vector E, porque se “ven” desde el punto de observación en ángulos relativamente pequeños con respecto al\(\ z\) eje.

Obsérvese también que aunque la magnitud\(\ E \equiv|\mathbf{E}|\) del campo eléctrico es constante, su componente\(\ E_{n}\) normal al plano (para nuestra elección de coordenadas\(\ E_{z}\)) cambia su signo en el plano, experimentando una discontinuidad (salto) igual a

\[\ \Delta E_{n}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.\tag{1.24}\]

Este salto desaparece si la superficie no está cargada. Volviendo por una fracción de segundo a nuestro problema de esfera cargada, resolviéndolo consideramos que la densidad\(\ \rho\) de carga volumétrica era finita en todas partes, incluida la superficie de la esfera, de manera que sobre ella\(\ \sigma=0\), y el campo eléctrico debería ser continuo —tal como es.

Es cierto que la forma integral (16) de la ley Gauss es inmediatamente útil solo para geometrías altamente simétricas, como en los dos problemas discutidos anteriormente. Sin embargo, puede refundirse en una forma alternativa, diferencial cuyo campo de aplicaciones útiles es mucho más amplio. Esta forma puede obtenerse a partir de la Ec. (16) utilizando el teorema de divergencia del álgebra vectorial, que es válido para cualquier vector diferenciable en el espacio, en particular E, y para el volumen\(\ V\) limitado por cualquier superficie cerrada\(\ S\): ⁹

\[\ \oint_{S} E_{n} d^{2} r=\int_{V}(\nabla \cdot \mathbf{E}) d^{3} r\tag{1.25}\]

donde\(\ \nabla\) es el operador del (o “nabla”) de diferenciación espacial. ¹⁰ Combinando la Eq. (25) con la ley Gauss (16), obtenemos

\[\ \int_{V}\left(\nabla \cdot \mathbf{E}-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\right) d^{3} r=0.\tag{1.26}\]

Para una distribución espacial dada de la carga eléctrica (y por lo tanto del campo eléctrico), esta ecuación debe ser válida para cualquier elección del volumen\(\ V\). Esto puede sostenerse solo si la función debajo de la integral desaparece en cada punto, es decir, si ¹¹

\[\ \text{Inhomo-geneous Maxwell equation for }\mathbf{E}\quad\quad\quad\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.\tag{1.27}\]

Obsérvese que en agudo contraste con la forma integral (16), la ecuación (27) es local: relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga en el mismo punto. Esta ecuación, al ser la forma diferencial de la ley Gauss, es frecuentemente llamada una de las ecuaciones ¹² de Maxwell —para ser discutida una y otra vez más adelante en este curso.

En la terminología matemática, la Ec. (27) no es homogénea, porque tiene un lado derecho independiente (al menos explícitamente) del campo E que describe. Otro “embrión” homogéneo de la ecuación de Maxwell (¡válido solo para el caso estacionario!) se puede obtener al notar que el rizo del campo de la carga puntual, y por lo tanto el de cualquier sistema de cargas, es igual a cero: ¹³

\[\ \text{Homo-geneous Maxwell equation for }\mathbf{E}\quad\quad\quad\nabla \times \mathbf{E}=0.\tag{1.28}\]

(Llegaremos a otras dos ecuaciones de Maxwell, para el campo magnético, en el Capítulo 5, y luego generalizaremos todas las ecuaciones a su forma completa, dependiente del tiempo, al final del Capítulo 6. Sin embargo, la ecuación (27) permanecería igual.)

Sólo para obtener una mejor sensación intestinal de la Ec. (27), apliquémosla al mismo ejemplo de una esfera uniformemente cargada (Fig. 2). El álgebra vectorial nos dice que la divergencia de una función vectorial esféricamente simétrica\(\ \mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r) \mathbf{n}_{r}\) puede expresarse simplemente en coordenadas esféricas: ¹⁴\(\ \nabla \cdot \mathbf{E}=\left[d\left(r^{2} E\right) / d r\right] / r^{2}\). Como resultado, la ecuación (27) produce una ecuación diferencial lineal y ordinaria para la función escalar\(\ E(r)\):

\[\ \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} E\right)= \begin{cases}\rho / \varepsilon_{0}, & \text { for } r \leq R, \\ 0, & \text { for } r \geq R,\end{cases}\tag{1.29}\]

que pueden integrarse fácilmente en cada uno de estos segmentos:

\[\ E(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}} \times \begin{cases}\rho \int r^{2} d r=\rho r^{3} / 3+c_{1}, & \text { for } r \leq R, \\ c_{2}, & \text { for } r \geq R .\end{cases}\tag{1.30}\]

Para determinar la constante de integración\(\ c_{1}\), podemos usar la siguiente condición de límite:\(\ E(0)=0\). (Se desprende de la simetría esférica del problema: en el centro de la esfera, el campo eléctrico tiene que desvanecerse, porque de lo contrario, ¿a dónde se dirigiría?) Este requisito da\(\ c_{1}=0\). La segunda constante,\(\ c_{2}\), se puede encontrar a partir de la condición de continuidad\(\ E(R-0)=E(R+0)\), que ya se ha comentado anteriormente, dando\(\ c_{2}=\rho R^{3} / 3 \equiv Q / 4 \pi\). Como resultado, llegamos a nuestros resultados anteriores (19) y (22).

Podemos ver que en este caso particular, altamente simétrico, utilizar la forma diferencial de la ley Gauss es más complejo que su forma integral. (Para nuestro segundo ejemplo, mostrado en la Fig. 4, sería aún menos natural.) Sin embargo, la Ec. (27) y sus generalizaciones son más convenientes para distribuciones de carga asimétrica, y son invaluables en los casos en que la distribución no\(\ \rho(\mathbf{r})\) se conoce a priori y tiene que ser encontrada de manera autoconsistente. (Empezaremos a discutir tales casos en el próximo capítulo.)

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Referencia

⁷ Para una discusión más detallada de este problema, véase, e.g., CM Sec. 5.8.

⁸ El nombre del famoso Carl Gauss (1777-1855), a pesar de que fue formulado por primera vez antes (en 1773) por Joseph-Louis Lagrange, quien también fue el padre-fundador de la mecánica analítica —véase, por ejemplo, CM Capítulo 2.

⁹ Véase, por ejemplo, MA Ec. (12.2). Obsérvese también que el producto escalar bajo la integral volumica en la Ec. (25) no es otra cosa que la divergencia del vector E — véase, por ejemplo, MA Eq. (8.4).

¹⁰ Véase, por ejemplo, MA Secs. 8-10.

¹¹ En las unidades gaussianas, al igual que en la ecuación inicial (6),\(\ \mathcal{E}_{0}\) tiene que ser reemplazada por\(\ 1 / 4 \pi\), para que se vea la ecuación de Maxwell (27)\(\ \nabla \cdot \mathbf{E}=4 \pi \rho\), mientras que la ecuación (28) permanece igual.

¹² El nombre del genio de la electrodinámica clásica y la física estadística, James Clerk Maxwell (1831-1879).

¹³ Esto sigue, por ejemplo, de la aplicación directa de MA Eq. (10.11) a cualquier función vectorial esféricamente simétrica de tipo\(\ \mathbf{f}(\mathbf{r})=f(r) \mathbf{n}_{r}\) (en particular, al campo eléctrico de una carga puntual colocada en el origen), dando\(\ f_{\theta}=f_{\varphi}=0\) y\(\ \partial f_{r} / \partial \theta=\partial f_{r} / \partial \varphi=0\) para que todos los componentes del vector \(\ \nabla \times \mathbf{f}\)desaparecer. Dado que nada nos impide colocar el origen del marco de referencia en la ubicación del cargo del punto, este resultado sigue siendo válido para cualquier posición de la carga.

¹⁴ Véase, por ejemplo, MA Ec. (10.10) para el caso particular\(\ \partial / \partial \theta=\partial / \partial \varphi=0\).