3.4: Electrostática de Dieléctricos Lineales

Primero, discutamos el problema más simple: cómo es el campo electrostático de un conjunto de cargas independientes de densidad\(\ \rho(\mathbf{r})\) modificado por un medio dieléctrico lineal uniforme, que obedece a la ecuación (46) con una constante dieléctrica independiente del espacio\(\ \kappa\). En este caso, podemos combinar las ecuaciones (32) y (46) para escribir

\[\ \nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon}.\tag{3.53}\]

Como recordatorio, en el espacio libre teníamos una ecuación similar (1.27), pero con una constante diferente,\(\ \varepsilon_{0}=\varepsilon / \kappa\). De ahí que todos los resultados discutidos en el Capítulo 1 son válidos dentro de un dieléctrico lineal uniforme, para el campo macroscópico el\(\ \mathbf{E}\) (y el potencial electrostático macroscópico correspondiente\(\ \phi\)), si se reducen por el factor de\(\ \kappa>1\). Así, el resultado más directo de la polarización inducida de un medio dieléctrico es la reducción del campo eléctrico. Este es un efecto muy importante, especialmente tomado en cuenta los valores muy altos de\(\ \kappa\) en dieléctricos como el agua — ver Cuadro 1. En efecto, es la reducción de la atracción entre iones positivos y negativos (llamados, respectivamente, cationes y aniones) en el agua lo que permite su disociación sustancial y, por lo tanto, casi todas las reacciones bioquímicas, que son la base de las funciones celulares biológicas —y por lo tanto de la vida misma.

Apliquemos este resultado general al importante caso particular del condensador plano (Fig. 2.3) lleno de un dieléctrico lineal y uniforme. Aplicando la ley macroscópica de Gauss (34) a un volumen en forma de pastillero en la superficie del conductor, obtenemos la siguiente relación:

\[\ \sigma=D_{n}=\varepsilon E_{n}=-\varepsilon \frac{\partial \phi}{\partial n},\tag{3.54}\]

que difiere de la Ec. (2.3) sólo por el reemplazo\(\ \varepsilon_{0} \rightarrow \varepsilon \equiv \kappa \varepsilon_{0}\). De ahí que para un campo fijo\(\ E_{n}\), la densidad de carga calculada para el caso del espacio libre, debería aumentarse por el factor de\(\ \kappa\) —eso es todo. En particular, esto significa que la capacitancia mutua (2.28) tiene que ser incrementada por este factor:

C de un condensador plano

\[\ C=\frac{\kappa \varepsilon_{0} A}{d} \equiv \frac{\varepsilon A}{d}.\tag{3.55}\]

(Como recordatorio, este incremento de\(\ C\) by ya se\(\ \kappa\) ha incorporado, sin derivación, en algunas estimaciones hechas en las Secs. 2.1 y 2.2.)

Si un dieléctrico lineal no es uniforme, la situación es más compleja. Por ejemplo, consideremos el caso de una interfaz nítida entre dos dieléctricos por lo demás uniformes, libres de cargas independientes. En este caso, todavía podemos usar la Eq. (37) para el componente tangencial del campo eléctrico macroscópico, y también la Ec. (36), con\(\ D_{n}=\varepsilon E_{n}\), que rinde

Condición de límite para\(\ E_{n}\)

\[\ \left(\varepsilon E_{n}\right)_{1}=\left(\varepsilon E_{n}\right)_{2}, \quad \text { i.e. } \varepsilon_{1} \frac{\partial \phi_{1}}{\partial n}=\varepsilon_{2} \frac{\partial \phi_{2}}{\partial n}.\tag{3.56}\]

Apliquemos estas condiciones límite, en primer lugar, al caso muy iluminador de dos\(\ (t<<d)\) hendiduras muy delgadas talladas en un dieléctrico uniforme con un campo eléctrico ²⁵ inicialmente uniforme\(\ \mathbf{E}_{0}\) (Fig. 9). En ambos casos, una hendidura con\(\ t \rightarrow 0\) no puede modificar sustancialmente la distribución del campo fuera de ella.

Fig. 3.9. Campos dentro de dos ranuras estrechas cortadas en un dieléctrico lineal con un campo uniforme\(\ \mathbf{E}_{0}\).

Para la hendidura A, con el plano normal al campo aplicado, podemos aplicar la Eq. (56) a las interfaces “mayores” (amplias), mostradas horizontales en la Fig. 9, para ver que el vector\(\ \mathbf { D }\) debe ser continuo. Pero según la Ec. (46), esto significa que en el espacio libre dentro del hueco el campo eléctrico es igual\(\ \mathbf{D} / \varepsilon_{0}\), y por lo tanto es\(\ \kappa\) veces mayor que el campo aplicado\(\ \mathbf{E}_{0}=\mathbf{D} / \kappa \varepsilon_{0}\). Este campo, y por lo tanto\(\ \mathbf{D}\), puede ser medido por un sensor colocado dentro del hueco, mostrando que el desplazamiento eléctrico no es de ninguna manera una construcción puramente matemática. ²⁶ Por el contrario, para la hendidura B paralela al campo aplicado, podemos aplicar la Eq. (37) a las interfaces mayores (ahora, verticales) de la hendidura, para ver que ahora el campo eléctrico\(\ \mathbf{E}\) es continuo, mientras que el desplazamiento eléctrico\(\ \mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}\) dentro del hueco es un factor de\(\ \kappa\) menor que su valor en el dieléctrico. (De manera similar al caso A, cualquier perturbación de la uniformidad del campo, causada por el cumplimiento de la Ec. (56) en las interfaces menores, se asienta a distancias ~t de ellas.)

Para otros problemas con constantes por piezas\(\ \varepsilon\), con geometrías más complejas, es posible que necesitemos aplicar los métodos estudiados en el Capítulo 2. Al igual que en el espacio libre, en los casos más simples podemos seleccionar tal conjunto de coordenadas ortogonales que el potencial electrostático dependa de solo una de ellas. Considere, por ejemplo, dos tipos de condensadores planos que se llenan con dos dieléctricos diferentes; consulte la Fig. 10.

Fig. 3.10. Capacitores planos llenos de dos dieléctricos diferentes.

En el caso (a), el voltaje\(\ V\) entre los electrodos es el mismo para cada parte del condensador, diciéndonos que al menos lejos de la interfaz dieléctrica, el campo eléctrico es vertical, uniforme y constante\(\ E=V / d\). Por lo tanto, la condición de límite (37) se satisface incluso si dicha distribución es válida también cerca de la superficie, es decir, en cualquier punto del sistema. El único efecto de diferentes valores de\(\ \varepsilon\) en las dos partes es que el desplazamiento eléctrico\(\ D=\varepsilon E\) y por lo tanto la densidad de carga superficial de los electrodos\(\ \sigma=D\) son diferentes en las dos partes. Así podemos calcular las cargas\(\ Q_{1,2}\) de electrodo de las dos partes de forma independiente, y luego sumar
los resultados para obtener la capacitancia mutua total

\[\ C=\frac{Q_{1}+Q_{2}}{V}=\frac{1}{d}\left(\varepsilon_{1} A_{1}+\varepsilon_{2} A_{2}\right).\tag{3.57}\]

Tenga en cuenta que esta fórmula puede interpretarse como la capacitancia total de dos condensadores agrupados separados conectados (por cables) en paralelo. Esto es natural, porque podemos cortar el sistema a lo largo de la interfaz dieléctrica, sin ningún efecto sobre los campos en ninguna de las partes, y luego conectar los electrodos correspondientes por cables externos, nuevamente sin ningún efecto sobre el sistema, además de las proximidades muy cercanas de los bordes del condensador.

El caso (b) puede analizarse igual que en el problema mostrado en la Fig. 6, aplicando la Eq. (34) a un pastillero gaussiano con una tapa dentro del (por ejemplo) electrodo inferior, y la otra tapa dentro de cualquiera de las capas. Como resultado, vemos que\(\ D\) en cualquier lugar dentro del sistema debe ser igual a la densidad\(\ \sigma\) de carga superficial del electrodo, es decir, constante. De ahí que de acuerdo con la Ec. (46), el campo eléctrico dentro de cada capa dieléctrica también es constante: en la capa superior, es\(\ E_{1}=D_{1} / \varepsilon_{1}=\sigma / \varepsilon_{1}\), mientras que en la capa inferior,\(\ E_{2}=D_{2} / \varepsilon_{2} = \sigma/\varepsilon_{2}\). Integrando el campo\(\ E\) en todo el condensador, obtenemos

\[\ V=\int_{0}^{d_{1}+d_{2}} E(z) d z=E_{1} d_{1}+E_{2} d_{2}=\left(\frac{d_{1}}{\varepsilon_{1}}+\frac{d_{2}}{\varepsilon_{2}}\right) \sigma,\tag{3.58}\]

para que la capacitancia mutua por unidad de área

\[\ \frac{C}{A} \equiv \frac{\sigma}{V}=\left[\frac{d_{1}}{\varepsilon_{1}}+\frac{d_{2}}{\varepsilon_{2}}\right]^{-1}.\tag{3.59}\]

Tenga en cuenta que este resultado es similar a la capacitancia total de una conexión en serie de dos condensadores planos basados en cada una de las capas. Esto también es natural porque podríamos insertar una lámina conductora delgada y sin carga (en lugar de un corte como en el caso anterior) en la interfaz de capa, que es una superficie equipotencial, sin cambiar la distribución del campo en ninguna parte del sistema. Entonces podríamos espesar la lámina conductora tanto como nos guste (y posiblemente dar forma a su parte interna en un alambre), también sin cambiar los campos en las partes dieléctricas del sistema, y de ahí su capacitancia.

Procediendo a problemas de geometría más compleja, consideremos el sistema que se muestra en la Fig. 11a: una esfera dieléctrica colocada en un campo eléctrico externo inicialmente uniforme\(\ \mathbf{E}_{0}\). De acuerdo con la ecuación (53) para el campo eléctrico macroscópico, y la definición del potencial electrostático macroscópico\(\ \mathbf{E}=-\nabla \phi\), el potencial satisface la ecuación de Laplace tanto dentro como fuera de la esfera. Debido a la simetría esférica de la muestra dieléctrica, este problema invita al método de separación variable en coordenadas esféricas, el cual se discutió en la Sec. 2.8. A partir de esa discusión, ya conocemos, en particular, la solución general (2.172) de la ecuación de Laplace fuera de la esfera. Para satisfacer la condición de campo uniforme en\(\ r \rightarrow \infty\), tenemos que reducir esta solución a

\[\ \phi_{r \geq R}=-E_{0} r \cos \theta+\sum_{l=1}^{\infty} \frac{b_{l}}{r^{l+1}} \mathcal{P}_{l}(\cos \theta).\tag{3.60}\]

Dentro de la esfera, también podemos usar la Eq. (2.172), pero manteniendo solo las funciones radiales finitas en\(\ r \rightarrow 0\):

\[\ \phi_{r \leq R}=\sum_{l=1}^{\infty} a_{l} r^{l} \mathcal{P}_{l}(\cos \theta).\tag{3.61}\]

Ahora, deletreando las condiciones de contorno (37) y (56) at\(\ r=R\), vemos que para todos los coeficientes\(\ a_{l}\) y\(\ b_{l}\) con\(\ l \geq 2\), obtenemos ecuaciones lineales homogéneas (al igual que para la esfera conductora, discutida en la Sec. 2.8) que solo tienen soluciones triviales. De ahí que todos estos términos puedan ser abandonados, mientras que para los únicos términos supervivientes, proporcionales al polinomio de Legendre\(\ \mathcal{P}_1(\cos \theta) \equiv \cos \theta\), obtenemos dos ecuaciones:

\[\ -E_{0}-\frac{2 b_{1}}{R^{3}}=\kappa a_{1}, \quad-E_{0} R+\frac{b_{1}}{R^{2}}=a_{1} R.\tag{3.62}\]

Resolviendo este sencillo sistema de ecuaciones lineales para\(\ a_{1}\) y\(\ b_{1}\), y conectando el resultado en las ecuaciones (60) y (61), obtenemos la solución final del problema:

\[\ \phi_{r \geq R}=E_{0}\left(-r+\frac{\kappa-1}{\kappa+2} \frac{R^{3}}{r^{2}}\right) \cos \theta, \quad \phi_{r \leq R}=-E_{0} \frac{3}{\kappa+2} r \cos \theta .\tag{3.63}\]

Fig. 3.11. Una esfera dieléctrica en un campo eléctrico inicialmente uniforme: (a) el problema, y (b) las superficies equipotenciales, según lo dado por la Ec. (63), para\(\ \kappa=3\).

La figura 11b muestra las superficies equipotenciales dadas por esta solución, para un valor particular de la constante dieléctrica\(\ \kappa\). Obsérvese que de acuerdo con la ecuación (62), en\(\ r \geq R\) la esfera dieléctrica, así como la esfera conductora en un problema similar, produce (en la parte superior del campo externo uniforme) un campo dipolar puro, con el momento dipolar

\[\ \mathbf{p}=4 \pi R^{3} \frac{\kappa-1}{\kappa+2} \varepsilon_{0} \mathbf{E}_{0} \equiv 3 V \frac{\kappa-1}{\kappa+2} \varepsilon_{0} \mathbf{E}_{0}, \quad \text { where } V=\frac{4 \pi}{3} R^{3}.\tag{3.64}\]

Esta es una generalización evidente de la Ec. (11), a la que tiende la Ec. (64)\(\ \kappa \rightarrow \infty\). Por cierto, esta propiedad es común: por su electrostática (¡pero no transporte!) propiedades, los conductores pueden describirse adecuadamente como dieléctricos con\(\ \kappa \rightarrow \infty\).

Otra característica notable de las ecuaciones (63) es que el campo eléctrico y la polarización dentro de la esfera son uniformes, con valores independientes de R

\[\ \mathbf{E}=\frac{3}{\kappa+2} \mathbf{E}_{0}, \quad \mathbf{D} \equiv \kappa \varepsilon_{0} \mathbf{E}=\varepsilon_{0} \frac{3 \kappa}{\kappa+2} \mathbf{E}_{0}, \quad \mathbf{P} \equiv \mathbf{D}-\varepsilon_{0} \mathbf{E}=3 \varepsilon_{0} \frac{\kappa-1}{\kappa+2} \mathbf{E}_{0} .\tag{3.65}\]

En el límite\(\ \kappa \rightarrow 1\) (la “esfera hecha de espacio libre”, es decir, ninguna esfera en absoluto), el campo eléctrico en su interior tiende naturalmente al exterior, y su polarización desaparece. En el límite opuesto\(\ \kappa \rightarrow \infty\), el campo eléctrico dentro de la esfera se desvanece. Curiosamente, en este límite el desplazamiento eléctrico dentro de la esfera permanece finito:\(\ \mathbf{D} \rightarrow 3 \varepsilon_{0} \mathbf{E}_{0}\).

Los problemas más complejos con los dieléctricos poco uniformes también pueden ser abordados por los métodos discutidos en el Capítulo 2, y en la Sec. 6 proporciono algunos de ellos para el ejercicio del lector. Permítanme discutir solo uno de esos problemas porque exhibe una nueva característica del método de imagen de carga que se discutió en Secs 2.9 (y es la base del enfoque de función de Green — ver Sec. 2.10). Consideremos el sistema mostrado en la Fig. 12: una carga puntual cerca de un semiespacio dieléctrico, que evidentemente es paralelo al sistema discutido en la Sec. 2.9 — ver Fig. 2.26.

Fig. 3.12. Cargue imágenes para un medio espacio dieléctrico.

En cuanto al caso de un semiespacio conductor, la ecuación de Laplace para el potencial electrostático en el semiespacio superior\(\ z>0\) (además del punto\(\ \rho=0\) de carga\(\ z=d\)) puede satisfacerse usando una sola carga de imagen\(\ q^{\prime}\) en el punto\(\ \rho=0\)\(\ z=-d\), pero ahora\(\ q^{\prime}\) puede diferir de \(\ (-q)\). Además, en contraste con el caso analizado en la Sec. 2.9, también debemos calcular el campo dentro del dieléctrico (at\(\ z \leq 0\)). Este campo no puede ser aportado por la carga de imagen\(\ q^{\prime}\), ya que proporcionaría una posible divergencia en su ubicación. Así, en ese medio espacio deberíamos tratar de utilizar únicamente la fuente puntual real, pero tal vez con una carga re normalizada\(\ q^{\prime \prime}\) en lugar de la carga genuina\(\ q\) —véase la Fig. 12. Como resultado, podemos buscar la distribución potencial en la forma

\[\ \phi(\rho, z)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \times \begin{cases}{\left[\frac{q}{\left(\rho^{2}+(z-d)^{2}\right)^{1 / 2}}+\frac{q^{\prime}}{\left(\rho^{2}+(z+d)^{2}\right)^{1 / 2}}\right],} & \text { for } z \geq 0 \\ \frac{q^{\prime \prime}}{\left(\rho^{2}+(z-d)^{2}\right)^{1 / 2}}, & \text { for } z \leq 0\end{cases}\tag{3.66}\]

en esta etapa con desconocido\(\ q^{\prime}\) y\(\ q^{\prime\prime }\). Conectando esta solución a las condiciones límite (37) y (56) en\(\ z=0\) (con\(\ \partial / \partial n=\partial / \partial z\)), vemos que efectivamente están satisfechas (de manera que la Ec. (66) sí expresa la solución única del problema fronterizo), siempre que las cargas efectivas\(\ q^{\prime}\) y\(\ q^{\prime\prime}\) obedezcan las siguientes relaciones:

\[\ q-q^{\prime}=\kappa q^{\prime \prime}, \quad q+q^{\prime}=q^{\prime \prime}.\tag{3.67}\]

Resolviendo este sencillo sistema de ecuaciones lineales, obtenemos

\[\ q^{\prime}=-\frac{\kappa-1}{\kappa+1} q, \quad q^{\prime \prime}=\frac{2}{\kappa+1} q .\tag{3.68}\]

Si\(\ \kappa \rightarrow 1\), entonces\(\ q^{\prime} \rightarrow 0\), y\(\ q^{\prime \prime} \rightarrow q\) — ambos hechos muy naturales, porque en este límite (¡ninguna polarización en absoluto!) tenemos que recuperar el campo imperturbable de la carga puntual inicial en ambos semiespacios. En el límite opuesto\(\ \kappa \rightarrow \infty\) (que, según nuestra discusión del último problema, debería corresponder a un medio espacio conductor),\(\ q^{\prime} \rightarrow-q\) (repitiendo el resultado que hemos discutido a detalle en la Sec. 2.9) y\(\ q^{\prime \prime} \rightarrow 0\). El último resultado significa que en este límite, el campo eléctrico\(\ \mathbf{E}\) en el dieléctrico tiende a cero —como debería ser.