4.5: Problemas de ejercicio

4.1. \(\ V_{0}\)Se aplica voltaje de CC al final de una cadena semi-infinita de resistencias óhmicas agrupadas, que se muestra en la figura de la derecha. Calcular el voltaje a través del j ^ésimo eslabón de la cadena.

4.2. Es bien sabido que las propiedades de muchas fuentes de corriente continua (por ejemplo, baterías) pueden estar razonablemente bien representadas como una conexión en serie de una fuente de voltaje perfecta y una resistencia interna óhmica. Discutir la opción, y las posibles ventajas, de usar un circuito equivalente diferente que incluiría una fuente de corriente perfecta.

4.3. Calcular la resistencia entre dos conductores óhmicos grandes y uniformes separados por una partición aislante muy delgada, plana, con un orificio circular de radio\(\ R\) en ella — ver la figura a la derecha.

Pista: Es posible que te interese usar las coordenadas elipsoidales degeneradas, las cuales han sido discutidas en la Sec. 2.4.

4.4. Calcular la conductividad efectiva (promedio)\(\ \sigma_{\mathrm{ef}}\) de un medio con muchas cavidades esféricas vacías de radio\(\ R\), talladas en posiciones aleatorias en un conductor óhmico uniforme (ver la figura de la derecha), en el límite de una baja densidad\(\ n<<R^{-3}\) de las esferas.

Pista: Trate de usar la analogía con un medio dipolo — véase, por ejemplo, Sec. 3.2.

4.5. En dos experimentos separados, un hueco estrecho, posiblemente de ancho irregular, entre dos electrodos metálicos cercanos se rellena con algún material: en el primer caso, con un aislante lineal uniforme con una permitividad eléctrica\(\ \mathcal{E}\), y en el segundo caso, con un material conductor uniforme con un óhmico conductividad\(\ \sigma\). Despreciando los efectos marginales, calcule la relación entre la capacitancia mutua\(\ C\) entre los electrodos (en el primer caso) y la resistencia dc\(\ R\) entre ellos (en el segundo caso).

4.6. Calcule el voltaje\(\ V\) a través de una losa resistiva uniforme y ancha de espesor\(\ t\), a\(\ l\) distancia de los puntos de inyección/captación de la corriente continua que\(\ I\) pasa a través de la losa; vea la figura a la derecha.

4.7. Calcular el voltaje\(\ V\) entre dos esquinas de un corte cuadrado a partir de una lámina uniforme y resistiva de un espesor muy pequeño\(\ t\), inducida por la corriente de cc\(\ I\) que pasa entre sus otras dos esquinas — ver la figura a la derecha.

4.8. Calcular la distribución de la densidad de corriente continua en un disco resistivo delgado, redondo y uniforme, si la corriente se inserta en algún punto de su borde y se recoge en el centro.

4.9. ^* El modelo más simple y razonable de un diodo de vacío consiste en dos electrodos metálicos planos paralelos del área A, separados por un hueco de espesor\(\ d<<A^{1 / 2}\): un “cátodo” que emite electrones en el hueco, y un “ánodo” que absorbe los electrones que llegan del hueco en su superficie. Calcular la\(\ I-V\) curva dc del diodo, es decir, la relación estacionaria entre la corriente\(\ I\) que fluye entre los electrodos y la tensión\(\ V\) aplicada entre ellos, utilizando los siguientes supuestos simplificadores:

(i) debido al efecto de la carga espacial negativa de los electrones emitidos, la corriente\(\ I\) es mucho menor que la capacidad de emisión del cátodo,

(ii) la velocidad inicial de los electrones emitidos es insignificante, y

(iii) la interacción directa de Coulomb de los electrones (además del efecto de carga espacial) es insignificante.

4.10. ^* Calcular la corriente limitada de carga espacial en un sistema con la misma geometría que en el problema anterior, y utilizando los mismos supuestos además de que ahora los portadores de carga emitidos se mueven no balísticamente, sino que se desplazan de acuerdo con la ley Ohm, con la conductividad dada por la Ec. (4.13): \(\ \sigma=q^{2} \mu n\), con una movilidad constante\(\ \mu\). ¹⁹

Pista: Para obtener un resultado realista, supongamos que el medio en el que se mueven los portadores de carga tiene una cierta constante dieléctrica\(\ \kappa\) no relacionada con los portadores.

4.11. Demostrar que la distribución de corrientes de CC en un conductor óhmico uniforme, a una tensión fija aplicada en sus límites, corresponde al mínimo de la tasa de disipación de energía total (“Joule heat”).

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Referencia

¹⁹ Como se mencionó en la Sec. 2, la aproximación de una movilidad constante (en particular, independiente de la densidad de campo y carga) es la más adecuada para semiconductores.