4.4: Disipación de energía
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Permítanme concluir este breve capítulo con una discusión ultracorta sobre la disipación de energía en los conductores. En contraste con las situaciones electrostáticas en aisladores (vacío o dieléctricos), a la conducción de CC, la energía electrostática\(\ U\) se “disipa” (es decir, se transfiere al calor) a cierta velocidad\(\ \mathscr{P} \equiv-dU/dt\), con la dimensionalidad de la potencia. 17 Esta denominada disipación de energía puede evaluarse calculando la potencia del trabajo del campo eléctrico sobre una sola carga móvil:
\[\ \mathscr{P}_{1}=\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}=q \mathbf{E} \cdot \mathbf{v}.\tag{4.37}\]
Después de la suma sobre todas las cargas, la Ec. (37) nos da la potencia de disipación promedio. Si la densidad de carga\(\ n\) es uniforme, multiplicando por ella ambas partes de esta relación, y tomando en cuenta que\(\ q n \mathbf{v}=\mathbf{j}\), para la disipación de energía en una unidad de volumen obtenemos la forma diferencial de la ley Joule 18
\[\ \text{General Joule law}\quad\quad\quad\quad\mathscr{I} \equiv \frac{\mathscr{P}}{V}=\frac{\mathscr{P}_{1} N}{V}=\mathscr{P}_{1} n=q \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} n=\mathbf{E} \cdot \mathbf{j}.\tag{4.38}\]
En el caso de la conductividad óhmica (8), esta expresión también puede ser reescrita en otras dos formas:
\[\ \text{Joule law for Ohmic conductivity}\quad\quad\quad\quad\mathscr{I}=\sigma E^{2}=\frac{j^{2}}{\sigma}.\tag{4.39}\]
Con nuestro fondo electrostático, también es sencillo (y por lo tanto se deja para el ejercicio del lector) demostrar que la distribución de corriente continua en un conductor óhmico uniforme, a una distribución de voltaje fija a lo largo de sus bordes, corresponde al mínimo de la disipación total en la muestra,
\[\ \mathscr{P} \equiv \int_{V} \mathscr{I} d^{3} r=\sigma \int_{V} E^{2} d^{3} r.\tag{4.40}\]
Referencia
17 Dado que este campo eléctrico y por lo tanto la energía electrostática son independientes del tiempo, esto significa que la energía se repone a la misma velocidad de la (s) fuente (es) de corriente.
18 El nombre de James Prescott Joule, quien cuantificó este efecto en 1841.