5.6: Sistemas con Magnetics

De manera similar a la electrostática de los dieléctricos lineales, la magnetostática de los magnéticos lineales es muy simple en el caso particular cuando las corrientes autónomas están incrustadas en un medio con una permeabilidad constante\(\ \mu\). En efecto, supongamos que conocemos la solución del par magnético\(\ \mathbf{B}_{0}(\mathbf{r})\) de las ecuaciones genuinas (“microscópicas”) de Maxwell (36) en el espacio libre, es decir, cuando la densidad de corriente genuina\(\ \mathbf{j}\) coincide con la de las corrientes autónomas. Luego, las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (109) y la ecuación constitutiva lineal (110) se satisfacen con el par de funciones

\[\ \mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{B}_{0}(\mathbf{r})}{\mu_{0}}, \quad \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu \mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{\mu}{\mu_{0}} \mathbf{B}_{0}(\mathbf{r}).\tag{5.115}\]

De ahí que el único efecto del llenado completo de un sistema de corriente fija con un magnético lineal uniforme, es el cambio del campo magnético\(\ \mathbf{B}\) en todos los puntos por el mismo factor constante\(\ \mu / \mu_{0} \equiv 1+\chi_{\mathrm{m}}\), que puede ser mayor o menor que 1. (Como recordatorio, un llenado similar de un sistema de cargas fijas independientes con un dieléctrico uniforme y lineal siempre conduce a una reducción del campo eléctrico\(\ \mathbf{E}\) por un factor de\(\ \varepsilon / \varepsilon_{0} \equiv 1+\chi_{\mathrm{e}}\) — la diferencia cuya física ya se discutió al final de la Sec. 4.)

Sin embargo, este resultado simple generalmente no es válido en el caso de muestras magnéticas no uniformes (o uniformes). Para analizar este caso, primero integremos la ecuación macroscópica de Maxwell (107) a lo largo de un contorno cerrado\(\ C\) limitando una superficie lisa\(\ S\). Ahora usando el teorema de Stokes, obtenemos la versión macroscópica de la ley Ampère (37):

\[\ \text{Macroscopic Ampère law}\quad\quad\quad\quad\oint_{C} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}=I.\tag{5.116}\]

Apliquemos esta relación a un límite agudo entre dos regiones con diferentes magneticos, sin corrientes independientes en la interfaz, de manera similar a como se hizo esto para el campo\(\ \mathbf{E}\) en la Sec. 3.4 — ver Fig. 3.5. El resultado también es similar:

\[\ H_{\tau}=\text { const }.\tag{5.117}\]

Por otro lado, la integración de la ecuación de Maxwell (29) sobre un pastillero gaussiano que encierra un fragmento de borde (nuevamente tal como se muestra en la Fig. 3.5 para el campo\(\ \mathbf{D}\)) produce un resultado similar al de la Ec. (3.35):

\[\ B_{n}=\text { const }.\tag{5.118}\]

Para magnéticos lineales, con\(\ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H}\), la última condición de límite se reduce a

\[\ \mu H_{n}=\text { const }.\tag{5.119}\]

Usemos estas condiciones de límite, en primer lugar, para ver qué sucede con una muestra cilíndrica larga de un material magnético uniforme, colocada paralela a un campo magnético externo uniforme\(\ \mathbf{B}_{0}\) — ver Fig.15. Tal muestra no puede perturbar notablemente el campo en el espacio libre fuera de él, a la mayor parte de su longitud:\(\ \mathbf{B}_{\mathrm{ext}}=\mathbf{B}_{0}, \mathbf{H}_{\mathrm{ext}}=\mu_{0} \mathbf{B}_{\mathrm{ext}}=\mu_{0} \mathbf{B}_{0}\). Ahora aplicando la Eq. (117) a las superficies laterales dominantes de la muestra, obtenemos\(\ \mathbf{H}_{\text {int }}=\mathbf{H}_{0}\). ⁵⁷ Para un magnético lineal, estas relaciones rinden\(\ \mathbf{B}_{\text {int }}=\mu \mathbf{H}_{\text {int }}=\left(\mu / \mu_{0}\right) \mathbf{B}_{0}\). ⁵⁸ Para los materiales ferromagnéticos altos y blandos, esto significa que\(\ B_{\mathrm{int}} >> B_{0}\).\(\ \mu\) Este efecto puede representarse vívidamente como la concentración de las líneas de campo magnético en\(\ \mu\) muestras altas, ver nuevamente la Fig. 15. (La concentración afecta a la distribución del campo externo solo a distancias del orden de\(\ \left(\mu / \mu_{0}\right) t<<l\) cerca de los extremos de la muestra). Dicha concentración es ampliamente utilizada en dispositivos tan prácticamente importantes como los transformadores, en los que dos bobinas de múltiples vueltas se enrollan sobre un núcleo en forma de anillo (por ejemplo, toroidal, ver Fig. 6b) hecho de un material ferromagnético blando (como el acero del transformador, ver Tabla 1) con\(\ \mu >> \mu_{0}\). Esto minimiza el número de líneas de campo “parásitas” y hace que el flujo magnético que\(\ \Phi\) perfora cada giro de cable (de cualquiera de las bobinas) sea prácticamente el mismo, la igualdad importante para la inducción de voltaje secundario, consulte el siguiente capítulo.

Fig. 5. 15. Concentración de campo magnético en muestras\(\ \mu\) magnéticas largas y altas (esquemáticamente).

Las muestras de otras geometrías pueden crear fuertes perturbaciones del campo externo, extendidas a distancias del orden de las dimensiones de la muestra. Para analizar tales problemas, podemos beneficiarnos de una ecuación diferencial simple y parcial para una función escalar, por ejemplo, la ecuación de Laplace, porque en el Capítulo 2 hemos aprendido a resolverla para muchas geometrías simples. En la magnetostática, la introducción de un potencial escalar es generalmente imposible debido a las líneas de campo magnético similares a vórtices. Sin embargo, si no hay corrientes independientes dentro de la región que nos interesa, entonces la ecuación macroscópica de Maxwell (107) para el campo\(\ \mathbf{H}\) se reduce a\(\ \nabla \times \mathbf{H}=0\), similar a la ecuación (1.28) para el campo eléctrico, mostrando que podemos introducir el potencial escalar del campo magnético,\(\ \phi_{\mathrm{m}}\) , usando la relación similar a la Ec. (1.33):

\[\ \mathbf{H}=-\nabla \phi_{\mathrm{m}}.\tag{5.120}\]

Combinándolo con la ecuación homogénea de Maxwell (29) para el campo magnético\(\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0\), y la ecuación (110) para un magnético lineal, llegamos a una única ecuación diferencial,\(\ \nabla \cdot\left(\mu \nabla \phi_{\mathrm{m}}\right)=0\). Para un medio uniforme\(\ (\mu(\mathbf{r})=\mathrm{const})\), se reduce a nuestra amada ecuación de Laplace:

\[\ \nabla^{2} \phi_{\mathrm{m}}=0.\tag{5.121}\]

Además, las ecuaciones (117) y (119) nos dan condiciones límite muy familiares: la primera de ellas

\[\ \frac{\partial \phi_{\mathrm{m}}}{\partial \tau}=\mathrm{const},\tag{5.122a}\]

siendo equivalente a

\[\ \phi_{\mathrm{m}}=\text { const },\tag{5.122b}\]

mientras que el segundo dando

\[\ \mu \frac{\partial \phi_{\mathrm{m}}}{\partial n}=\mathrm{const}.\tag{5.123}\]

En efecto, estas condiciones límite son absolutamente similares para (3.37) y (3.56) de electrostáticos, con el reemplazo\(\ \varepsilon \rightarrow \mu\). ⁵⁹

Analicemos los efectos geométricos sobre la magnetización, primero usando el (¿también?) estructura familiar: una esfera, hecha de un material magnético lineal, colocada en un campo externo uniforme\(\ \mathbf{H}_{0} \equiv \mathbf{B}_{0} / \mu_{0}\). Dado que la ecuación diferencial y las condiciones límite son similares a las del problema electrostático correspondiente (ver Fig. 3.11 y su discusión), podemos usar la analogía anterior para reutilizar la solución que ya tenemos — ver Ecuaciones (3.63). Al igual que en el caso eléctrico, el campo fuera de la esfera, con

\[\ \left(\phi_{\mathrm{m}}\right)_{r>R}=H_{0}\left(-r+\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu+2 \mu_{0}} \frac{R^{3}}{r^{2}}\right) \cos \theta,\tag{5.124}\]

es una suma del campo externo uniforme\(\ \mathbf{H}_{0}\), con el potencial\(\ -H_{0} r \cos \theta \equiv-H_{0} z\), y el campo dipolar (99) con el siguiente momento dipolo magnético inducido de la esfera: ⁶⁰

\[\ \mathbf{m}=4 \pi \frac{\mu-\mu_{0}}{\mu+2 \mu_{0}} R^{3} \mathbf{H}_{0}.\tag{5.125}\]

Por el contrario, el campo interno es perfectamente uniforme, y dirigido a lo largo del externo:

\[\ \left(\phi_{\mathrm{m}}\right)_{r<R}=-H_{0} \frac{3 \mu_{0}}{\mu+2 \mu_{0}} r \cos \theta, \text { so that } \frac{H_{\mathrm{int}}}{H_{0}}=\frac{3 \mu_{0}}{\mu+2 \mu_{0}}, \quad \frac{B_{\mathrm{int}}}{B_{0}}=\frac{\mu H_{\mathrm{int}}}{\mu_{0} H_{0}}=\frac{3 \mu}{\mu+2 \mu_{0}}.\tag{5.126}\]

Tenga en cuenta que el campo\(\ \mathbf{H}_{\text {int }}\) dentro de la esfera no es igual al campo externo aplicado\(\ \mathbf{H}_{0}\). Este ejemplo muestra que la interpretación de\(\ \mathbf{H}\) como el “aspirante” campo magnético generado por corrientes independientes externas no\(\ \mathbf{j}\) debe exagerarse para decir que su distribución es independiente de los cuerpos magnéticos en el sistema. En el límite\(\ \mu >> \mu_{0}\), las ecuaciones (126) rinden\(\ H_{\text {int }} / H_{0}<<1, B_{\text {int }} / H_{0}=3 \mu_{0}\), siendo el factor 3 específico para la geometría particular de la esfera. Si una muestra se estira fuertemente a lo largo del campo aplicado, con su longitud\(\ l\) mucho mayor que la escala\(\ t\) de su sección transversal, este efecto geométrico disminuye gradualmente, y\(\ B_{\text {int }}\) tiende a su valor\(\ \mu H_{0} >> B_{0}\), como se discutió anteriormente — ver Fig. 15.

Ahora calculemos la distribución del campo en un sistema similar, pero ligeramente más complejo (y prácticamente importante): una concha cilíndrica redonda, hecha de un magnético lineal, colocada en un campo externo uniforme\(\ \mathbf{H}_{0}\) normal a su eje — ver Fig. 16.

Fig. 5.16. Escudo magnético cilíndrico.

Dado que no hay corrientes independientes en la región de nuestro interés, podemos representar nuevamente el campo\(\ \mathbf{H}(\mathbf{r})\) por el gradiente del potencial magnético\(\ \phi_{\mathrm{m}}\) — ver Ec. (120). Dentro de cada una de\(\ \mu\) las tres regiones constantes, es decir\(\ \rho<b, a<\rho<b\), en, y\(\ b<\rho\) (donde\(\ \rho\) está la distancia desde el eje del cilindro), el potencial obedece a la ecuación de Laplace (121). En las convenientes coordenadas polares (ver Fig. 16), podemos, guiados por la solución general (2.112) de la ecuación de Laplace y nuestra experiencia en su aplicación a geometrías axialmentesimétricas, buscar\(\ \phi_{\mathrm{m}}\) de la siguiente forma:

\[\ \phi_{m}= \begin{cases}\left(-H_{0} \rho+b_{1}^{\prime} / \rho\right) \cos \varphi, & \text { for } b \leq \rho, \\ \left(a_{1} \rho+b_{1} / \rho\right) \cos \varphi, & \text { for } a \leq \rho \leq b, \\ -H_{\text {int }} \rho \cos \varphi, & \text { for } \rho \leq a.\end{cases}\tag{5.127}\]

Conectando esta solución a las condiciones de contorno (122) - (123) en ambas interfaces (\(\ \rho=b\)y\(\ \rho=a\)), obtenemos el siguiente sistema de cuatro ecuaciones:

\ [\\ begin {array} {ll}
-H_ {0} b+b_ {1} ^ {\ prime}/b=a_ {1} b+b_ {1}/b, &\ left (a_ {1} a+b_ {1}/a\ derecha) =-H_ {\ mathrm {int}} a,\\\ mu_ {0}
\ izquierda (-H_ {0}\ izquierda (-H_ {0} _ {0} -b_ {1} ^ {\ prime}/b^ {2}\ derecha) H_ {0} =\ mu\ izquierda (a_ {1} -b_ {1}/b^ {2}\ derecha), &\ mu\ izquierda (a_ {1} -b_ {1}/a^ {2}\ derecha) =-\ mu_ {0} H_ {mathrm {int}},
\ end {array}\ tag {5.128}\]

para cuatro coeficientes desconocidos\(\ a_{1}, b_{1}, b_{1}^{\prime}\), y\(\ H_{\text {int }}\). Resolviendo el sistema, obtenemos, en particular:

\[\ \frac{H_{\mathrm{int}}}{H_{0}}=\frac{\alpha_{c}-1}{\alpha_{c}-(a / b)^{2}}, \quad \text { with } \alpha_{c} \equiv\left(\frac{\mu+\mu_{0}}{\mu-\mu_{0}}\right)^{2}.\tag{5.129}\]

De acuerdo con estas fórmulas, at\(\ \mu>\mu_{0}\), el campo en el espacio libre dentro del cilindro es menor que el campo externo. Este hecho permite utilizar tales estructuras, hechas de\(\ \mu\) materiales altos como el permalloy (ver Tabla 1), para el blindaje pasivo ⁶¹ de campos magnéticos no intencionales (por ejemplo, el campo de la Tierra), tarea muy importante para el diseño de muchos experimentos físicos. Como muestra la Ec. (129), cuanto mayor es\(\ \mu\), más cerca está\(\ \alpha_{c}\) de 1, y cuanto menor es la relación\(\ H_{\mathrm{int}} / H_{0}\), es decir, mejor es el blindaje (para la misma\(\ a / b\) relación). Por otro lado, para un material magnético dado, es decir, para un parámetro fijo\(\ \alpha_{c}\), el blindaje se mejora haciendo que la relación sea\(\ a / b<1\) más pequeña, es decir, el blindaje más grueso. Por otro lado, como muestra la Fig. 16, menor\(\ a\) deja menos espacio para las muestras blindadas, requiriendo un compromiso.

Ahora discutamos un enfoque curioso (y prácticamente importante) de sistemas con núcleos magnéticos relativamente delgados y cerrados hechos de varias secciones de (posiblemente, diferentes)\(\ \mu\) magnéticos altos, con las áreas de sección transversal\(\ A_{k}\) mucho más pequeñas que las longitudes cuadradas\(\ l_{k}\) de las secciones — ver Fig. 17.

Fig. 5.17. Derivando la “ley de ohmios magnéticos” (131).

Si todo\(\ \mu_{k} >> \mu_{0}\), prácticamente todas las líneas de campo están confinadas al interior del núcleo. Luego, aplicando la ley Macroscópica Ampère (116) a un contorno C que sigue una línea de campo magnético dentro del núcleo (ver, por ejemplo, la línea discontinua en la Fig. 17), obtenemos la siguiente expresión aproximada (exactamente válida solo en el límite\(\ \mu_{k} / \mu_{0}, l_{k}^{2} / A_{k} \rightarrow \infty\)):

\[\ \oint_{C} H_{l} d l \approx \sum_{k} l_{k} H_{k} \equiv \sum_{k} l_{k} \frac{B_{k}}{\mu_{k}}=N I.\tag{5.130}\]

Sin embargo, dado que las líneas del campo magnético permanecen en el núcleo, el flujo magnético\(\ \Phi_{k} \approx B_{k} A_{k}\) debe ser el mismo\(\ (\equiv \Phi)\) para cada sección, de manera que eso\(\ B_{k}=\Phi / A_{k}\). Conectando esta condición a la Eq. (130), obtenemos

\[\ \text{Magnetic Ohm law and reluctance}\quad\quad\quad\quad\Phi=\frac{N I}{\sum_{k} \mathscr{R}_{k}}, \quad \text { where } \mathscr{R}_{k} \equiv \frac{l_{k}}{\mu_{k} A_{k}}.\tag{5.131}\]

Obsérvese una estrecha analogía de la primera de estas ecuaciones con la ley habitual de Ohm para varias resistencias conectadas en serie, con el flujo magnético desempeñando el papel de corriente eléctrica, mientras que el producto\(\ NI\), el papel de la tensión aplicada a la cadena de resistencias. Esta analogía se ve fortalecida por el hecho de que la segunda de las ecuaciones (131) es similar a la expresión de la resistencia\(\ R=l / \sigma A\) de un conductor largo y uniforme, con la permeabilidad magnética\(\ \mu\) jugando el papel de la conductividad eléctrica\(\ \sigma\). (Para sonar similar, pero aún diferente de la resistencia\(\ R\), el parámetro\(\ \mathscr{R}\) se llama reluctancia.) Es por ello que a la Ec. (131) se le llama ley de ohmios magnéticos; es muy útil para análisis aproximados de sistemas como transformadores de CA, sistemas de almacenamiento de energía magnética, etc.

Ahora permítanme proceder a una breve discusión sobre los sistemas con imanes permanentes. En primer lugar, usando la definición (108) del campo\(\ \mathbf{H}\), podemos reescribir la ecuación de Maxwell (29) para el campo\(\ \mathbf{B}\) como

\[\ \nabla \cdot \mathbf{B} \equiv \mu_{0} \nabla \cdot(\mathbf{H}+\mathbf{M})=0, \quad \text { i.e. as } \nabla \cdot \mathbf{H}=-\nabla \cdot \mathbf{M},\tag{5.132}\]

Si bien esta relación es general, es especialmente conveniente en imanes permanentes, donde el vector de magnetización\(\ \mathbf{M}\) puede considerarse independiente del campo. En este caso, la Ec. (132) for\(\ \mathbf{H}\) es un análogo exacto de la ecuación (1.27) para\(\ \mathbf{E}\), con el término fijo\(\ -\nabla \cdot \mathbf{M}\) jugando el papel de la densidad de carga fija (más exactamente, de\(\ \rho / \varepsilon_{0}\)). Para el potencial escalar\(\ \phi_{\mathrm{m}}\), definido por la ecuación (120), esto da la ecuación de Poisson

\[\ \nabla^{2} \phi_{\mathrm{m}}=\nabla \cdot \mathbf{M},\tag{5.133}\]

similares a los resueltos, para bastantes geometrías, en los capítulos anteriores.

En el caso particular cuando no solo\(\ \mathbf{M}\) es independiente del campo, sino que también es uniforme dentro del volumen de un imán permanente, entonces los lados derechos de las ecuaciones (132) y (133) desaparecen tanto dentro del volumen como en el espacio libre circundante, y dan una carga efectiva distinta de cero solo en la superficie del imán. Integrando la Eq. (132) a lo largo de un camino corto normal a la superficie y cruzándolo, obtenemos las siguientes condiciones de contorno:

\[\ \Delta H_{n} \equiv\left(H_{n}\right)_{\text {in free space }}-\left(H_{n}\right)_{\text {in magnet }}=M_{n} \equiv M \cos \theta,\tag{5.134}\]

donde\(\ \theta\) es el ángulo entre el vector de magnetización y la normal exterior a la superficie del imán. Esta relación es un análogo exacto de la Ec. (1.24) para el componente normal del campo\(\ \mathbf{E}\), con la densidad efectiva de carga superficial (o mejor dicho\(\ \sigma / \varepsilon_{0}\)) igual a\(\ M \cos \theta\).

Esta analogía entre el campo magnético inducido por una magnetización fija y constante y el campo eléctrico inducido por cargas eléctricas superficiales permite reutilizar bastantes problemas considerados en los Capítulos 1-3. Dejando algunos problemas de este tipo para el ejercicio del lector (ver Sec. 7), permítanme demostrar el poder de esta analogía en sólo dos ejemplos específicos de los sistemas magnéticos. Primero, calculemos la fuerza necesaria para separar los extremos planos de dos imanes de varilla largos y uniformes, de longitud l y área de sección transversal\(\ A<<l^{2}\), con la magnetización remanente saturada\(\ \mathbf{M}_{0}\) dirigida a lo largo de su longitud — ver Fig. 18.

Fig. 5.18. Despegando dos imanes.

Supongamos que hemos logrado separar los imanes por una distancia infinitesimal\(\ \tau<<A^{1 / 2}\),\(\ l\). Entonces, según las ecuaciones (133) - (134), la distribución del campo magnético cerca de este pequeño hueco debería ser similar a la del campo eléctrico en un sistema de dos iguales por cargas superficiales opuestas con la densidad superficial\(\ \sigma\) proporcional a\(\ M_{0}\). De los capítulos 1 y 2 conocemos muy bien las propiedades de dicho sistema: dentro de la brecha, el campo eléctrico es prácticamente constante, uniforme\(\ \sigma\), proporcional e independiente de\(\ \tau\). Por su magnitud, la Ec. (134) da simplemente\(\ H=M_{0}\), y por lo tanto\(\ B=\mu_{0} M_{0}\). (Justo fuera de la brecha, el campo es muy bajo, porque debido a la condición\(\ A<<l^{2}\), el efecto de las cargas efectivas similares en los extremos “externos” de las varillas en el campo cerca del hueco\(\ t\) es insignificante.)

Ahora podríamos calcular\(\ F_{\min }\) como la fuerza ejercida por este campo sobre la superficie efectiva “carga”. No obstante, es aún más fácil encontrarlo a partir del siguiente argumento energético. Dado que la energía del campo magnético localizada dentro de los imanes y cerca de sus extremos exteriores no puede depender de ello\(\ t\), este pequeño desprendimiento solo puede alterar la energía dentro del hueco. Para esta parte de la energía, la Ec. (57) rinde:

\[\ \Delta U=\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} V=\frac{\left(\mu_{0} M_{0}\right)^{2}}{2 \mu_{0}} A \tau.\tag{5.135}\]

El gradiente de esta energía potencial es igual a la fuerza de atracción\(\ \mathbf{F}=-\nabla(\Delta U)\), tratando de reducir\(\ \Delta U\) disminuyendo la brecha, con la magnitud

\[\ |F|=\frac{\partial(\Delta U)}{\partial \tau}=\frac{\mu_{0} M_{0}^{2} A}{2}.\tag{5.136}\]

El desprendimiento del imán requiere una fuerza externa igual y opuesta.

Ahora consideremos la situación en la que imanes permanentes largos similares (como las agujas magnéticas utilizadas en las brújulas magnéticas) están separados, en el espacio de otro modo libre, por una distancia mayor\(\ d >>A^{1/2}\) —véase la Fig. 19. Para cada aguja (Fig. 19a), de una longitud\(\ l >> A^{1 / 2}\), el lado derecho de la ecuación (133) es sustancialmente diferente de cero solo en dos áreas relativamente pequeñas en los extremos de la aguja. Integrando la ecuación sobre cada extremo, vemos que a distancias\(\ r>>A^{1 / 2}\) de cada extremo, podemos reducir la ecuación (132) a

\[\ \nabla \cdot \mathbf{H}=q_{\mathrm{m}} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}\right)-q_{\mathrm{m}} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}\right),\tag{5.137}\]

donde\(\ \mathbf{r}_{\pm}\) están las posiciones de los extremos, y\(\ q_{\mathrm{m}} \equiv M_{0} A\),\(\ A\) siendo el área de la sección transversal de la aguja. Esta ecuación es completamente similar a la Ec. (3.32) para el desplazamiento\(\ \mathbf{D}\), para el caso particular de dos cargas puntuales iguales y opuestas, es decir\(\ \rho=q \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}\right)-q \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}\right)\), con, con la única sustitución\(\ q \rightarrow q_{\mathrm{m}}\). Como conocemos muy bien el campo eléctrico resultante (véase, por ejemplo, la ecuación (1.7) para\(\ \mathbf{E} \equiv \mathbf{D} / \varepsilon_{0}\)), podemos escribir inmediatamente la expresión similar para el campo\(\ \mathbf{H}\):

\[\ \mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi} q_{\mathrm{m}}\left(\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}\right|^{3}}-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}\right|^{3}}\right).\tag{5.138}\]

Fig. 5.19. a) “Cargas magnéticas” en los extremos de una aguja delgada de imán permanente y b) el resultado de su ruptura en dos partes (esquemáticamente).

El campo magnético resultante\(\ \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu_{0} \mathbf{H}(\mathbf{r})\) ejerce sobre otra “carga magnética”\(\ q_{\mathrm{m}}^{\prime}\), localizada en el
punto\(\ \mathbf{r}^{\prime}\), fuerza\(\ \mathbf{F}=q^{\prime} _{\mathrm{m}} \mathbf{B}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\). ⁶² De ahí que si dos extremos de diferentes agujas están separados por una distancia intermedia\(\ R\) (\(\ A^{1 / 2}<<R<<l\), ver Fig. 19b), podemos descuidar un término en la Eq. (138), y obtener la siguiente “ley magnética de Coulomb” para la interacción de los extremos más cercanos:

\[\ \mathbf{F}=\pm \frac{\mu_{0}}{4 \pi} q_{\mathrm{m}} q_{\mathrm{m}}^{\prime} \frac{\mathbf{R}}{R^{3}}.\tag{5.139}\]

El “único” (¡pero conceptualmente, crucial!) diferencia de esta interacción con la de las cargas puntuales eléctricas es que las dos “cargas magnéticas” (cuasi-monopolos) de una aguja magnética no pueden separarse completamente. Por ejemplo, si rompemos la aguja en el medio en un intento de separar más sus dos extremos, aparecen dos nuevas “cargas puntuales” — ver Fig. 19b.

Existen varios sistemas de estado sólido donde se pueden implementar estructuras más flexibles, similares en su magnetostática a las agujas. En primer lugar, ciertos superconductores (“Tipo II”) pueden llevar los llamados vórtices Abrikosov, tubos flexibles con superconductividad suprimida en el campo en su interior, cada uno con un cuántico\(\ \Phi_{0}=\pi \hbar / e \approx 2 \times 10^{-15} \mathrm{~Wb}\) del flujo magnético. Terminando en las superficies de los superconductores, estos tubos dejan que sus líneas de campo magnético se extiendan al espacio libre circundante, formando esencialmente análogos de monopolo magnético —por supuesto, con “cargas magnéticas” iguales y opuestas\(\ q_{\mathrm{m}}\) en cada extremo del tubo— tal como muestra la Fig. 19a. Dichos tubos de flujo no solo son flexibles sino también estirables, lo que resulta en varios efectos peculiares — ver Sec. 6.4 para más detalles. Otro ejemplo recientemente encontrado de tales cuasi-monopoles emparejados son las cadenas de espín en los llamados hielos de espín —cristales con iones paramagnéticos dispuestos en una red específica (pirocloro )— como el titanato de disprosio\(\ \mathrm{Dy}_{2} \mathrm{Ti}_{2} \mathrm{O}_{7}\). ⁶³ Permítanme recalcar nuevamente que cualquier referencia a los monopolos magnéticos en tales sistemas no debe tomarse literalmente.

Para completar esta sección (y este capítulo), permítanme discutir brevemente la energía del campo magnético\(\ U\), para el caso más simple de sistemas con magnetismo lineal. En este caso, todavía podemos usar la Eq. (55), pero si queremos operar con los campos macroscópicos, y de ahí las corrientes autónomas, deberíamos repetir las manipulaciones que nos han llevado a la Eq. (57), usando\(\ \mathbf{j}\) no de la Ec. (35), sino de la Eq. (107). Como resultado, en lugar de la Eq. (57) obtenemos

\[\ U=\int_{V} u(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad \text { with } u=\frac{\mathbf{B} \cdot \mathbf{H}}{2}=\frac{B^{2}}{2 \mu}=\frac{\mu H^{2}}{2},\quad\quad\quad\quad\text{Field energy in a linear magnetic}\tag{5.140}\]

Este resultado es evidentemente similar a la Ec. (3.73) de electrostáticos.

Como ejemplo sencillo pero importante de su aplicación, volvamos a considerar un solenoide largo (Fig. 6a), pero ahora lleno de un material magnético lineal con permeabilidad\(\ \mu\). Usando la ley Macroscópica Ampère (116), así como usamos la Eq. (37) para la derivación de la Ec. (40), obtenemos

\[\ H=I n, \quad \text { and hence } B=\mu I n,\tag{5.141}\]

donde\(\ n \equiv N / l\), al igual que en la ecuación (40), es la densidad del devanado, es decir, el número de vueltas de alambre por unidad de longitud. (A\(\ \mu=\mu_{0}\), inmediatamente volvemos a ese viejo resultado.) Ahora podemos enchufar la Eq. (141) a la Eq. (140) para calcular la energía magnética almacenada en el solenoide:

\[\ U=u V=\frac{\mu H^{2}}{2} l A=\frac{\mu(n I)^{2} l A}{2},\tag{5.142}\]

y luego usar la Eq. (72) para calcular su autoinductancia: ⁶⁴

\[\ L=\frac{U}{I^{2} / 2}=\mu n^{2} l A\tag{5.143}\]

Eso lo vemos\(\ L \propto \mu V\), de manera que llenar un solenoide con un\(\ \mu\) material alto puede permitir hacerlo más compacto al tiempo que se conserva el mismo valor de inductancia. Además, como ha mostrado la discusión de la figura 15, dicho llenado reduce los campos de franja cerca de los extremos del solenoide, lo que puede ser perjudicial para algunas aplicaciones, especialmente en experimentos físicos que buscan una alta precisión de medición.

Sin embargo, todavía necesitamos explorar el tema de la energía magnética más allá de la ecuación (140), no sólo para obtener una expresión general para ella en materiales con una dependencia arbitraria\(\ \mathbf{B}(\mathbf{H})\), sino también para finalmente probar la ecuación (54) y explorar su relación con la ecuación (53). Esto lo haré al inicio del próximo capítulo.

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Referencia

⁵⁷ La independencia de\(\ \mathbf{H}\) las propiedades magnéticas de la muestra en esta geometría explica por qué la magnitud de este campo es comúnmente utilizada como argumento en las gráficas como la Fig. 14: tales mediciones se llevan a cabo típicamente colocando una muestra alargada del material en estudio en una larga solenoide con una corriente controlable\(\ I\), de manera que de acuerdo con la Ec. (116)\(\ H_{0}=n I\), independientemente de la muestra.

⁵⁸ Se alienta al lector a realizar un análisis similar de los campos dentro de huecos estrechos cortados en un magnético lineal, similar al realizado en la Sec. 3.3 para dieléctricos lineales — ver Fig. 3.6 y su discusión.

⁵⁹ Esta similitud puede parecer extraña porque antes hemos visto que el parámetro\(\ \mu\) es físicamente más similar al\(\ 1 / \varepsilon\). La razón de esta paradoja es que en la magnetostática, el potencial\(\ \phi_{\mathrm{m}}\) magnético se utiliza tradicionalmente para describir el “campo aspirante”\(\ \mathbf{H}\), mientras que en la electrostática, el potencial\(\ \phi\) describe el campo eléctrico real\(\ \mathbf{E}\). (Esta tradición persiste desde los días en que\(\ \mathbf{H}\) se percibía como un auténtico campo magnético).

⁶⁰ Para derivar la ecuación (125), podemos calcular el gradiente del\(\ \phi_{\mathrm{m}}\) dado por la ecuación (124), o usar la similitud de las ecuaciones (3.13) y (99), para derivar de la ecuación (3.17) una expresión similar para el potencial del dipolo magnético

\(\ \phi_{\mathrm{m}}=\frac{1}{4 \pi} \frac{m \cos \theta}{r^{2}}.\)

Ahora comparando esta fórmula con el segundo término de la Ec. (124), inmediatamente obtenemos la Eq. (125).

⁶¹ Otro enfoque para la reducción de campos magnéticos indeseables es el “blindaje activo”, la compensación del campo externo con el campo contrario inducido por corrientes controladas en bobinas de alambre especialmente diseñadas.

⁶² La forma más sencilla de verificar esta (quizás, obvia) expresión es comprobar que para un sistema de dos “cargas”\(\ \pm q_{m}^{\prime}\), separadas por vectores\(\ \mathbf{a}\), colocadas en un campo magnético externo uniforme\(\ \mathbf{B}_{\text {ext }}\), produce la energía potencial (100) con el momento dipolo magnético correcto \(\ \mathbf{m}=q_{\mathrm{m}} \mathbf{a}\)— cf. Ec. (3.9) para un dipolo eléctrico.

⁶³ Véase, por ejemplo, L. Jaubert y P. Holdworth, J. Phys. — Cond. Mat. 23, 164222 (2011), y referencias en ellos.

⁶⁴ Es cierto que podríamos obtener el mismo resultado más simple, solo argumentando que dado que el material magnético llena todo el volumen de un campo magnético sustancial en este sistema, el relleno simplemente aumenta el vector\(\ \mathbf{B}\) en todos los puntos, y de ahí su flujo\(\ \Phi\), y\(\ L \equiv \Phi / I\) por lo tanto por el factor\(\ \mu / \mu_{0}\) en comparación con el valor de espacio libre (75).