5.7: Problemas de ejercicio

5.1. Un bucle de alambre circular, que lleva una corriente continua fija, se ha colocado dentro de un bucle similar pero más grande, llevando una corriente fija en la misma dirección; vea la figura a la derecha. Utilizar argumentos semicuantitativos para analizar la estabilidad mecánica de la posición coaxial y coplanar del bucle interno con respecto a sus posibles desplazamientos angulares, axiales y laterales en relación con el bucle externo.

5.2. Dos tiras conductoras rectas, planas, paralelas, largas y delgadas de ancho\(\ w\), separadas por la distancia\(\ d\), transportan corrientes iguales pero dirigidas de manera opuesta\(\ I\) — vea la figura a la derecha. Calcular el campo magnético en el plano ubicado en el medio entre las tiras, asumiendo que las corrientes de flujo se distribuyen uniformemente a través de los anchos de banda.

5.3. Para el sistema estudiado en el problema anterior, pero ahora solo en el límite\(\ d << w\), calcule:

i) la distribución del campo magnético en el espacio,

ii) el potencial vectorial del campo,

iii) la fuerza magnética (por unidad de longitud) ejercida sobre cada tira, y

(iv) la energía magnética y la autoinductancia del bucle formado por las tiras (por unidad de longitud).

5.4. Calcular la distribución del campo magnético cerca del centro del sistema de dos bobinas similares, planas, redondas, de alambre coaxial, que transportan corrientes iguales pero opuestas — vea la figura a la derecha.

5.5. El sistema de dos bobinas considerado en el problema anterior, ahora lleva corrientes iguales y dirigidas de manera similar — ver la figura de la derecha. ⁶⁵ Calcular cuál debería ser la relación\(\ d / R\) para que la segunda derivada\(\ \partial^{2} B_{z} / \partial z^{2}\)\(\ z = 0\) se desvanezca.

5.6. Calcular la distribución del campo magnético a lo largo del eje de un solenoide recto (ver Fig. 6a, parcialmente reproducido a la derecha) con una longitud finita\(\ l\), y sección transversal redonda de radio\(\ R\). Supongamos que el solenoide tiene muchas vueltas\(\ (N >>1, l / R)\) de cable, distribuidas uniformemente a lo largo de su longitud.

5.7. Un delgado disco redondo de radio\(\ R\), que lleva carga eléctrica de densidad superficial constante\(\ \sigma\), está siendo girado alrededor de su eje con una velocidad angular constante\(\ \Omega\). Calcular:

i) el campo magnético inducido en el eje del disco,

(ii) el momento magnético del disco, y relacionar estos resultados.

5.8. Un caparazón esférico delgado de radio\(\ R\), con carga\(\ Q\) uniformemente distribuida sobre su superficie, gira alrededor de su eje con velocidad angular\(\ \omega\). Calcular la distribución del campo magnético en todas partes del espacio.

5.9. Una esfera de radio\(\ R\), hecha de un material aislante con una densidad de carga eléctrica uniforme\(\ \rho\), gira alrededor de su diámetro con velocidad angular\(\ \omega\). Calcular la distribución del campo magnético dentro y fuera de la esfera.

5.10. El lector está (ojalá: -) familiarizado con el efecto Hall clásico cuando tiene lugar en la geometría de barra Hall rectangular habitual — vea el panel izquierdo de la figura a continuación. No obstante, el efecto toma una forma diferente en el llamado disco Corbino — ver el panel derecho de la figura a continuación. (El sombreado oscuro muestra electrodos, sin resistencia apreciable). Analizar el efecto en ambas geometrías, asumiendo que en ambos casos los conductores son delgados, planos, tienen una conductividad óhmica constante\(\ \sigma\) y densidad portadora de carga\(\ n\), y que el campo magnético aplicado\(\ \mathbf{B}\) es uniforme y normal a los planos de los conductores.

5.11.* El modelo más simple del famoso motor homopolar ⁶⁶ es un disco conductor delgado y redondo, colocado en un campo magnético uniforme normal a su plano, y alimentado por una corriente de CC que fluye desde el centro del disco a un electrodo deslizante (“cepillo”) en su borde; vea la figura a la derecha.

(i) Expresar el par que gira el disco, a través de su radio\(\ R\), el campo\(\ \mathbf{B}\) magnético y la corriente\(\ I\).

(ii) Si se permite que el disco gire alrededor de su eje, y el motor es accionado por una batería con e.m.f.\(\ \mathscr{V}\), calcular su velocidad angular estacionaria\(\ \omega\), descuidando la fricción y la resistencia del circuito eléctrico.

(iii) Ahora suponiendo que el circuito de corriente (batería + cables + contactos + disco mismo) tiene una resistencia distinta de cero\(\ \mathscr{R}\), derivar y resolver la ecuación para la evolución temporal de\(\ \omega\), y analizar la solución.

5.12. La corriente\(\ I\) fluye en un cable delgado doblado en un bucle redondo plano de radio\(\ R\). Calcular el flujo magnético neto a través del plano en el que se encuentra el bucle.

5.13. Demostrar que:

(i) la autoinductancia\(\ L\) de un bucle de corriente no puede ser negativa, y

(ii) cualquier coeficiente de inductancia\(\ L_{k k’}\), definido por la Ec. (60), no puede ser mayor que\(\ \left(L_{k k} L_{k^{\prime} k^{\prime}}\right)^{1 / 2}\).

5.14. ^* Estimar los valores de susceptibilidad magnética debido a

(i) diamagnetismo orbital, y

(ii) paramagnetismo de espín, para un medio con interacción insignificante entre los dipolos moleculares inducidos. Compara los resultados.

Sugerencias: Para Tarea (i), puede usar el modelo clásico descrito por la Ec. (114) — ver Fig. 13. Para Tarea (ii), asumir el mecanismo de ordenamiento de dipolos magnéticos espontáneos\(\ \mathbf{m}_{0}\), con una magnitud\(\ m_{0}\) del orden del magnetón Bohr\(\ \mu_{\mathrm{B}}\), similar al esbozado para dipolos eléctricos en la Fig. 3.7a.

5.15. ^* Utilizar la imagen clásica del diamagnetismo orbital (“Larmor”), discutido en la Sec. 5, para calcular su (pequeña) contribución\(\ \Delta \mathbf{B}(0)\) al campo magnético que\(\ \mathbf{B}\) siente un núcleo atómico, modelando los electrones del átomo mediante una nube esféricamente simétrica con una densidad de carga eléctrica \(\ \rho(r)\). Expresar el resultado a través\(\ \phi(0)\) del valor del potencial electrostático de la nube de electrones y usar esta expresión para una estimación numérica bruta de la relación\(\ \Delta B(0) / B\) para el átomo de hidrógeno.

5.16. Calcular la (auto) inductancia de un solenoide toroidal (ver Fig. 6b) con la sección transversal redonda de radio\(\ r \sim R\) (ver la figura a la derecha), con muchas vueltas de\(\ (N >>1, R / r)\) alambre distribuidas uniformemente a lo largo del perímetro, y rellenas con un material magnético lineal de permeabilidad magnética\(\ \mu\). Consulta tus resultados analizando el límite\(\ r<<R\).

5.17. Un cable largo, recto y delgado, que transporta corriente\(\ I\), pasa paralelo al límite plano entre dos magnéticos lineales uniformes; vea la figura a la derecha. Calcule el campo magnético en todas partes del sistema y la fuerza (por unidad de longitud) ejercida sobre el cable.

5.18. Resolver el problema de blindaje magnético similar al discutido en la Sec. 5.6 de las notas de conferencia, pero para una concha esférica en lugar de cilíndrica, con la misma sección transversal central que se muestra en la Fig. 16. Compare la eficiencia de esos dos escudos, para la permeabilidad\(\ \mu\) de la misma carcasa y la misma\(\ b / a\) relación.

5.19. Calcular la distribución del campo magnético alrededor de un imán permanente esférico con una magnetización uniforme\(\ \mathbf{M}_{0}=\text { const }\).

5.20. Un volumen limitado\(\ V\) se llena con un material magnético con una magnetización fija (independiente del campo)\(\ \mathbf{M}(\mathbf{r})\). Escribe expresiones explícitas para el campo magnético inducido por la magnetización, y su potencial, y refundir estas expresiones en las formas más convenientes cuando están\(\ \mathbf{M}(\mathbf{r})=\mathbf{M}_{0}=\text { const }\) dentro del volumen\(\ V\).

5.21. Utilice los resultados del problema anterior para calcular la distribución del campo magnético a\(\ \mathbf{H}\) lo largo del eje de un imán permanente recto de longitud\(\ 2 l\), con una sección transversal redonda de radio\(\ R\), y una magnetización uniforme\(\ \mathbf{M}_{0}\) paralela al eje — vea la figura de la derecha.

5.22. Una película muy ancha de espesor\(\ 2t\) se magnetiza permanentemente normalmente a su plano, con un patrón periódico de tablero de ajedrez, con el cuadrado de área\(\ a \times a\):

\[\ \left.\mathbf{M}\right|_{|z|<t}=\mathbf{n}_{z} M(x, y), \quad \text { with } M(x, y)=M_{0} \times \operatorname{sgn}\left(\cos \frac{\pi x}{a} \cos \frac{\pi y}{a}\right).\]

Calcular la distribución del campo magnético en el espacio. ⁶⁷

5.23. ^* Basado en la discusión de la lente electrostática cuadrupolo en la Sec. 2.4, sugieren los sistemas de imanes permanentes que pueden enfocar de manera similar partículas que se mueven cerca del eje del sistema, y transportando:

i) una carga eléctrica,

(ii) sin carga eléctrica neta, sino un momento dipolo magnético espontáneo\(\ \mathbf{m}\).

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Referencia

⁶⁶ Fue inventada por Michael Faraday en 1821, es decir, mucho antes de su célebre trabajo sobre la inducción electromagnética. El adjetivo “homopolar” se refiere a la constante “polaridad” (signo) de la corriente; el término alternativo es “unipolar”.

⁶⁷ Este problema es de evidente relevancia para la tecnología de grabación magnética perpendicular (PMR), que actualmente domina la grabación magnética digital de alta densidad.