6.1: Inducción electromagnética

Como muestran las ecuaciones (5.36), en situaciones estáticas\(\ (\partial / \partial t=0)\) las ecuaciones de Maxwell que describen los campos eléctrico y magnético son independientes, acopladas solo implícitamente, a través de la ecuación de continuidad (4.5) relacionando sus lados derechos\(\ \rho\) y\(\ \mathbf{j}\). En dinámica, cuando los campos cambian en el tiempo, la situación en diferente.

Históricamente, el primer acoplamiento explícito descubierto entre los campos eléctrico y magnético fue el efecto de la inducción electromagnética. Si bien el efecto de inducción fue descubierto independientemente por Joseph Henry, fue una brillante serie de experimentos de Michael Faraday, realizados principalmente en 1831, que dieron como resultado la primera formulación general de la ley de inducción. El resumen de los numerosos experimentos de Faraday ha resultado ser muy sencillo: si el flujo magnético, definido por la ecuación (5.65),

\[\ \Phi \equiv \int_{S} B_{n} d^{2} r,\tag{6.1}\]

a través de la superficie S limitada por un contorno cerrado C, cambios en el tiempo por cualquier razón (por ejemplo, ya sea debido a un cambio del campo magnético\(\ \mathbf{B}\) (como en la Fig. 1), o el movimiento del contorno, o su deformación, o cualquier combinación de lo anterior), induce un campo eléctrico adicional similar a un vórtice\(\ \mathbf{E}_{\text {ind }}\) dirigido a lo largo del
contorno — ver Fig. 1.

Fig. 6.1. Dos formas más sencillas de observar la inducción electromagnética de Faraday.

La distribución exacta de\(\ \mathbf{E}_{\text {ind }}\) en el espacio depende de los detalles del sistema, pero su integral a lo largo del contorno\(\ C\), llamada fuerza electromotriz inductiva (e.m.f.), obedece a una ley de inducción de Faraday muy simple:

\[\ \mathscr{V}_{\text {ind }} \equiv \oint_{C} \mathbf{E}_{\text {ind }} \cdot d \mathbf{r}=-\frac{d \Phi}{d t}.\quad\quad\quad\quad\text{Faraday induction law}\tag{6.2}\]

(En las unidades gaussianas, el lado derecho de esta fórmula tiene un coeficiente adicional)\(\ 1 / c\).

Es sencillo (y por lo tanto se deja para el ejercicio del lector) demostrar que esta e.m.f. puede medirse, por ejemplo, ya sea insertando un voltímetro en un bucle conductor siguiendo el contorno\(\ C\), o midiendo la pequeña corriente\(\ I=\mathscr{V}_{\text {ind }} / R\) que induce en un cable delgado con un óhmico suficientemente grande resistencia\(\ R\), ² cuya forma sigue ese contorno — ver Fig. 1. (En realidad, estos métodos no son del todo diferentes, porque un voltímetro típico mide el voltaje por la pequeña corriente óhmica que impulsa a través de una conocida alta resistencia interna del dispositivo). En el contexto de este último enfoque, el signo menos en la Ec. (2) puede ser descrito por la siguiente regla Lenz: el campo magnético de la corriente inducida\(\ I\) proporciona una compensación parcial del cambio del flujo original\(\ \Phi(t)\) con el tiempo. ³

Para refundir la Ec. (2) en una forma diferencial, más conveniente en muchos casos, apliquemos a la integral de contorno en ella el mismo teorema de Stokes que se utilizó repetidamente en el Capítulo 5. El resultado es

\[\ \mathscr{V}_{\text {ind }}=\int_{S}\left(\nabla \times \mathbf{E}_{\text {ind }}\right)_{n} d^{2} r.\tag{6.3}\]

Ahora combinando Eqs. (1) - (3), para un contorno\(\ C\) cuya forma no cambia en el tiempo (para que la integración a lo largo de él sea intercambiable con la derivada del tiempo), obtenemos

\[\ \int_{S}\left(\nabla \times \mathbf{E}_{\text {ind }}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)_{n} d^{2} r=0.\tag{6.4}\]

Dado que el campo eléctrico inducido es una adición al campo gradiente (1.33) creado por las cargas eléctricas, para el campo neto podemos escribir\(\ \mathbf{E}=\mathbf{E}_{\text {ind }}-\nabla \phi\). Sin embargo, dado que el rizo de cualquier campo de gradiente es cero\(\ \nabla \times(\nabla \phi)=0\), ⁴, la ecuación (4) sigue siendo válida incluso para el campo neto\(\ \mathbf{E}\). Dado que esta ecuación debe ser correcta para cualquier área cerrada\(\ S\), podemos concluir que

\[\ \nabla \times \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0\quad\quad\quad\quad\text{Faraday law: differential form}\tag{6.5}\]

en cualquier momento. Esta es la forma final (dependiente del tiempo) de esta ecuación de Maxwell. Superficialmente, puede parecer que la Ecuación (5) es menos general que la Ecuación (2); por ejemplo, no describe ningún campo eléctrico, y de ahí cualquier e.m.f. en un bucle móvil, si el campo\(\ \mathbf{B}\) es constante en el tiempo, incluso si el flujo magnético (1) a través del bucle sí cambia en el tiempo. Sin embargo, esto no es cierto; en el Capítulo 9 veremos que en el marco de referencia moviéndose con el bucle tal e.m.f. sí aparece. ⁵

Ahora reformulemos la Ec. (5) en términos del potencial vectorial\(\ \mathbf{A}\). Dado que el efecto de inducción no altera la relación fundamental\(\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0\), aún podemos representar el campo magnético según lo prescrito por la Ec. (5.27), es decir, como\(\ \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}\). Conectando esta expresión a la ecuación (5), y cambiando el orden de la diferenciación temporal y espacial, obtenemos

\[\ \nabla \times\left(\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)=0.\tag{6.6}\]

De ahí que podamos usar la misma argumentación que en la Sec. 1.3 (allí aplicada\(\ \mathbf{E}\) solo al vector) para representar la expresión entre paréntesis como\(\ -\nabla \phi\), para que obtengamos

\[\ \text{Fields via potentials}\quad\quad\quad\quad\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi, \quad \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.\tag{6.7}\]

Es muy tentador interpretar el primer término del lado derecho de la expresión\(\ \mathbf{E}\) como el que describe solo la inducción electromagnética, y el segundo término como que representa un campo puramente electrostático inducido por cargas eléctricas. No obstante, la separación de estos dos términos es, en cierta medida, condicional. En efecto, consideremos la transformación del calibre ya mencionada en la Sec. 5.2,

\[\ \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla \chi,\tag{6.8}\]

que, como ya sabemos, no cambia el campo magnético. De acuerdo con la Ec. (7), para mantener intacto el campo eléctrico completo (invariante de calibre) también, el potencial eléctrico escalar tiene que transformarse simultáneamente, como

\[\ \phi \rightarrow \phi-\frac{\partial \chi}{\partial t},\tag{6.9}\]

dejando la elección de una adición\(\ \phi\) restringida solo por la ecuación de Laplace —ya que el completo\(\ \phi\) debería satisfacer la ecuación de Poisson (1.41) con un lado derecho invariable de calibre. Volveremos a la discusión de la invarianza del calibre en la Sec. 4.

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Referencia

² Tal corriente inducida a veces se llama corriente parásita, aunque la mayoría de las veces este término se reserva para las corrientes distribuidas inducidas por el cambio de campos magnéticos en conductores a granel — ver Sec. 3 abajo.

³ Permítame también esperar que el lector esté familiarizado con la paradoja que surge de los intentos de medir\(\ \mathscr{V}_{\text {ind }}\) con un voltímetro sin su inserción en el bucle de cable; si no, los recomendaría encarecidamente para resolver el Problema 2.

⁴ Véase, por ejemplo, MA Ec. (11.1).

⁵ Tengo que admitir que desde el inicio del curso, estuve cuidadosamente barriendo bajo la alfombra una pregunta muy importante: ¿en qué marco (s) de referencia exactamente son válidas todas las ecuaciones de la electrodinámica? Prometo discutir este tema en detalle más adelante en el curso (en el Capítulo 9), y por ahora me gustaría salirse con la suya con una respuesta muy corta: todas las fórmulas discutidas hasta el momento son válidas en cualquier marco de referencia inercial, como se define en la mecánica clásica —véase, por ejemplo, CM Sec. 1.3; sin embargo, los campos\(\ \mathbf{E}\) y \(\ \mathbf{B}\)tienen que medirse en el mismo marco de referencia.