6.2: Energía Magnética Revisitada

Ahora estamos suficientemente equipados para volver al tema de la energía magnética, en particular, para finalmente probar las ecuaciones (5.57) y (5.140), y discutir la dicotomía de los signos en las ecuaciones (5.53) y (5.54). Para ello, consideremos una variación del campo magnético suficientemente lenta y pequeña\(\ \delta \mathbf{B}\). Si queremos descuidar la energía cinética del sistema de corrientes eléctricas en consideración, así como los efectos de la radiación de onda, necesitamos evitar su aceleración por el campo de inducción que surge\(\ \mathbf{E}_{\text {ind }}\). Supongamos que lo hacemos por el equilibrio virtual de este campo por un campo eléctrico externo\(\ \mathbf{E}_{\text {ext }}=-\mathbf{E}_{\text {ind }}\). De acuerdo con la Ec.
(4.38), el trabajo de ese campo ⁶ sobre las corrientes autónomas del sistema durante el intervalo de tiempo\(\ \delta t\), y de ahí el cambio de la energía potencial del sistema, es

\[\ \delta U=\delta t \int_{V} \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}_{\text {ext }} d^{3} r=-\delta t \int_{V} \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}_{\text {ind }} d^{3} r,\tag{6.10}\]

donde la integral está sobre el volumen del sistema. Ahora expresando la densidad\(\ \mathbf{j}\) de corriente a partir de la ecuación macroscópica de Maxwell (5.107), y luego aplicando la identidad de álgebra vectorial ⁷

\[\ (\nabla \times \mathbf{H}) \cdot \mathbf{E}_{\text {ind }} \equiv \mathbf{H} \cdot\left(\nabla \times \mathbf{E}_{\text {ind }}\right)-\nabla \cdot\left(\mathbf{E}_{\text {ind }} \times \mathbf{H}\right),\tag{6.11}\]

obtenemos

\[\ \delta U=-\delta t \int_{V} \mathbf{H} \cdot(\nabla \times \mathbf{E}) d^{3} r+\delta t \int_{V} \nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H}) d^{3} r.\tag{6.12}\]

Según el teorema de divergencia, la segunda integral en la mano derecha de esta igualdad es igual al flujo del llamado vector Poynting\(\ \mathbf{S} \equiv \mathbf{E} \times \mathbf{H}\) a través de la superficie limitando el volumen considerado\(\ V\). Posteriormente en el curso veremos que este flujo representa, en particular, la potencia de la radiación electromagnética a través de la superficie. Si dicha radiación es despreciable (como siempre lo es si la variación del campo es suficientemente lenta), la superficie puede seleccionarse suficientemente lejos, para que el flujo de\(\ \mathbf{S}\) desaparezca. En este caso, podemos expresar\(\ \nabla \times \mathbf{E}\) de la ley de inducción de Faraday (5) para obtener

\[\ \delta U=-\delta t \int_{V}\left(-\frac{\partial B}{\partial t}\right) \cdot \mathbf{H} d^{3} r=\int_{V} \mathbf{H} \cdot \delta \mathbf{B} d^{3} r.\tag{6.13}\]

Al igual que en la electrostática (ver Ecuaciones (1.65) y (3.73), y su discusión), esta relación puede interpretarse como la variación de la energía\(\ U\) del campo magnético del sistema, y representada en la forma

\[\ \delta U=\int_{V} \delta u(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad \text { with } \delta u \equiv \mathbf{H} \cdot \delta \mathbf{B}.\quad\quad\quad\quad\text{Magnetic energy’s variation}\tag{6.14}\]

Este es un resultado clave; vamos a discutirlo con cierto detalle.

En primer lugar, para un sistema lleno de un material magnético lineal e isotrópico, podemos usar la Eq. (14) junto con la Eq. (5.110):\(\ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H}\). Integrando el resultado sobre la variación del campo de 0 a cierto valor final\(\ \mathbf{B}\), obtenemos la Ec. (5.140) —tan importante que es digno de reescribirlo nuevamente:

\[\ U=\int_{V} u(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad \text { with } u=\frac{B^{2}}{2 \mu}.\tag{6.15}\]

En el caso más simple de espacio libre (sin magneticos en absoluto, de modo que j arriba es la densidad de corriente completa), podemos tomar\(\ \mu=\mu_{0}\), y reducir la Eq. (15) a la Eq. (5.57). Ahora realizando hacia atrás las transformaciones que nos llevaron, en la Sec. 5.3, a derivar esa relación a partir de la ecuación (5.54), finalmente tenemos probada la última fórmula —como se prometió en el último capítulo.

Es muy importante, sin embargo, comprender las limitaciones de la Ec. (15). Por ejemplo, intentemos aplicarlo a un problema muy sencillo, que ya se analizó en la Sec. 5.6 (ver Fig. 5.15): una muestra cilíndrica muy larga de un material magnético lineal colocada en un campo externo fijo\(\ \mathbf{H}_{\mathrm{ext}}\), paralelo al eje de la muestra. Es evidente que en esta geometría simple, el campo\(\ \mathbf{H}\) y por lo tanto el campo\(\ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H}\) tienen que ser uniformes dentro de la muestra, además de regiones insignificantes cerca de sus extremos, de manera que la Ec. (15) se reduce a

\[\ U=\frac{B^{2}}{2 \mu} V,\tag{6.16}\]

donde\(\ V=A l\) está el volumen del cilindro. Ahora bien, si tratamos de calcular el valor estático (equilibrio) del campo a partir del mínimo de esta energía potencial, obtenemos tonterías evidentes:\(\ \mathbf{B}=0\)\(\ ({\color{red}\text { WRONG! }})\). ⁸

La situación puede ser fácilmente rectificada utilizando la noción de la energía potencial de Gibbs, tal como se hizo para el campo eléctrico en la Sec. 3.5 (e implícitamente al final de la Sec. 1.3). De acuerdo con la Ec. (14), en magnetostática, los componentes cartesianos del campo\(\ \mathbf{H}(\mathbf{r})\) juegan el papel de las fuerzas generalizadas, mientras que las del campo\(\ \mathbf{B}(\mathbf{r})\), de las coordenadas generalizadas (por unidad de volumen). ⁹ Como resultado, la energía potencial de Gibbs, cuyo mínimo corresponde al equilibrio estable del sistema bajo el efecto de una fuerza generalizada fija (en nuestro caso actual, del campo externo fijo\(\ \mathbf{H}_{\text {ext }}\), es

\[\ \text{Gibbs potential energy}\quad\quad\quad\quad U_{\mathrm{G}}=\int_{V} u_{\mathrm{G}}(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad \text { with } u_{\mathrm{G}}(\mathbf{r}) \equiv u(\mathbf{r})-\mathbf{H}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}),\tag{6.17}\]

- la expresión paralela a la Ec. (3.78). Para un sistema con magnetismo lineal, podemos usar la ecuación (15) para\(\ u\) obtener la siguiente densidad de energía de Gibbs:

\[\ u_{\mathrm{G}}(\mathbf{r})=\frac{1}{2 \mu} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B}-\mathbf{H}_{\mathrm{ext}} \cdot \mathbf{B} \equiv \frac{1}{2 \mu}\left(\mathbf{B}-\mu \mathbf{H}_{\mathrm{ext}}\right)^{2}+\mathrm{const},\tag{6.18}\]

donde “const” significa un término independiente del campo\(\ \mathbf{B}\) dentro de la muestra. Para nuestro sistema cilíndrico simple, con sus campos uniformes, las ecuaciones (17) - (18) dan la siguiente energía Gibbs completa de la muestra:

\[\ U_{\mathrm{G}}=\frac{\left(\mathbf{B}_{\mathrm{int}}-\mu \mathbf{H}_{\mathrm{ext}}\right)^{2}}{2 \mu} V+\mathrm{const},\tag{6.19}\]

cuyo mínimo inmediatamente da el valor estacionario correcto\(\ \mathbf{B}_{\text {int }}=\mu \mathbf{H}_{\text {ext }}, \text { i.e. } \mathbf{H}_{\text {int }} \equiv \mathbf{B}_{\text {int }} / \mu=\mathbf{H}_{\text {ext }}\) -que ya se obtuvo en la Sec. 5.6 de manera diferente, a partir de la condición límite (5.117).

Ahora note que con este resultado a la mano, la Ec. (18) puede ser reescrita en una forma diferente:

\[\ u_{\mathrm{G}}(\mathbf{r})=\frac{1}{2 \mu} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B}-\frac{\mathbf{B}}{\mu} \cdot \mathbf{B} \equiv-\frac{B^{2}}{2 \mu},\tag{6.20}\]

similar a la Ec. (15) para u (r), pero con un signo opuesto. Esta dicotomía de signo explica que en las ecuaciones (5.53) y Eq. (5.54); efectivamente, como ya se señaló en la Sec. 5.3, la primera de estas expresiones da la energía potencial cuyo mínimo corresponde al equilibrio de un sistema con corrientes fijas. (En nuestro ejemplo actual, estas son las corrientes externas independientes que inducen el campo)\(\ \mathbf{H}_{\mathrm{ext}}\). Entonces, la energía\(\ U_{j}\) dada por la Ecuación (5.53) es esencialmente la energía de Gibbs\(\ U_{\mathrm{G}}\) definida por las Ecuaciones (17) y (para el caso de los magnéticos lineales, o ningún medio magnético en absoluto) por la Ec. (20), mientras que la Ec. (5.54) es solo otra forma de la Ecuación (15) —como se mostró explícitamente en la Sec. 5.3. ¹⁰

Permítanme completar esta sección afirmando que la diferencia entre las energías\(\ U\) y no\(\ U_{\mathrm{G}}\) se enfatiza adecuadamente (o incluso se deja oscura) en algunos libros de texto, por lo que se aconseja al lector que busque una claridad adicional resolviendo problemas simples adicionales, por ejemplo, al deletrear estos energías para el caso simple de un solenoide recto largo (Fig. 5.6a), y luego usando estas fórmulas para calcular la presión ejercida por el campo magnético sobre las paredes del solenoide (devanados) y las fuerzas longitudinales ejercidas en sus extremos.

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Referencia

⁶ Como recordatorio, el componente magnético de la fuerza de Lorentz (5.10),\(\ \mathbf{v} \times \mathbf{B}\), es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula\(\ \mathbf{v}\), por lo que el campo magnético en\(\ \text { B }\) sí no puede realizar ningún trabajo sobre cargas móviles, es decir, sobre corrientes.

⁷ Véase, por ejemplo, MA Ec. (11.7) con\(\ \mathbf{f}=\mathbf{E}_{\text {ind }}\) y\(\ \mathbf{g}=\mathbf{H}\).

⁸ Obsérvese que este resultado erróneo no puede corregirse simplemente sumando la energía (15) del campo fuera del cilindro, ya que en el límite\(\ A \rightarrow 0\), este campo no se ve afectado por el campo interno\(\ \mathbf{B}\).

⁹ Obsérvese que a este respecto, la analogía con la electrostática no es del todo completa. En efecto, según la Ec. (3.76), en la electrostática el papel de una coordenada generalizada lo juega el campo “aspirante”\(\ \mathbf{D}\), y el de la fuerza generalizada, por el campo eléctrico real\(\ \mathbf{E}\). Esta diferencia se remonta al hecho de que el campo eléctrico\(\ \mathbf{E}\) puede realizar trabajos sobre una partícula cargada en movimiento, mientras que el campo magnético no puede. Sin embargo, esta diferencia no afecta la analogía completa de las expresiones (3.73) y (15) para la densidad de energía de campo en medios lineales.

¹⁰ Como ya se señaló en la Sec. 5.4, un ejemplo más de la energía\(\ U_{j}\) (i.e.\(\ U_{\mathrm{G}}\)) viene dado por la Ec. (5.100).