6.4: Electrodinámica de Superconductividad e Invarianza de Calibre

El efecto de la superconductividad ²⁰ se produce (solo en ciertos materiales, en su mayoría metales) cuando la temperatura\(\ T\) se reduce por debajo de una determinada temperatura crítica\(\ T_{\mathrm{c}}\), específica para cada material. Para la mayoría de los superconductores metálicos,\(\ T_{\mathrm{c}}\) es del orden de típicamente unos pocos kelvin, aunque desde 1987 se han encontrado varios compuestos (los llamados superconductores de alta temperatura) con\(\ T_{\mathrm{c}}\) más de 100 K. La propiedad más notable de los superconductores es la ausencia, a\(\ T<T_{\mathrm{c}}\), de resistencia medible a corrientes de CC (no muy altas). Sin embargo, las propiedades electromagnéticas de los superconductores no pueden describirse simplemente tomando\(\ \sigma=\infty\) en nuestros resultados anteriores. De hecho, para este caso, la ecuación (33) daría\(\ \delta_{\mathrm{s}}=0\), es decir, ninguna penetración del campo magnético ac en absoluto, mientras que para el campo dc tendríamos la incertidumbre El\(\ \sigma \omega \rightarrow ?\) experimento muestra algo sustancialmente diferente: los campos magnéticos débiles penetran en los superconductores por una distancia específica del material \(\ \delta_{\mathrm{L}} \sim 10^{-7}-10^{-6} \mathrm{~m}\), la llamada profundidad de penetración de Londres, ²¹ que es prácticamente independiente de la frecuencia hasta que la profundidad de la piel\(\ \delta_{\mathrm{s}}\), medida en el mismo material en su estado “normal”, es decir, la ausencia de superconductividad, se vuelve menor que\(\ \delta_{\mathrm{L}}\). (Este cruce ocurre típicamente a frecuencias)\(\ \omega \sim 10^{13}-10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\). La pequeñez\(\ \delta_{\mathrm{L}}\) en la escala humana significa que el campo magnético es empujado fuera de las muestras macroscópicas en su transición al estado superconductor.

Este efecto Meissner-Ochsenfeld, descubierto experimentalmente en 1933, ²² puede entenderse en parte utilizando el siguiente razonamiento clásico. La discusión de la ley Ohm en la Sec. 4.2 implicó que la frecuencia de la corriente (y por lo tanto la del campo eléctrico)\(\ \omega\) es cero o suficientemente baja. En el razonamiento clásico de Drude, esto es aceptable mientras\(\ \omega \tau << 1\), donde\(\ \tau\) está el tiempo efectivo de dispersión del portador participando en las ecuaciones (4.12) - (4.13). Si no se cumple esta condición, debemos tomar en cuenta la inercia del portador de carga; además, en el límite opuesto\(\ \omega \tau >> 1\), podemos descuidar en absoluto la dispersión. Clásicamente, podemos describir los portadores de carga en tal “conductor perfecto” como partículas con una masa distinta de cero m, que son aceleradas por el campo eléctrico, siguiendo la ^2ª ley de Newton (4.11),

\[\ m \dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}=q \mathbf{E},\tag{6.39}\]

para que la densidad de corriente\(\ \mathbf{j}=q n \mathbf{v}\) que crean, cambie en el tiempo como

\[\ \dot{\mathbf{j}}=q n \dot{\mathbf{v}}=\frac{q^{2} n}{m} \mathbf{E}.\tag{6.40}\]

En términos de las amplitudes de Fourier de las funciones\(\ \mathbf{j}(t)\) y\(\ \mathbf{E}(t)\), esto significa

\[\ -i \omega_{\mathbf{j}_{\omega}}=\frac{q^{2} n}{m} \mathbf{E}_{\omega}.\tag{6.41}\]

Comparando esta fórmula con la relación\(\ \mathbf{j}_{\omega}=\sigma \mathbf{E}_{\omega}\) implícita en la última sección, vemos que podemos usar todos sus resultados con el siguiente reemplazo:

\[\ \sigma \rightarrow i \frac{q^{2} n}{m \omega}.\tag{6.42}\]

Este cambio reemplaza la ecuación característica (29) por

\[\ -i \omega=\frac{\kappa^{2} m \omega}{i q^{2} n \mu}, \quad \text { i.e. } \kappa^{2}=\frac{\mu q^{2} n}{m},\tag{6.43}\]

es decir, reemplaza el efecto piel con la penetración de campo por la siguiente profundidad independiente de la frecuencia:

\[\ \delta \equiv \frac{1}{\kappa}=\left(\frac{m}{\mu q^{2} n}\right)^{1 / 2}.\tag{6.44}\]

Superficialmente, esto significa que la desintegración del campo en el superconductor no depende de la frecuencia:

\[\ H(x, t)=H(0, t) e^{-x / \delta},\tag{6.45}\]

explicando así el efecto Meissner-Ochsenfeld.

Sin embargo, hay dos problemas con este resultado. Primero, para los parámetros típicos de los metales buenos\(\ \left(q=-e, n \sim 10^{29} \mathrm{~m}^{-3}, m \sim m_{\mathrm{e}}, \mu \approx \mu_{0}\right)\), la Ec. (44) da\(\ \delta \sim 10^{-8} \mathrm{~m}\), uno o dos órdenes de magnitud inferiores a los valores experimentales de\(\ \delta_{\mathrm{L}}\). El experimento también muestra que la profundidad de penetración diverge a\(\ T\rightarrow T_{\mathrm{c}}\), lo cual no es pronosticado por la Ec. (44).

El segundo problema, mucho más fundamental con la Ec. (44) es que se ha derivado para\(\ \omega \tau>>1\). Incluso si asumimos que de alguna manera no hay dispersión en absoluto, es decir\(\ \tau=\infty\), en\(\ \omega \rightarrow 0\) ambas partes de la ecuación característica (43) desaparecen, y no podemos llegar a ninguna conclusión al respecto\(\ \kappa\). Esto no es sólo un artefacto matemático que podríamos ignorar. Por ejemplo, coloquemos un metal no magnético en un campo magnético externo estático en\(\ T>T_{\mathrm{c}}\). El campo penetraría completamente en la muestra. Ahora déjanos enfriarlo. Tan pronto como la temperatura disminuya por debajo\(\ T_{\mathrm{c}}\), los cálculos anteriores pasarían a ser válidos, prohibiendo la penetración en el superconductor de cualquier cambio del campo, de manera que el campo inicial quedaría “congelado” dentro de la muestra. El experimento muestra algo completamente diferente: como\(\ T\) se baja por debajo\(\ T_{\mathrm{c}}\), el campo inicial está siendo empujado fuera de la muestra.

La resolución de estas contradicciones ha sido proporcionada por la mecánica cuántica. Como se explicó en 1957 en una obra seminal de J. Bardeen, L. Cooper y J. Schrieffer (comúnmente conocida como la teoría BSC), la superconductividad se debe al movimiento correlacionado de pares de electrones, con espines opuestos y momentos casi opuestos. Dichos pares Cooper, cada uno con la carga eléctrica\(\ q=-2 e\) y el giro cero, pueden formarse solo en una capa de energía estrecha cerca de la superficie de Fermi, de cierto grosor\(\ \Delta(T)\). Este
parámetro\(\ \Delta(T)\), que también puede considerarse como la energía de unión del par, tiende a cero a\(\ T \rightarrow T_{\mathrm{c}}\), mientras\(\ T<<T_{\mathrm{c}}\) que a tiene un valor prácticamente constante\(\ \Delta(0) \approx 3.5 k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}\), del orden de unos pocos MeV para la mayoría de los superconductores. Este hecho explica fácilmente la densidad espacial relativamente baja de los pares Cooper:\(\ n_p \sim n\Delta(T) / \varepsilon_{\mathrm{F}} \sim 10^{26} \mathrm{~m}^{-3}\). Con la corrección\(\ n \rightarrow n_{\mathrm{p}}\), la ecuación (44) para la profundidad de penetración se convierte en

\[\ \delta \rightarrow \delta_{\mathrm{L}}=\left(\frac{m}{\mu q^{2} n_{\mathrm{p}}}\right)^{1 / 2}.\quad\quad\quad\quad\text{London’s penetration depth}\tag{6.46}\]

Este resultado diverge en\(\ T \rightarrow T_{\mathrm{c}}\), y generalmente se ajusta razonablemente bien a los datos experimentales, al menos para los llamados superconductores “limpios” (con la trayectoria libre media\(\ l=\nu_{\mathrm{F}} \tau\), donde\(\ \nu_{\mathrm{F}} \sim\left(2 m \varepsilon_{\mathrm{F}}\right)^{1 / 2}\) está la velocidad r.m.s. de electrones en la superficie de Fermi, mucho más larga que el tamaño del par Cooper\(\ \xi\) — ver abajo).

La pequeñez de la energía de acoplamiento también\(\ \Delta(T)\) es un factor clave en la explicación del efecto Meissner-Ochsenfeld, así como varios fenómenos cuánticos macroscópicos en superconductores. Debido a la relación de incertidumbre cuántica de Heisenberg\(\ \delta r \delta p \sim \hbar\), la extensión espacial de la función de onda del Cooper-pair (la llamada longitud de coherencia del superconductor) es relativamente grande:\(\ \xi \sim \delta r\sim\hbar / \delta p \sim \hbar \nu_{\mathrm{F}} / \Delta(T) \sim 10^{-6} \mathrm{~m}\). Como resultado,\(\ n_{\mathrm{p}} \xi^{3} >> 1\), lo que significa que las funciones de onda de los pares se superponen fuertemente en el espacio. Debido a su giro entero, los pares Cooper se comportan como bosones, lo que significa en particular que a bajas temperaturas exhiben la llamada condensación de Bose-Einstein sobre el mismo nivel de energía del suelo\(\ \varepsilon_{\mathrm{g}}\). ²³ Esto significa que la frecuencia\(\ \omega=\varepsilon_{\mathrm{g}} / \hbar\) de la evolución temporal de la función de onda de cada par\(\ \Psi=\psi \exp \{-i \omega t\}\) es exactamente la misma, y que las fases\(\ \varphi\) de las funciones de onda, definidas por la relación

\[\ \psi=|\psi| e^{i \varphi},\tag{6.47}\]

son iguales, de manera que la corriente eléctrica es transportada no por pares Cooper individuales sino por su condensado Bose-Einstein descrito por una sola función de onda (47). Debido a esta coherencia, los efectos cuánticos (que son, en los habituales gases Fermi de electrones individuales, enmascarados por la dispersión estadística de sus energías, y por lo tanto de sus fases), se vuelven muy explícitos —“ macroscópicos”.

Para ilustrar esto, escribamos la conocida fórmula cuántico-mecánica para la densidad de corriente de probabilidad de una partícula libre y no relativista, ²⁴

\[\ \mathbf{j}_{w}=\frac{i \hbar}{2 m}\left(\psi \nabla \psi^{*}-\text { c.c. }\right) \equiv \frac{1}{2 m}\left[\psi^{*}(-i \hbar \nabla) \psi-\text { c.c. }\right],\tag{6.48}\]

donde c.c. significa el conjugado complejo de la expresión anterior. Ahora permítanme prestar un resultado que se probará más adelante en este curso (en la Sec. 9.7) cuando discutamos la mecánica analítica de una partícula cargada que se mueve en un campo electromagnético. Es decir, para dar cuenta de los efectos del campo magnético, el momento cinético de la partícula\(\ \mathbf{p} \equiv m \mathbf{v}\) (donde\(\ \mathbf{v} \equiv d \mathbf{r} / d t\) está la velocidad de la partícula) tiene que distinguirse de su momento canónico, ²⁵

\[\ \mathbf{P} \equiv \mathbf{p}+q \mathbf{A}.\tag{6.49}\]

donde\(\ \mathbf{A}\) es el potencial vectorial del campo definido por la Ec. (5.27). En contraste con los componentes cartesianos\(\ p_{j}=m \nu_{j}\) del momento cinético\(\ \mathbf{p}\), los componentes del impulso canónico son los momentos generalizados correspondientes a los componentes cartesianos\(\ r_{j}\) del radio-vector\(\ \mathbf{r}\), considerados como coordenadas generalizadas de la partícula:\(\ P_{j}=\partial \mathscr{L} / \partial \nu_{j}\), donde\(\ \mathscr{L}\) está la función lagrangiana de la partícula. De acuerdo con las reglas generales de transferencia de la mecánica clásica a la cuántica, ²⁶ es el vector\(\ \mathbf{P}\) cuyo operador (en la representación de coordenadas) es igual\(\ -i \hbar \nabla\), de manera que el operador del impulso cinético\(\ \mathbf{p}=\mathbf{P}-q \mathbf{A}\) es igual a\(\ -i \hbar \nabla q \mathbf{A}\). De ahí que para dar cuenta de los ²⁷ efectos del campo magnético, debemos hacer el siguiente reemplazo,

\[\ -i \hbar \nabla \rightarrow-i \hbar \nabla-q \mathbf{A},\tag{6.50}\]

en todas las relaciones cuántico-mecánicas libres de campo. En particular, la ecuación (48) tiene que generalizarse como

\[\ \mathbf{j}_{w}=\frac{1}{2 m}\left[\psi^{*}(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A}) \psi-\text { c.c. }\right].\tag{6.51}\]

Esta expresión se vuelve más transparente si tomamos la función de onda en forma (47):

\[\ \mathbf{j}_{w}=\frac{\hbar}{m}|\psi|^{2}\left(\nabla \varphi-\frac{q}{\hbar} \mathbf{A}\right).\tag{6.52}\]

Esta relación significa, en particular, que para mantener la\(\ \mathbf{j}_{w}\) invariante de calibre, la transformación (8) - (9) tiene que ir acompañada de una transformación simultánea de la fase de la función de onda:

\[\ \varphi \rightarrow \varphi+\frac{q}{\hbar} \chi.\tag{6.53}\]

Es fascinante que la función de onda cuántica-mecánica (o más exactamente, su fase) no sea invariante de calibre, lo que significa que puedes cambiarla en tu mente, ¡a tu libre albedrío! Nuevamente, esto no cambia ningún observable (como\(\ \mathbf{j}_{w}\) o la densidad de probabilidad\(\ \psi \psi^{*}\), es decir, cualquier resultado experimental.

Ahora, para la densidad de corriente eléctrica de todo el condensado superconductor, la ecuación (52) produce la siguiente relación constitutiva:

\[\ \mathbf{j} \equiv \mathbf{j}_{w} q n_{\mathrm{p}}=\frac{\hbar q n_{\mathrm{p}}}{m}|\psi|^{2}\left(\nabla \varphi-\frac{q}{\hbar} \mathbf{A}\right)\quad\quad\quad\quad\text{Supercurrent density}\tag{6.54}\]

La fórmula muestra que esta supercorriente puede ser inducida por el campo magnético dc solo y no requiere ningún campo eléctrico. De hecho, para lo más simple, geometría 1D mostrada en la Fig.2a\(\ \mathbf{j}(\mathbf{r})=j(x) \mathbf{n}_{z}\)\(\ \mathbf{A(r)}=A(x) \mathbf{n}_{z}\),\(\ \partial / \partial z=0\), y, para que la condición de calibre Coulomb (5.48) se satisfaga para cualquier elección de la función de calibre\(\ \chi(x)\), y en aras de la simplicidad podemos elegirlo para proporcionar\(\ \varphi(\mathbf{r}) \equiv \mathrm{const}\), ²⁸ para que

\[\ \mathbf{j}=-\frac{q^{2} n_{\mathrm{p}}}{m} \mathbf{A} \equiv-\frac{1}{\mu \delta_{\mathrm{L}}^{2}} \mathbf{A}.\tag{6.55}\]

donde\(\ \delta_{\mathrm{L}}\) viene dado por la Ec. (46), y se supone que el campo es pequeño, y por lo tanto no afecta la probabilidad\(\ |\psi|^{2}\) (normalizado a 1 en ausencia del campo). Esta es la llamada ecuación de Londres, propuesta (en una forma diferente) por F. y H. London en 1935 para la explicación del efecto Meissner-Ochsenfeld. Combinándolo con la Eq. (5.44), generalizada para un medio magnético lineal por el reemplazo\(\ \mu_{0} \rightarrow \mu\), obtenemos

\[\ \nabla^{2} \mathbf{A}=\frac{1}{\delta_{\mathrm{L}}^{2}} \mathbf{A},\tag{6.56}\]

Esta ecuación diferencial simple, similar a la Ec. (23), para nuestra geometría 1D tiene una solución exponencial similar a la Ec. (32):

\[\ A(x)=A(0) \exp \left\{-\frac{x}{\delta_{\mathrm{L}}}\right\}, \quad B(x)=B(0) \exp \left\{-\frac{x}{\delta_{\mathrm{L}}}\right\}, \quad j(x)=j(0) \exp \left\{-\frac{x}{\delta_{\mathrm{L}}}\right\},\tag{6.57}\]

lo que demuestra que el campo magnético y la supercorriente penetran en un superconductor sólo por la profundidad de penetración de Londres\(\ \delta_{\mathrm{L}}\), independientemente de la frecuencia. ²⁹ Por cierto, integrando el último resultado a través de la capa de penetración, y usando la definición del potencial vectorial,\(\ \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}\) (para nuestra geometría, dando\(\ B(x)=d A(x) / d x=-\delta_{\mathrm{L}} A(x)\)) podemos verificar fácilmente que la densidad lineal\(\ \mathbf{J}\) de la supercorriente superficial aún satisface lo universal relación grueso-grano (38).

Esta universalidad debería llamar nuestra atención la siguiente característica común del efecto piel (en conductores “normales”) y del efecto Meissner-Ochsenfeld (en superconductores): si el tamaño lineal de una muestra a granel es mucho mayor que, respectivamente,\(\ \delta_{\mathrm{s}}\) o\(\ \delta_{\mathrm{L}}\), que\(\ \mathbf{B}=0\) en la dominante parte de su interior. De acuerdo con la Ec. (5.110), una descripción formal de dichos conductores (válida sólo en una escala de grano grueso mucho mayor que cualquiera\(\ \delta_{\mathrm{s}}\) o\(\ \delta_ \mathrm{L}\)), se puede lograr tratando formalmente la muestra como un diamagnet ideal, con\(\ \mu=0\). En particular, podemos usar esta descripción y la Ec. (5.124) para obtener inmediatamente la distribución del campo magnético fuera de una esfera masiva:

\[\ \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{H}=-\mu_{0} \nabla \phi_{m}, \quad \text { with } \phi_{\mathrm{m}}=H_{0}\left(-r-\frac{R^{3}}{2 r^{2}}\right) \cos \theta, \quad \text { for } r \geq R.\tag{6.58}\]

La Figura 3 muestra las superficies correspondientes de igual potencial\(\ \phi_{m}\). Es evidente que las líneas del campo magnético (que son normales a las superficies equipotenciales) se doblan para llegar a ser paralelas a la superficie cercana a él.

Fig. 6.3. Superficies equipotenciales\(\ \phi_{\mathrm{m}}=\text { const }\) alrededor de una esfera (súper) conductora de radio\(\ R >> \delta_{\mathrm{s}}\) (o\(\ \delta_{\mathrm{L}}\)), colocadas en un campo magnético uniforme, dentro del modelo de grano grueso\(\ \mu=0\).

Este patrón también ayuda a responder a la pregunta que podría surgir al hacer la suposición (24): ¿qué sucede con los conductores masivos colocados en un campo magnético de CA normal, y también con los superconductores en un campo magnético de CC normal? La respuesta es: el campo se deforma fuera del conductor para mantener la siguiente condición de límite de grano grueso: ³⁰

\[\ \text{Coarse-grain boundary condition}\quad\quad\quad\quad\left.B_{n}\right|_{\text {surface }}=0,\tag{6.59}\]

que se desprende de la Ec. (5.118) y el requisito de grano grueso\(\ \left.\mathbf{B}\right|_{\text {inside }}=0\).

Esta respuesta debe tomarse con reservas. Para los conductores normales solo es válido a frecuencias suficientemente altas donde la profundidad de la piel (33) es suficientemente pequeña:\(\ \delta_{\mathrm{s}}<<a\), donde\(\ a\) está la escala del tamaño lineal del conductor — para una esfera,\(\ a \sim R\). En los superconductores, esta imagen simple es válida no
solo si\(\ \delta_{\mathrm{s}}<<a\), sino también en campos magnéticos suficientemente bajos, porque los campos fuertes penetran en los superconductores, destruyendo la superconductividad (total o parcialmente), y como resultado violando el efecto Meissner-Ochsenfeld — ver la siguiente sección.

---

Referencia

²⁰ Descubierto experimentalmente en 1911 por Heike Kamerlingh Onnes.

²¹ Nombrado así para reconocer la obra teórica pionera de los hermanos Fritz y Heinz London — ver abajo.

²² No es justo acortar el nombre solo al “efecto Meissner”, como se hace frecuentemente, debido a la contribución supuestamente crucial de Robert Ochsenfeld, entonces estudiante de Walther Meissner, al descubrimiento.

²³ Una discusión cuantitativa de la condensación Bose-Einstein de bosones se puede encontrar en SM Sec. 3.4, aunque la teoría completa de la superconductividad es más complicada porque tiene que describir la condensación que tiene lugar simultáneamente con la formación de bosones efectivos (pares Cooper) a partir de fermiones (electrones simples). Para una cobertura detallada, pero muy legible de la física de los superconductores, puedo remitir al lector a la monografía de M. Tinkham, Introducción a la Superconductividad, ^2ª ed., McGraw-Hill, 1996.

²⁴ Véase, por ejemplo, QM Sec. 1.4, en particular la Ec. (1.47).

²⁵ Lamento utilizar las notaciones tradicionales\(\ \mathbf{p}\) y\(\ \mathbf{P}\) para el momento —los mismos símbolos que se utilizaron para el momento dipolo eléctrico y la polarización en el Capítulo 3. Espero que no haya confusión, porque estas últimas nociones no se utilizan en esta sección.

²⁶ Véase, por ejemplo, CM Sec. 10.1, en particular la Ec. (10.26).

²⁷ La cuenta del campo eléctrico es más fácil, ya que la energía relacionada\(\ q \phi\) de la partícula puede incluirse directamente en el operador de energía potencial.

²⁸ Este es el llamado calibre London; para nuestra geometría simple, también es el calibre Coulomb (5.48).

²⁹ Dado que en\(\ T>0\) ningún caso los electrones en un superconductor forman pares Cooper, a cualquier frecuencia\(\ \omega \neq 0\) los electrones desapareados proporcionan corrientes óhmicas disipadoras de energía, las cuales no son descritas por la Ec. (54). Estas pérdidas se vuelven muy sustanciales cuando la frecuencia\(\ \omega\) llega a ser tan alta que la longitud\(\ \delta_{\mathrm{s}}\) de efecto piel del material (medida con superconductividad suprimida, digamos por alto campo magnético) se vuelve menor que\(\ \delta_{\mathrm{L}}\). Para los superconductores metálicos típicos, este crossover se lleva a cabo a frecuencias de unos pocos cientos de GHz, de manera que incluso para microondas, la ecuación (57) aún da una descripción bastante precisa de la penetración del campo.

³⁰ En ocasiones esta condición límite, así como la ecuación (compatible) (38), se denominan “macroscópicas”. Sin embargo, este término puede generar confusión con las genuinas condiciones macroscópicas de frontera (5.117) - (5.118), que también ignoran la microestructura a escala atómica de las “corrientes efectivas”\(\ \mathbf{j}_{\mathrm{ef}}=\nabla \times \mathbf{M}\), pero (como se mostró anteriormente en esta sección) aún permiten relatos explícitos y detallados de la piel-corriente (34) y distribuciones superactuales (55).