6.6: Inductores, transformadores y leyes Kirchhoff de CA

Dejar que una bobina de alambre (es decir, un solo bucle ilustrado en la Fig. 5.4b o una serie de tales bucles, como uno de los solenoides mostrados en la Fig. 5.6) tengan una autoinductancia\(\ L\) mucho mayor que la de los cables que la conectan a otros componentes de nuestro sistema: fuentes de voltaje ac, voltímetros, etc. (ya que, de acuerdo con la Ec. (5.75),\(\ L\) escala como el cuadrado del número\(\ N\) de vueltas de alambre, esta condición es más fácil de satisfacer en\(\ N >>1\).) Entonces, en un sistema cuasistático que consiste en tales bobinas de inducción agrupadas y cables externos (y otros elementos de circuito agrupados como resistencias, capacitancias, etc.), podemos descuidar los efectos de inducción electromagnética en todas partes fuera de la bobina, de manera que el campo eléctrico en esas regiones externas sea potencial. Entonces la tensión V entre los terminales de la bobina puede definirse (como en electrostática) como la diferencia de valores\(\ \phi\) entre los terminales, es decir, como la integral

\[\ V=\int \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}\tag{6.83}\]

entre los terminales de la bobina a lo largo de cualquier camino fuera de la bobina. Este voltaje tiene que ser equilibrado por la inducción e.m.f. (2) en la bobina, de manera que si la resistencia óhmica de la bobina es insignificante, podemos escribir

\[\ V=\frac{d \Phi}{d t},\tag{6.84}\]

donde\(\ \Phi\) está el flujo magnético en la bobina. ⁵³ Si el flujo se debe únicamente a la corriente\(\ I\) en la misma bobina (es decir, si está desacoplado magnéticamente de otras bobinas), podemos usar la ecuación (5.70) para obtener la relación bien conocida

\[\ \text{Voltage drop on inductance coil}\quad\quad\quad\quad V=L \frac{d I}{d t},\tag{6.85}\]

donde el cumplimiento de la regla de signo Lenz se logra seleccionando las relaciones entre la polaridad de voltaje asumida y la dirección de la corriente como se muestra en la Fig. 8a.

Fig. 6.8. Algunos elementos de circuito de CA agrupados: (a) una bobina de inducción, (b) dos bobinas acopladas inductivamente y (c) un transformador de CA.

Si se cumplen condiciones similares para dos bobinas acopladas magnéticamente (Fig. 8b), entonces, en la Ec. (84), necesitamos usar las ecuaciones (5.69) en su lugar, obteniendo

\[\ V_{1}=L_{1} \frac{d I_{1}}{d t}+M \frac{d I_{2}}{d t}, \quad V_{2}=L_{2} \frac{d I_{2}}{d t}+M \frac{d I_{1}}{d t}.\tag{6.86}\]

Tales sistemas de bobinas acopladas inductivamente tienen numerosas aplicaciones en ingeniería eléctrica y experimentación física. Quizás el más importante de ellos es el transformador de CA, en el que las bobinas comparten un núcleo ferromagnético blando común de la topología toroidal (“rosquilla”) — ver Fig. 8c. ⁵⁴ Como ya sabemos por la discusión en la Sec. 5.6, tales núcleos, con\(\ \mu>>\mu_{0}\), “tratan” de absorber todas las líneas de campo magnético, de manera que el flujo magnético\(\ \Phi(t)\) en el núcleo sea casi el mismo en cada una de sus secciones transversales. Con esto, la Eq. (84) rinde

\[\ V_{1} \approx N_{1} \frac{d \Phi}{d t}, \quad V_{2} \approx N_{2} \frac{d \Phi}{d t},\tag{6.87}\]

de manera que la relación de voltaje esté completamente determinada por la relación\(\ N_{1} / N_{2}\) del número de vueltas de cable.

Ahora podemos generalizar, al caso actual ac, las leyes de Kirchhoff ya discutidas en el Capítulo 4 — véase la Fig. 4.3 reproducida en la Fig. 9a a continuación. Que no solo las inductancias sino también las capacitancias y resistencias de los cables sean insignificantes en comparación con las de los elementos de circuito agrupados (compactos), cuya lista ahora incluiría no solo resistencias y fuentes de corriente (como en el caso de cc), sino también las bobinas de inducción (incluidas las acopladas magnéticamente) y capacitores — ver Fig. 9b. En la aproximación cuasistática se conserva la corriente que fluye en cada hilo, de manera que la “regla de nodo”, es decir, la ^1ª ley Kirchhoff (4.7a),

\[\ \sum_{j} I_{j}=0.\tag{6.88a}\]

sigue siendo válido. Además, si el efecto de inducción electromagnética se restringe al interior de bobinas de inducción agrupadas como se discutió anteriormente, las caídas de voltaje\(\ V_{k}\) a través de cada elemento de circuito pueden estar todavía representadas, al igual que en los circuitos de CC, con diferencias de potenciales de los nodos adyacentes. Como resultado, la “regla de bucle”, es decir, la ^2ª ley Kirchhoff (4.7b),

\[\ \sum_{k} V_{k}=0,\tag{6.88b}\]

también es válido. En contraste con el caso dc, las ecuaciones (88) son ahora las ecuaciones diferenciales (ordinarias). Sin embargo, si todos los elementos del circuito son lineales (como en los ejemplos presentados en la Fig. 9b), estas ecuaciones pueden reducirse fácilmente a ecuaciones algebraicas lineales, utilizando la expansión de Fourier. (En el caso común de las fuentes de CA sinusoidales, la etapa final de la suma de la serie de Fourier es innecesaria).

Fig. 6.9. (a) Un circuito de CA cuasistático típico que obedece a las leyes de Kirchhoff, y (b) los elementos de circuito agrupados más simples.

Mi experiencia docente demuestra que los lectores potenciales de estas notas están bien familiarizados con la aplicación de las ecuaciones (88) a tales problemas desde sus estudios de licenciatura, por lo que me gustaría ahorrar tiempo/espacio omitiendo discusiones de incluso los ejemplos más simples de tales circuitos, como\(\ LC\),\(\ LR\), \(\ RC\), y\(\ LRC\) bucles y estructuras periódicas. ⁵⁵ No obstante, dado que estos problemas son muy importantes para la práctica, mi sincero consejo al lector es que realice una autoprueba resolviendo algunos problemas de este tipo,
proporcionados al final de este capítulo, y si causan alguna dificultad, ir tras alguna lectura correctiva.

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Referencia

⁵³ Si la resistencia es sustancial, puede estar representada por un elemento de circuito agrupado separado (resistencia) conectado en serie con la bobina.

⁵⁴ La primera forma prácticamente aceptable de este dispositivo, llamada el transformador Stanley, en la que los devanados de múltiples vueltas podían montarse fácilmente sobre un núcleo ferromagnético toroidal (en ese momento, placa de acero de silicio), se inventó en 1886.

⁵⁵ Curiosamente, estos efectos incluyen la propagación de ondas en circuitos LC periódicos, ¡incluso dentro de la aproximación cuasistática! Sin embargo, la velocidad\(\ 1 /(L C)^{1 / 2}\) de estas ondas en circuitos agrupados es mucho menor que la velocidad\(\ 1 /(\varepsilon \mu)^{1 / 2}\) de las ondas electromagnéticas en el medio circundante — ver Sec. 8 abajo.