6.7: Corrientes de desplazamiento

La inducción electromagnética no es el único efecto nuevo que surge en la electrodinámica no estacionaria. En efecto, aunque las ecuaciones (21) son adecuadas para la descripción de fenómenos cuasistáticos, un análisis más profundo muestra que una de estas ecuaciones, a saber\(\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}\), no puede ser exacta. Para ver eso, tomemos la
divergencia de sus dos lados:

\[\ \nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{H})=\nabla \cdot \mathbf{j}.\tag{6.89}\]

Pero, como la divergencia de cualquier rizo, ⁵⁶ el lado izquierdo debería ser igual a cero. De ahí que obtengamos

\[\ \nabla \cdot \mathbf{j}=0.\tag{6.90}\]

Esto está bien en estática, pero en dinámica, esta ecuación prohíbe cualquier acumulación de carga, ya que de acuerdo con la relación de continuidad (4.5),

\[\ \nabla \cdot \mathbf{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}.\tag{6.91}\]

Esta discrepancia había sido reconocida por James Clerk Maxwell quien sugirió, en la década de 1860, una salida a esta contradicción. Si generalizamos la ecuación para\(\ \nabla \times \mathbf{H}\) añadiendo al término\(\ \mathbf{j}\) (que describe la densidad de las corrientes eléctricas reales) el denominado término de densidad de corriente de desplazamiento,

\[\ \text{Displacement current density}\quad\quad\quad\quad\mathbf{j}_{\mathrm{d}} \equiv \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},\tag{6.92}\]

(que por supuesto se desvanece en la estática), entonces la ecuación toma la forma

\[\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\mathbf{j}_{\mathrm{d}} \equiv \mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.\tag{6.93}\]

En este caso, debido a la ecuación (3.22),\(\ \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho\), la divergencia del lado derecho es igual a cero debido a la ecuación de continuidad (92), y se elimina la discrepancia. Esta increíble hazaña teórica, ⁵⁷ confirmada por los experimentos de 1886 realizados por Heinrich Hertz (ver abajo) fue quizás el principal triunfo de la física teórica del ^siglo XIX.

El concepto de corriente de desplazamiento de Maxwell, expresado por la Ec. (93), es tan importante que vale la pena tener una mirada más a su derivación utilizando un modelo particular mostrado en la Fig. 10. ⁵⁸

Fig. 6.10. La ley Ampère se aplicaba a la recarga de condensadores.

Despreciando los efectos de campo marginal, podemos usar la ecuación (4.1) para describir la relación entre la corriente\(\ I\) que fluye a través de los cables y la carga eléctrica\(\ Q\) del condensador: ⁵⁹

\[\ \frac{d Q}{d t}=I.\tag{6.94}\]

Ahora consideremos un contorno cerrado\(\ C\) dibujado alrededor del alambre. (Los puntos sólidos en la Fig. 10 muestran los lugares donde el contorno intercepta el plano del dibujo). Este contorno puede verse como la línea que limita la superficie\(\ S_{1}\) (atravesada por el cable) o la superficie\(\ S_{2}\) (evitando dicho cruce al pasar a través
del hueco del condensador). Aplicando la ley Macroscópica Ampère (5.116) a la superficie anterior, obtenemos

\[\ \oint_{C} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}=\int_{S_{1}} j_{n} d^{2} r=I,\tag{6.95}\]

mientras que para esta última superficie la misma ley da un resultado diferente,

\[\ \oint_{C} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}=\int_{S_{2}} j_{n} d^{2} r=0,\quad\quad\quad\quad \color{red}\text{[WRONG!]}\tag{6.96}\]

para la misma integral. Esto es solo una manifestación de forma integral de la discrepancia señalada anteriormente, pero muestra claramente cuán grave es el problema (o más bien lo era —antes de Maxwell).

Ahora veamos cómo la introducción de las corrientes de desplazamiento ahorra el día, considerando en aras de la simplicidad un condensador plano de área\(\ A\), con un espaciado constante de electrodos. En este caso, como ya sabemos, el campo en su interior es uniforme, con\(\ D=\sigma\), de manera que la carga total del condensador\(\ Q=A \sigma=AD\), y la corriente (94) se puede representar como

\[\ I=\frac{d Q}{d t}=A \frac{d D}{d t}.\tag{6.97}\]

Entonces, en lugar de la ecuación equivocada (96), la ley Ampère modificada siguiendo la Ec. (93), da

\[\ \oint_{C} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}=\int_{S_{2}}\left(j_{\mathrm{d}}\right)_{n} d^{2} r=\int_{S_{2}} \frac{\partial D_{n}}{\partial t} d^{2} r=\frac{d D}{d t} A=I,\tag{6.98}\]

es decir, la integral Ampère se vuelve independiente de la elección de la superficie limitada por el contorno\(\ C\), como tiene que ser.

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Referencia

⁵⁶ De nuevo, vea MA Eq. (11.2) — si lo necesita.

⁵⁷ Parece engañosamente simple ahora —después del hecho, y con las herramientas matemáticas actuales (especialmente la del operator), muy superiores a las que estaban disponibles para J. Maxwell.

⁵⁸ Ningún físico debería avergonzarse de hacer esto. Por ejemplo, el libro principal de J. Maxwell, Un tratado de electricidad y magnetismo, está lleno de dibujos de capacitores planos, bobinas de inductancia y voltímetros. De manera más general, toda la historia de la ciencia nos enseña que el esnobismo respecto a ejemplos particulares y sistemas prácticos es un camino prácticamente cierto hacia la producción de nada ni de valor práctico ni de importancia fundamental.

⁵⁹ Esta es, por supuesto, solo la forma integral de la ecuación de continuidad (91).