6.9: Problemas de ejercicio

6.1. Demostrar que la inducción electromagnética e.m.f.\(\ \mathscr{V}_{\text {ind }}\) en un bucle conductor se puede medir como se muestra en dos paneles de la Fig. 1:

(i) midiendo la corriente\(\ I=\mathscr{V}_{\mathrm{ind}} / R\) inducida en el bucle cerrado con una resistencia óhmica\(\ R\), o

(ii) utilizando un voltímetro insertado en el bucle.

6.2. El flujo\(\ \Phi\) del campo magnético que perfora un anillo resistivo se está cambiando en el tiempo, mientras que el campo magnético fuera del anillo es despreciablemente bajo. Se conecta un voltímetro a una parte del anillo, como se muestra en la figura de la derecha. ¿Qué mostraría el voltímetro?

6.3. \(\ \mathbf{B}\)Se aplica un campo magnético débil y uniforme a un imán permanente axialmente simétrico, con el momento magnético dipolar\(\ \mathbf{m}\) dirigido a lo largo del eje de simetría, girando rápidamente alrededor del mismo eje, con un momento angular\(\ \mathbf{L}\). Calcule el campo eléctrico resultante de la
aplicación del campo magnético y formule las condiciones de validez de su resultado.

6.4. La similitud de la Ec. (5.53), obtenida en la Sec. 5.3 sin ningún uso de la ley de inducción de Faraday, y la Eq. (5.54), comprobada en la Sec. 2 de este capítulo utilizando la ley, implica que la ley puede derivarse de la magnetostática. Demostrar que esto es cierto para un caso particular de un bucle de corriente, siendo deformado lentamente en un campo magnético fijo\(\ \mathbf{B}\).

6.5. ¿Podría resolverse el Problema 5.1 (es decir, el análisis de la estabilidad mecánica del sistema mostrado en la figura de la derecha) usando argumentos de energía potencial?

6.6. Utilice argumentos energéticos para calcular la presión ejercida por el campo magnético\(\ \mathbf{B}\) dentro de un solenoide largo y uniforme de longitud\(\ l\), y una sección transversal de área\(\ A<<l^{2}\), con\(\ N >> l / A^{1 / 2} >> 1\) giros, en sus “paredes” (devanados), y las fuerzas ejercidas por el campo en los extremos del solenoide, para dos casos:

(i) la corriente a través del solenoide es fijada por una fuente externa, y

(ii) después de la configuración inicial de la corriente, se conectan los extremos del cable del solenoide, con una resistencia insignificante, de manera que continúe transportando una corriente distinta de cero.

Comparar los resultados, y dar una interpretación física de la dirección de estas fuerzas.

6.7. El cañón de riel electromagnético es un sistema de lanzamiento de proyectiles que consiste en dos rieles conductores largos y paralelos y un proyectil conductor deslizante, cortocircuitando la corriente\(\ I\) alimentada al sistema por una fuente poderosa; vea el panel (a) en la figura de la derecha. Calcular la fuerza ejercida sobre el proyectil, utilizando dos aproximaciones:

(i) mediante un cálculo directo, suponiendo que la sección transversal del sistema tenga la forma simple mostrada en el panel (b) de la figura anterior\(\ t<<w\), con\(\ l\), y

(ii) usar el balance energético (por simplicidad, descuidando las resistencias óhmicas en el sistema), y comparar los resultados.

6.8. \(\ \mathbf{B}\)Se aplica un campo magnético estático uniforme a lo largo del eje de una tubería redonda larga de un radio\(\ R\), y un espesor muy pequeño\(\ \tau\), hecha de un material con conductividad óhmica\(\ \sigma\). Se lanza una esfera de masa\(\ M\) y radio\(\ R^{\prime}<R\), hecha de un magnético lineal con permeabilidad\(\ \mu >> \mu_{0}\), con una velocidad inicial\(\ \nu_{0}\), para volar balísticamente a lo largo del eje de la tubería — ver la figura a la derecha. Utilice la aproximación cuasistática para calcular la distancia que pasaría la esfera antes de que se detenga. Formular las condiciones de validez de su resultado.

6.9. La corriente CA de frecuencia\(\ \omega\) se pasa a través de un cable largo y uniforme con una sección transversal redonda de radio\(\ R\) comparable con la profundidad de la piel\(\ \delta_{\mathrm{s}}\). En la aproximación cuasistática, encontrar la distribución de la corriente a través de la sección transversal, y analizarla en los límites\(\ R<<\delta_{\mathrm{s}}\) y\(\ \delta_{\mathrm{s}}<<R\). Calcule la resistencia efectiva de CA del cable (por unidad de longitud) en estos dos límites.

6.10. Un cilindro muy largo y redondo de radio R, hecho de un conductor uniforme con una conductividad óhmica\(\ \sigma\) y permeabilidad magnética\(\ \mu\), se ha colocado en un campo magnético de CA uniforme\(\ \mathbf{H}_{ext}(t)=\mathbf{H}_{0} \cos \omega t\), dirigido a lo largo de su eje de simetría. Calcular la distribución espacial de la amplitud del campo magnético, y en particular su valor en el eje del cilindro. Deletrea el último resultado en los límites de relativamente pequeños y grandes\(\ R\).

6.11. ^* Definir y calcular una función apropiada de Green espacio-temporal para la Ec. (25), y luego usar esta función para analizar la dinámica de propagación del campo magnético externo que de repente se enciende\(\ t = 0\) y luego se mantiene constante:

\(\ H(x<0, t)= \begin{cases}0, & \text { at } t<0 \\ H_{0}, & \text { at } t>0\end{cases}\)

en un conductor óhmico que ocupa el semiespacio\(\ x>0\) — ver Fig. 2.

Pista: Trate de usar una función proporcional a\(\ \exp \left\{-\left(x-x^{\prime}\right)^{2} / 2(\delta x)^{2}\right\}\), con una dependencia temporal adecuada del parámetro\(\ \delta x\), y un factor preexponencial correctamente seleccionado.

6.12. Resolver el problema anterior utilizando el método de separación de variables, y comparar los resultados.

6.13. Un bucle de alambre pequeño y plano, que transporta corriente\(\I\), se encuentra lejos de una superficie plana de un superconductor. Dentro de la descripción de “grano grueso” (ideal-diamagnético) del efecto Meissner-Ochsenfeld, calcule:

(i) la energía de la interacción buz-superconductor,

(ii) la fuerza y el par que actúan sobre el bucle, y

(iii) la distribución de supercorrientes en la superficie superconductora.

6.14. Un imán recto y uniforme de longitud\(\ 2 l\)\(\ A<<l^{2}\), área de sección transversal y masa\(\ m\), con una magnetización longitudinal permanente\(\ M_{0}\), se coloca sobre una superficie horizontal de un superconductor; vea la figura a la derecha. Dentro de la descripción ideal-diamagnet del efecto Meissner-Ochsenfeld, encuentra la posición de equilibrio estable del imán.

6.15. Un bucle de alambre superconductor plano, de área\(\ A\) e inductancia\(\ L\), puede girar, sin fricción, alrededor de un eje horizontal 0 (en la figura de la derecha, perpendicular al plano del dibujo) pasando por su centro de masa. Inicialmente, el bucle era horizontal (con\(\ \theta=0\)), y transportaba supercorriente\(\ I_{0}\) en tal dirección que su vector dipolo magnético se dirigía hacia abajo. Después se aplicó un campo magnético uniforme\(\ \mathbf{B}\), dirigido verticalmente hacia arriba. Utilizando la descripción ideal-diamagnet del efecto Meissner-Ochsenfeld, encontrar todas las posiciones de equilibrio posibles del bucle, analizar su estabilidad y dar una interpretación física de los resultados.

6.16. Utilice la ecuación de Londres para analizar la penetración de un campo magnético externo uniforme en una película superconductora delgada y plana\(\ \left(t \sim \delta_{\mathrm{L}}\right)\), cuyo plano es paralelo al campo.

6.17. Utilice la ecuación de Londres para calcular la distribución de la densidad de supercorriente\(\ \mathbf{j}\) dentro de un cable superconductor largo y recto, con una sección transversal circular de radio\(\ R \sim \delta_{\mathrm{L}}\), transportando corriente continua\(\ I\).

6.18. Utilice la ecuación de Londres para calcular la inductancia (por unidad de longitud) de una tira superconductora larga y uniforme colocada cerca de la superficie de un superconductor similar; vea la figura de la derecha, que muestra la sección transversal de la estructura.

6.19. Calcule la inductancia (por unidad de longitud) de un cable superconductor con la sección transversal redonda que se muestra en la figura de la derecha, en los siguientes límites:

(i)\(\ \delta_{\mathrm{L}}<<a, b, c-b\), y

ii)\(\ a<<\delta_{\mathrm{L}}<<b, c-b\).

6.20. Utilice la ecuación de Londres para analizar el blindaje del campo magnético mediante una película delgada superconductora de espesor\(\ t<<\delta_{\mathrm{L}}\), calculando la penetración del campo inducido por la corriente\(\ I\) en un cable delgado que corre paralelo a una película delgada, plana y ancha, a\(\ d >> t\) distancia de ella, en el espacio detrás la película.

6.21. Utilice las ecuaciones de Ginzburg-Landau (54) y (63) para calcular el mayor valor (“crítico”) de supercorriente en un alambre superconductor largo y uniforme de sección transversal pequeña\(\ A_{\mathrm{w}}<<\delta_{\mathrm{L}}^{2}\).

6.22. Utilice la discusión de un vórtice largo y recto Abricosov, en el límite\(\ \xi<<\delta_{\mathrm{L}}\), en la Sec. 5 para probar las ecuaciones (71) - (72) para su energía por unidad de longitud, y el primer campo crítico.

6.23. ^* Utilizar las ecuaciones de Ginzburg-Landau (54) y (63) para probar la relación Josephson (76) para un pequeño enlace débil superconductor, y expresar su corriente crítica\(\ I_{\mathrm{c}}\) a través de la resistencia óhmica\(\ R_{\mathrm{n}}\) del mismo eslabón débil en su estado normal.

6.24. Utilice las ecuaciones (76) y (79) para calcular la energía de acoplamiento de una unión Josephson y la energía potencial total del SQUID que se muestra en la Fig. 4c.

6.25. Analizar la posibilidad de propagación de ondas en una cadena larga y uniforme de inductancias y capacitancias agrupadas — ver la figura de la derecha.

Consejo: Los lectores sin experiencia previa con el análisis de ondas electromagnéticas pueden usar una analogía sustancial entre este efecto y las ondas mecánicas en una cadena 1D de partículas acopladas elásticamente. ⁷⁵

6.26. Se aplica una e.m.f. sinusoidal de amplitud\(\ V_{0}\) y frecuencia\(\ \omega\) a un extremo de una larga cadena de resistencias y capacitores similares agrupados, mostrados en la figura de la derecha. Calcular la ley de decaimiento de la amplitud del voltaje ac a lo largo de la cadena

6.27. Como se discutió en la Sec. 7, el concepto actual de desplazamiento permite generalizar la ley Ampère a procesos dependientes del tiempo como

\[\ \oint_{C} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}=I_{S}+\frac{\partial}{\partial t} \int_{S} D_{n} d^{2} r.\]

También hemos visto que dicha generalización hace que la integral\(\ \int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}\) sobre un contorno externo, como el que se muestra en la Fig. 10, sea independiente de la elección de la superficie\(\ S\) limitada por el contorno. Sin embargo, puede parecer que la situación es diferente para un contorno dibujado dentro del condensador; vea la figura de la derecha. En efecto, si el tamaño del contorno es mucho mayor que el grosor del condensador, el campo magnético\(\ \mathbf{H}\), creado por la corriente lineal\(\ I\) en la línea del contorno es prácticamente el mismo que el de un cable continuo, y por lo tanto la integral\(\ \int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}\) a lo largo del contorno aparentemente no depende de su área, mientras que el flujo magnético lo\(\ \int D_{n} d^{2} r\) hace, de manera que la ecuación mostrada arriba parece inválida. (La corriente que\(\ I_{S}\) perfora este contorno evidentemente equivale a cero.) Resolver la paradoja, por simplicidad considerando un sistema axial-simétrico.

6.28. Un cable recto, uniforme y largo con una sección transversal circular de radio\(\ R\), está hecho de un conductor óhmico con conductividad\(\ \sigma\) y transporta corriente continua\(\ I\). Calcule el flujo del vector Poynting a través de su superficie y compárelo con la tasa de disipación de energía Joule.

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Referencia

⁷⁵ Véase, e.g., CM Sec. 6.3.