6.8: Finalmente, el Sistema Completo de Ecuaciones Maxwell

Este es un momento muy especial en este curso: con la inclusión de la corriente de desplazamiento, es decir, con la sustitución de la ecuación (5.107) por la ecuación (93), finalmente hemos llegado al conjunto completo de ecuaciones macroscópicas de Maxwell para campos dependientes del tiempo, ⁶⁰

\ [\\ begin {array} {llr}
\ nabla\ times\ mathbf {E} +\ frac {\ parcial\ mathbf {B}} {\ parcial t} =0, &\ nabla\ veces\ mathbf {H} -\ frac {\ parcial\ mathbf {D}} {\ parcial t} =\ mathbf {j}, &\ quad\ quad\ quad (6.99a)\\
\ nabla\ cdot\ mathbf {D} =\ rho, &\ nabla\ cdot\ mathbf {B} =0, &\ quad\ quad\ quad\ quad (6.99b)
\ end {array}\ quad\ text {ecuaciones macroscópicas de Maxwell}\]

cuya validez ha sido confirmada por un enorme cuerpo de datos experimentales. De hecho, a pesar de numerosos esfuerzos, nunca se han encontrado otras correcciones (por ejemplo, términos adicionales) a las ecuaciones de Maxwell, y estas ecuaciones todavía se consideran exactas dentro del rango de su validez, es decir, mientras que los campos eléctrico y magnético pueden considerarse clásicamente. Además, incluso en la teoría cuántica, se cree que estas ecuaciones son estrictamente válidas como relaciones entre los operadores de Heisenberg de los campos eléctrico
y magnético. ⁶¹ (Obsérvese que las ecuaciones microscópicas de Maxwell para los campos genuinos\(\ \mathbf{E}\) y\(\ \mathbf{B}\) pueden obtenerse formalmente de las ecuaciones (99) por las sustituciones\(\ \mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}\) y\(\ \mathbf{H}=\mathbf{B} / \mu_{0}\), y la sustitución simultánea de las densidades de carga y corriente independientes a su derecha- lados de la mano con los llenos.)

Quizás la característica más llamativa de estas ecuaciones es que, incluso en ausencia de cargas y corrientes independientes dentro de la región de nuestro interés, cuando las ecuaciones se vuelven completamente homogéneas,

\ [\\ begin {array} {llr}
\ nabla\ times\ mathbf {E} =-\ frac {\ parcial\ mathbf {B}} {\ parcial t}, &\ nabla\ veces\ mathbf {H} =\ frac {\ parcial\ mathbf {D}} {\ t parcial},\ quad\ quad\ quad & (6.100a)\\
\ la\ cdot\ mathbf {D} =0, &\ nabla\ cdot\ mathbf {B} =0,\ quad\ quad\ quad\ quad& (6. 100b)
\ end {array}\]

siguen describiendo algo muy no trivial: las ondas electromagnéticas, incluida la luz. La física de las ondas puede verse claramente a partir de las ecuaciones (100a): según la primera de ellas, el cambio del campo magnético en el tiempo crea un campo eléctrico similar a un vórtice (libre de divergencia). Por otro lado, la segunda de las ecuaciones (100a) describe cómo el campo eléctrico cambiante, a su vez, crea un campo magnético similar a un vórtice. Los campos eléctricos y magnéticos acoplados de este modo pueden propagarse como ondas, incluso muy lejos de sus fuentes.

Realizaremos un análisis cuantitativo detallado de las ondas en el próximo capítulo, y aquí sólo utilizaré esta noción para cumplir la promesa dada en la Sec. 3, a saber, establecer la condición de validez de la aproximación cuasistática (21). Por simplicidad, consideremos una onda electromagnética con un período de tiempo\(\ T\), velocidad\(\ \nu\), y por lo tanto la longitud de onda ⁶²\(\ \lambda=\nu T\) en un medio lineal con\(\ \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}, \mathbf{B}=\mu \mathbf{H}\), y\(\ \mathbf{j}=0\) y\(\ \rho=0\). Entonces la magnitud del lado izquierdo del primero de Eqs. (100a) es del orden de\(\ E / \lambda=E/\nu T\), mientras que la de su lado derecho puede estimarse como\(\ B / T \sim \mu H / T\). Utilizando estimaciones similares para la segunda de las ecuaciones (100a), llegamos a los dos requisitos siguientes: ⁶³

\[\ \frac{E}{H} \sim \mu \nu \sim \frac{1}{\varepsilon \nu}.\tag{6.101}\]

Para asegurar la compatibilidad de estas dos relaciones, la velocidad de las olas debe satisfacer la estimación

\[\ \nu \sim \frac{1}{(\varepsilon \mu)^{1 / 2}},\tag{6.102}\]

reducido a\(\ \nu \sim 1 /\left(\varepsilon_{0} \mu_{0}\right)^{1 / 2} \equiv c\) en el espacio libre, mientras que la relación de las amplitudes de campo eléctrico y magnético debe ser del siguiente orden:

\[\ \frac{E}{H} \sim \mu \nu \sim \mu \frac{1}{(\varepsilon \mu)^{1 / 2}} \equiv\left(\frac{\mu}{\varepsilon}\right)^{1 / 2}.\tag{6.103}\]

(En el siguiente capítulo veremos que para las ondas electromagnéticas planas, estos resultados son exactos.)

Ahora bien, dejemos que un sistema de tamaño lineal\(\ \sim a\) lleve corrientes que produzcan cierto campo magnético\(\ H\). Entonces, según las ecuaciones (100a), su campo magnético Faraday induce el campo eléctrico de magnitud\(\ E\sim\mu H a / T\), cuyas corrientes de desplazamiento, a su vez, producen un campo magnético adicional con magnitud

\[\ H^{\prime} \sim \frac{a \varepsilon}{\tau} E \sim \frac{a \varepsilon}{\tau} \frac{\mu a}{\tau} H \equiv\left(\frac{a \lambda}{\nu \tau \lambda}\right)^{2} H \equiv\left(\frac{a}{\lambda}\right)^{2} H.\tag{6.104}\]

Por lo tanto, los efectos de la corriente de desplazamiento son despreciables para un sistema de tamaño\(\ a<<\lambda\). ⁶⁴

En particular, el cuadro cuasistático del efecto piel, discutido en la Sec. 3, es válido mientras que la profundidad de la piel (33) permanece mucho menor que la longitud de onda correspondiente,

\[\ \lambda=\nu \tau=\frac{2 \pi \nu}{\omega}=\left(\frac{4 \pi^{2}}{\varepsilon \mu \omega^{2}}\right)^{1 / 2}.\tag{6.105}\]

La longitud de onda disminuye con la frecuencia como\(\ 1 / \omega\), es decir, más rápido que\(\ \delta_{\mathrm{s}} \propto 1 / \omega^{1 / 2}\), de manera que se vuelven
comparables a la frecuencia de cruce

\[\ \omega_{\mathrm{r}}=\frac{\sigma}{\varepsilon} \equiv \frac{\sigma}{\kappa \varepsilon_{0}},\tag{6.106}\]

que no es otra cosa que el tiempo de relajación de carga recíproca (4.10). Como se discutió en la Sec. 4.2, para los metales buenos esta frecuencia es extremadamente alta (aproximadamente\(\ 10^{18} \mathrm{~s}^{-1}\)), por lo que la validez de la Ec. (33) está típicamente limitada por el efecto anómalo de la piel (que se discutió brevemente en la Sec. 3), más que por los efectos de onda.

Antes de ir tras el análisis de las ecuaciones completas de Maxwell para situaciones particulares (ese será el objetivo principal de los próximos capítulos de este curso), echemos un vistazo al balance energético que producen para un cierto volumen\(\ V\), que puede incluir tanto partículas cargadas como el campo electromagnético. Ya que, de acuerdo con la Ec. (5.10), el campo magnético no funciona sobre las partículas cargadas aunque se muevan, la potencia total que\(\ \mathscr{P}\) se transfiere del campo a las partículas dentro del volumen se debe únicamente al campo eléctrico — ver Ec. (4.38):

\[\ \mathscr{P}=\int_{V} \mathscr{I} d^{3} r, \quad \text { with } \mathscr{I}=\mathbf{j} \cdot \mathbf{E},\tag{6.107}\]

Expresando\(\ \mathbf{j}\) de la ecuación de Maxwell correspondiente del sistema (99), obtenemos

\[\ \mathscr{P}=\int_{V}\left[\mathbf{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{H})-\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right] d^{3} r.\tag{6.108}\]

Hagamos una pausa aquí por un segundo, y transformemos la divergencia de\(\ \mathbf{E} \times \mathbf{H}\), utilizando la conocida identidad de álgebra vectorial: ⁶⁵

\[\ \nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})=\mathbf{H} \cdot(\nabla \times \mathbf{E})-\mathbf{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{H}).\tag{6.109}\]

El último término del lado derecho de esta igualdad es exactamente el primer término entre corchetes de la ecuación (108), para que podamos reescribir esa fórmula como

\[\ \mathscr{P}=\int_{V}\left[-\nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})+\mathbf{H} \cdot(\nabla \times \mathbf{E})-\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right] d^{3} r.\tag{6.110}\]

Sin embargo, de acuerdo con la ecuación de Maxwell para\(\ \nabla \times \mathbf{E}\), este rizo es igual a\(\ -\partial \mathbf{B} / \partial t\), de manera que el segundo término entre corchetes de la ecuación (110) es igual\(\ -\mathbf{H} \cdot \partial \mathbf{B} / \partial t\) y, según la ecuación (14), es solo la derivada de tiempo (menos) de la energía magnética por unidad de volumen. De igual manera, de acuerdo con la Ec. (3.76), el tercer término bajo la integral es la derivada menos tiempo de la energía eléctrica por unidad de volumen. Finalmente, podemos usar el teorema de divergencia para transformar la integral del primer término entre corchetes en una integral 2D sobre la superficie\(\ S\) limitando el volumen\(\ V\). Como resultado, obtenemos el llamado teorema de Poynting ⁶⁶ para el balance de poder en el sistema:

\[\ \text{Poynting theorem}\quad\quad\quad\quad\int_{V}\left(\mathscr{I}+\frac{\partial u}{\partial t}\right) d^{3} r+\oint_{S} S_{n} d^{2} r=0.\tag{6.111}\]

Aquí\(\ u\) está la densidad de la energía total (eléctrica más magnética) del campo electromagnético, con

\[\ \text{Field’s energy variation}\quad\quad\quad\quad\delta u \equiv \mathbf{E} \cdot \delta \mathbf{D}+\mathbf{H} \cdot \delta \mathbf{B}\tag{6.112}\]

- sólo una suma de las expresiones dadas por las ecuaciones (3.76) y (14). Para el caso particular de un medio isotrópico, lineal y libre de dispersión, con\(\ \mathbf{D}(t)=\varepsilon \mathbf{E}(t), \mathbf{B}(t)=\mu \mathbf{H}(t)\), Ec. (112) rendimientos

\[\ \text{Field’s energy}\quad\quad\quad\quad u=\frac{\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}}{2}+\frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{B}}{2} \equiv \frac{\varepsilon E^{2}}{2}+\frac{B^{2}}{2 \mu}.\tag{6.113}\]

Otra noción clave que participa en la ecuación (111) es el vector Poynting, definido como ⁶⁷

\[\ \text{Poynting vector}\quad\quad\quad\quad \mathbf{S} \equiv \mathbf{E} \times \mathbf{H}.\tag{6.114}\]

La primera integral en la ecuación (111) es evidentemente el cambio neto de la energía del sistema (partículas + campo) por unidad de tiempo, de manera que la segunda integral (superficie) tiene que ser la potencia que fluye desde el sistema a través de la superficie. Como resultado, resulta tentador interpretar el vector Poynting S localmente, como la densidad de flujo de potencia en el punto dado. En muchos casos, tal interpretación local del vector S es legítima; sin embargo, en otros casos, puede llevar a conclusiones erróneas. En efecto, consideremos el sistema simple que se muestra en la figura 11: un condensador plano cargado colocado en un campo magnético externo estático y uniforme, de manera que los campos eléctrico y magnético son mutuamente perpendiculares.

Fig. 6.11. La paradoja del vector Poynting.

En esta situación estática, sin cargas moviéndose, ambas\(\ \mathscr{I}\) y\(\ \partial / \partial t\) son iguales a cero, y no debe haber flujo de energía en el sistema. Sin embargo, la Ec. (114) muestra que el vector Poynting no es igual a cero dentro del condensador, siendo dirigido como muestran las flechas rojas en la Fig. 11. Desde el punto de vista del único corolario inequívoco de las ecuaciones de Maxwell, la Ec. (111), aquí no hay contradicción, porque los flujos del vector S a través de los límites laterales del volumen sombreado en la Fig. 11 son iguales y opuestos (y son cero para otras caras de este rectilíneo volumen), de manera que el flujo total del vector Poynting a través del límite de volumen sea igual a cero, como debería. Sin embargo, es útil recordar este ejemplo cada vez antes de dar una interpretación local del vector S.

La paradoja ilustrada en la figura 11 está estrechamente relacionada con los efectos de retroceso de la radiación, debido al impulso del campo electromagnético, más exactamente, al momento lineal. De hecho, actuando como en la derivación del teorema de Poynting, es sencillo utilizar las ecuaciones microscópicas de Maxwell ⁶⁸ para demostrar que, descuidando los efectos límite, la suma vectorial del momento lineal mecánico de las partículas en un volumen arbitrario, y la integral de la siguiente vector,

\[\ \mathbf{g} \equiv \frac{\mathbf{S}}{c^{2}},\quad\quad\quad\quad\text{Electro-magnetic field’s momentum}\tag{6.115}\]

sobre el mismo volumen, se conserva, permitiendo una interpretación de\(\ \mathbf{g}\) como la densidad del momento lineal del campo electromagnético. (Será más conveniente para mí probar esta relación, y discutir los temas relacionados, en la Sec. 9.8, utilizando el formalismo de 4 vectores de la relatividad especial.) Debido a esta conservación, si algunos campos estáticos acoplados a cuerpos mecánicos se desacoplan repentinamente de ellos y se les permite propagarse en el espacio, es decir, cambiar su integral local de\(\ \mathbf{g}\), dan a los cuerpos un impulso opuesto al igual y opuesto de fuerza.

Por último, para completar nuestra discusión inicial de las ecuaciones de Maxwell, ⁶⁹ vamos a reescribirlas en términos de potenciales\(\ \mathbf{A}\) y\(\ \phi\), porque esto es más conveniente para la solución de algunos (¡aunque no todos!) problemas. Incluso cuando se trata del sistema (99) de las ecuaciones Maxwell más generales que las discutidas anteriormente, las ecuaciones (7) todavía se utilizan para la definición de los potenciales. Es sencillo verificar que con estas definiciones, las dos ecuaciones homogéneas de Maxwell (99b) se satisfacen automáticamente. Conectando las ecuaciones (7) en las ecuaciones no homogéneas (99a), y considerando, por simplicidad, un medio lineal, uniforme con frecuencia independiente\(\ \varepsilon\) y\(\ \mu\), obtenemos

\[\ \nabla^{2} \phi+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{A})=-\frac{\rho}{\varepsilon}, \quad \nabla^{2} \mathbf{A}-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}-\nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{A}+\varepsilon \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}\right)=-\mu \mathbf{j}.\tag{6.116}\]

Este es un resultado más complejo que el que nos gustaría obtener. Sin embargo, seleccionemos un calibre especial, que con frecuencia se llama (especialmente para el caso de espacio libre, cuando\(\ \nu=c\)) la condición de calibre Lorenz ⁷⁰

\[\ \nabla \cdot \mathbf{A}+\varepsilon \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}=0,\quad\quad\quad\quad\text{Lorenz gauge condition}\tag{6.117}\]

que es una generalización natural del calibre Coulomb (5.48) a fenómenos dependientes del tiempo. Con esta condición, las ecuaciones (107) se reducen a una forma más simple y bellamente simétrica:

\[\ \text{Potentials’ dynamics}\quad\quad\quad\quad\nabla^{2} \phi-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon}, \quad \nabla^{2} \mathbf{A}-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}=-\mu \mathbf{j},\tag{6.118}\]

donde\(\ \nu^{2} \equiv 1 / \varepsilon \mu\). Nótese que estas ecuaciones son esencialmente un conjunto de 4 ecuaciones similares para 4 funciones escalares (es decir,\(\ \phi\) y tres componentes cartesianos de\(\ \mathbf{A}\)) y así invitan claramente al formalismo vectorial de 4 componentes de la teoría de la relatividad; se discutirá en el Capítulo 9. ⁷¹

Si\(\ \phi\) y\(\ \mathbf{A}\)) dependen de una sola coordenada espacial, digamos\(\ z\), en una región sin fuentes de campo:\(\ \rho=0\),\(\ \mathbf{j}=0\), Las ecuaciones (118) se reducen a las conocidas ecuaciones de onda 1D

\[\ \frac{\partial^{2} \phi}{\partial^{2} z}-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial t^{2}}=0, \quad \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial^{2} z}-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}=0.\tag{6.119}\]

Es bien sabido ⁷² que estas ecuaciones describen ondas, con formas de onda arbitrarias (incluyendo ondas sinusoidales de cualquier frecuencia), propagándose con la misma velocidad v en cualquiera de las direcciones del eje z. Según las definiciones de las constantes\(\ \varepsilon_{0}\) y\(\ \mu_{0}\), en el espacio libre v es solo la velocidad de la luz:

\[\ \nu=\frac{1}{\left(\varepsilon_{0} \mu_{0}\right)^{1 / 2}} \equiv c.\tag{6.120}\]

Históricamente, la observación experimental de ondas electromagnéticas de frecuencia relativamente baja (escala GHZ), con su velocidad igual a la de la luz, fue la prueba decisiva (¡en realidad, un verdadero triunfo!) de la teoría de Maxwell y su predicción de tales ondas. ⁷³ Esto fue logrado por primera vez en 1886 por Heinrich Rudolf Hertz, utilizando los circuitos electrónicos y antenas que había inventado para este propósito.

Antes de proceder al análisis detallado de estas ondas en los capítulos siguientes, permítanme mencionar que la invarianza de las ecuaciones (119) con respecto a la dirección de propagación de la onda no es ocasional; es solo una manifestación de una propiedad general más de las ecuaciones de Maxwell (99), llamada Lorentz reciprocidad. Ya hemos encontrado su ejemplo más simple, para campos electrostáticos independientes del tiempo, en uno de los problemas del Capítulo 1. Consideremos ahora un caso mucho más general cuando dos campos electromagnéticos dependientes del tiempo, digamos,\(\ \left\{\mathbf{E}_{1}(\mathbf{r}, t), \mathbf{H}_{1}(\mathbf{r}, t)\right\} \text { and }\left\{\mathbf{E}_{2}(\mathbf{r}, \mathrm{t}), \mathbf{H}_{2}(\mathbf{r}, t)\right\}\) son inducidos, respectivamente, por corrientes independientes espacialmente localizadas\(\ \mathbf{j}_{1}(\mathbf{r}, t)\) y\(\ \mathbf{j}_{2}(\mathbf{r}, t)\). Entonces se puede demostrar ⁷⁴ que si el medio es lineal, e isotrópico o incluso anisotrópico, pero con tensores simétricos\(\ \varepsilon_{j j’}\) y\(\ \mu_{j j^{\prime}}\), luego para cualquier volumen\(\ V\), limitado por una superficie cerrada\(\ S\),

\[\ \int_{V}\left(\mathbf{j}_{1} \cdot \mathbf{E}_{2}-\mathbf{j}_{2} \cdot \mathbf{E}_{1}\right) d^{3} r=\oint_{S}\left(\mathbf{E}_{1} \times \mathbf{H}_{2}-\mathbf{E}_{2} \times \mathbf{H}_{1}\right) d^{2} r.\tag{6.121}\]

Esta propiedad implica, en particular, que las ondas se propagan de manera similar en dos direcciones recíprocas incluso en situaciones mucho más generales que el caso 1D descrito por las ecuaciones (119). Para algunas aplicaciones prácticas importantes (por ejemplo, para amplificadores y detectores de bajo ruido) tal reciprocidad es bastante inconveniente. Afortunadamente, la Ec. (121) puede ser violada en medios anisotrópicos con tensores asimétricos\(\ \varepsilon_{j j^{\prime}}\) y/o\(\ \mu_{jj’}\). El caso más simple, y más importante de tal anisotropía, la rotación Faraday de la polarización de onda en plasma, se discutirá en el próximo capítulo.

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Referencia

⁶⁰ Esta forma vectorial de las ecuaciones, magnífica en su simetría y simplicidad, fue desarrollada en 1884-85 por Oliver Heaviside, con contribuciones sustanciales de H. Lorentz. (El resultado original de Maxwell hacia 1864 parecía un sistema de 20 ecuaciones para componentes cartesianos del vector y potenciales escalares).

⁶¹ Véase, por ejemplo, QM Capítulo 9.

⁶² Permítanme esperar que el lector sepa que la relación\(\ \lambda=\nu T\) es universal, válida para olas de cualquier naturaleza —véase, por ejemplo, CM Capítulo 6. (En el caso de dispersión sustancial,\(\ \nu\) significa la velocidad de fase.)

⁶³ El hecho de que\(\ T\) haya cancelado, demuestra que estas estimaciones son válidas para ondas de frecuencia arbitraria.

⁶⁴ Permítanme recalcar que si no se cumple esta condición, la representación de circuito grumoso del sistema (ver Fig. 9 y su discusión) suele ser inadecuada —además de algunos casos especiales, para ser discutidos en el siguiente capítulo.

⁶⁵ Véase, por ejemplo, MA Ec. (11.7) con f = E y g = H.

⁶⁶ Lleva el nombre de John Henry Poynting por su obra publicada en 1884, aunque este hecho fue descubierto de forma independiente por O. Heaviside en 1885 en una forma más simple, mientras que un resultado similar para la intensidad de las ondas elásticas mecánicas había sido obtenido anteriormente (en 1874) por Nikolay Alekseevich Umov — ver , e.g., CM Sec. 7.7.

⁶⁷ En realidad, una adición a S del rizo de una función vectorial arbitraria\(\ \mathbf{f}(\mathbf{r}, t)\) no cambia la Ec. (111). De hecho, podemos usar el teorema de divergencia para transformar el cambio correspondiente de la integral de superficie en la ecuación (111) a una integral de volumen de función escalar\(\ \nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{f})\) que sea igual a cero en cualquier punto; véase, por ejemplo, MA Eq. (11.2).

⁶⁸ La situación con las ecuaciones macroscópicas de Maxwell es más compleja, y sigue siendo objeto de algunas discusiones prolongadas (generalmente llamada controversia Abraham-Minkowski, a pesar de las contribuciones de muchos otros científicos, incluido A. Einstein), debido a la ambigüedad de la división del momentum entre sus componentes de campo y partículas — véase, por ejemplo, el artículo de revisión de R. Pfeiffer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007).

⁶⁹ Volveremos a su discusión general (en particular, a la mecánica analítica del campo electromagnético, y su tensor de tensión) en la Sec. 9.8, después de habernos equipado con la teoría especial de la relatividad.

⁷⁰ Esta condición, que lleva el nombre de Ludwig Lorenz, no debe confundirse con la llamada condición de invarianza de Lorentz de relatividad, debida a Hendrik Lorentz, para ser discutida en la Sec. 9.4. (Anote la ortografía de los apellidos'.)

⁷¹ Aquí tengo que mencionar de paso los llamados potenciales vectoriales de Hertz\(\ \Pi_{\mathrm{e}}\) y\(\ \Pi_\mathbf{m}\) (cuya introducción se remonta al menos a la obra de 1904 de E. Whittaker). Podrán definirse por las siguientes relaciones:

\(\ \mathbf{A}=\mu \frac{\partial \mathbf{\Pi}_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\mu \nabla \times \mathbf{\Pi}_{\mathrm{m}}, \quad \phi=-\frac{1}{\varepsilon} \nabla \cdot \mathbf{\Pi}_{\mathrm{e}},\)

lo que hace que la condición de calibre Lorentz (117) se satisfaga automáticamente. Estos potenciales son especialmente convenientes para la solución de problemas en los que el campo electromagnético es inducido por fuentes caracterizadas por polarizaciones eléctricas y magnéticas independientes del campo\(\ \mathbf{P}\) y\(\ \mathbf{M}\), en lugar de por densidades de carga y corriente independientes del campo\(\ \rho\) y \(\ \mathbf{j}\). En efecto, es sencillo comprobar que ambos\(\ \Pi_\mathbf{e}\) y\(\ \Pi_\mathbf{m}\) satisfacer las ecuaciones similares a las ecuaciones (118), pero con sus lados derechos iguales a, respectivamente,\(\ -\mathbf{P}\) y\(\ -\mathbf{M}\). Desafortunadamente, no tendría tiempo para una discusión de tales problemas y tendría que referir a otros lectores interesados —por ejemplo, a un texto clásico de J. Stratton, Electromagnetic Theory, Adams Press, 2008.

⁷² Véase, e.g., CM Secs. 6.3-6.4 y 7.7-7.8.

⁷³ Para entonces, la velocidad de la luz (estimada muy razonablemente por Ole Rømer ya en 1676) ha sido medida experimentalmente, por Hippolyte Fizeau y luego Léon Foucault, con una precisión superior al 1%.

⁷⁴ Una advertencia: algunas pruebas de la ecuación (121) dadas en libros de texto y sitios en línea, son deficientes.