7.1: Ondas Planas

Partimos de considerar una región espacial que no contiene fuentes de campo\(\ (\rho=0, \mathbf{j}=0)\), y se rellena con un medio lineal, uniforme, isotrópico, que obedece a las ecuaciones (3.46) y (5.110):

\[\ \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}, \quad \mathbf{B}=\mu \mathbf{H}\tag{7.1}\]

Además, supongamos por un tiempo, que estas ecuaciones constitutivas se mantienen para todas las frecuencias de interés. (Por supuesto, estas relaciones son exactamente válidas para el muy importante caso particular del espacio libre, donde podemos usar formalmente las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (6.100), pero con\(\ \varepsilon=\varepsilon_{0}\) y\(\ \mu=\mu_{0}\).) Como ya se mostró en la Sec. 6.8, en este caso, la condición de calibre Lorenz (6.117) permite refundir las ecuaciones de Maxwell en las ecuaciones de onda (6.118) para los potenciales escalar y vectoriales. Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, es más conveniente usar las ecuaciones homogéneas de Maxwell (6.100) para los campos eléctrico y magnético, que son independientes de la elección del calibre. Después de una eliminación elemental de\(\ \mathbf{D}\) y\(\ \mathbf{B}\) usando ecuaciones (1), ¹ estas ecuaciones toman una forma simple y muy simétrica:

\ (\\ text {Ecuaciones Maxwell para medios lineales uniformes}\ quad\ quad\ quad\ quad\ begin {array} {llr}
\ nabla\ veces\ mathbf {E} +\ mu\ frac {\ parcial\ mathbf {H}} {\ parcial t} =0, &\ nabla\ veces\ mathbf {H} -\ varepsilon\ frac {\ parcial\ mathbf {E}} {\ parcial t} =0,\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple & (7.2a)\\
\ nabla \ cdot\ mathbf {E} =0, &\ nabla\ cdot\ mathbf {H} =0. & (7.2b)
\ end {array}\)

Ahora, actuando por operador\(\ \nabla \times\) en cada una de las ecuaciones (2a), es decir, tomando su rizo, y luego usando la identidad de álgebra vectorial (5.31), cuyo primer término\(\ \mathbf{H}\), para ambos\(\ \mathbf{E}\) y, desaparece debido a las ecuaciones (2b), obtenemos ecuaciones de onda completamente similares para los campos eléctrico y magnético: ²

\[\ \text{EM wave equations}\quad\quad\quad\quad\left(\nabla^{2}-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \mathbf{E}=0, \quad\left(\nabla^{2}-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \mathbf{H}=0,\tag{7.3}\]

donde el parámetro v se define como

\[\ \nu^{2} \equiv \frac{1}{\varepsilon \mu}.\quad\quad\quad\quad\text{Wave velocity}\tag{7.4}\]

con\(\ \nu^{2}=1 / \varepsilon_{0} \mu_{0} \equiv c^{2}\) en espacio libre — ver la Ec. (6.120) de nuevo.

Estas ecuaciones permiten, en particular, soluciones del siguiente tipo particular;

\[\ E \propto H \propto f(z-\nu t),\quad\quad\quad\quad\text{Plane wave}\tag{7.5}\]

donde\(\ z\) es la coordenada cartesiana a lo largo de una cierta dirección (arbitraria) n, y f es una función arbitraria de un argumento. Esta solución describe un tipo específico de onda viajera, es decir, un cierto patrón de campo que se mueve, sin deformación, a lo largo del eje z, con velocidad v. Según la ecuación (5), tanto E como H tienen los mismos valores en todos los puntos de cada plano perpendiculares a la dirección\(\ \mathbf{n} \equiv \mathbf{n}_{z}\) de la propagación de la onda; de ahí el nombre — onda plana.

Según las ecuaciones (2), la independencia de las ecuaciones de onda (3) para los vectores E y H no significa que sus soluciones de onda plana sean independientes. En efecto, al enchufar cualquier solución del tipo (5) en las ecuaciones (2a), obtenemos

\[\ \mathbf{H}=\frac{\mathbf{n} \times \mathbf{E}}{Z}, \quad \text { i.e. } \mathbf{E}=Z \mathbf{H} \times \mathbf{n},\quad\quad\quad\quad\text{Field vector relationship}\tag{7.6}\]

donde

\ [\ Z\ equiv\ frac {E} {H} =\ izquierda (\ frac {\ mu} {\ varepsilon}\ derecha) ^ {1/2}. \ quad\ quad\ quad\ quad\ text {
impedancia de onda}\ tag {7.7}\]

La relación vectorial (6) significa, en primer lugar, que los vectores E y H son perpendiculares no sólo al vector de propagación n (tales ondas se denominan transversales), sino también entre sí (Fig. 1) —en cualquier punto del espacio y en cualquier instante de tiempo. En segundo lugar, esta igualdad no depende de la función\(\ f\), lo que significa que los campos eléctrico y magnético aumentan y disminuyen simultáneamente.

Fig. 7.1. Vectores de campo en un plano electromagnético n.

Finalmente, las magnitudes de campo están relacionadas por la constante\(\ Z\), llamada impedancia de onda del medio. Muy pronto veremos que la impedancia juega un papel fundamental en muchos problemas, en particular en la reflexión de onda desde la interfaz entre dos medios. Dado que la dimensionalidad de\(\ E\), en unidades SI, es V/m, y la de\(\ H\) es A/m, la Ec. (7) muestra que\(\ Z\) tiene la dimensionalidad de V/A, es decir ohmios\(\ (\Omega)\). ^En particular, en el espacio libre,

\[\ \text{Wave impedance of free space}\quad\quad\quad\quad Z=Z_{0} \equiv\left(\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}\right)^{1 / 2}=4 \pi \times 10^{-7} c \approx 377 \Omega.\tag{7.8}\]

A continuación, enchufando la Eq. (6) a las ecuaciones (6.113) y (6.114), obtenemos:

\[\ \text{Wave’s energy}\quad\quad\quad\quad u=\varepsilon E^{2}=\mu H^{2},\tag{7.9a}\]

\[\ \text{Wave’s power}\quad\quad\quad\quad \mathbf{S} \equiv \mathbf{E} \times \mathbf{H}=\mathbf{n} \frac{E^{2}}{Z}=\mathbf{n} Z H^{2},\tag{7.9b}\]

de manera que, según las ecuaciones (4) y (7), las densidades de energía y potencia de la ola se relacionan universalmente como

\[\ \mathbf{S}=\mathbf{n} u \nu.\tag{7.9c}\]

A la vista de la paradoja del vector Poynting discutida en la Sec. 6.8 (ver Fig. 6.11), uno puede preguntarse si la última igualdad puede interpretarse como la densidad real del flujo de potencia. En contraste con la situación estática mostrada en la Fig. 6.11, que limita los campos eléctricos y magnéticos a la proximidad de sus fuentes, las ondas pueden viajar lejos de ellas. Como resultado, pueden formar paquetes de onda de una longitud finita en el espacio libre — ver Fig. 2.

Fig. 7.2. Interpretación del vector Poynting en una onda electromagnética plana. (Las líneas horizontales muestran planos de igual campo.)

Apliquemos el teorema de Poynting (6.111) al cilindro mostrado con líneas discontinuas en la Fig. 2, con una tapa dentro del paquete de onda, y otra tapa en la región ya pasada por la ola. Entonces, de acuerdo con la Ec. (6.111), la tasa de cambio de la energía de campo completo\(\ \mathscr{E}\) dentro del volumen es\(\ d \mathscr{E} / d t=-S A\) (donde\(\ A\) está el área de la tapa), por lo que de hecho\(\ S\) puede interpretarse como el flujo de potencia (por unidad de área) del volumen. Haciendo una suposición razonable de que la longitud finita de un paquete de onda suficientemente larga no afecta a la física dentro de él, de hecho podemos interpretar lo\(\ \mathbf{S}\) dado por las ecuaciones (9b-c) como la
densidad de flujo de potencia dentro de una onda electromagnética plana.

Como veremos más adelante en este capítulo, el valor\(\ Z_{0}\) de espacio libre de la impedancia de onda, dado por la Ecuación (8), establece la escala\(\ Z\) de prácticamente todas las líneas de transmisión de ondas, por lo que podemos usarlo, junto con la Ec. (9), para tener una mejor sensación de cuán diferentes son el campo eléctrico y magnético amplitudes en las ondas — en la escala de experimentos electrostáticos y magnetostáticos típicos. Por ejemplo, según Eqs. (9), una ola de una intensidad modesta\(\ S=1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\) (esto es lo que obtenemos de una bombilla eléctrica habitual a pocos metros de ella) tiene\(\ E \sim\left(S Z_{0}\right)^{1 / 2} \sim 20 \mathrm{~V} / \mathrm{m}\), bastante comparable con el campo dc creado por una batería AA estándar justo afuera de ella. Por otro lado, el campo magnético de la onda\(\ H=\left(S / Z_{0}\right)^{1 / 2} \approx 0.05 \mathrm{~A} / \mathrm{m}\). Para este caso particular, la relación que se deriva de las ecuaciones 1), 4 y 7),

\[\ B=\mu H=\mu \frac{E}{Z}=\mu \frac{E}{(\mu / \varepsilon)^{1 / 2}} \equiv(\varepsilon \mu)^{1 / 2} E=\frac{E}{\nu},\tag{7.10}\]

da\(\ B=\mu_{0} H=E / c \sim 7 \times 10^{-8} \mathrm{~T}\), es decir, un campo magnético mil veces menor que el campo de la Tierra, y alrededor de 7 órdenes de magnitud menor que el campo de un imán permanente típico. Esta enorme diferencia puede interpretarse de la siguiente manera: la escala de los campos magnéticos\(\ B \sim E / c\) en las ondas es “normal” para el electromagnetismo, mientras que los campos de imanes permanentes son anormalmente altos porque se deben a la alineación ferromagnética de los espines de electrones, esencialmente objetos relativistas — ver el discusión en Sec. 5.5.

El hecho de que la Ec. (5) sea válida para una función arbitraria\(\ f\) significa, en inglés simple, que un medio con frecuencia independiente\(\ \varepsilon\) y\(\ \mu\) soporta propagación de ondas planas con una forma de onda arbitraria —sin decaimiento (atenuación) ni deformación (dispersión). Sin embargo, para cualquier medio real que no sea el vacío, esta aproximación es válida solo dentro de intervalos de frecuencia limitados. Discutiremos los efectos de la atenuación y dispersión en la siguiente sección y veremos que todas nuestras fórmulas anteriores siguen siendo válidas incluso para un medio lineal arbitrario, siempre que las limitemos a ondas de frecuencia única (es decir, sinusoidales, frecuentemente llamadas monocromáticas). Tales ondas pueden representarse más convenientemente como ⁴

donde\(\ f_{\omega}\) está la amplitud compleja de la onda, y\(\ k\) es su número de onda (la magnitud del vector de onda\(\ \mathbf{k} \equiv \mathbf{n} k\)), a veces también llamada frecuencia espacial. El último término se justifica por el hecho, evidente a partir de la Ec. (11), que\(\ k\) se relaciona con la longitud de onda\(\ \lambda\) exactamente como la frecuencia habitual (“temporal”)\(\ \omega\) está relacionada con el periodo de tiempo\(\ \tau\):

\[\ k=\frac{2 \pi}{\lambda}, \quad \omega=\frac{2 \pi}{\tau}.\quad\quad\quad\quad\text{Spatial and temporal frequencies}\tag{7.12}\]

En el caso “libre de dispersión” (5), la compatibilidad de esa relación con la Ec. (11) requiere que el argumento sea proporcional\(\ (k z-\omega t) \equiv k[z-(\omega / k) t]\) a\(\ (z-\nu t)\), de manera que\(\ \omega / k=\nu\), i.e.

\ [\ k=\ frac {\ omega} {\ nu}\ equiv (\ varepsilon\ mu) ^ {1/2}\ omega,\ quad\ quad\ quad\ quad\ text {
Relación de dispersión}\ tag {7.13}\]

de manera que en ese caso particular, la relación de dispersión\(\ \omega(k)\) sea lineal.

Ahora tenga en cuenta que la Ec. (6) no significa que los vectores E y H retengan su dirección en el espacio. (La onda en que lo hacen se llama linealmente polarizada. ⁵) En efecto, nada en las ecuaciones de Maxwell impide, por ejemplo, una rotación conjunta de este par de vectores alrededor del vector fijo n, al tiempo que mantiene todos estos tres vectores perpendiculares entre sí en cualquier instante — ver Fig. 1. Sin embargo, una ley de rotación arbitraria o incluso una frecuencia constante arbitraria de dicha rotación violaría el carácter de frecuencia única (monocromática) de la onda sinusoidal elemental (11). Para entender cuál es el tipo de polarización más general que puede tener la onda sin violar esa condición, representemos dos componentes cartesianos de uno de estos vectores (digamos, E) a lo largo de dos ejes fijos cualesquiera\(\ x\) y\(\ y\), perpendiculares entre sí y el eje z (es decir, al vector n), en la misma forma utilizada en la Ec. (11):

\[\ E_{x}=\operatorname{Re}\left[E_{\omega x} e^{i(k z-\omega t)}\right], \quad E_{y}=\operatorname{Re}\left[E_{\omega y} e^{i(k z-\omega t)}\right].\tag{7.14}\]

Para mantener la onda monocromática, las amplitudes complejas\(\ E_{\omega x}\) y\(\ E_{\omega y}\) tienen que ser constantes en el tiempo; sin embargo, pueden tener diferentes magnitudes y un desplazamiento de fase arbitrario entre ellas.

En el caso más simple cuando los argumentos de estas amplitudes complejas son iguales,

\[\ E_{\omega x, y}=\left|E_{\omega x, y}\right| e^{i \varphi}.\tag{7.15}\]

los componentes reales del campo tienen la misma fase:

\[\ E_{x}=\left|E_{\omega x}\right| \cos (k z-\omega t+\varphi), \quad E_{y}=\left|E_{\omega y}\right| \cos (k z-\omega t+\varphi),\tag{7.16}\]

para que su relación sea constante en el tiempo — ver Fig. 3a. Esto significa que la onda está polarizada linealmente, con el plano de polarización definido por la relación

\[\ \tan \theta=\left|E_{\omega y}\right| /\left|E_{\omega x}\right|.\tag{7.17}\]

Fig. 7.3. Evolución temporal del vector de campo eléctrico instantáneo en ondas monocromáticas con: (a) una polarización lineal, (b) una polarización circular y (c) una polarización elíptica.

Otro caso sencillo es cuando los módulos de las amplitudes complejas\(\ E_{\omega x}\) y\(\ E_{\omega y}\) son iguales, pero sus fases se desplazan por\(\ +\pi / 2\) o\(\ -\pi / 2\):

\[\ E_{\omega x}=\left|E_{\omega}\right| e^{i \varphi}, \quad E_{\omega y}=\left|E_{\omega}\right| e^{i(\varphi \pm \pi / 2)}.\tag{7.18}\]

En este caso

\[\ E_{x}=\left|E_{\omega}\right| \cos (k z-\omega t+\varphi), \quad E_{y}=\left|E_{\omega}\right| \cos \left(k z-\omega t+\varphi \pm \frac{\pi}{2}\right) \equiv \mp\left|E_{\omega}\right| \sin (k z-\omega t+\varphi).\tag{7.19}\]

Esto significa que en el plano de la onda (normal a n), el extremo del vector E se mueve, con la frecuencia de la onda\(\ \omega\), ya sea en sentido horario o antihorario alrededor de un círculo — ver Fig. 3b:

\[\ \theta(t)=\mp(\omega t-\varphi).\tag{7.20}\]

Tales ondas se llaman polarizadas circularmente. En la convención dominante, la onda se denomina polarizada a la derecha (RP) si es descrita por el signo inferior en las ecuaciones (18) - (20), es decir, si el vector\(\ \mathbf{\omega}\) de la frecuencia angular de la rotación del vector de campo coincide con la dirección de propagación de onda n, y polarizada a la izquierda (LP) en el caso opuesto. Estas soluciones particulares de las ecuaciones de Maxwell son muy convenientes para la electrodinámica cuántica, ya que los cuantos de campo electromagnético único con una cierta dirección de giro (positiva o negativa) pueden considerarse como excitaciones elementales de la onda polarizada circular correspondiente. ⁶ (Este hecho no excluye, del esquema de cuantificación, ondas de otras polarizaciones, porque cualquier onda monocromática puede presentarse como una combinación lineal de dos ondas polarizadas circularmente opuestas —así como las Eq. (14) la representan como una combinación lineal de dos linealmente- ondas polarizadas.)

Finalmente, en el caso general de amplitudes complejas arbitrarias\(\ E_{\omega x}\) y\(\ E_{\omega y}\), el extremo del vector de campo se mueve a lo largo de una elipse (Fig. 3c); dicha onda se denomina polarizada elípticamente. El alargamiento (“excentricidad”) y la orientación de la elipse se describen completamente por un número complejo, la relación\(\ E_{\omega x} / E_{\omega y}\), es decir, por dos números reales, por ejemplo,\(\ \left|E_{\omega x} / E_{\omega y}\right|\) y\(\ \varphi=\arg \left(E_{\omega x} / E_{\omega y}\right)\). ⁷

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Referencia

¹ Aunque B en lugar de H es el campo magnético real, matemáticamente es un poco más conveniente (tal como lo fue en la Sec. 6.2) usar el par de vectores\(\ \{\mathbf{E}, \mathbf{H}\}\) en la siguiente discusión, porque en los límites agudos de los medios, es H el que obedece al límite condición (5.117) similar a la de E — cf. Ec. (3.37).

² Las dos ecuaciones vectoriales (3) son, por supuesto, es solo una taquigrafía para seis ecuaciones similares para tres componentes cartesianos de E y H, y por lo tanto para sus magnitudes\(\ E\) y\(\ H\).

³ En las unidades gaussianas,\(\ E\) y\(\ H\) tienen una dimensionalidad similar (en particular, en una onda de espacio libre\(\ E = H\)), haciendo que la noción (muy útil) de la impedancia de onda sea menos expuesta manifiestamente — ¡de modo que en algunos libros de texto de física más antiguos no se menciona en absoluto!

⁴ Como ya hemos visto en el capítulo anterior (véase también CM Sec. 1), tal representación complejo-exponencial de variables que cambian sinusoidalmente es más conveniente para la manipulación matemática con la que se utilizan funciones sinusoidales y coseno, especialmente porque en todas las relaciones lineales, el operador Re puede omitirse (implícita) hasta el final del cálculo. Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no es válido para las formas cuadráticas como las ecuaciones (9a-b).

⁵ La posibilidad de diferentes polarizaciones de ondas electromagnéticas fue descubierta (para la luz) en 1699 por Rasmus Bartholin, alias Erasmus Bartholinus.

⁶ Este tema está estrechamente relacionado con el del momento angular de la ola; me será más conveniente discutirlo más adelante en este capítulo (en la Sec. 7).

⁷ Obsérvese que la misma información puede expresarse a través de cuatro llamados parámetros Stokes\(\ s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}\), que son populares en la óptica práctica, ya que pueden ser utilizados para la descripción no solo de ondas completamente coherentes que se discuten aquí, sino también de coherentes partidistas o incluso totalmente incoherentes ondas — incluyendo la luz natural emitida por fuentes térmicas como nuestro Sol. (A diferencia de las ondas coherentes (14), cuyas amplitudes complejas son números deterministas, las amplitudes de las ondas incoherentes deben tratarse como variables aleatorias). Para más información sobre los parámetros de Stokes, así como muchos otros temas de óptica que no tendré tiempo de cubrir, puedo recomendar el texto clásico de M. Born et al., Principles of Optics, 7a ed., Cambridge U. Press, 1999.