7.6: Guías de ondas - Ondas H y E

Volvamos ahora a las ecuaciones (100) y exploremos las ondas H y E —con, respectivamente, cualquiera\(\ H_{z}\) o\(\ E_{z}\) diferente de cero. A primera vista, pueden parecer más complejos. Sin embargo, las ecuaciones (101), que determinan la distribución de estos componentes longitudinales sobre la sección transversal, son solo las ecuaciones 2D de Helmholtz para funciones escalares. Para geometrías de sección transversal simple, pueden resolverse fácilmente utilizando los métodos discutidos para la ecuación de Laplace en el Capítulo 2, en particular la separación de variables. Una vez que se ha encontrado la solución de tal ecuación, los componentes transversales de los campos pueden calcularse por diferenciación, utilizando las fórmulas simples,

\[\ \mathbf{E}_{t}=\frac{i}{k_{t}^{2}}\left[k_{z} \nabla_{t} E_{z}-k Z\left(\mathbf{n}_{z} \times \nabla_{t} H_{z}\right)\right], \quad \mathbf{H}_{t}=\frac{i}{k_{t}^{2}}\left[k_{z} \nabla_{t} H_{z}+\frac{k}{Z}\left(\mathbf{n}_{z} \times \nabla_{t} E_{z}\right)\right],\tag{7.121}\]

que se derivan de las dos ecuaciones en la primera línea de las ecuaciones (100). ⁵²

En comparación con los problemas de límites de la electro y magnetostática, la única característica conceptualmente nueva de las ecuaciones (101) es que forman los llamados problemas propios, con típicamente muchas soluciones (funciones propias), cada una de las cuales describe un modo de onda específico, y que corresponde a un valor propio específico del parámetro \(\ k_{t}\). La buena noticia aquí es que estos valores de\(\ k_{t}\) están determinados por este problema de límites 2D y por lo tanto no dependen de ellos\(\ k_{z}\). En consecuencia, la ley\(\ \omega\left(k_{z}\right)\) de dispersión de cualquier modo, que se desprende de la última forma de la Ec. (102),

\[\ \text{Universal dispersion relation}\quad\quad\quad\quad \omega=\left(\frac{k_{z}^{2}+k_{t}^{2}}{\varepsilon \mu}\right)^{1 / 2} \equiv\left(\nu^{2} k_{z}^{2}+\omega_{\mathrm{c}}^{2}\right)^{1 / 2},\tag{7.122}\]

es funcionalmente similar para todos los modos. También es similar a la de las ondas planas en plasma (ver Ec. (38), Fig. 6, y su discusión en la Sec. 2), con las únicas diferencias por las que generalmente\(\ c\) se reemplaza la velocidad en la luz, es decir\(\ \nu=1 /(\varepsilon \mu)^{1 / 2}\), la velocidad de las ondas planas (o cualquier TEM) en el medio que llena la guía de ondas, y que\(\ \omega_{\mathrm{p}}\) se sustituye por la llamada frecuencia de corte

\[\ \omega_{\mathrm{c}} \equiv \nu k_{t},\tag{7.123}\]

específico para cada modo. (Como implica la Ec. (101), y como veremos en varios ejemplos a continuación,\(\ k_{t}\) tiene el orden de\(\ 1 / a\), donde\(\ a\) está la dimensión característica de la sección transversal de la guía de ondas, de manera que el valor crítico de la longitud de onda del espacio libre\(\ \lambda \equiv 2 \pi c / \omega\) es del orden de\(\ a\).) Por debajo de la frecuencia de corte de cada modo particular, dicha onda no puede propagarse en la guía de ondas. ⁵³ Como resultado, los modos con los valores más bajos de\(\ \omega_{\mathrm{c}}\) presente especial interés práctico, debido a que la elección de la frecuencia de la señal\(\ \omega\) entre los dos valores más bajos de la frecuencia de corte (123) garantiza que las ondas se propaguen en forma de un solo modo, con el más bajo\(\ k_{t}\). Tal elección permite a los ingenieros simplificar la excitación del modo deseado por los generadores de ondas, y evitar la transferencia parasitaria de energía de ondas electromagnéticas a modos indeseables por pequeñas inhomogeneidades (prácticamente inevitables) del sistema.

Las condiciones límite para las ecuaciones de Helmholtz (101) dependen del tipo de onda propagadora. Para los\(\ E\) -modos, con\(\ H_{z}=0\) pero\(\ E_{z} \neq 0\), la condición da\(\ E_{\tau}=0\) inmediatamente

\[\ \left.E_{z}\right|_{C}=0,\tag{7.124}\]

donde\(\ C\) está el contorno interno que limita la sección transversal de la pared conductora. Para los\(\ H\) -modos, con\(\ E_{z}=0\) pero\(\ H_{z} \neq 0\), la condición límite es ligeramente menos obvia y se puede obtener usando, por ejemplo, la segunda ecuación del sistema (100), multiplicado por vector\(\ \mathbf{n}_{z}\). De hecho, para el componente normal a la superficie del conductor, el resultado de dicha multiplicación es

\[\ i k_{z}\left(\mathbf{H}_{t}\right)_{n}-i \frac{k}{Z}\left(\mathbf{n}_{z} \times \mathbf{E}_{t}\right)_{n}=\frac{\partial H_{z}}{\partial n}.\tag{7.125}\]

Pero el primer término en el lado izquierdo de esta relación debe ser cero en la superficie de la pared, debido al segundo de las ecuaciones (104), mientras que según la primera de las ecuaciones (104), el vector\(\ \mathbf{E}_{t}\) en el segundo término no puede tener un componente tangencial a la pared. Como resultado, el producto vector en ese término no puede tener un componente normal, por lo que el término también debe ser igual a cero, y la Eq. (125) se reduce a

\[\ \left.\frac{\partial H_{z}}{\partial n}\right|_{C}=0.\tag{7.126}\]

Veamos cómo funciona toda esta maquinaria para un caso sencillo pero prácticamente importante de una guía de ondas de pared metálica con sección transversal rectangular — ver Fig. 22

Fig. 7.22. Una guía de ondas rectangular, y la distribución transversal del campo en su modo fundamental\(\ H_{10}\) (esquemáticamente).

En las coordenadas cartesianas naturales, mostradas en esta figura, ambas ecuaciones (101) toman la forma simple

\[\ \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+k_{t}^{2}\right) f=0, \quad \text { where } f= \begin{cases}E_{z}, & \text { for } E-\text { modes, } \\ H_{z}, & \text { for } H-\text { modes. }\end{cases}\tag{7.127}\]

Del Capítulo 2 sabemos que la forma más efectiva de solución de tales ecuaciones en una región rectangular es la separación variable, en la que la solución general se representa como una suma de soluciones parciales del tipo

\[\ f=X(x) Y(y).\tag{7.128}\]

Conectando esta expresión en la ecuación (127), y dividiendo cada término por\(\ XY\), obtenemos la ecuación,

\[\ \frac{1}{X} \frac{d^{2} X}{d x^{2}}+\frac{1}{Y} \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}+k_{t}^{2}=0,\tag{7.129}\]

que debe satisfacerse para todos los valores de\(\ x\) y\(\ y\) dentro del interior de la guía de ondas. Esto sólo es posible si cada término de la suma equivale a una constante. Tomando las constantes\(\ X\) -term y\(\ Y\) -term en la forma\(\ \left(-k_{x}^{2}\right)\) y\(\ \left(-k_{y}^{2}\right)\), respetuosamente, y resolviendo las ecuaciones diferenciales ordinarias correspondientes, ⁵⁴ para la función propia (128) obtenemos

\[\ f=\left(c_{x} \cos k_{x} x+s_{x} \sin k_{x} x\right)\left(c_{y} \cos k_{y} y+s_{y} \sin k_{y} y\right), \quad \text { with } k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=k_{t}^{2},\tag{7.130}\]

donde las constantes\(\ c\) y\(\ s\) deben encontrarse a partir de las condiciones de contorno. Aquí entra la diferencia entre\(\ H\) los\(\ E\) modos -y -mode.

Para los\(\ H\) -modos, la ecuación (130) es válida para\(\ H_{z}\), y debemos usar la condición límite (126) en todas las paredes metálicas de la guía de ondas, es decir, en\(\ x=0\) y\(\ a\); y\(\ y=0\) y\(\ b\) — ver Fig. 22. Como resultado, obtenemos expresiones muy simples para funciones propias y valores propios:

\[\ \left(H_{z}\right)_{n m}=H_{l} \cos \frac{\pi n x}{a} \cos \frac{\pi m y}{b},\tag{7.131}\]

\[\ k_{x}=\frac{\pi n}{a}, \quad k_{y}=\frac{\pi m}{b}, \quad \text { so that }\left(k_{t}\right)_{n m}=\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\right)^{1 / 2}=\pi\left[\left(\frac{n}{a}\right)^{2}+\left(\frac{m}{b}\right)^{2}\right]^{1 / 2},\tag{7.132}\]

donde\(\ \mathrm{H}_l\) es la amplitud del campo longitudinal, y\(\ n\) y\(\ m\) son dos números enteros — arbitrarios además de que no pueden ser iguales a cero simultáneamente. ⁵⁵ Suponiendo, solo por certeza, que\(\ a \geq b\) (como se muestra en la Fig. 22), vemos que el valor propio más bajo de\(\ k_t\), y por lo tanto la frecuencia de corte más baja (123), se logra para el llamado\(\ H_{10}\) modo con\(\ n = 1\) y\(\ m = 0\), y por lo tanto con

\[\ \text{Fundamental mode’s cutoff}\quad\quad\quad\quad \left(k_{t}\right)_{10}=\frac{\pi}{a},\tag{7.133}\]

confirmando así nuestra estimación previa de\(\ k_{t}\).

Dependiendo de la\(\ a/b\) relación, el segundo más bajo\(\ k_{t}\) (y por lo tanto\(\ \omega_{\mathrm{c}}\)) pertenece al\(\ H_{11}\) modo con\(\ n = 1\) y\(\ m = 1\):

\[\ \left(k_{t}\right)_{11}=\pi\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)^{1 / 2} \equiv\left[1+\left(\frac{a}{b}\right)^{2}\right]^{1 / 2}\left(k_{t}\right)_{10},\tag{7.134}\]

o al\(\ H_{20}\) modo con\(\ n = 2\) y\(\ m = 0\):

\[\ \left(k_{t}\right)_{20}=\frac{2 \pi}{a} \equiv 2\left(k_{t}\right)_{10}.\tag{7.135}\]

Estos valores se vuelven iguales a\(\ a / b=\sqrt{3} \approx 1.7\); en guías de onda prácticas, la\(\ a/b\) relación no está muy lejos de este valor. Por ejemplo, en la\(\ (\sim 10-\mathrm{GHz})\) guía de ondas de banda X estándar WR90,\(\ a \approx 2.3 \mathrm{~cm}\)\(\ (f_{\mathrm{c}} \equiv \omega_{\mathrm{c}} / 2 \pi \approx6.5 \text{ GHz})\), y\(\ b \approx 1.0 \mathrm{~cm}\).

Ahora echemos un vistazo a los\(\ E\) modos alternativos. Para ellos, aún debemos usar la solución general (130) con\(\ f=E_{z}\), pero ahora con la condición límite (124). Esto nos da las funciones propias

\[\ \left(E_{z}\right)_{n m}=E_{l} \sin \frac{\pi n x}{a} \sin \frac{\pi m y}{b},\tag{7.136}\]

y el mismo espectro de valores propios (132) que para los modos H. Sin embargo, ahora\(\ n\) ni\(\ m\) puede ser igual a cero; de lo contrario, la Ec. (136) daría la solución trivial\(\ E_{z}(x, y)=0\). De ahí que la frecuencia de corte más baja de las ondas TM se logre en el llamado\(\ E_{11}\) modo con\(\ n =1\)\(\ m = 1\), y con el valor propio dado por la Ec. (134), siempre superior a\(\ \left(k_{t}\right)_{10}\).

Así, el\(\ H_{10}\) modo fundamental es sin duda la onda más importante en las guías de onda rectangulares; veamos mejor su distribución de campo. Conectando la solución correspondiente (131) con\(\ n = 1\) y\(\ m = 0\) en la relación general (121), obtenemos fácilmente

\[\ \left(H_{x}\right)_{10}=-i \frac{k_{z} a}{\pi} H_{l} \sin \frac{\pi x}{a}, \quad\left(H_{y}\right)_{10}=0,\tag{7.137}\]

\[\ \left(E_{x}\right)_{10}=0, \quad\left(E_{y}\right)_{10}=i \frac{k a}{\pi} Z H_{l} \sin \frac{\pi x}{a}.\tag{7.138}\]

Esta distribución de campo se muestra (esquemáticamente) en la Fig. 22. Ninguno de los campos depende de la coordenada y — la característica muy conveniente, en particular, para experimentos de microondas con muestras pequeñas. El campo eléctrico tiene solo un componente (en la Fig. 22, vertical) que desaparece en las paredes laterales y alcanza su máximo en el centro de la guía de ondas; sus líneas de campo son rectas, comenzando y terminando en cargas superficiales de pared (cuya distribución se propaga a lo largo de la guía de ondas junto con la onda). En contraste, el campo magnético tiene dos componentes distintos de cero (\(\ H_{x}\)y\(\ H_{z}\)), y sus líneas de campo están conformadas como bucles horizontales envueltos alrededor de los máximos del campo eléctrico.

Una pregunta importante es si la\(\ H_{10}\) onda puede caracterizarse útilmente por una impedancia única introducida de manera similar a la\(\ Z_{W}\) de los modos TEM (ver Ec. (115). La respuesta no es, porque el valor principal de\(\ Z_{W}\) es una descripción conveniente de la adaptación de impedancia de una línea de transmisión con una carga agrupada — ver Fig. 19 y Eq. (118). Como se discutió anteriormente, una descripción tan simple es posible (es decir, no depende de la geometría exacta de la conexión) solo si ambas dimensiones de la sección transversal de la línea son mucho menores que\(\ \lambda\). Pero para la\(\ H_{10}\) onda (y más generalmente, cualquier modo no TEM) esto es imposible —véase, por ejemplo, Eq. (129): su frecuencia más baja corresponde a la longitud de onda TEM\(\ \lambda_{\max}=2 \pi /\left(k_{t}\right)_{\min }=2 \pi /\left(k_{t}\right)_{10}=2 a\). (Se desafía al lector a encontrar una interpretación simple de esta igualdad.)

Ahora consideremos guías de onda de pared metálica con una sección transversal redonda (Fig. 23a). En esta geometría de conexión única, las ondas TEM vuelven a ser imposibles, mientras que para el análisis de\(\ H\) -modos y\(\ E\) -modos, las coordenadas polares\(\ \{\rho, \varphi\}\) son más naturales. En estas coordenadas, la ecuación 2D de Helmholtz (101) toma la siguiente forma:

\[\ \left[\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}+k_{t}^{2}\right] f=0, \quad \text { where } f= \begin{cases}E_{z}, & \text { for } E \text { - modes, } \\ H_{z}, & \text { for } H \text { - modes. }\end{cases}\tag{7.139}\]

Separando las variables como\(\ f=\mathcal{R}(\rho) \mathcal{F}(\varphi)\), obtenemos

\[\ \frac{1}{\rho \mathcal{R}} \frac{d}{d \rho}\left(\rho \frac{d \mathcal{R}}{d \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2} \mathcal{F}} \frac{d^{2} \mathcal{F}}{d \varphi^{2}}+k_{t}^{2}=0.\tag{7.140}\]

Pero esta es exactamente la Eq. (2.127) que se estudió en la Sec. 2.7 en el contexto de la electrostática, solo con un reemplazo de notación:\(\ \gamma \rightarrow k_{t}\). Entonces ya sabemos que para tener funciones\(\ 2 \pi\) -periódicas\(\ \mathcal{F}(\varphi)\) y valores finitos\(\ \mathcal{R}(0)\) (que evidentemente son necesarios para nuestro caso actual — ver Fig. 23a), la solución general debe tener la forma dada por la Eq. (2.136), es decir, las funciones propias se expresan a través de funciones Bessel de orden entero de el primer tipo:

\[\ f_{n m}=J_{n}\left(k_{n m} \rho\right)\left(c_{n} \cos n \varphi+s_{n} \sin n \varphi\right) \equiv \operatorname{const} \times J_{n}\left(k_{n m} \rho\right) \cos n\left(\varphi-\varphi_{0}\right),\tag{7.141}\]

con los valores propios del número\(\ k_{n m}\) de onda transversal\(\ k_{t}\) que se determinarán a partir de las condiciones de contorno apropiadas, y una constante arbitraria\(\ \varphi_{0}\).

Fig. 7.23. (a) Guías de onda metálicas y (b) dieléctricas con secciones transversales circulares.

En cuanto a la guía de ondas rectangular, empecemos por los\(\ H\) modos\(\ \left(f=H_{z}\right)\) -. Entonces la condición de contorno en la superficie de la pared\(\ (\rho=R)\) viene dada por la ecuación (126), que, para la solución (141), toma la forma

\[\ \frac{d}{d \xi} J_{n}(\xi)=0, \quad \text { where } \xi \equiv k R.\tag{7.142}\]

Esto significa que los valores propios de la Ec. (139) son

\[\ k_{t}=k_{n m}=\frac{\xi_{n m}^{\prime}}{R},\tag{7.143}\]

donde\(\ \xi_{n m}^{\prime}\) está el\(\ m^{\text {th }}\) cero de la función\(\ d J_{n}(\xi) / d \xi\). Valores aproximados de estos ceros para varios más bajos\(\ n\) y\(\ m\) pueden leerse a partir de la Fig. 2.18; sus valores más precisos se dan en la Tabla 1 a continuación.

Cuadro 7.1. Ceros\(\ \xi^{\prime}{ }_{n m}\) de la función\(\ d J_{n}(\xi) / d \xi\) para algunos valores más bajos del índice de la función de Bessel\(\ n\) y el número de la raíz\(\ m\).

	\(\ m = 1\)	2	3
\(\ n = 0\)	3.83171	7.015587	10.1735
1	1.84118	5.33144	8.53632
2	3.05424	6.70613	9.96947
3	4.20119	8.01524	11.34592

El cuadro muestra, en particular, que el más bajo de los ceros es\(\ \xi^{\prime}{ }_{11} \approx 1.84\). ⁵⁶ Así, quizás un poco contra-intuitivamente, el modo fundamental, que proporciona la frecuencia de corte más baja\(\ \omega_{\mathrm{c}}=\nu k_{n m}\), es\(\ H_{11}\), que corresponde\(\ n = 1\) en lugar de\(\ n = 0\):

\[\ H_{z}=H_{l} J_{1}\left(\xi_{11}^{\prime} \frac{\rho}{R}\right) \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right).\tag{7.144}\]

Tiene el número de onda transversal es\(\ k_{t}=k_{11}=\xi_{11}^{\prime} / R \approx 1.84 / R\), y de ahí la frecuencia de corte correspondiente a la longitud de onda TEM\(\ \lambda_{\max }=2 \pi / k_{11} \approx 3.41 R\). Por lo tanto, la\(\ \lambda_{\max }\) relación de diámetro de la guía de ondas\(\ 2R\) es de aproximadamente 1.7, es decir, está cerca de la relación\(\ \lambda_{\max } / a=2\) para la guía de ondas rectangular. El origen de esta proximidad es claro a partir de la Fig. 24, que muestra la distribución transversal del campo en el\(\ H_{11}\) modo. (Se puede calcular fácilmente a partir de las ecuaciones (121) con\(\ E_{z}=0\), y\(\ H_{z}\) dada por la Ec. (144).)

Fig. 7.24. Componentes de campo transversal en el\(\ H_{11}\) modo fundamental de una guía de ondas circular metálica (esquemáticamente).

Se puede observar que la estructura de campo en realidad es muy similar a la del modo fundamental en la guía de ondas rectangular, mostrada en la figura 22, a pesar de la diferente nomenclatura (que se debe a las diferentes coordenadas utilizadas para la solución). Sin embargo, tenga en cuenta el ángulo constante arbitrario\(\ \varphi_{0}\), lo que indica que en las guías de onda circulares la polarización del campo transversal es arbitraria. Para algunas aplicaciones prácticas, tal degeneración de estas ondas “cuasilinealmente polarizadas” crea problemas; algunas de ellas pueden evitarse mediante el uso de ondas con polarización circular.

Como muestra la Tabla 1, el siguiente\(\ H\) modo más bajo es\(\ \mathrm{H}_{21}\), para lo cual\(\ k_{t}=k_{21}=\xi_{21}^{\prime} / R \approx 3.05 / R\), casi dos veces mayor que el del modo fundamental, y sólo entonces viene el primer modo sin dependencia angular de ningún campo,\(\ H_{01}\), con\(\ k_{t}=k_{01}=\xi_{01}^{\prime} / R \approx 3.83 / R\), ⁵⁷ seguido de varios ángulos- modos dependientes:\(\ H_{31}\)\(\ H_{12}\),, etc.

Para los\(\ E\) modos, aún podemos usar la ecuación (141) (con\(\ f=E_{z}\)), pero con la condición de límite (124) en\(\ \rho=R\). Esto da la siguiente ecuación para los valores propios del problema:

\[\ J_{n}\left(k_{n m} R\right)=0, \text { i.e. } k_{n m}=\frac{\xi_{n m}}{R},\tag{7.145}\]

donde\(\ \xi_{n m}\) está el\(\ m^{\text {th }}\) cero de función\(\ J_{n}(\xi)\) — ver Tabla 2.1. El cuadro muestra que el más bajo\(\ k_{t}\) es igual a\(\ \xi_{01} / R \approx 2.405 / R\). De ahí el modo correspondiente\(\ \left(E_{01}\right)\), sin dependencia angular de sus campos, e.g.

\[\ E_{z}=E_{l} J_{0}\left(\xi_{01} \frac{\rho}{R}\right),\tag{7.146}\]

tiene la segunda frecuencia de corte más baja, ~ 30% más alta que la del modo fundamental\(\ H_{11}\).

Finalmente, discutamos un tema más de importancia general: el número\(\ N\) de modos electromagnéticos que pueden propagarse en una guía de ondas dentro de un cierto rango de frecuencias relativamente grandes\(\ \omega>>\omega_{\mathrm{c}}\). Es fácil de calcular para una guía de ondas rectangular, con sus expresiones simples (132) para los valores propios de\(\ \left\{k_{x}, k_{y}\right\}\). De hecho, estas expresiones describen una malla rectangular en el\(\ \left[k_{x}, k_{y}\right]\) plano, de manera que cada punto corresponde al área del plano\(\ \Delta A_{k}=(\pi / a)(\pi / b)\), y el número de modos en un área de\(\ k\) plano grande\(\ A_k>>\Delta A_{k}\) es\(\ N=A_{k} / \Delta A_{k}=a b A_{k} / \pi^{2}=A A_{k} / \pi^{2}\), donde\(\ A\) está el área de sección transversal de la guía de ondas. ⁵⁸ Sin embargo, con frecuencia es más conveniente discutir vectores\(\ \mathbf{k}_{t}\) de onda transversal de dirección arbitraria, es decir, con un signo arbitrario de sus componentes\(\ k_{x}\) y\(\ k_{y}\). Teniendo en cuenta que los valores opuestos de cada componente realmente dan la misma onda, el número real de diferentes modos de cada tipo (\(\ E\)- o\(\ H\) -) es un factor de\(\ 2^{2} \equiv 4\) menor al calculado anteriormente. Esto significa que el número de modos de ambos tipos es

\[\ N=2 \frac{A_{k} A}{(2 \pi)^{2}}.\tag{7.147}\]

Permítanme dejarlo para que el lector encuentre argumentos ondulantes (pero convincentes: -) de que esta regla de conteo de modos es válida para guías de onda con secciones transversales de cualquier forma, y cualquier condición de límite en las paredes, siempre que\(\ N >>1\).

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Referencia

⁵² Para la derivación de las ecuaciones (121), una de las dos ecuaciones lineales (100) debe ser primero multiplicada por vector por\(\ \mathbf{n}_{z}\). Obsérvese que este enfoque no pudo ser utilizado para analizar las ondas TEM, porque para ellas\(\ k_{t}=0, E_{z}=0, H_{z}=0\), y las ecuaciones (121) arrojan incertidumbre.

⁵³ Un interesante giro reciente en las ideas de los metamateriales electromagnéticos (mencionados en la Sec. 5 anterior) son los llamados\(\ \varepsilon\text {-near-zero }\) materiales, diseñados para tener el producto efectivo\(\ \varepsilon \mu\) mucho más bajo que\(\ \varepsilon_{0} \mu_{0}\) dentro de ciertos rangos de frecuencia. Dado que a estas frecuencias la velocidad\(\ \nu\) (4) se vuelve mucho menor que\(\ c\), la frecuencia de corte (123) prácticamente desaparece. Como resultado, las olas pueden “hacer un túnel” a través de secciones muy estrechas de guías de ondas metálicas llenas de tales materiales; véase, por ejemplo, M. Silveirinha y N. Engheta, Phys. Rev. Lt. 97, 157403 (2006).

⁵⁴ Permítanme esperar que la solución de ecuaciones del tipo\(\ d^{2} X / d x^{2}+k_{x}^{2} X=0\) no presente ningún problema para el lector, al menos debido a su experiencia previa con problemas como ondas estacionarias en una cuerda de guitarra, ondulaciones en un pozo cuántico 1D plano, o (con el reemplazo\(\ x \rightarrow t\)) un oscilador armónico clásico.

⁵⁵ De lo contrario, la función\(\ H_{z}(x, y)\) sería constante, de manera que, según la Ec. (121), los componentes transversales del campo eléctrico y magnético serían iguales a cero. Como resultado, como muestran las dos últimas líneas de Eqs. (100), todo el campo sería cero para cualquiera\(\ k_{z} \neq 0\).

⁵⁶ Matemáticamente, la raíz más baja de la Ec. (142) con\(\ n = 0\) igual a 0. Sin embargo, cedería\(\ k = 0\) y de ahí un campo constante\(\ H_{z}\), que, según la primera de las ecuaciones (121), daría un campo eléctrico que se desvanece.

⁵⁷ Las líneas de campo eléctrico en el\(\ H_{01}\) modo (así como todos los\(\ H_{0 m}\) modos superiores) se dirigen directamente desde el eje de simetría a las paredes, recordando las de las ondas TEM en el cable coaxial. Debido a esta propiedad, estos modos proporcionan, a\(\ \omega>>\omega_{\mathrm{c}}\), pérdidas de energía mucho menores (ver Sec. 9 a continuación) que el\(\ H_{11}\) modo fundamental, y a veces se utilizan en la práctica, a pesar de los inconvenientes de trabajar en el rango de frecuencias multimodo.

⁵⁸ Esta fórmula ignora el hecho de que, según el análisis anterior, algunos modos (con\(\ n = 0\) y\(\ m = 0\) para los\(\ H\) modos, y\(\ n = 0\) o\(\ m = 0\) para los\(\ E\) modos) están prohibidos. Sin embargo, para\(\ N >> 1\), las correcciones asociadas de la Ec. (147) son despreciables.