7.7: Guías de onda dieléctricas, fibras ópticas y haces paraxiales

Ahora vamos a discutir la propagación de ondas electromagnéticas en guías de onda dieléctricas. La guía de ondas de índice escalonado más simple (ver figuras 23b y 25) consiste en un núcleo interno y una cubierta externa (en la jerga de tecnología de fibra óptica, llamada revestimiento) con una mayor velocidad de propagación de onda, es decir, un índice de refracción más bajo:

\[\ \nu_{+}>\nu_{-}, \quad \text { i.e. } n_{+}<n_{-}, \quad k_{+}<k_{-}, \quad \varepsilon_{+} \mu_{+}<\varepsilon_{-} \mu_{-}.\tag{7.148}\]

a la misma frecuencia. (En la mayoría de los casos la diferencia se logra debido a eso en la permitividad eléctrica\(\ \varepsilon_{+}<\varepsilon_{-}\), mientras que magnéticamente ambos materiales son prácticamente pasivos:\(\ \mu_{-} \approx \mu_{+} \approx \mu_{0}\), de manera que sus índices de refracción\(\ n_{\pm}\), definidos por la Ec. (84), están muy cerca de\(\ \left(\varepsilon_{\pm} / \varepsilon_{0}\right)^{1 / 2}\); limitaré mi discusión a esta aproximación. )

La idea básica del funcionamiento de la guía de ondas puede entenderse fácilmente en el límite cuando la longitud de onda\(\ \lambda\) es mucho más pequeña que el tamaño característico\(\ R\) de la sección transversal del núcleo. En este límite de “óptica geométrica”, a las distancias del orden\(\ \lambda\) de la interfaz núcleo a revestimiento, que determina la reflexión de la onda, podemos descuidar la curvatura de la interfaz y aproximar su geometría con un plano. Como sabemos por la Sec. 4, si el ángulo\(\ \theta\) de incidencia de la onda en dicha interfaz es mayor que el valor crítico\(\ \theta_{c}\) especificado por la Ec. (85), la onda se refleja totalmente. Como resultado, las olas lanzadas al núcleo de fibra en tales ángulos de “pastoreo”, se propagan dentro del núcleo, reflejándose repetidamente desde el revestimiento — ver Fig. 25.

Fig. 7.25. Propagación de ondas en una fibra óptica gruesa en\(\ \theta>\theta_{\mathrm{c}}\).

El tipo más importante de guías de onda dieléctricas son las fibras ópticas. ⁵⁹ Debido a un heroico esfuerzo tecnológico durante tres décadas a partir de mediados de la década de 1960, la atenuación de tales fibras se ha reducido de los valores del orden de 20 db/km (típicos de un vidrio de ventana) a los valores fantásticamente bajos de alrededor de 0.2 db/km (lo que significa prácticamente perfecto transparencia de segmentos de fibra de 10 km de largo!) , combinado con la dispersión de onda plana extremadamente baja (“cromática”) a continuación\(\ 10 \mathrm{ps} / \mathrm{km} \cdot \mathrm{nm}\). ⁶⁰ En conjunto con el desarrollo de amplificadores cuánticos económicos basados en erbio, este avance ha permitido ⁶¹ cables ópticos de banda ancha interurbanos e intercontinentales (submarinos), que son la columna vertebral de todas las telecomunicaciones modernas infraestructura.

La única mala noticia es que estos avances se lograron para un solo tipo de materiales (vidrios a base de sílice) ⁶² dentro de un rango muy estrecho de su composición química. Como resultado, las constantes dieléctricas\(\ \kappa_{\pm} \equiv \varepsilon_{\pm} / \varepsilon_{0}\) del revestimiento y el núcleo de las fibras ópticas prácticas son cercanas a 2.2\(\ (n_{\pm}\approx1.5)\) y, por lo tanto, muy cercanas entre sí, de manera que la diferencia relativa de los índices de refracción,

\[\ \Delta \equiv \frac{n_{-}-n_{+}}{n_{-}}=\frac{\varepsilon_{-}^{1 / 2}-\varepsilon_{+}^{1 / 2}}{\varepsilon_{-}^{1 / 2}} \approx \frac{\varepsilon_{-}-\varepsilon_{+}}{2 \varepsilon_{\pm}}\tag{7.149}\]

está típicamente por debajo de 0.5%. Este factor limita el ancho de banda de fibra. De hecho, usemos la imagen geométrico-óptica para calcular el número de modos de onda cuasi-plana que pueden propagarse en la fibra. Para el ángulo complementario (Fig. 25)

\[\ \vartheta \equiv \frac{\pi}{2}-\theta, \quad \text { so that } \sin \theta=\cos \vartheta\tag{7.150}\]

La ecuación (85) da la siguiente condición de propagación:

\[\ \cos \vartheta>\frac{n_{+}}{n_{-}}=1-\Delta.\tag{7.151}\]

En el límite\(\ \Delta<<1\), cuando los ángulos\(\ \theta>\theta_{\mathrm{c}}\) de incidencia de todas las ondas que se propagan están muy cerca\(\ \pi / 2\), y por lo tanto los ángulos complementarios son pequeños, podemos mantener solo dos primeros términos en la expansión Taylor del lado izquierdo de la Ec. (151) y obtener

\[\ \vartheta_{\max }^{2} \approx 2 \Delta.\tag{7.152}\]

(Incluso para el valor de gama alta\(\ \Delta=0.005\), este ángulo crítico es de solo ~0.1 radianes, es decir, cercano a\(\ 5^{\circ}\).) Debido a esta pequeñez, podemos aproximar la componente transversal máxima del vector de onda como

\[\ \left(k_{t}\right)_{\max }=k(\sin \vartheta)_{\max } \approx k \vartheta_{\max } \approx \sqrt{2} k \Delta,\tag{7.153}\]

y utilice la Eq. (147) para calcular el número\(\ N\) de modos de propagación:

\[\ N \approx 2 \frac{\left(\pi R^{2}\right)\left(\pi k^{2} \vartheta_{\max }^{2}\right)}{(2 \pi)^{2}}=(k R)^{2} \Delta.\tag{7.154}\]

Para valores típicos\(\ k=0.73 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}\) (correspondientes a la longitud de onda de espacio libre\(\ \lambda_{0}=n \lambda=2 \pi n / k \approx 1.3\mu m\))\(\ R=25 \mu \mathrm{m}\),, y\(\ \Delta=0.005\), esta fórmula da\(\ N \approx 150\).

Ahora podemos calcular la dispersión geométrica de dicha fibra, es decir, la diferencia de la velocidad de propagación de modo, que comúnmente se caracteriza en términos de la diferencia entre los tiempos de retardo de onda (tradicionalmente medidos en picosegundos por kilómetro) de los modos más rápido y más lento. Dentro de la aproximación óptica geométrica, la diferencia de retardos de tiempo del modo más rápido (con\(\ k_{z}=k\)) y el modo más lento (con\(\ k_{z}=k \sin \theta_{c}\)) a distancia\(\ l\) es

\[\ \Delta t=\Delta\left(\frac{l}{\nu_{z}}\right)=\Delta\left(\frac{k_{z} l}{\omega}\right)=\frac{l}{\omega} \Delta k_{z}=\frac{l}{\nu}\left(1-\sin \theta_{\mathrm{c}}\right)=\frac{l}{\nu}\left(1-\frac{n_{+}}{n_{-}}\right) \equiv \frac{l}{\nu} \Delta.\tag{7.155}\]

Para el ejemplo considerado anteriormente, la velocidad de la onda TEM en el vidrio\(\ \nu=c / n \approx 2 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), y la dispersión geométrica\(\ \Delta t / l\) es cercana\(\ 25 \mathrm{ps} / \mathrm{m}\), es decir, 25,000 ps/km. (Esto significa, por ejemplo, que un pulso de 1-ns, que se distribuye entre los modos, se extendería a un pulso de ~25 ns después de pasar un segmento de fibra de solo 1 km). Este resultado debe compararse con la dispersión cromática mencionada anteriormente, a continuación\(\ 10 \mathrm{ps} / \mathrm{km} \cdot \mathrm{nm}\), que da\(\ d t / l\) es del orden de sólo 1,000 ps/km en toda la banda de comunicación\(\ d\lambda\sim 100 \mathrm{~nm}\). Debido a esta alta dispersión geométrica, tales fibras\(\ (2 R \sim 50 \mathrm{~nm})\) multimodo relativamente gruesas se utilizan para la transferencia de potencia de señales solo a distancias cortas por debajo de ~ 100 m. (Como compensación, pueden llevar una potencia relativamente grande, más allá de 10 mW).

Las telecomunicaciones de largo alcance se basan en fibras monomodo, con núcleos delgados (típicamente con diámetros\(\ 2 R \sim 5 \mu \mathrm{m}\), es decir, del orden de\(\ \lambda / \Delta^{1 / 2}\)). Para tales estructuras, la ecuación (154) rinde\(\ N \sim 1\), pero en este caso la aproximación de óptica geométrica no es cuantitativamente válida, y para el análisis de fibra, deberíamos volver a las ecuaciones de Maxwell. En particular, este análisis debe tomar en cuenta explícitamente la onda evanescente en el revestimiento, ya que su profundidad de penetración puede ser comparable con\(\ R\). ⁶³

Dado que la sección transversal de una fibra óptica carece de paredes metálicas, las ecuaciones de Maxwell que las describen no pueden satisfacerse exactamente con soluciones de onda\(\ H\) Tem-wave, o -mode, o\(\ E\) -mode. En cambio, las fibras pueden portar los llamados\(\ EH\) modos\(\ HE\) y, con ambos vectores H y E teniendo componentes longitudinales simultáneamente. En tales modos,\(\ E_{z}\) tanto como\(\ H_{z}\) dentro del núcleo\(\ (\rho \leq R)\) tienen una forma similar a la ecuación (141):

\[\ f_{-}=f_{l} J_{n}\left(k_{t} \rho\right) \cos n\left(\varphi-\varphi_{0}\right), \quad \text { where } k_{t}^{2}=k_{-}^{2}-k_{z}^{2}>0, \text { and } k_{-}^{2} \equiv \omega^{2} \varepsilon_{-} \mu_{-},\tag{7.156}\]

donde los ángulos constantes\(\ \varphi_{0}\) pueden ser diferentes para cada campo. Por otro lado, para la onda evanescente en el revestimiento, podemos reescribir las ecuaciones (101) como

\[\ \left(\nabla^{2}-\kappa_{t}^{2}\right) f_{+}=0, \quad \text { where } \kappa_{t}^{2} \equiv k_{z}^{2}-k_{+}^{2}>0, \quad \text { and } k_{+}^{2} \equiv \omega^{2} \varepsilon_{+} \mu_{+}.\tag{7.157}\]

La figura 26 ilustra estas relaciones entre\(\ k_{t}, \kappa_{t}, k_{z}\), y\(\ k_\pm\); obsérvese que la siguiente suma,

\[\ k_{t}^{2}+\kappa_{t}^{2}=\omega^{2}\left(\varepsilon_{-}-\varepsilon_{+}\right) \mu_{0}=2 k^{2} \Delta,\quad\quad\quad\quad\text{Universal relation between }k_t \text{ and }\kappa_t\tag{7.158}\]

es fijo (a una frecuencia dada) y, para fibras típicas, es muy pequeño\(\ \left(<<k^{2}\right)\). En particular, la Fig. 26 muestra que ni\(\ k_{t}\) ni\(\ \kappa_t\) puede ser mayor que\(\ \omega\left[\left(\varepsilon_{-}-\varepsilon_{+}\right) \mu_{0}\right]^{1 / 2}=(2 \Delta)^{1 / 2} k\). Esto significa que la profundidad\(\ \delta=1 / \kappa_{t}\) de la penetración de la onda en el revestimiento es al menos\(\ 1 / k(2 \Delta)^{1 / 2}=\lambda / 2 \pi(2 \Delta)^{1 / 2} >> \lambda / 2 \pi\). Es por ello que las capas de revestimiento en prácticas fibras ópticas están hechas tan gruesas como\(\ \sim 50 \mu \mathrm{m}\), de manera que solo una cola insignificantemente pequeña de este campo de ondas evanescentes llega a sus superficies exteriores.

Fig. 7.26. La relación entre los exponentes transversales\(\ k_{t}\) y\(\ \kappa_{t}\) para ondas en fibras ópticas.

En las coordenadas polares, la Ec. (157) se convierte

\[\ \left[\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}-\kappa_{t}^{2}\right] f_{+}=0,\tag{7.159}\]

- la ecuación a comparar con la ecuación (139) para la guía de ondas circular de pared metálica. De la Sec. 2.7 sabemos que las funciones propias de la Ec. (159) son los productos de las funciones seno y coseno de\(\ n \varphi\) por una combinación lineal de las funciones de Bessel modificadas\(\ I_{n}\) y\(\ K_{n}\) mostradas en la Fig. 2.22, ahora del argumento\(\ \kappa_{t} \rho\). Los campos tienen que desaparecer en\(\ \rho \rightarrow \infty\), de modo que solo estas últimas funciones (del segundo tipo) puedan participar en la solución:

\[\ f_{+} \propto K_{n}\left(\kappa_{t} \rho\right) \cos n\left(\varphi-\varphi_{0}\right).\tag{7.160}\]

Ahora tenemos que conciliar las ecuaciones (156) y (160), utilizando las condiciones de contorno en\(\ \rho=R\) para ambos componentes longitudinales y transversales de ambos campos, con los últimos componentes calculados primero usando las ecuaciones (121). Un cálculo tan conceptualmente simple, pero un poco voluminoso (que voy dejando para el ejercicio del lector), arroja un sistema de dos ecuaciones lineales, homogéneas para las amplitudes complejas\(\ E_{l}\) y\(\ H_{l}\), que son compatibles si

\[\ \left(\frac{k_{-}^{2}}{k_{t}} \frac{J_{n}^{\prime}}{J_{n}}+\frac{k_{+}^{2}}{\kappa_{t}} \frac{K_{n}^{\prime}}{K_{n}}\right)\left(\frac{1}{k_{t}} \frac{J_{n}^{\prime}}{J_{n}}+\frac{1}{\kappa_{t}} \frac{K_{n}^{\prime}}{K_{n}}\right)=\frac{n^{2}}{R^{2}}\left(\frac{k_{-}^{2}}{k_{t}^{2}}+\frac{k_{+}^{2}}{\kappa_{t}^{2}}\right)\left(\frac{1}{k_{t}^{2}}+\frac{1}{\kappa_{t}^{2}}\right),\tag{7.161}\]

donde los signos primos (como una rara excepción en esta serie) denotan las derivadas de cada función sobre su argumento completo:\(\ k_{t} \rho\) para\(\ J_{n}\), y\(\ \kappa_{t} \rho\) para\(\ K_{n}\).

Para cualquier frecuencia dada\(\ \omega\), el sistema de ecuaciones (158) y (161) determina los valores de\(\ k_{t}\) y\(\ \kappa_{t}\), y por lo tanto\(\ k_{z}\). En realidad, para cualquiera\(\ n > 0\), este sistema proporciona dos soluciones diferentes: una correspondiente a la llamada\(\ HE\) onda, con una relación mayor\(\ \mathrm{E}_{z} / \mathrm{H}_{z}\), y la\(\ EH\) onda, con un valor menor de esa relación. Para los modos angular-simétricos con\(\ n = 0\) (para los cuales podríamos esperar ingenuamente la frecuencia de corte más baja), las ecuaciones pueden ser satisfechas por los campos que tienen solo un componente longitudinal distinto de cero (cualquiera\(\ E_{z}\) o\(\ H_{z}\)), de modo que los\(\ HE\) modos son las\(\ E\) ondas habituales, mientras que los\(\ EH\) modos son las\(\ H\) olas. Para los\(\ H\) modos, la ecuación característica se reduce al requisito de que la expresión en el segundo paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación (161) sea igual a cero. Usando las identidades de la función de Bessel\(\ J_{0}^{\prime}=-J_{1}\) y\(\ K_{0}^{\prime}=-K_{1}\), esta ecuación puede ser reescrita de una forma más simple:

\[\ \frac{1}{k_{t}} \frac{J_{1}\left(k_{t} R\right)}{J_{0}\left(k_{t} R\right)}=-\frac{1}{\kappa_{t}} \frac{K_{1}\left(\kappa_{t} R\right)}{K_{0}\left(\kappa_{t} R\right)}.\tag{7.162}\]

Usando la relación universal entre\(\ k_{t}\) y\(\ \kappa_{t}\) dada por la Ec. (158), podemos trazar ambos lados de la ecuación (162) como funciones del mismo argumento, digamos,\(\ \xi \equiv k_{t} R\) — ver Fig. 27.

Fig. 7.27. Dos lados de la ecuación característica (162), trazados como funciones de\(\ k_{t} R\), para dos valores de su parámetro adimensional:\(\ \mathscr{V}=8\) (línea azul) y\(\ \mathscr{V}=3\) (línea roja). Obsérvese que de acuerdo con la Ec. (158), el argumento de las funciones\(\ K_{0}\) y\(\ K_{1}\) es\(\ \kappa_{t} R=\left[\mathscr{V}^{2}-\left(k_{t} R\right)^{2}\right]^{1 / 2} \equiv\left(\mathscr{V}^{2}-\xi^{2}\right)^{1 / 2}\).

El lado derecho de la Ec. (162) depende no solo de\(\ \xi\), sino también del parámetro adimensional\(\ \mathscr{V}\) definido como el lado derecho normalizado de la ecuación (158):

\[\ \mathscr{V}^{2} \equiv \omega^{2}\left(\varepsilon_{-}-\varepsilon_{+}\right) \mu_{0} R^{2} \approx 2 \Delta k_{\pm}^{2} R^{2}.\tag{7.163}\]

(De acuerdo con la Ec. (154)\(\ \mathscr{V}>>1\), si, da el doble\(\ N\) del número de los modos de fibra — la conclusión confirmada por la Fig. 27, tomando en cuenta que describe sólo los\(\ H\) modos.) Dado que la relación\(\ K_{1} / K_{0}\) es positiva para todos los valores del argumento de las funciones (véase, por ejemplo, el panel derecho de la Fig. 2.22), el lado derecho de la ecuación (162) siempre es negativo, de modo que la ecuación puede tener soluciones solo en los intervalos donde la relación\(\ J_{1} / J_{0}\) es negativa, es decir, at

\[\ \xi_{01}<k_{t} R<\xi_{11}, \quad \xi_{02}<k_{t} R<\xi_{12}, \ldots,\tag{7.164}\]

donde\(\ \xi_{n m}\) está el\(\ m\) -ésimo cero de la función\(\ J_{n}(\xi)\) — ver Tabla 2.1. El lado derecho de la ecuación característica (162) diverge en\(\ \kappa_{t} R \rightarrow 0\), es decir, at\(\ k_{t} R \rightarrow \mathscr{V}\), de manera que no son posibles soluciones si\(\ \mathscr{V}\) está por debajo del valor crítico\(\ \mathscr{V}_{\mathrm{c}}=\xi_{01} \approx 2.405\). En este punto de corte, la Ec. (163) rinde\(\ k_{\pm} \approx \xi_{01} / R(2 \Delta)^{1 / 2}\). Por lo tanto, la frecuencia de corte del\(\ H\) modo más bajo corresponde a la longitud de onda TEM

\[\ \lambda_{\max }=\frac{2 \pi R}{\xi_{01}}(2 \Delta)^{1 / 2} \approx 3.7 R \Delta^{1 / 2}.\tag{7.165}\]

Para parámetros típicos\(\ \Delta=0.005\) y\(\ R=2.5 \mu \mathrm{m}\), este resultado rinde\(\ \lambda_{\max } \sim 0.65 \mu \mathrm{m}\), correspondiente a la longitud de onda del espacio libre\(\ \lambda_{0} \sim 1 \mu \mathrm{m}\). Un análisis similar de los primeros paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación (161) muestra que at\(\ \Delta \rightarrow 0\), la frecuencia de corte para los\(\ E\) modos es similar.

Esta situación puede verse exactamente así en las guías de onda de pared metálica, sin ondas posibles a frecuencias por debajo\(\ \omega_{\mathrm{c}}\), pero esto no es así. La razón básica de la diferencia es que en las guías de onda metálicas, el acercamiento a\(\ \omega_{\mathrm{c}}\) los resultados en la divergencia de la longitud de onda longitudinal\(\ \lambda_{z} \equiv 2 \pi / k_{z}\). Por otro lado, en las guías de onda dieléctricas, el acercamiento sale\(\ \lambda_{z}\) finito\(\ \left(k_{z} \rightarrow k_{+}\right)\). Debido a esta diferencia, una cierta superposición lineal de\(\ HE\) y\(\ EH\) modos con\(\ n = 1\) puede propagarse a frecuencias muy por debajo de la frecuencia de corte para\(\ n = 0\), que acabamos de calcular. ⁶⁴ Este modo, en el límite\(\ \varepsilon_{+} \approx \varepsilon_{-}\) (i.e.\(\ \Delta<<1\)) permite una descripción muy interesante y sencilla utilizando los componentes cartesianos (en lugar de polares) de los campos, pero aún expresados como funciones de las coordenadas polares\(\ \rho\) y\(\ \varphi\). La razón es que este modo está muy cerca de una onda TEM polarizada linealmente. (Por esta razón, este modo se conoce como\(\ L P_{01}\).)

Seleccionemos el eje x paralelo a la componente transversal del vector de campo magnético en\(\ \rho=0\), de modo que\(\ \left.E_{x}\right|_{\rho=0}=0\), pero\(\ \left.E_{y}\right|_{\rho=0} \neq 0\), y\(\ H_{x\mid \rho=0} \neq 0\), pero\(\ H_{y\mid \rho=0} =0\). Las únicas soluciones adecuadas de la ecuación 2D de Helmholtz (que deben ser obedecidas no solo por los componentes z del campo, sino también por sus componentes x e y) son proporcionales a\(\ J_{0}\left(k_{t} \rho\right)\), con coeficientes cero para\(\ E_{x}\) y\(\ H_{y}\).

Ahora podemos usar las dos últimas ecuaciones de Ecuaciones (100) para calcular los componentes longitudinales de los campos:

\[\ E_{z}=\frac{1}{-i k_{z}} \frac{\partial E_{y}}{\partial y}=-i \frac{k_{t}}{k_{z}} E_{0} J_{1}\left(k_{t} \rho\right) \sin \varphi, \quad H_{z}=\frac{1}{-i k_{z}} \frac{\partial H_{x}}{\partial x}=-i \frac{k_{t}}{k_{z}} H_{0} J_{1}\left(k_{t} \rho\right) \cos \varphi,\tag{7.167}\]

donde he utilizado las siguientes identidades matemáticas:\(\ J^{\prime}{ }_{0}=-J_{1}, \partial \rho / \partial x=x / \rho=\cos \varphi\), y\(\ \partial \rho / \partial y=y / \rho =\sin\varphi\). Como comprobación de cordura, vemos que el componente longitudinal o cada campo es un (¡legítimo!) función propia del tipo (141), con\(\ n = 1\). Obsérvese también que si\(\ k_{t}<<k_{z}\) (esta relación es siempre verdadera si\(\ \Delta<<1\) — ver ya sea la Ec. (158) o la Fig. 26), los componentes longitudinales de los campos son mucho más pequeños que sus contrapartes transversales, de manera que la onda en efecto está muy cerca de la TEM. Debido a eso, la relación de las amplitudes de campo eléctrico y magnético también es cercana a la de la onda TEM:\(\ E_{0} / H_{0} \approx Z_{-} \approx Z_{+}\).

Ahora para satisfacer las condiciones de contorno en la interfaz de núcleo a revestimiento (\(\ \rho=R\)), necesitamos tener una dependencia angular similar de estos componentes en\(\ \rho \geq R\). Los componentes longitudinales de los campos son tangenciales a la interfaz y por lo tanto deben ser continuos. Usando las soluciones similares a la Eq. (160) con\(\ n = 1\), obtenemos

\[\ E_{z}=-i \frac{k_{t}}{k_{z}} \frac{J_{1}\left(k_{t} R\right)}{K_{1}\left(\kappa_{t} R\right)} E_{0} K_{1}\left(\kappa_{t} \rho\right) \sin \varphi, \quad H_{z}=-i \frac{k_{t}}{k_{z}} \frac{J_{1}\left(k_{t} R\right)}{K_{1}\left(\kappa_{t} R\right)} H_{0} K_{1}\left(\kappa_{t} \rho\right) \cos \varphi, \quad \text { for } \rho \geq R.\tag{7.168}\]

Para los componentes transversales, debemos requerir la continuidad del campo magnético normal\(\ \mu H_{n}\), para nuestra estructura de campo simple igual a justa\(\ \mu H_{x} \cos \varphi\), del campo eléctrico tangencial\(\ E_{\tau}=E_{y} \sin \varphi\), y del componente normal de\(\ D_{n}=\varepsilon E_{n}=\varepsilon E_{y} \cos \varphi\). Suponiendo que\(\ \mu_{-}=\mu_{+}=\mu_{0}\), y\(\ \varepsilon_{+} \approx \varepsilon_{-}\). ⁶⁵ podemos satisfacer estas condiciones con las siguientes soluciones:

\[\ E_{x}=0, \quad E_{y}=\frac{J_{0}\left(k_{t} R\right)}{K_{0}\left(\kappa_{t} R\right)} E_{0} K_{0}\left(\kappa_{t} \rho\right), \quad H_{x}=\frac{J_{0}\left(k_{t} R\right)}{K_{0}\left(k_{t} R\right)} H_{0} K_{0}\left(\kappa_{t} \rho\right), \quad H_{y}=0, \quad \text { for } \rho \geq R.\tag{7.169}\]

A partir de aquí, podemos calcular componentes a partir de\(\ E_{z}\) y\(\ H_{z}\), utilizando el mismo enfoque que para\(\ \rho \leq R\):

\ [\\ begin {alineado}
&E_ {z} =\ frac {1} {-i k_ {z}}\ frac {\ parcial E_ {y}} {\ parcial y} =-i\ frac {\ kappa_ {t}} {k_ {z}}\ frac {J_ {0}\ izquierda (k_ {t} R\ derecha)} {K_ {0}\ izquierda (\ kappa_ {t} R\ derecha)} E_ {0} K_ {1}\ izquierda (\ kappa_ {t}\ rho\ derecha)\ sin\ varphi,\\
&H_ {z} =\ frac {1} {-i k_ {z}}\ frac {\ parcial H_ {x} } {\ parcial x} =-i\ frac {\ kappa_ {t}} {k_ {z}}\ frac {J_ {0}\ izquierda (k_ {t} R\ derecha)} {K_ {0}\ izquierda (\ kappa_ {t} R\ derecha)} H_ {0} K_ {1}\ izquierda (\ kappa_ {t}\ rho\ derecha)\ cos\ varphi,\ quad\ texto {para}\ rho\ geq R.
\ end {alineado}\ tag {7.170}\]

Estas relaciones proporcionan la misma dependencia funcional de los campos que las ecuaciones (167), es decir, los campos interno y externo son compatibles, pero sus amplitudes en la interfaz coinciden solo si

\[\ LP_{01}\text{ mode: characteristic equation}\quad\quad\quad\quad k_{t} \frac{J_{1}\left(k_{t} R\right)}{J_{0}\left(k_{t} R\right)}=\kappa_{t} \frac{K_{1}\left(\kappa_{t} R\right)}{K_{0}\left(\kappa_{t} R\right)}.\tag{7.171}\]

Esta ecuación característica (que también puede derivarse de la ecuación (161) con\(\ n = 1\) en el límite\(\ \Delta \rightarrow 0\)) parece cercana a la ecuación (162), pero funcionalmente es muy diferente de ella — ver Fig. 28. En efecto, su lado derecho siempre es positivo, y el lado izquierdo tiende a cero en\(\ k_{t} R \rightarrow 0\). Como resultado, la Ec. (171) puede tener una solución para valores pequeños arbitrarios del parámetro\(\ \mathscr{V}\) definido por la ecuación (163), es decir, para bajas frecuencias arbitrarias (longitudes de onda grandes). Es por ello que este modo se utiliza en prácticas fibras monomodo: no hay otros modos con longitud de onda mayor que la\(\ \lambda_{\max }\) dada por la Eq. (165), de manera que no pueden excitarse involuntariamente en pequeñas inhomogeneidades de la fibra.

Fig. 7.28. Dos lados de la ecuación característica (171) para el\(\ L P_{01}\) modo, trazados en función de\(\ k_{t} R\), para dos valores del parámetro adimensional:\(\ \mathscr{V}=8\) (línea azul) y\(\ \mathscr{V}=1\) (línea roja).

Es fácil usar las aproximaciones de la función Bessel por los primeros términos de las expansiones de Taylor (2.132) y (2.157) para mostrar que en el límite\(\ \mathscr{V} \rightarrow 0\),\(\ \kappa_{t} R\) tiende a cero mucho más rápido que\(\ k_{t} R \approx \mathscr { V }: \kappa_{t} R \rightarrow2\text{exp} \{-1/\mathscr { V }\}<<\mathscr { V }\). Esto significa que la escala\(\ \rho_{c} \equiv 1 / \kappa_{t}\) de la distribución radial de los campos de la\(\ L P_{01}\) ola en el revestimiento se vuelve muy grande. En este límite, este modo puede interpretarse como una onda prácticamente TEM que se propaga en el revestimiento, apenas ligeramente deformada (y guiada) por el núcleo de la fibra. El inconveniente de esta característica es que requiere un revestimiento muy grueso, para evitar pérdidas de energía en sus capas externas (“buffer” y “jacket”) que defienden las capas de sílice de los elementos, pero carecen de su baja absorción óptica. Por esta razón, el radio del núcleo generalmente se selecciona de manera que el parámetro\(\ \mathscr{V}\) sea ligeramente menor que el valor crítico\(\ \mathscr{V}_{\mathrm{c}}=\xi_{01} \approx 2.4\) para los modos más altos, asegurando así el funcionamiento monomodo.

Para reducir la dispersión del campo en el revestimiento, las fibras de índice escalonado discutidas anteriormente pueden ser reemplazadas por fibras de índice gradual\(\ \varepsilon\) cuya constante dieléctrica disminuye gradual y lentamente desde el centro hasta la periferia. ⁶⁶ Manteniendo solo los dos términos principales en la expansión Taylor de la función\(\ \varepsilon(\rho)\) en\(\ \rho=0\), podemos aproximarnos tal reducción como

\[\ \varepsilon(\rho) \approx \varepsilon(0)\left(1-\zeta \rho^{2}\right),\tag{7.172}\]

donde\(\ \zeta \equiv-\left[\left(d^{2} \varepsilon / d \rho^{2}\right) / 2 \varepsilon\right]_{\rho=0}\) es una constante positiva que caracteriza el gradiente de composición de la fibra. ⁶⁷ Además, si esta constante es suficientemente pequeña\(\ \left(\zeta << k^{2}\right)\), la distribución del campo a través de la sección transversal de la fibra puede describirse mediante la misma ecuación 2D de Helmholtz (101), pero con un vector de onda transversal dependiente del espacio: ⁶⁸

\ [\\ comenzar {alineado}
\ izquierda [\ nabla_ {t} ^ {2} +k_ {t} ^ {2} (\ rho)\ derecha] f=0,\\
\ texto {donde}\\
k_ {t} ^ {2} (\ rho) =k^ {2} (\ rho) -k_ {z} ^ {2}\ equiv k_ t} ^ {2} (0) -k^ {2} (0)\ zeta\ rho^ {2},\ quad\ texto {y} k^ {2} (0)\ equiv\ omega^ {2}\ varepsilon (0)\ mu_ {0}.
\ end {alineado}\ tag {7.173}\]

Sorprendentemente para tal problema axialmente simétrico, debido a su especial dependencia del radio, esta ecuación puede resolverse más fácilmente en las coordenadas cartesianas. En efecto, reescribirlo como

\[\ \left[\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+k_{t}^{2}(0)-k^{2}(0) \zeta\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] f=0,\tag{7.174}\]

y separando las variables como\(\ f=X(x) Y(y)\), obtenemos

\[\ \frac{1}{X} \frac{d^{2} X}{d x^{2}}+\frac{1}{Y} \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}+k_{t}^{2}(0)-k^{2}(0) \zeta\left(x^{2}+y^{2}\right)=0,\tag{7.175}\]

para que las funciones\(\ X\) y\(\ Y\) obedezcan ecuaciones diferenciales similares, por ejemplo

\[\ \frac{d^{2} X}{d x^{2}}+\left[k_{x}^{2}-k^{2}(0) \zeta x^{2}\right] X=0,\tag{7.176}\]

con las constantes de separación satisfaciendo la siguiente condición:

\[\ k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=k_{t}^{2}(0) \equiv k^{2}(0)-k_{z}^{2}.\tag{7.177}\]

La ecuación diferencial ordinaria (176) es bien conocida por la mecánica cuántica elemental, porque la ecuación estacionaria de Schrödinger para uno de los sistemas cuánticos básicos más importantes, un oscilador armónico 1D, puede ser reescrita de esta forma. Sus valores propios son muy simples:

\[\ \left(k_{x}^{2}\right)_{n}=k(0) \zeta^{1 / 2}(2 n+1), \quad\left(k_{y}^{2}\right)_{m}=k(0) \zeta^{1 / 2}(2 m+1), \quad \text { with } n, m=0,1,2, \ldots,\tag{7.178}\]

pero las funciones propias correspondientes\(\ X_{n}(x)\) y\(\ Y_{m}(y)\) se expresan a través de funciones no del todo elementales, los polinomios hermitas. ⁶⁹ Para la mayoría de los propósitos prácticos, sin embargo, las funciones propias más bajas\(\ X_{0}(x)\) y\(\ Y_{0}(y)\) son suficientes, porque corresponden a las más bajas\(\ k_{x, y}\), y por ende las más bajas

\[\ \left[k_{t}^{2}(0)\right]_{\min }=\left(k_{x}^{2}\right)_{0}+\left(k_{y}^{2}\right)_{0}=2 k(0) \zeta^{1 / 2},\tag{7.179}\]

y la frecuencia de corte más baja. Como puede verificarse fácilmente mediante la sustitución a la Ec. (176), las funciones propias correspondientes a este modo fundamental también son simples:

\[\ X_{0}(x)=\text { const } \times \exp \left\{-\frac{k(0) \zeta^{1 / 2} x^{2}}{2}\right\},\tag{7.180}\]

y de manera similar para\(\ Y_{0}(y)\), de modo que la distribución de campos siga la función gaussiana

\[\ f_{0}(\rho)=f_{0}(0) \exp \left\{-\frac{k(0) \zeta^{1 / 2} \rho^{2}}{2}\right\} \equiv f_{0}(0) \exp \left\{-\frac{\rho^{2}}{2 a^{2}}\right\}, \quad \text { with } a \equiv 1 / k^{1 / 2}(0) \zeta^{1 / 4},\tag{7.181}\]

donde\(\ a >> 1 / k(0)\) tiene el sentido del ancho efectivo de la extensión del campo en la dirección radial, normal al eje de propagación de la onda\(\ z\). Este es el llamado haz gaussiano, muy conveniente para algunas aplicaciones.

El haz gaussiano (181) es solo un ejemplo de los llamados haces paraxiales, que pueden representarse como resultado de la modulación de una onda plana con un número de onda\(\ k\), mediante una función envolvente axialmente simétrica\(\ f(\rho)\), donde\(\ \rho \equiv\{x, y\}\), con un radio efectivo relativamente grande\(\ a >> 1 / k\). ⁷⁰ Tales haces me dan una oportunidad conveniente para cumplir la promesa hecha en la Sec. 1: calcular el momento angular L de una onda polarizada circularmente, propagándose en el espacio libre, y demostrar su relación fundamental con la energía de la ola\(\ U\). Partimos del cálculo de\(\ U\) para un haz paraxial (con una envolvente arbitraria, pero espacialmente localizada\(\ f\)) de las ondas polarizadas circularmente, con los componentes del campo eléctrico transversal dados por la Ec. (19):

\[\ E_{x}=E_{0} f(\rho) \cos \psi, \quad E_{y}=\mp E_{0} f(\rho) \sin \psi,\tag{7.182a}\]

donde\(\ E_{0}\) está la amplitud real del campo eléctrico de la onda en el eje de propagación,\(\ \psi \equiv k z-\omega t+\varphi\) es su fase total, y los dos signos corresponden a dos posibles direcciones de la polarización circular. ⁷¹ Según la Ec. (6), los componentes transversales correspondientes del campo magnético son

\[\ H_{x}=\pm \frac{E_{0}}{Z_{0}} f(\rho) \sin \psi, \quad H_{y}=\frac{E_{0}}{Z_{0}} f(\rho) \cos \psi.\tag{7.182b}\]

Estas expresiones son suficientes para calcular la densidad de energía (6.113) de la onda, ⁷²

\[\ u=\frac{\varepsilon_{0}\left(E_{x}^{2}+E_{y}^{2}\right)}{2}+\frac{\mu_{0}\left(H_{x}^{2}+H_{y}^{2}\right)}{2}=\frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2} f^{2}}{2}+\frac{\mu_{0} E_{0}^{2} f^{2}}{2 Z_{0}^{2}} \equiv \varepsilon_{0} E_{0}^{2} f^{2},\tag{7.183}\]

y por lo tanto la energía total (por unidad de longitud en la dirección\(\ z\) de propagación de la onda) del haz:

\[\ U=\int u d^{2} r \equiv 2 \pi \int_{0}^{\infty} u \rho d \rho=2 \pi \varepsilon_{0} E_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} f^{2} \rho d \rho.\tag{7.184}\]

Sin embargo, los campos transversales (182) son insuficientes para calcular un promedio distinto de cero de L. De hecho, siguiendo la definición del momento angular en mecánica, ⁷³\(\ \mathbf{L} \equiv \mathbf{r} \times \mathbf{p}\), donde p es el momento (lineal) de una partícula, podemos usar la ecuación (6.115) para la densidad g del momento del campo electromagnético en el
espacio libre, para definir el ángulo del campo densidad de impulso como

\[\ \mathbf{I} \equiv \mathbf{r} \times \mathbf{g} \equiv \frac{1}{c^{2}} \mathbf{r} \times \mathbf{S} \equiv \frac{1}{c^{2}} \mathbf{r} \times(\mathbf{E} \times \mathbf{H}).\quad\quad\quad\quad \text{EM field’s angular momentum}\tag{7.185}\]

Usemos la regla familiar bac menos cab del álgebra vectorial ⁷⁴ para transformar esta expresión en

\[\ \mathbf{I}=\frac{1}{c^{2}}[\mathbf{E}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{H})-\mathbf{H}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{E})] \equiv \frac{1}{c^{2}}\left\{\mathbf{n}_{z}\left[E_{z}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{H})-H_{z}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{E})\right]+\left[\mathbf{E}_{t}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{H})-\mathbf{H}_{t}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{E})\right]\right\}.\tag{7.186}\]

Si el campo es puramente transversal\(\ \left(E_{z}=H_{z}=0\right)\), como está en una onda estrictamente plana, los primeros corchetes en la última expresión desaparecen, mientras que el segundo corchete da un componente azimutal de l, que oscila en el tiempo, y desaparece en su tiempo promediando. (Esta es exactamente la razón por la que no he intentado calcular L en nuestra primera discusión sobre las ondas polarizadas circularmente en la Sec. 1.)

Afortunadamente, nuestra discusión sobre las fibras ópticas, en particular, la derivación de las ecuaciones (167), (168) y (170), nos da una pista clara sobre cómo resolver esta paradoja. Si la función envolvente\(\ f(\rho)\) difiere de una constante, los componentes de onda transversal (182) por sí solos no satisfacen las ecuaciones de Maxwell (2b), que requieren componentes longitudinales\(\ E_{z}\) y\(\ H_{z}\) de los campos, con ⁷⁵

\[\ \frac{\partial E_{z}}{\partial z}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial x}-\frac{\partial E_{y}}{\partial y}, \quad \frac{\partial H_{z}}{\partial z}=-\frac{\partial H_{x}}{\partial x}-\frac{\partial H_{y}}{\partial y}.\tag{7.187}\]

Sin embargo, como muestran estas expresiones, si la función envolvente\(\ f\) cambia muy lentamente en el sentido\(\ df/d\rho \sim f/a<<k f\), los componentes longitudinales son muy pequeños y no tienen un efecto posterior sobre los componentes transversales. De ahí que el cálculo anterior de siga\(\ U\) siendo válido (asintóticamente, at\(\ k a \rightarrow 0\)), y aún podemos usar las ecuaciones (182) en el lado derecho de las ecuaciones (187),

\[\ \frac{\partial E_{z}}{\partial z}=E_{0}\left(-\frac{\partial f}{\partial x} \cos \psi \pm \frac{\partial f}{\partial x} \sin \psi\right), \quad \frac{\partial H_{z}}{\partial z}=\frac{E_{0}}{Z_{0}}\left(\mp \frac{\partial f}{\partial x} \sin \psi-\frac{\partial f}{\partial x} \cos \psi\right),\tag{7.188}\]

e integrarlos\(\ z\) como

\ [\\ comenzar {alineado}
E_ {z} &=E_ {0}\ int\ izquierda (-\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ cos\ psi\ pm\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ sin\ psi\ derecha) d z=\ frac {E_ {0}} {k}\ izquierda (-\ frac {\ parcial f}\ x parcial}\ int\ cos\ psi d\ psi\ pm\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ int\ sin\ psi d\ psi\ psi\ derecha)\\
&\ equiv\ frac {E_ {0}} {k}\ izquierda (-\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ sin\ psi\ mp\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ cos\ psi\ derecha).
\ end {alineado}\ tag {7.189a}\]

Aquí la constante de integración se toma para cero, porque ningún componente de campo de onda puede tener una parte independiente del tiempo. Integrando, absolutamente de manera similar, la segunda de las ecuaciones (188), obtenemos

\[\ H_{z}=\frac{E_{0}}{k Z_{0}}\left(\pm \frac{\partial f}{\partial x} \cos \psi-\frac{\partial f}{\partial y} \sin \psi\right).\tag{7.189b}\]

Con la misma aproximación, podemos calcular el\(\ (z-)\) componente longitudinal de l, dado por el primer término de la Ec. (186), manteniendo solo los campos transversales dominantes (182) en los productos escalares:

\[\ l_{z}=E_{z}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{H}_{t}\right)-H_{z}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{E}_{t}\right) \equiv E_{z}\left(x H_{x}+y H_{y}\right)-H_{z}\left(x E_{x}+y E_{y}\right).\tag{7.190}\]

Enchufar las Eqs. (182) y (189), y tomando en cuenta que en el espacio libre,\(\ k=\omega / c\), y de ahí\(\ 1 / Z_{0} c^{2} k=\varepsilon_0/\omega\), obtenemos:

\[\ l_{z}=\mp \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{\omega}\left(x f \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \equiv \mp \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{2 \omega}\left[x \frac{\partial\left(f^{2}\right)}{\partial x}+y \frac{\partial\left(f^{2}\right)}{\partial y}\right] \equiv \mp \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{2 \omega} \rho \cdot \nabla\left(f^{2}\right) \equiv \mp \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{2 \omega} \rho \frac{d\left(f^{2}\right)}{d \rho}.\tag{7.191}\]

De ahí que el momento angular total de la viga (por unidad de longitud), es

\[\ L_{z}=\int l_{z} d^{2} r \equiv 2 \pi \int_{0}^{\infty} l_{z} \rho d \rho=\mp \pi \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{\omega} \int_{0}^{\infty} \rho^{2} \frac{d\left(f^{2}\right)}{d \rho} d \rho \equiv \mp \pi \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{\omega} \int_{\rho=0}^{\rho=\infty} \rho^{2} d\left(f^{2}\right).\tag{7.192}\]

Tomando esta integral por partes, con la suposición de que\(\ \rho f \rightarrow 0\) en\(\ \rho \rightarrow 0\) y\(\ \rho \rightarrow \infty\) (en es cierto para el haz gaussiano (181) y todos los haces paraxiales realistas), finalmente obtenemos

\[\ L_{z}=\pm \pi \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{\omega} \int_{0}^{\infty} f^{2} d\left(\rho^{2}\right) \equiv \pm 2 \pi \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{\omega} \int_{0}^{\infty} f^{2} \rho d \rho.\tag{7.193}\]

Ahora comparando esta expresión con Eq, (184), vemos que notablemente, la relación\(\ L_{z} / U\) no depende de la forma y el ancho del haz (y por supuesto de la amplitud de la onda\(\ E_{0}\)), por lo que estos parámetros están relacionados de manera muy simple y universal:

\[\ L_{z}=\pm \frac{U}{\omega}.\quad\quad\quad\quad \text{Angular momentum at circular polarization}\tag{7.194}\]

Dado que esta relación es válida en el límite plano-onda\(\ a \rightarrow \infty\), puede atribuirse también a las ondas planas, entendiendo que en la vida real siempre tienen alguna restricción de ancho (“apertura”).

Como el lector ciertamente sabe, en mecánica cuántica las excitaciones de energía de cualquier oscilador armónico de frecuencia\(\ \omega\) se cuantifican en las unidades de\(\ \hbar \omega\), mientras que el momento angular interno de una partícula se cuantifica en las unidades de\(\ s \hbar\), donde\(\ s\) está su giro. En este contexto, la relación clásica (194) se utiliza en la electrodinámica cuántica como base para tratar los cuantos de excitación del campo electromagnético (fotones) como algún tipo de partículas cuánticas con espín\(\ s = 1\). (Tal giro entero también se ajusta a las estadísticas de Bose-Einstein de la radiación electromagnética).

Desafortunadamente, no tengo tiempo para una discusión más profunda sobre la física (muy interesante) de los haces paraxiales, pero no puedo evitar notar, al menos de pasada, el efecto muy curioso de las ondas helicoidales —los haces que llevan no sólo el impulso de “giro” (194), sino también un impulso angular “orbital” adicional. La distribución de su energía en el espacio no es monótona, como lo es en el haz gaussiano (181), sino que recuerda varios hilos retorcidos alrededor del eje de propagación —de ahí el término “helicoidal”. ⁷⁶ Matemáticamente, su estructura de campo es descrita por los polinomios asociados de Laguerre, las mismas funciones especiales que se utilizan para la descripción cuántico-mecánica de átomos similares a hidrógeno. ⁷⁷ Actualmente hay esfuerzos para utilizar dichos haces para la llamada multiplexación de momento angular orbital (OAM) para la transmisión de información de alta velocidad. ⁷⁸

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Referencia

⁵⁹ Para una discusión integral de esta tecnología vital ver, e.g., A. Yariv y P. Yeh, Photonics, ⁶ ed., Oxford U. Press, 2007.

⁶⁰ Ambos parámetros tienen los mejores valores no en el rango de luz visible (con longitudes de onda de 380 a 740 nm), sino en el infrarrojo cercano, con la atenuación más baja entre aproximadamente 1,500 y 1,630 nm. Como resultado, la mayoría de los sistemas de comunicación modernos utilizan dos ventanas espectrales: la llamada banda C (1,530-1,565 nm) y la banda L (1,570-1,610 nm).

⁶¹ Cada una de las bandas espectrales mencionadas anteriormente, en una relación señal-ruido típica\(\ S / N>10^{5}\), corresponde al ancho de banda Shannon\(\ \Delta f \log _{2}(S / N)\) superior a 10 ¹⁴ bits por segundo, unos cinco órdenes de magnitud (!) más alto que el de un cable Ethernet moderno. El ancho de banda prácticamente utilizable de cada fibra es algo menor, pero un cable óptico típico, con muchas fibras en paralelo, tiene un ancho de banda agregado proporcionalmente mayor. Un ejemplo reciente (circa 2017) es el cable transatlántico de banda C (6,600-km de largo) Marea, con ocho pares de fibras y un ancho de banda utilizable agregado de 160 terabits por segundo.

⁶² Las fibras a base de silicio fueron desarrolladas en 1966 por un grupo de investigación industrial liderado por Charles Kao (quien compartió el Premio Nobel de Física 2009), pero la idea misma de usar fibras ópticas para comunicaciones de largo alcance se remonta al menos a la obra de 1963 de Jun-ichi Nishizawa, quien también inventó los láseres semiconductores.

⁶³ El siguiente análisis cuantitativo de las fibras monomodo es muy valioso, tanto para la práctica como como un muy buen ejemplo de la solución de ecuaciones de Maxwell. No obstante, sus resultados no serán utilizados en las siguientes partes del curso, de manera que si el lector no está interesado en este tema, podrá saltar de manera segura al texto siguiente a la Ec. (181). (Creo que la discusión del momento angular de la radiación electromagnética, a partir de ese punto, es obligatoria para todo físico profesional.)

⁶⁴ Este hecho se vuelve menos sorprendente si recordamos que en la guía de ondas metálica circular, discutida en la Sec. 6, el modo fundamental (\(\ H_{11}\), ver Fig. 23) también correspondía a\(\ n = 1\) más que\(\ n = 0\).

⁶⁵ Es la suposición central de esta teoría aproximada, la que da cuenta únicamente del efecto más importante de la pequeña diferencia de las constantes dieléctricas\(\ \varepsilon_{+}\) y\(\ \varepsilon_{-}\): los signos opuestos de las diferencias\(\ \left(k_{+}^{2}-k_{\mathrm{z}}^{2}\right)=k_{t}^{2}\) y\(\ (k_{-}^2-k_{\mathrm{Z}}^{2})=-\kappa_{t}^{2}\). Para mayor discusión sobre la exactitud de esta aproximación y algunos resultados exactos, permítanme remitir al lector interesado ya sea a la monografía de A. Snyder y D. Love, Optical Waveguide Theory, Chapman y Hill, 1983, o al Capítulo 3 y Apéndice B en la monografía de Yariv y Yeh, que fue citada anteriormente.

⁶⁶ Debido a la dificultad de fabricación de fibras de índice graduado con atenuación de onda por debajo de unos pocos dm/km, no se utilizan tan ampliamente como las de índice escalonado.

⁶⁷ Para una función suave axialmente simétrica\(\ \varepsilon(\rho)\), la primera derivada\(\ d \varepsilon / d \rho\) siempre desaparece en\(\ \rho=0\), de modo que la Ec. (172) no tiene un término lineal en\(\ \rho\).

⁶⁸ Este enfoque no es válido en arbitrario (grande)\(\ \zeta\) porque en las ecuaciones macroscópicas de Maxwell,\(\ \varepsilon(\mathbf{r})\) está bajo el signo de diferenciación, y las ecuaciones exactas de tipo Helmholtz para campos tienen términos adicionales que contienen\(\ \nabla \varepsilon\).

⁶⁹ Véase, e.g., QM Sec. 2.9.

⁷⁰ Obsérvese que propagándose en un medio uniforme, es decir, fuera de las fibras de índice de grado u otros sistemas de enfoque, dichos haces aumentan gradualmente su anchura a debido a la difracción, el efecto a analizar en el siguiente capítulo.

⁷¹ Para nuestra tarea de cálculo de dos formas cuadráticas de los campos (L y\(\ U\)), su representación real (182) es más conveniente que la complejo-exponente. Sin embargo, para las manipulaciones lineales, esta última representación de las ondas polarizadas circularmente\(\ \mathbf{E}_{t}=E_{0} f(\rho) \operatorname{Re}\left[\left(\mathbf{n}_{x} \pm i \mathbf{n}_{y}\right) \exp \{i \psi\}\right]\)\(\ \mathbf{H}_{t}=\left(E_{0} / Z_{0}\right) f(\rho) \operatorname{Re}\left[\left(\mp i \mathbf{n}_{x}+\mathbf{n}_{y}\right) \exp \{i \psi\}\right]\),, suele ser más conveniente y se usa ampliamente.

⁷² Obsérvese que, a diferencia de una onda linealmente polarizada (16), la densidad de energía de una onda polarizada circularmente no depende de la fase completa\(\ \psi\) —en particular,\(\ t\) en lo fijo\(\ z\), o viceversa. Esto es natural porque sus vectores de campo rotan (manteniendo su magnitud) en lugar de oscilar — ver Fig. 3b.

⁷³ Véase, por ejemplo, CM Eq. (1.31).

⁷⁴ Véase, por ejemplo, MA Ec. (7.5).

⁷⁵ Las versiones complejo-exponenciales de estas ecualidades vienen dadas por la línea de fondo de la Ec. (100).

⁷⁶ El darse cuenta de tales soluciones de las ecuaciones de Maxwell se remonta al menos a un trabajo teórico de 1943 de J. Humblet; sin embargo, este tema no se había discutido demasiado en la literatura hasta los experimentos realizados en 1992; véase, por ejemplo, L. Allen et al., Optical Angular Momentum; IOP, 2003.

⁷⁷ Véase, e.g., QM Sec. 3.7.

⁷⁸ Véase, por ejemplo, J. Wang et al., Nature Photonics 6, 488 (2012).