9.7: Mecánica Analítica de Partículas Cargadas

La ecuación general (145) da una descripción completa de la dinámica relativista de las partículas en los campos eléctricos y magnéticos, así como la ^2ª ley Newton (1) lo hace en el límite no relativista. Sin embargo, sabemos que en este último caso, el formalismo Lagrange de la mecánica analítica permite una solución más fácil de muchos problemas. ⁶¹ Podemos esperar que eso sea cierto también en la mecánica relativista, así que ampliemos el análisis de la Sec. 3 (válido solo para partículas libres) a partículas en campo.

Para una partícula libre, nuestro resultado principal fue la Ec. (68), que puede reescribirse como

\[\ \gamma \mathscr{L}=-m c^{2},\tag{9.179}\]

con\(\ \gamma \equiv\left(1-u^{2} / c^{2}\right)^{-1 / 2}\), mostrando que el producto del lado izquierdo es invariante de Lorentz. ¿Cómo puede el campo electromagnético afectar esta relación? En electrostática no relativista, podríamos escribir

\[\ \mathscr{L}=T-U=T-q \phi.\tag{9.180}\]

Sin embargo, en relatividad, el potencial escalar\(\ \phi\) es solo un componente del potencial 4-vector (116). La única manera de obtener de este 4-vector completo una contribución invariante de Lorentz\(\ \gamma \mathscr{L}\), que también sería proporcional a la primera potencia de la velocidad de la partícula (para dar cuenta del componente magnético de la fuerza de Lorentz), es evidentemente

\[\ \gamma \mathscr{L}=-m c^{2}+\operatorname{const} \times u^{\alpha} A_{\alpha},\tag{9.181}\]

donde\(\ u^{\alpha}\) está la velocidad 4 (63). Para cumplir con la Ec. (180), el factor constante debe ser igual a (\(\ -qc\)), de manera que la Ec. (181) se convierte en

\[\ \gamma \mathscr{L}=-m c^{2}-q u^{\alpha} A_{\alpha},\tag{9.182}\]

y con cuenta de la Ec. (9.63), obtenemos una igualdad sumamente importante:

\[\ \mathscr{L}=-\frac{m c^{2}}{\gamma}-q \phi+q \mathbf{u} \cdot \mathbf{A},\quad\quad\quad\quad\text{Particle’s Lagrangian function}\tag{9.183}\]

cuya forma cartesiana es

\[\ \mathscr{L}=-m c^{2}\left(1-\frac{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}{c^{2}}\right)^{1 / 2}-q \phi+q\left(u_{x} A_{x}+u_{y} A_{y}+u_{z} A_{z}\right).\tag{9.184}\]

Veamos si esta relación (que ciertamente se derivó por una conjetura educada y no por una derivación estricta) pasa por un chequeo de cordura natural. Para el caso de un movimiento sin restricciones de una partícula, podemos seleccionar sus tres coordenadas cartesianas\(\ r_{j}(j=1,2,3)\) como coordenadas generalizadas, y sus componentes de velocidad lineal\(\ u_{j}\) como las velocidades generalizadas correspondientes. En este caso, las ecuaciones de movimiento de Lagrange son

\[\ \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial u_{j}}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial r_{j}}=0.\tag{9.185}\]

Por ejemplo, for\(\ r_{1}=x\), Eq. (184) rinde

\[\ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial u_{x}}=\frac{m u_{x}}{\left(1-u^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}+q A_{x} \equiv p_{x}+q A_{x}, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}=-q \frac{\partial \phi}{\partial x}+q \mathbf{u} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x},\tag{9.186}\]

para que la Eq. (185) tome la forma

\[\ \frac{d p_{x}}{d t}=-q \frac{\partial \phi}{\partial x}+q \mathbf{u} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x}-q \frac{d A_{x}}{d t}.\tag{9.187}\]

En las ecuaciones de movimiento, los valores de campo deben tomarse en la posición instantánea de la partícula, de manera que la última derivada (completa) tenga componentes debido tanto al cambio del campo real (en un punto fijo del espacio) como al movimiento de la partícula. Dicha adición es descrita por la llamada derivada convectiva ⁶²

\[\ \text{Convective derivative}\quad\quad\quad\quad \frac{d}{d t}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}.\tag{9.188}\]

Al deletrear ambos productos escalares, podemos agrupar los términos restantes después de las cancelaciones de la siguiente manera:

\[\ \frac{d p_{x}}{d t}=q\left[\left(-\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial t}\right)+u_{y}\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)-u_{z}\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right)\right].\tag{9.189}\]

Pero teniendo en cuenta las relaciones (121) entre los campos y potenciales eléctricos y magnéticos, esta expresión no es más que

\[\ \frac{d p_{x}}{d t}=q\left(E_{x}+u_{y} B_{z}-u_{z} B_{y}\right)=q(\mathbf{E}+\mathbf{u} \times \mathbf{B})_{x},\tag{9.190}\]

es decir, el componente x de la Ec. (144). Dado que otras coordenadas cartesianas participan en la ecuación (184) de manera similar, es evidente que las ecuaciones lagrangianas de movimiento a lo largo de otras coordenadas producen otros componentes de la misma ecuación vectorial de movimiento.

Entonces, la ecuación (183) de hecho da la función lagrangiana correcta, y podemos usarla para análisis posteriores, en particular para discutir la primera de las ecuaciones (186). Esta relación muestra que en el campo electromagnético, el impulso generalizado correspondiente a la coordenada de la partícula no\(\ x\) es\(\ p_{x}=m \gamma u_{x}\), sino ⁶³

\[\ P_{x} \equiv \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial u_{x}}=p_{x}+q A_{x}.\tag{9.191}\]

Así, como ya se discutió (en ese punto, sin pruebas) en la Sec. 6.4, el movimiento de la partícula en un campo magnético puede ser descrito por dos vectores de momento diferentes: el impulso cinético p, definido por la Ec. (70), y el impulso canónico (o “conjugado”) ⁶⁴

\[\ \text{Particle’s canonical momentum}\quad\quad\quad\quad \mathbf{P}=\mathbf{p}+q \mathbf{A}.\tag{9.192}\]

Para facilitar la discusión de esta noción, generalicemos la ecuación (72) para la función hamiltoniana\(\ \mathscr{H}\) de una partícula libre al caso de una partícula en el campo:

\[\ \mathscr{H} \equiv \mathbf{P} \cdot \mathbf{u}-\mathscr{L}=(\mathbf{p}+q \mathbf{A}) \cdot \mathbf{u}-\left(-\frac{m c^{2}}{\gamma}+q \mathbf{u} \cdot \mathbf{A}-q \phi\right)=\mathbf{p} \cdot \mathbf{u}+\frac{m c^{2}}{\gamma}+q \phi.\tag{9.193}\]

Fusionando los dos primeros términos de la última expresión exactamente como se hizo en la Ec. (72), obtenemos un resultado extremadamente simple,

\[\ \mathscr{H}=\gamma m c^{2}+q \phi,\tag{9.194}\]

lo que puede dejarnos preguntándonos: ¿dónde está el potencial vectorial\(\ \mathbf{A}\) aquí — y los efectos del campo magnético que tiene que describir? La resolución de este rompecabezas es fácil: como sabemos por la mecánica analítica, ⁶⁵ para la mayoría de las aplicaciones, por ejemplo para una derivación alternativa de las ecuaciones de movimiento,\(\ \mathscr{H}\) tiene que representarse en función de las coordenadas generalizadas de las partículas (en el caso de movimiento sin restricciones, estos pueden ser los componentes cartesianos del vector\(\ \mathbf{r}\) que sirve como argumento para potenciales\(\ \mathbf{A}\) y\(\ \phi\)), y los momentos generalizados, es decir, los componentes del vector P — generalmente, más tiempo. Por lo tanto, el factor\(\ \gamma\) en la Ec. (194) tiene que ser expresado a través de estas variables. Esto se puede hacer usando la relación (192),\(\ \gamma m \mathbf{u}=\mathbf{P}-q \mathbf{A}\): basta notar que de acuerdo con la Ec. (193), la diferencia\(\ (\mathscr{H}-q \phi)\) es igual al lado derecho de la Ec. (72), de manera que la generalización de la Ec. (78) es ⁶⁶

\[\ (\mathscr{H}-q \phi)^{2}=\left(m c^{2}\right)^{2}+c^{2}(\mathbf{P}-q \mathbf{A})^{2}, \quad \text { giving } \mathscr{H}=m c^{2}\left[1+\left(\frac{p}{m c}\right)^{2}\right]^{1 / 2}+q \phi,\quad\quad\quad\quad \text{Particle’s Hamiltonian}\tag{9.195}\]

Es sencillo verificar que las ecuaciones de movimiento de Hamilton para tres coordenadas cartesianas de la partícula, obtenidas de manera regular a partir de esta\(\ \mathscr{H}\), puedan fusionarse en la misma ecuación vectorial (144). En el límite no relativista, realizando la expansión de esta última de las Ecuaciones (195) en la serie Taylor en\(\ p^{2}\), y limitándola a dos términos principales, obtenemos la siguiente generalización de la Eq. (74):

\[\ \mathscr{H} \approx m c^{2}+\frac{p^{2}}{2 m}+q \phi, \quad \text { i.e. } \mathscr{H}-m c^{2} \approx \frac{1}{2 m}(\mathbf{P}-q \mathbf{A})^{2}+U, \quad \text { with } U=q \phi.\tag{9.196}\]

Estas expresiones para\(\ \mathscr{H}\), y Eq. (183) para\(\ \mathscr{L}\), dan una visión clara de la descripción de los efectos del campo electromagnético en la mecánica analítica. La parte eléctrica\(\ q \mathbf{E}\) de la fuerza total de Lorentz puede realizar trabajo sobre la partícula, es decir, cambiar su energía cinética — ver Ec. (148) y su discusión. Como resultado, el potencial escalar\(\ \phi\), cuyo gradiente da una contribución\(\ \mathbf{E}\), puede estar directamente asociado con la energía potencial\(\ U=q \phi\) de la partícula. Por el contrario, el componente magnético\(\ q \mathbf{u} \times \mathbf{B}\) de la fuerza de Lorentz siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula\(\ \mathbf{u}\), y no puede realizar un trabajo distinto de cero sobre ella, y como resultado, no puede describirse por una contribución a\(\ U\). Sin embargo, si\(\ \mathbf{A}\) no participaba en las funciones\(\ \mathscr{L}\) y/o\(\ \mathscr{H}\) en absoluto, la mecánica analítica sería incapaz de describir los efectos del campo magnético\(\ \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}\) sobre
el movimiento de la partícula. Las relaciones (183) y (195) - (196) muestran la maravillosa manera en que la física (con alguna ayuda de la propia Madre Naturaleza: -) resuelve este problema: el potencial vectorial da tales contribuciones a las funciones\(\ \mathscr{L}\) y\(\ \mathscr{H}\) eso no puede atribuirse únicamente a la energía cinética o potencial, sino asegurar que tanto los formalismos Lagrange como Hamilton produzcan la ecuación correcta de movimiento (144), incluidos los efectos del campo magnético.

Creo que todavía le debo al lector alguna discusión sobre el sentido físico del impulso canónico P. Para ello, consideremos una partícula cargada que se mueve cerca de una región de campo magnético localizado\(\ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)\), pero que no ingresa a esta región (ver Fig. 14), de manera que en su trayectoria\(\ \mathbf{B} \equiv \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}=0\).

Fig. 9.14. El movimiento de las partículas alrededor de un campo magnético localizado con un flujo dependiente del tiempo.

Si no hay campo electrostático (es decir, no hay otras cargas eléctricas cercanas), podemos seleccionar un medidor local tal que\(\ \phi(\mathbf{r}, t)=0\) y\(\ \mathbf{A}=\mathbf{A}(t)\), de manera que la ecuación (144) se reduzca a

\[\ \frac{d \mathbf{p}}{d t}=q \mathbf{E}=-q \frac{d \mathbf{A}}{d t},\tag{9.197}\]

y la Eq. (192) da inmediatamente

\[\ \frac{d \mathbf{P}}{d t} \equiv \frac{d \mathbf{p}}{d t}+q \frac{d \mathbf{A}}{d t}=0.\tag{9.198}\]

De ahí que aunque el campo magnético se cambie en el tiempo, de manera que el campo eléctrico inducido sí acelere la partícula, su impulso canónico no cambia. De ahí que P sea una variable más estable a los cambios del campo magnético que su contraparte cinética p. Esta conclusión puede ser criticada porque se basa en un calibre específico, y generalmente no\(\ \mathbf{P} \equiv \mathbf{p}+q \mathbf{A}\) es calibre—invariante, porque el potencial del vector no lo\(\ \mathbf{A}\) es. ⁶⁷ Sin embargo, como ya se discutió en la Sec. 5.3, la integral\(\ \int \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r}\) sobre un contorno cerrado no depende del calibre elegido y es igual al flujo magnético\(\ \Phi\) a través del área limitada por el contorno — ver Ec. (5.65). Entonces, integrando la Eq. (197) sobre una trayectoria cerrada de una partícula (Fig. 14), y en el tiempo de una órbita, obtenemos

\[\ \Delta \oint_{C} \mathbf{p} \cdot d \mathbf{r}=-q \Delta \Phi, \quad \text { so that } \Delta \oint_{C} \mathbf{P} \cdot d \mathbf{r}=0,\tag{9.199}\]

donde\(\ \Delta \Phi\) está el cambio de flujo durante ese tiempo. Este resultado invariable de calibre confirma la conclusión anterior sobre la estabilidad del momento canónico a las variaciones del campo magnético.

Generalmente, la ecuación (199) no es válida si una partícula se mueve dentro de un campo magnético y/o cambia su trayectoria en la variación del campo. Sin embargo, si el campo es casi uniforme, es decir su gradiente es pequeño en el sentido de la Ec. (177), este resultado es (aproximadamente) aplicable. En efecto, la mecánica analítica ⁶⁸ nos dice que para cualquier par canónico coordinado-impulso\(\ \left\{q_{j}, p_{j}\right\}\), la variable de acción correspondiente,

\[\ J_{j} \equiv \frac{1}{2 \pi} \oint p_{j} d q_{j},\tag{9.200}\]

permanece prácticamente constante en variaciones lentas de las condiciones de movimiento. De acuerdo con la Ec. (191), para una partícula en un campo magnético, el impulso generalizado correspondiente a la coordenada cartesiana\(\ r_{j}\) es\(\ P_{j}\) más que\(\ p_{j}\). Formando así la variable de acción neta\(\ J \equiv J_{x}+J_{y}+J_{z}\), podemos escribir

\[\ 2 \pi J=\oint \mathbf{P} \cdot d \mathbf{r}=\oint \mathbf{p} \cdot d \mathbf{r}+q \Phi=\text { const }.\tag{9.201}\]

Apliquemos esta relación al movimiento de una partícula no relativista en un campo magnético casi uniforme, con una pequeña velocidad longitudinal,\(\ \cdot u \| / u_{\perp} \rightarrow 0\) — ver Fig. 15.

Fig. 9.15. Partícula en un campo magnético con un pequeño gradiente longitudinal\(\ \nabla B \| \mathbf{B}\).

En este caso,\(\ \Phi\) en la Ec. (201) se encuentra el flujo rodeado por una órbita de ciclotrón\(\ \left(-\pi R^{2} B\right)\), igual a, donde\(\ R\) está su radio dado por la ecuación (153), y el signo negativo explica el hecho de que en nuestro caso, la dirección “correcta” del vector normal\(\ \mathbf{n}\) en la definición de flujo,\(\ \Phi=\int \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} d^{2} r\) , es antiparalelo al vector B. At\(\ u<<c\), el impulso cinético es justo\(\ p_{\perp}=m u_{\perp}\), mientras que la Ec. (153) rinde

\[\ m u_{\perp}=q B R.\tag{9.202}\]

Conectando estas relaciones a la Eq. (201), obtenemos

\[\ 2 \pi J=m u_{\perp} 2 \pi R-q \pi R^{2} B=m \frac{q R B}{m} 2 \pi R-q \pi R^{2} B \equiv(2-1) q \pi R^{2} B \equiv-q \Phi.\tag{9.203}\]

Esto significa que aunque la órbita circular se mueva lentamente a través del campo magnético, el flujo cercado por la órbita del ciclotrón debería permanecer prácticamente constante. Una manifestación de este efecto es el resultado ya mencionado al final de la Sec. 6: si un pequeño gradiente del campo magnético es perpendicular al campo mismo, entonces la dirección de deriva de la órbita de la partícula es perpendicular a\(\ \nabla B\), de manera que\(\ \Phi\) se mantiene constante.

Ahora analicemos el caso de un pequeño gradiente longitudinal,\(\ \nabla B \| \mathbf{B}\) (Fig. 15). Si\(\ \mathcal{u} \|\) se dirige una pequeña velocidad longitudinal inicial hacia la región de campo superior, la órbita del ciclotrón tiene que encogerse gradualmente para mantenerse\(\ \Phi\) constante. Reescritura de la Ec. (202) como

\[\ m u_{\perp}=q \frac{\pi R^{2} B}{\pi R}=q \frac{|\Phi|}{\pi R},\tag{9.204}\]

vemos que esta reducción de\(\ R\) (a constante\(\ \Phi\)) debería aumentar la velocidad orbitante\(\ u_{\perp}\). Pero como el campo magnético no puede realizar ningún trabajo sobre la partícula, su energía cinética,

\[\ \mathscr{E}=\frac{m}{2}\left(u_{\|}^{2}+u_{\perp}^{2}\right),\tag{9.205}\]

debe permanecer constante, de manera que la velocidad longitudinal\(\ u \|\) tiene que disminuir. De ahí que eventualmente la deriva de la órbita tenga que detenerse, y luego la órbita tiene que comenzar a retroceder hacia la región de los campos inferiores, siendo esencialmente repelida de la región de campo alto. Este efecto es muy importante, en particular, para los sistemas de confinamiento por plasma. En el más simple de tales sistemas, dos bobinas magnéticas coaxiales, induciendo campos magnéticos de la misma dirección (Fig. 16), forman naturalmente una “botella magnética”, que atrapa partículas cargadas inyectadas, con velocidades longitudinales suficientemente bajas, en la región entre las bobinas. Los sistemas más complejos de este tipo, pero que trabajan sobre el mismo principio básico, son los componentes más esenciales de los persistentes esfuerzos a gran escala para lograr una fusión nuclear controlable. ⁶⁹

Fig. 9.16. Una botella magnética simple (esquemáticamente).

Volviendo a la constancia del flujo magnético rodeado por partículas libres, nos recuerda el efecto Meissner-Ochsenfeld, que se discutió en la Sec. 6.4, y da una motivación para una breve revisión de la electrodinámica de la superconductividad. Como se enfatizó en esa sección, la superconductividad es un fenómeno sustancialmente cuántico; sin embargo, la noción clásica del momento conjugado P ayuda a comprender su descripción teórica. En efecto, la regla general de cuantificación de sistemas físicos ⁷⁰ es que cada par canónico\(\ \left\{q_{j}, p_{j}\right\}\) de una coordenada generalizada\(\ q_{j}\) y el impulso generalizado correspondiente\(\ p_{j}\) es descrito por operadores cuántico-mecánicos que obedecen a la siguiente conmutación relación:

\[\ \left[\hat{q}_{j}, \hat{p}_{j^{\prime}}\right]=i \hbar \delta_{j j^{\prime}}.\tag{9.206}\]

De acuerdo con la Ec. (191), para las coordenadas cartesianas\(\ r_{j}\) de una partícula en el campo magnético, los momentos generalizados correspondientes son\(\ P_j\), de manera que sus operadores deben obedecer las siguientes relaciones de conmutación:

\[\ \left[\hat{r}_{j}, \hat{P}_{j^{\prime}}\right]=i \hbar \delta_{j j^{\prime}}.\tag{9.207}\]

En la representación de coordenadas de la mecánica cuántica, los operadores canónicos de los componentes cartesianos del momento lineal son descritos por los componentes correspondientes del operador vectorial\(\ -i \hbar \nabla\). Como resultado, ignorando la energía de reposo\(\ m c^{2}\) (que da un factor de fase intrascendente\(\ \exp \left\{-i m c^{2} t / \hbar\right\}\) en la función de onda), podemos usar la ecuación (196) para reescribir la ecuación habitual de Schrödinger no relativista,

\[\ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{\mathscr{H}} \psi,\tag{9.208}\]

de la siguiente manera:

\[\ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+U\right) \psi \equiv\left[\frac{1}{2 m}(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A})^{2}+q \phi\right] \psi.\tag{9.209}\]

Así, creo que finalmente he cumplido mi promesa de justificar el reemplazo (6.50), que había sido utilizado en las Secs. 6.4 y 6.5 para discutir la electrodinámica de los superconductores, incluyendo el efecto Meissner-Ochsenfeld. La ecuación de Schrödinger (209) también se puede utilizar como base para la descripción cuántico-mecánica de otros fenómenos de campo magnético, incluidos los llamados efectos Aharonov-Bohm y Hall cuánticos; véase, por ejemplo, QM Secs. 3.1-3.2.

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Referencia

⁶¹ Véase, por ejemplo, CM Sec. 2.2 y en adelante.

⁶² Alternativamente llamado el “derivado lagrangiano”; para su derivación (bastante simple) véase, e.g., CM Sec. 8.3.

⁶³ Con pesar, tengo que utilizar para el impulso generalizado la misma notación (muy común) que se utilizó anteriormente en el curso para la polarización eléctrica —que no se discutirá en el balance de estas notas.

⁶⁴ En unidades gaussianas, la Eq. (192) tiene la forma\(\ \mathbf{P}=\mathbf{p}+q \mathbf{A} / c\).

⁶⁵ Véase, e.g., CM Sec. 10.1.

⁶⁶ Alternativamente, esta relación puede obtenerse de la expresión para la norma invariante de Lorentz\(\ p^{\alpha} p_{\alpha}=(m c)^{2}\),, del 4-momentum (75),\(\ p^{\alpha}=\{\mathscr{E} / c, \mathbf{p}\}=\{(\mathscr{H}-q \phi) / c, \mathbf{P}-q \mathbf{A}\}\).

⁶⁷ En contraste, el impulso cinético\(\ \mathbf{p}=M \mathbf{u}\) es evidentemente invariable (aunque no Lorentz-).

⁶⁸ Véase, e.g., CM Sec. 10.2.

⁶⁹ Para una mayor lectura sobre esta tecnología, se puede remitir al lector, por ejemplo, a la simple monografía de F. Chen, Introducción a la Física del Plasma y a la Fusión Controlable, vol. 1, ^2ª ed., Springer, 1984, y/o el tratamiento teórico de posgrado de R. Hazeltine y J. Meiss, Confinamiento Plasma, Dover, 2003.

⁷⁰ Véase, e.g., CM Sec. 10.1.