9.8: Mecánica Analítica del Campo Electromagnético

Acabamos de ver que la mecánica analítica de una partícula en un campo electromagnético puede ser utilizada para obtener algunos resultados importantes. Lo mismo ocurre con la mecánica analítica del campo como tal, y el sistema campo-partícula en su conjunto. Para un sistema distribuido en el espacio como el campo, regido por leyes de dinámica local (ecuaciones de Maxwell), necesitamos aplicar mecánica analítica a las densidades locales\(\ l\) y a\(\ h\) las funciones lagrangianas y hamiltonianas, definidas por las relaciones

\[\ \mathscr{L}=\int l d^{3} r, \quad \mathscr{H}=\int h d^{3} r.\tag{9.210}\]

Empecemos, como siempre, desde el formalismo Lagrange. Algunas pistas sobre la posible estructura de la densidad de funciones lagrangianas\(\ l\) pueden obtenerse a partir de la interacción partícula-campo en este formalismo, discutida en la última sección. Como hemos visto, para el caso de una sola partícula, la interacción se describe mediante los dos últimos términos de la Ec. (183):

\[\ \mathscr{L}_{\text {int }}=-q \phi-q \mathbf{u} \cdot \mathbf{A}.\tag{9.211}\]

Es prácticamente obvio que si la carga q se distribuye continuamente sobre algún volumen, podemos representar esto\(\ \mathscr{L}_{\text {int }}\) como una integral de volumen de la siguiente densidad de función lagrangiana:

\[\ l_{\mathrm{int}}=-\rho \phi+\mathbf{j} \cdot \mathbf{A} \equiv-j_{\alpha} A^{\alpha}.\quad\quad\quad\quad\text{Interaction Lagrangian density}\tag{9.212}\]

Observe que esta densidad (¡a diferencia de\(\ \mathscr{L}_{\text {int }}\) sí misma!) es invariante de Lorentz. (Esto se debe a la contracción de la coordenada longitudinal, y por lo tanto del volumen, en la transformada de Lorentz.) Por lo tanto, podemos esperar que la densidad de la parte del campo del Lagrangiano también sea invariante de Lorentz. Además, en la vista de la estructura simple y local de las ecuaciones de Maxwell (que contienen solo las primeras derivadas espaciales y temporales de los campos),\(\ l_{\text {field }}\) debe ser una función simple del 4-vector del potencial y su 4-derivada:

\[\ l_{\text {field }}=l_{\text {field }}\left(A^{\alpha}, \partial_{\alpha} A^{\beta}\right).\tag{9.213}\]

Además, la densidad debe seleccionarse de tal manera que el análogo de 4 vectores de la ecuación lagrangiana de movimiento,

\[\ \partial_{\alpha} \frac{\partial l_{\text {field }}}{\partial\left(\partial_{\alpha} A^{\beta}\right)}-\frac{\partial l_{\text {field }}}{\partial A^{\beta}}=0,\tag{9.214}\]

nos dio las ecuaciones correctas no homogéneas de Maxwell (127). ⁷¹ Es claro que la parte\(\ l_{\text{field}}\) de campo de la densidad total Lagrangiana\(\ l\) debe ser un escalar, y una forma cuadrática de la fuerza de campo, es decir\(\ F^{\alpha \beta}\), de manera que la elección natural es

\[\ l_{\text {field }}=\text { const } \times F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta}.\tag{9.215}\]

con la suma implícita sobre ambos índices. En efecto, sumando a esta expresión la interacción Lagrangiana (212),

\[\ l=l_{\text {field }}+l_{\text {int }}=\text { const } \times F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta}-j_{\alpha} A^{\alpha},\tag{9.216}\]

y realizando la diferenciación (214), vemos que las relaciones (214) - (215) efectivamente producen Eqs. (127), siempre que el factor constante sea igual\(\ \left(-1 / 4 \mu_{0}\right)\). ⁷² Entonces, la densidad lagrangiana del campo es

\[\ \text{Field’s Lagrangian density}\quad\quad\quad\quad l_{\text {field }}=-\frac{1}{4 \mu_{0}} F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta}=\frac{1}{2 \mu_{0}}\left(\frac{E^{2}}{c^{2}}-B^{2}\right) \equiv \frac{\varepsilon_{0}}{2} E^{2}-\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} \equiv u_{\mathrm{e}}-u_{\mathrm{m}},\tag{9.217}\]

donde\(\ u_{\mathrm{e}}\) está la densidad de energía del campo eléctrico (1.65), y\(\ u_{\mathrm{m}}\) es la densidad de energía del campo magnético (5.57). Permítanme esperar que el lector esté de acuerdo en que la ecuación (217) es un resultado maravilloso porque la función lagrangiana tiene una estructura absolutamente similar a la conocida expresión\(\ \mathscr{L}=T-U\) de la mecánica clásica. Entonces, solo para el campo, las energías “potencial” y “cinética” vuelven a separarse. ⁷³

Ahora vamos a explorar si podemos calcular la forma 4 de la función hamiltoniana del campo\(\ \mathscr{H}\). En la mecánica analítica genérica,

\[\ \mathscr{H}=\sum_{j} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}-\mathscr{L}.\tag{9.218}\]

Sin embargo, al igual que para la función lagrangiana, para un campo debemos encontrar la densidad espacial\(\ h\) del hamiltoniano, definida por la segunda de las ecuaciones (210), para lo cual la forma natural 4 de la Eq. (218) es

\[\ h^{\alpha \beta}=\frac{\partial l}{\partial\left(\partial_{\alpha} A^{\gamma}\right)} \partial^{\beta} A^{\gamma}-g^{\alpha \beta} l.\tag{9.219}\]

Calculado para el campo solo, es decir, usando la Ec. (217) para\(\ l_\text {field }\), esta definición rinde

\[\ h_{\text {field }}^{\alpha \beta}=\theta^{\alpha \beta}-\tau_{D}^{\alpha \beta},\tag{9.220}\]

donde el tensor

\[\ \text{Symmetric energy-momentum tensor}\quad\quad\quad\quad \theta^{\alpha \beta} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}\left(g^{\alpha \gamma} F_{\gamma \delta} F^{\delta \beta}+\frac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\gamma \delta} F^{\gamma \delta}\right),\tag{9.221}\]

es invariante de calibre, mientras que el término restante,

\[\ \tau_{D}^{\alpha \beta} \equiv \frac{1}{\mu_{0}} g^{\alpha \gamma} F_{\gamma \delta} \partial^{\delta} A^{\beta},\tag{9.222}\]

no lo es, por lo que no puede corresponder a ninguna variable medible. Afortunadamente, es sencillo verificar que el último tensor pueda estar representado en la forma

\[\ \tau_{D}^{\alpha \beta}=\frac{1}{\mu_{0}} \partial_{\gamma}\left(F^{\gamma \alpha} A^{\beta}\right),\tag{9.223}\]

y como consecuencia, obedece las siguientes relaciones:

\[\ \partial_{\alpha} \tau_{D}^{\alpha \beta}=0, \quad \int \tau_{D}^{0 \beta} d^{3} r=0,\tag{9.224}\]

por lo que no interfiere con las propiedades de conservación del tensor simétrico de energía-impulso (también llamado tensor de tensión simétrica)\(\ \theta^{\alpha \beta}\), invariable, que se discutirá más adelante.

Usemos las ecuaciones (125) para expresar los componentes de este último tensor a través de los campos eléctrico y magnético. Para\(\ \alpha=\beta=0\), obtenemos

\[\ \theta^{00}=\frac{\varepsilon_{0}}{2} E^{2}+\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}=u_{\mathrm{e}}+u_{\mathrm{m}} \equiv u,\tag{9.225}\]

es decir, la expresión para la densidad total de energía\(\ u\) — véase la Ec. (6.113). Los otros 3 componentes de la misma fila/columna resultan ser solo los componentes cartesianos del vector Poynting (6.114), divididos por\(\ c\):

\[\ \theta^{j 0}=\frac{1}{\mu_{0}}\left(\frac{\mathbf{E}}{c} \times \mathbf{B}\right)_{j}=\left(\frac{\mathbf{E}}{c} \times \mathbf{H}\right)_{j} \equiv \frac{S_{j}}{c}, \quad \text { for } j=1,2,3.\tag{9.226}\]

Los 9 componentes restantes\(\ \theta_{j j’}\) del tensor, con\(\ j\),\(\ j^{\prime}=1,2,3\), generalmente se representan como

\[\ \theta^{j j^{\prime}}=-\tau_{j j^{\prime}}^{(\mathrm{M})},\tag{9.227}\]

donde\(\ \tau^{(\mathrm{M})}\) está el llamado tensor de estrés Maxwell:

\[\ \tau_{j j^{\prime}}^{(\mathrm{M})}=\varepsilon_{0}\left(E_{j} E_{j^{\prime}}-\frac{\delta_{j j^{\prime}}}{2} E^{2}\right)+\frac{1}{\mu_{0}}\left(B_{j} B_{j^{\prime}}-\frac{\delta_{j j^{\prime}}}{2} B^{2}\right),\quad\quad\quad\quad\text{Maxwell stress tensor}\tag{9.228}\]

de manera que todo el tensor simétrico de energía-impulso (221) pueda representarse convenientemente de la siguiente manera simbólica:

\ [\\ theta^ {\ alpha\ beta} =\ left (\ begin {array} {c:cc}
u &\ leftarrow &\ mathbf {S}/c &\ rightarrow\
\ rightarrow\\ hdashline\ uparrow\\ mathbf {S}\ - & & -\ tau_ {j j^ {\ prime}} ^ {(M)}
\\ c\
\\ flecha abajo &
\ end {array}\ derecha ). \ tag {9.229}\]

El significado físico de este tensor puede ser revelado de la siguiente manera. Considerando la Ec. (221) como la definición del tensor\(\ \theta^{\alpha \beta}\), ⁷⁴ y usando la forma de 4 vectores de las ecuaciones de Maxwell dadas por las ecuaciones (127) y (129), es sencillo verificar un resultado extremadamente simple para la 4-derivada del tensor simétrico:

\[\ \partial_{\alpha} \theta^{\alpha \beta}=-F^{\beta \gamma} j_{\gamma}.\tag{9.230}\]

Esta expresión es válida en presencia de fuentes de campo electromagnético, por ejemplo, para cualquier sistema de partículas cargadas y los campos que hayan creado. De estas cuatro ecuaciones (para cuatro valores del índice\(\ \beta\)), la temporal (con\(\ \beta=0\)) puede expresarse simplemente a través de la densidad de energía (225) y el vector Poynting (226):

\[\ \frac{\partial u}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{S}=-\mathbf{j} \cdot \mathbf{E},\tag{9.231}\]

mientras que tres ecuaciones espaciales (con\(\ \beta=j=1,2,3\)) pueden representarse en la forma

\[\ \frac{\partial}{\partial t} \frac{S_{j}}{c^{2}}-\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial}{\partial r_{j^{\prime}}} \tau_{j j^{\prime}}^{(\mathrm{M})}=-(\rho \mathbf{E}+\mathbf{j} \times \mathbf{B})_{j}.\tag{9.232}\]

Integrada esta expresión sobre un volumen\(\ V\) limitado por superficie\(\ S\), con el relato del teorema de divergencia, la ecuación (231) nos devuelve al teorema de Poynting (6.111):

\[\ \int_{V}\left(\frac{\partial u}{\partial t}+\mathbf{j} \cdot \mathbf{E}\right) d^{3} r+\oint_{S} S_{n} d^{2} r=0,\tag{9.233}\]

mientras que la Ec. (232) rinde ⁷⁵

\[\ \int_{V}\left[\frac{\partial}{\partial t} \frac{\mathbf{S}}{c^{2}}+\mathbf{f}\right]_{j} d^{3} r=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \oint_{S} \tau_{j j^{\prime}}^{(\mathrm{M})} d A_{j^{\prime}}, \quad \text { with } \mathbf{f} \equiv \rho \mathbf{E}+\mathbf{j} \times \mathbf{B},\tag{9.234}\]

donde\(\ d A_{j}=n_{j} d A=n_{j} d^{2} r\) es el\(\ j^{\text {th }}\) componente del vector de área elemental\(\ d \mathbf{A}=\mathbf{n} d A=\mathbf{n} d^{2} \mathbf{r}\) que es normal a la superficie del volumen, y dirigido fuera del volumen — ver Fig. 17. ⁷⁶

Fig. 9.17. La fuerza\(\ d \mathbf{F}\) ejercida sobre un elemento límite\(\ d \mathbf{A}\) del volumen\(\ V\) ocupado por el campo.

Dado que, según la Ec. (5.10), el vector f en la Ec. (234) no es otra cosa que la densidad de las fuerzas Lorentz distribuidas en volumen ejercidas por el campo sobre las partículas cargadas, podemos usar la ley\(\ 2^{\text {nd }}\) Newton, en su forma relativista (144), para reescribir la Eq. (234), para un volumen estacionario \(\ V\), como

\[\ \text{Field momentum’s dynamics}\quad\quad\quad\quad \frac{d}{d t}\left[\int_{V} \frac{\mathbf{S}}{c^{2}} d^{3} r+\mathbf{p}_{\mathrm{part}}\right]=\mathbf{F},\tag{9.235}\]

donde\(\ \mathbf{p}_{\text {part }}\) es el impulso mecánico total (relativista) de todas las partículas en el volumen\(\ V\), y el vector F se define por sus componentes cartesianos:

\[\ F_{j}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \oint_{S} \tau_{j j^{\prime}}^{(\mathrm{M})} d A_{j^{\prime}}.\quad\quad\quad\quad\text{Force via the Maxwell tensor}\tag{9.236}\]

Relaciones (235) - (236) son nuestros principales nuevos resultados. El primero de ellos muestra que el vector

\[\ \mathbf{g} \equiv \frac{\mathbf{S}}{c^{2}},\tag{9.237}\]

ya discutido en la Sec. 6.8 sin derivación, puede interpretarse efectivamente como la densidad de impulso del campo electromagnético (por unidad de volumen). Esta relación clásica es consistente con la imagen cuántico-mecánica de los fotones como partículas ultrarrelativistas, con la magnitud del momento\(\ \mathscr{E}/c\), porque entonces el flujo total del impulso transportado por los fotones a través de una unidad de área normal por unidad de tiempo puede representarse como\(\ S_{n} / c\) o como \(\ g_{n} c\). También nos permite revisitar la paradoja del vector Poynting que se discutió en la Sec. 6.8 — ver Fig. 611 y su discusión. Como se enfatizó en esta discusión, el vector\(\ \mathbf{S}=\mathbf{E} \times \mathbf{H}\) en este caso no corresponde a ningún flujo de energía medible. Sin embargo, el impulso correspondiente del campo, igual a la integral de la densidad (237) sobre un volumen de interés, ⁷⁷ no solo es real sino que puede medirse por el impulso de retroceso que da a las fuentes de campo —digamos, a una bobina magnética que induce el campo H, o a la placas de condensador que crean el campo E.

Ahora pasemos a nuestro segundo resultado, la Ec. (236). Nos dice que el tensor de tensión\(\ 3 \times 3\) -elemento Maxwell cumple con la definición general del tensor de tensión ⁷⁸ caracterizando la fuerza F ejercida sobre el límite de un volumen, en nuestro caso actual ocupado por el campo electromagnético (Fig. 17). Usemos este importante resultado para analizar dos ejemplos simples de campos estáticos.

(i) Efecto del campo electrostático sobre un conductor perfecto. Dado que la ecuación (235) se ha derivado para una región de espacio libre, tenemos que seleccionar el volumen\(\ V\) fuera del conductor, pero podemos alinear una de sus caras con la superficie del conductor (Fig. 18).

Fig. 9.18. El campo electrostático cerca de la superficie de un conductor.

Del Capítulo 2, sabemos que el campo electrostático tiene que ser perpendicular a la superficie del conductor. Seleccionando el eje z en esta dirección, tenemos\(\ E_{x}=E_{y}=0, E_{z}=\pm E\), para que solo los componentes diagonales del tensor (228) no sean iguales a cero:

\[\ \tau_{x x}^{(\mathrm{M})}=\tau_{y y}^{(\mathrm{M})}=-\frac{\varepsilon_{0}}{2} E^{2}, \quad \tau_{z z}^{(\mathrm{M})}=\frac{\varepsilon_{0}}{2} E^{2},\tag{9.238}\]

Dado que el vector de área superficial elemental tiene solo un componente distinto de cero\(\ d A_{z}\), según la ecuación (236), solo el último componente (que es positivo independientemente del signo de\(\ E\)) da una contribución a la fuerza superficial F. Vemos que la fuerza ejercida por el conductor (y eventualmente por fuerzas externas que mantienen al conductor en su posición de equilibrio) sobre el campo es normal al conductor y dirigida fuera del volumen del campo:\(\ d F_{z} \geq 0\). ^{Por lo tanto, por la ley de Newton 3, la fuerza ejercida por el campo sobre la superficie del conductor se dirige hacia el espacio lleno de campo:}

\[\ \text{Electric field’s pull}\quad\quad\quad\quad d F_{\text {surface }}=-d F_{z}=-\frac{\varepsilon_{0}}{2} E^{2} d A\tag{9.239}\]

Este importante resultado también podría obtenerse por medios más simples. (En realidad, esta fue la tarea de uno de los problemas dados en el Capítulo 2.) Por ejemplo, se podría argumentar, de manera bastante convincente, que la relación local entre la fuerza y el campo no debería depender de la configuración global que crea el campo, y así considerar la configuración más simple, un condensador plano (ver, por ejemplo, Fig. 2.3) con superficies de ambas placas cargadas por igual y cargas opuestas de densidad\(\ \sigma=\pm \varepsilon_{0} E\). De acuerdo con la ley de Coulomb, las cargas deben atraerse entre sí, tirando de cada placa hacia la región del campo, de manera que el resultado MaxWell-Tensor dé la dirección correcta de la fuerza. La magnitud de la fuerza dada por la Ec. (239) puede verificarse ya sea por la integración directa de la ley Coulomb o por el siguiente razonamiento simple. En el condensador plano, el campo\(\ E_{z}=\sigma / \varepsilon_{0}\) es aportado igualmente por dos cargas superficiales; de ahí que el campo creado por la carga negativa de la placa homóloga (no mostrada en la figura 18) es\(\ E_{-}=-\sigma / 2 \varepsilon_{0}\), y la fuerza que ejerce de la carga superficial elemental\(\ d Q=\sigma d A\) de la placa cargada positivamente es \(\ d F_{\text {surface }}=E d Q=- \sigma^{2} d A / 2 \varepsilon_{0}=\varepsilon_{0} E^{2} d A / 2\), de conformidad con la Ec. (239). ⁷⁹

Cuantitativamente, incluso para un campo eléctrico tan alto como\(\ E=3\) Mv/m (cerca del umbral de avería eléctrica en el aire), la “presión negativa”\(\ (d F / d A)\) dada por la ecuación (239) es del orden de 500 Pa\(\ \left(\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}\right)\), es decir, por debajo de una milésima parte de la presión atmosférica ambiente\(\ \left(1 \text { bar } \approx 10^{5} \mathrm{~Pa}\right)\). Aún así, esta presión negativa puede ser sustancial (por encima de 1 bar) en algunos casos, por ejemplo en buenos dieléctricos (como de alta calidad\(\ \mathrm{SiO}_{2}\), cultivados a alta temperatura, que se usa ampliamente en circuitos integrados), que pueden soportar campos eléctricos hasta\(\ \sim 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}\).

(ii) Efecto del campo magnético estático sobre su fuente ⁸⁰ — digamos la pared de un solenoide o la superficie de un superconductor (Fig. 19). Con la elección de coordenadas que se muestra en esa figura, tenemos\(\ B_{x}=\pm B, B_{y}=B_{z}=0\), para que el tensor de tensión Maxwell (228) vuelva a ser diagonal:

\[\ \tau_{x x}^{(\mathrm{M})}=\frac{1}{2 \mu_{0}} B^{2}, \quad \tau_{y y}^{(\mathrm{M})}=\tau_{z z}^{(\mathrm{M})}=-\frac{1}{2 \mu_{0}} B^{2}.\tag{9.240}\]

Sin embargo, dado que para esta geometría, solo\(\ d A_{z}\) difiere de 0 en la ecuación (236), el signo de la fuerza resultante es opuesto al de la electrostática:\(\ d F_{z} \leq 0\), y la fuerza ejercida por el campo magnético sobre la superficie del conductor,

\[\ \text{Magnetic field’s push}\quad\quad\quad\quad d F_{\text {surface }}=-d F_{z}=\frac{1}{2 \mu_{0}} B^{2} d A,\tag{9.241}\]

corresponde a presión positiva. Para buenos imanes de laboratorio\(\ (B \sim 10 \mathrm{~T})\), esta presión es del orden de\(\ 4 \times 10^{7} \mathrm{~Pa} \approx 400 \text { bars }\), es decir, es muy sustancial, por lo que los imanes requieren un diseño mecánico sólido.

Fig. 9.19. El campo magnetostático cerca de una superficie portadora de corriente.

La dirección de la fuerza (241) también podría predecirse fácilmente usando argumentos magnetostáticos elementales. En efecto, podemos imaginar el volumen del campo magnético limitado por otra pared paralela con la dirección opuesta de la corriente superficial. De acuerdo con el punto de partida de la magnetostática, Ec. (5.1), tales corrientes superficiales de direcciones opuestas tienen que rechazarse entre sí, haciendo eso a través del campo magnético.

Otra explicación de la diferencia de signo fundamental entre las presiones del campo eléctrico y magnético se puede proporcionar usando el lenguaje del circuito eléctrico. Como sabemos por el Capítulo 2, la energía potencial del campo eléctrico almacenado en un condensador puede representarse en dos formas equivalentes,

\[\ U_{\mathrm{e}}=\frac{C V^{2}}{2}=\frac{Q^{2}}{2 C}.\tag{9.242}\]

Del mismo modo, la energía del campo magnético de en una bobina inductiva es

\[\ U_{\mathrm{m}}=\frac{L I^{2}}{2}=\frac{\Phi^{2}}{2 L}.\tag{9.243}\]

Si no queremos considerar el trabajo de fuentes externas en un cambio virtual de las dimensiones del sistema, debemos usar las últimas formas de estas relaciones, es decir, considerar un condensador desprendido galvánicamente\(\ (Q=\text{const})\) y una inductancia externamente cortocircuitada\(\ (\Phi=\text {const})\). ⁸¹ Ahora bien, si dejamos que el campo eléctrico fuerce (239) a arrastrar las placas del condensador en la dirección que “quieren”, es decir, una hacia la otra, esto conduciría a una reducción del espesor del condensador, y por lo tanto a un aumento de su capacitancia\(\ C\), y por lo tanto a una disminución de\(\ U_{\mathrm{e}}\). De igual manera, para un solenoide, permitir que la presión positiva (241) mueva sus paredes entre sí conduciría a un aumento del volumen del solenoide, y por lo tanto de su inductancia\(\ L\), de manera que la energía potencial también se\(\ U_{\mathrm{m}}\) reduciría —como debería ser. Es notable (en realidad, hermoso) cómo “conocen” las fórmulas de campo locales (239) y (241) sobre estas circunstancias globales.

Por último, veamos si los resultados principales (237) y (241), obtenidos en esta sección, coinciden entre sí. Para ello, volvamos a la incidencia normal de una onda plana, monocromática desde el espacio libre sobre la superficie plana de un conductor perfecto (véase, por ejemplo, la Fig. 7.8 y su discusión), y utilicemos esos resultados para calcular el promedio de tiempo de la presión\(\ d F_{\text {surface }} / d A\) impuesta por la onda sobre la superficie. En la reflexión elástica de la superficie del conductor, el impulso del campo electromagnético conserva su amplitud pero invierte su signo, de modo que el impulso promedio transferido a una unidad de área de la superficie en una unidad de tiempo (es decir, la presión promedio) es

\[\ \frac{\overline{d F_{\text {surface }}}}{d A}=2 c g_{\text {incident }}=2 c \frac{\overline{S_{\text {incident }}}}{c^{2}}=2 c \frac{\overline{E H}}{c^{2}}=\frac{E_{\omega} H_{\omega}^{*}}{2},\tag{9.244}\]

donde\(\ E_{\omega}\) y\(\ H_{\omega}\) son amplitudes complejas de la ola incidente. Usando la relación (7.7) entre estas amplitudes (para\(\ \varepsilon=\varepsilon_{0}\) y\(\ \mu=\mu_{0}\) dar\(\ E_{\omega}=c B_{\omega}\)), obtenemos

\[\ \frac{\overline{d F_{\text {surface }}}}{d A}=\frac{1}{c} c B_{\omega} \frac{B_{\omega}^{*}}{\mu_{0}} \equiv \frac{\left|B_{\omega}\right|^{2}}{\mu_{0}}.\tag{9.245}\]

Por otro lado, como se discutió en la Sec. 7.3, en la superficie de un espejo perfecto el campo eléctrico se desvanece mientras el campo magnético se duplica, de manera que podemos usar la Eq. (241) con\(\ B\rightarrow B(t) =2 \operatorname{Re}\left[B_{\omega} \exp \{-i \omega t\}\right]\). Promediando la presión dada por la Ec. (241) a lo largo del tiempo, obtenemos

\[\ \overline{\frac{d F_{\text {surface }}}{d A}}=\frac{1}{2 \mu_{0}} \overline{\left(2 \operatorname{Re}\left[B_{\omega} e^{-i \omega t}\right]\right)^{2}}=\frac{\left|B_{\omega}\right|^{2}}{\mu_{0}},\tag{9.246}\]

es decir, el mismo resultado que la Ec. (245).

Para el desarrollo de la intuición física, es útil estimar la magnitud de la presión de radiación electromagnética. Incluso para una intensidad\(\ S_{n}\) de onda relativamente alta de\(\ 1 \mathrm{kW} / \mathrm{m}^{2}\) (cercana a la de la luz solar directa en la superficie de la Tierra), la presión\(\ 2 c g_{n}=2 S_{n} / c\) está algo por debajo\(\ 10^{-5} \mathrm{~Pa} \sim 10^{-10} \mathrm{bar}\). Aún así, este efecto extremadamente pequeño fue observado experimentalmente (por P. Lebedev) ya en 1899, dando una confirmación más de la teoría de Maxwell. Actualmente, hay intentos continuos de utilizar la presión de la luz del Sol para propulsar pequeñas naves espaciales, por ejemplo, el satélite LightSail 2 con una\(\ 32-\mathrm{m}^{2}\) vela, lanzado en 2019.

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Referencia

⁷¹ Aquí la suma implícita sobre el índice\(\ \alpha\) juega el papel similar a la derivada convectiva (188) en la sustitución de la derivada completa a lo largo del tiempo, de una manera que refleja la simetría del tiempo y el espacio en la relatividad especial. No quiero dedicarme más tiempo a justificar la ecuación (214), por las razones que quedarán claras de manera inminente.

⁷² En las unidades gaussianas, este coeficiente es\(\ (-1 / 16 \pi)\).

⁷³ Dado que las ecuaciones de movimiento de Lagrange son homogéneas, el cambio simultáneo de los signos de\(\ T\) y\(\ U\) no los cambia. Por lo tanto, no es importante cuál de las dos densidades de energía,\(\ u_{\mathrm{e}}\) o\(\ u_{\mathrm{m}}\), contamos como el potencial, y cuál como la energía cinética. (En realidad, tal dualidad de los dos componentes de energía de campo es típica para todas las mecánicas analíticas; véase, por ejemplo, la discusión en CM Sec. 2.2.)

⁷⁴ De esta manera, estamos utilizando la ecuación (219) solo como una suposición útil, lo que nos ha llevado a la definición de\(\ \theta^{\alpha \beta}\), y puede dejar su estricta justificación para cursos de teoría de campo más profundos.

⁷⁵ Al igual que el teorema de Poynting (233), la Ec. (234) puede obtenerse directamente de las ecuaciones de Maxwell, sin recurrir al formalismo de 4 vectores — véase, por ejemplo, Sec. 8.2.2 en D. Griffiths, Introducción a la electrodinámica, 3 ^rd ed., Prentice-Hall, 1999. Sin embargo, la derivación discutida anteriormente es superior porque muestra la maravillosa unidad entre las leyes de conservación de la energía y el impulso.

⁷⁶ Las mismas nociones se utilizan en la teoría de la tensión mecánica — véase, por ejemplo, CM Sec. 7.2.

⁷⁷ A veces se le llama el impulso oculto.

⁷⁸ Véase, e.g., CM Sec. 7.2.

⁷⁹ Por cierto, repitiendo estos argumentos para un condensador plano lleno de un dieléctrico lineal, podemos ver fácilmente que la Eq. (239) puede generalizarse para este caso reemplazando\(\ \varepsilon_{0}\) por\(\ \varepsilon\). Un reemplazo similar\(\ \left(\mu_{0} \rightarrow \mu\right)\) es válido para la Ec. (241) en un medio magnético lineal.

⁸⁰ La relación causal no es importante aquí. Especialmente en el caso de un superconductor, el campo magnético puede ser inducido por otra fuente, con la supercorriente superficial j simplemente protegiendo el volumen del superconductor de su penetración — ver Sec. 6.

⁸¹ Por supuesto, esta condición puede mantenerse “para siempre” solo para solenoides con cableado superconductor, pero incluso en solenoides de metal normal con inductancias practicables, las constantes de relajación de flujo\(\ L/R\) pueden ser bastante grandes (prácticamente, hasta unos minutos), bastante suficientes para llevar a cabo la fuerza medición.