10.1: Potenciales de Liénard-Wiechert

Un punto de partida conveniente para la discusión de la radiación por cargas relativistas es proporcionado por las ecuaciones (8.17) para los potenciales retardados. En el espacio libre, estas fórmulas, con la variable de integración cambiada de\(\ \mathbf{r}^{\prime}\) a\(\ \mathbf{r}^{\prime \prime}\) para la claridad de lo que sigue, se reducen a

\[\ \phi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(\mathbf{r}^{\prime \prime}, t-R / c\right)}{R} d^{3} r^{\prime \prime}, \quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{j}\left(\mathbf{r}^{\prime \prime}, t-R / c\right)}{R} d^{3} r^{\prime \prime}, \quad \text { with } \mathbf{R} \equiv \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime \prime}.\tag{10.1a}\]

Como recordatorio, las ecuaciones (1a) se derivaron de las ecuaciones de Maxwell sin ninguna restricción, y son muy naturales para situaciones con distribuciones continuas de la carga y/o corriente eléctrica. Sin embargo, para una carga de un solo punto, con

\[\ \rho(\mathbf{r}, t)=q \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right), \quad \mathbf{j}(\mathbf{r}, t)=q \mathbf{u} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right), \quad \text { with } \mathbf{u}=\dot{\mathbf{r}}^{\prime},\tag{10.1b}\]

donde\(\ \mathbf{r}^{\prime}\) está la posición instantánea de la carga, es más conveniente refundir las Ecuaciones (1a) en una forma explícita que no requeriría integración en cada caso particular. En efecto, como muestran las ecuaciones (1), los potenciales en un punto de observación dado\(\ \{\mathbf{r}, t\}\) son aportados por un solo punto específico\(\ \left\{\mathbf{r}^{\prime}\left(t_{\mathrm{ret}}\right), t_{\mathrm{ret}}\right\}\) de la trayectoria 4D de la partícula (llamada su línea mundial), lo que satisface la siguiente condición:

\[\ t_{\mathrm{ret}} \equiv t-\frac{R_{\mathrm{ret}}}{c},\tag{10.2}\]

donde\(\ t_{\mathrm{ret}}\) se llama el tiempo retardado, y\(\ R_{\text {ret }}\) es la longitud del siguiente vector de distancia

\[\ \mathbf{R}_{\mathrm{ret}} \equiv \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}^{\prime}\left(t_{\mathrm{ret}}\right)\tag{10.3}\]

— físicamente, la distancia recorrida por la onda electromagnética desde su emisión hasta la observación.

La reducción de las ecuaciones (1a) a una forma tan simple, sin embargo, requiere cierto cuidado. De hecho, su ingenua integración\(\ \mathbf{r}^{\prime \prime}\) daría los siguientes resultados aparentes pero erróneos:

\[\ \phi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R_{\text {ret }}}, \text { i.e. } \frac{\phi(\mathbf{r}, t)}{c}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q c}{R_{\text {ret }}} ; \quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q \mathbf{u}_{\text {ret }}}{R_{\text {ret }}}, \quad \color{red}\text { (WRONG!) }\tag{10.4}\]

donde\(\ \mathbf{u}_{\mathrm{ret}}\) es la velocidad de la partícula en el punto retardado\(\ \mathbf{r}^{\prime}\left(t_{\mathrm{ret}}\right)\). Eqs. (4) es un buen ejemplo de cómo la teoría de la relatividad (incluso la especial: -) no puede tomarse demasiado a la ligera. En efecto, las cadenas (9.84) - (9.85), formadas a partir de los potenciales aparentes (4), no obedecerían la regla de transformación de Lorentz (9.91), porque según las ecuaciones (2) - (3), la distancia\(\ R_{\text {ret }}\) también depende del marco de referencia en el que se mide.

Para corregir el error, necesitamos, en primer lugar, discutir las condiciones (2) - (3). Combinándolos (eliminando\(\ R_{\text {ret }}\)), obtenemos la siguiente ecuación para\(\ t_{\mathrm{ret}}\):

\ [\ c\ izquierda (t-t_ {\ mathrm {ret}}\ derecha) =\ izquierda|\ mathbf {r} (t) -\ mathbf {r} ^ {\ prime}\ izquierda (t_ {\ mathrm {ret}}\ derecha)\ derecha|. \ quad\ quad\ quad\ quad\ text {
Tiempo retardado}\ tag {10.5}\]

^{La Figura 1 representa la solución gráfica de esta ecuación de autoconsistencia como el único punto de intersección del cono de luz del punto de observación (ver Fig. 9.9 y su discusión) y la línea mundial de la partícula.}

Fig. 10.1. Solución gráfica de la Ec. (5).

En la Ec. (5), al igual que en las ecuaciones (1) - (3), todas las variables tienen que medirse en el mismo marco de referencia inercial (“lab”), en el que descansa el punto de observación r. Ahora escribamos ecuaciones (1) para una carga puntual en otro marco de referencia inercial 0', cuya velocidad (medida en el cuadro de laboratorio) coincide, por el momento\(\ t^{\prime}=t_{\mathrm{ret}}\), con la velocidad\(\ \mathbf{u}_{\text {ret }}\) de la carga. En ese marco, la carga descansa, de manera que, como sabemos por la electro- y magnetostática,

\[\ \phi^{\prime}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{\prime}}, \quad \mathbf{A}^{\prime}=0.\tag{10.6a}\]

(Recuerde que esto\(\ R^{\prime}\) puede no ser igual a\(\ R_{\mathrm{ret}}\), porque esta última distancia se mide en el marco de referencia “lab”). Volvamos a usar la identidad\(\ 1 / \varepsilon_{0} \equiv \mu_{0} c^{2}\) para reescribir las ecuaciones (6a) en forma de componentes de un vector 4 similar en estructura a la Eq. (4):

\[\ \frac{\phi^{\prime}}{c}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} q \frac{c}{R^{\prime}}, \quad \mathbf{A}^{\prime}=0.\tag{10.6b}\]

Ahora es fácil adivinar la respuesta correcta para el 4-potencial para un marco de referencia arbitrario:

\[\ A^{\alpha}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} q \frac{c u^{\alpha}}{u_{\beta} R^{\beta}},\tag{10.7}\]

donde (principalmente como recordatorio),\(\ A^{\alpha} \equiv\{\phi / c, \mathbf{A}\}, u^{\alpha} \equiv \gamma\{c, \mathbf{u}\}\), y\(\ R^{\alpha}\) es un vector 4 de la distancia entre eventos, formado de manera similar a la de un solo evento — cf. Ec. (9.48):

\[\ R^{\alpha} \equiv\left\{c\left(t-t^{\prime}\right), \mathbf{R}^{\prime}\right\} \equiv\left\{c\left(t-t^{\prime}\right), \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right\}.\tag{10.8}\]

De hecho, necesitábamos el vector 4\(\ A^{\alpha}\) que:

(i) obedecer a la transformación de Lorentz,

(ii) tener sus componentes espaciales\(\ A_{j}\) escalando, a baja velocidad, como\(\ u_{j}\), y

(iii) reducirse al resultado correcto (6) en el marco de referencia que se mueve con la carga.

Eq. (7) evidentemente satisface todos estos requisitos, porque el producto escalar en su denominador es justo

\[\ u_{\beta} R^{\beta}=\gamma\{c,-\mathbf{u}\} \cdot\left\{c\left(t-t^{\prime}\right), \mathbf{R}\right\} \equiv \gamma\left[c^{2}\left(t-t^{\prime}\right)-\mathbf{u} \cdot \mathbf{R}\right] \equiv \gamma c(R-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{R}) \equiv \gamma c R(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}),\tag{10.9}\]

donde\(\ \mathbf{n} \equiv \mathbf{R} / R\) es un vector unitario en la dirección del observador,\(\ \boldsymbol{\beta} \equiv \mathbf{u} / c\) es la velocidad normalizada de la partícula, y\(\ \gamma \equiv 1 /\left(1-u^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}\). En el marco de referencia de la carga (en que\(\ \boldsymbol{\beta}=0\) y\(\ \gamma=1\)), la
expresión (9) se reduce a\(\ cR\), de manera que la Ec. (7) se reduce correctamente a la Ec. (6b). Ahora vamos a deletrear los componentes de la ecuación (7) para el marco de laboratorio (en el cual\(\ t^{\prime}=t_{\text {ret }}\) y\(\ R=R_{\text {ret }}\)):

\[\ \phi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(R-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{R})_{\mathrm{ret}}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q\left[\frac{1}{R(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})}\right]_{\mathrm{ret}},\tag{10.10a}\]

Potenciales de Liénard-Wiechert

\[\ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} q\left(\frac{\mathbf{u}}{R-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{R}}\right)_{\mathrm{ret}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} q c\left[\frac{\boldsymbol{\beta}}{R(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})}\right]_{\mathrm{ret}} \equiv \phi(\mathbf{r}, t) \frac{\mathbf{u}_{\mathrm{ret}}}{c^{2}}.\tag{10.10b}\]

Estas fórmulas se llaman los potenciales de Liénard-Wiechert. ² En el límite no relativista, coinciden con la suposición ingenua (4), pero en el caso general incluyen un factor adicional\(\ 1 /(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})_{\mathrm{ret}}\). Su origen físico puede ser iluminado por un cálculo formal más —cuyo resultado necesitaremos de todos modos. Diferenciemos la relación geométrica (5), reescrita como

\[\ R_{\mathrm{ret}}=c\left(t-t_{\mathrm{ret}}\right),\tag{10.11}\]

una\(\ t_{\text {ret }}\) y otra vez, independientemente, sobre\(\ t\), asumiendo que r es fija. Para ello, primero diferenciemos, sobre\(\ t_{\mathrm{ret}}\), ambos lados de la identidad\(\ R_{\mathrm{ret}}{ }^{2}=\mathbf{R}_{\mathrm{ret}} \cdot \mathbf{R}_{\mathrm{ret}}\):

\[\ 2 R_{\mathrm{ret}} \frac{\partial R_{\mathrm{ret}}}{\partial t_{\mathrm{ret}}}=2 \mathbf{R}_{\mathrm{ret}} \cdot \frac{\partial \mathbf{R}_{\mathrm{ret}}}{\partial t_{\mathrm{ret}}}.\tag{10.12}\]

Si r es fijo, entonces\(\ \partial \mathbf{R}_{\mathrm{ret}} / \partial t_{\mathrm{ret}} \equiv \partial\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) / \partial t_{\mathrm{ret}}=-\partial \mathbf{r}^{\prime} / \partial t_{\mathrm{ret}} \equiv-\mathbf{u}_{\mathrm{ret}}\), y la Ec. (12) rinde

\[\ \frac{\partial R_{\mathrm{ret}}}{\partial t_{\mathrm{ret}}}=\frac{\mathbf{R}_{\mathrm{ret}}}{R_{\mathrm{ret}}} \cdot \frac{\partial \mathbf{R}_{\mathrm{ret}}}{\partial t_{\mathrm{ret}}}=-(\mathbf{n} \cdot \mathbf{u})_{\mathrm{ret}}.\tag{10.13}\]

Ahora diferenciemos lo mismo\(\ R_{\text {ret }}\) sobre\(\ t\). Por un lado, la ecuación (11) rinde

\[\ \frac{\partial R_{\mathrm{ret}}}{\partial t}=c-c \frac{\partial t_{\mathrm{ret}}}{\partial t}.\tag{10.14}\]

Por otro lado, de acuerdo con la Ec. (5), en la diferenciación parcial a lo largo del tiempo, es decir, si r\(\ t_{\mathrm{ret}}\) es fijo, es una función de\(\ t\) solo, de modo que (usando la Ec. (13) en el segundo paso), podemos escribir

\[\ \frac{\partial R_{\mathrm{ret}}}{\partial t_{\mathrm{ret}}}=\frac{\partial R_{\mathrm{ret}}}{\partial t_{\mathrm{ret}}} \frac{\partial t_{\mathrm{ret}}}{\partial t}=-(\mathbf{n} \cdot \mathbf{u})_{\mathrm{ret}} \frac{\partial t_{\mathrm{ret}}}{\partial t}.\tag{10.15}\]

Ahora requiriendo las ecuaciones (14) y (15) para dar el mismo resultado, obtenemos: ³

\[\ \frac{\partial t_{\mathrm{ret}}}{\partial t}=\frac{c}{c-(\mathbf{n} \cdot \mathbf{u})_{\mathrm{ret}}}=\left(\frac{1}{1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}}\right)_{\mathrm{ret}}.\tag{10.16}\]

Esta relación puede ser fácilmente re-derivada (y entendida más claramente) para el caso particular simple cuando la velocidad de la carga se dirige directamente hacia el punto de observación. En este caso, su vector u reside en el mismo plano espacio-tiempo que la línea mundial del punto de observación\(\ \mathbf{r}=\mathrm{const}\) —digamos, el plano\(\ [x, t]\), mostrado en la Fig. 2.

Fig. 10.2. Derivando la Ec. (16) para el caso\(\ \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}=\beta\).

Consideremos un intervalo de tiempo elemental\(\ d t_{\mathrm{ret}} \equiv d t’\), durante el cual la partícula recorrería el intervalo espacial\(\ d x_{\mathrm{ret}}=u_{\mathrm{ret}} d t_{\mathrm{ret}}\). En la Fig. 2, el segmento correspondiente de su línea mundial se muestra con un vector sólido. Los vectores punteados en esta figura muestran las líneas mundiales de la radiación emitida por la partícula al principio y al final de este intervalo, y propagándose con la velocidad de la luz\(\ c\). Como se desprende del dibujo, el intervalo de tiempo\(\ dt\) entre los instantes de la llegada de la radiación desde estos dos puntos hasta cualquier punto de observación espacial independiente del tiempo es

\[\ d t=d t_{\mathrm{ret}}-\frac{d x_{\mathrm{ret}}}{c}=d t_{\mathrm{ret}}-\frac{u_{\mathrm{ret}}}{c} d t_{\mathrm{ret}}, \quad \text { so that } \frac{d t_{\mathrm{ret}}}{d t}=\frac{1}{1-u_{\mathrm{ret}} / c} \equiv \frac{1}{1-\beta_{\mathrm{ret}}}.\tag{10.17}\]

Esta expresión coincide con la Ec. (16), porque en nuestro caso particular cuando las direcciones de los vectores\(\ \boldsymbol{\beta} \equiv \mathbf{u} / c\) y\(\ \mathbf{n} \equiv \mathbf{R} / R\) (ambas tomadas en el tiempo\(\ t_{\mathrm{ret}}\)) coinciden, y por lo tanto\(\ (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})_{\mathrm{ret}}=\beta_{\mathrm{ret}}\). Ahora bien, la ecuación general (16) puede interpretarse diciendo que la velocidad de la partícula en las direcciones transversales (normal al vector n) no es importante para este efecto cinemático ⁴ —el hecho casi evidente de la figura 1.

Entonces, el factor adicional en los potenciales de Liénard-Wiechert es solo el derivado\(\ \partial t_{\mathrm{ret}} / \partial t\). El motivo de su aparición en las ecuaciones (10) se suele interpretar siguiendo las siguientes líneas. Dejar que la carga\(\ q\) se extienda a lo largo de la dirección del vector\(\ \mathbf{R}_{\mathrm{ret}}\) (en la Fig. 2, a lo largo del eje x) por un intervalo infinitesimal independiente de la velocidad\(\ \delta x_{\mathrm{ret}}\), de manera que la densidad lineal\(\ \lambda\) de su carga sea proporcional a\(\ 1 / \delta x_{\mathrm{ret}}\). Entonces la tasa de tiempo de llegada de la carga a algún punto espacial es\(\ \lambda u_{\mathrm{ret}}=\lambda d x_{\mathrm{ret}} / d t_{\mathrm{ret}}\). Sin embargo, la tasa de llegada de la radiación al punto de observación escala como\(\ 1 / d t\), de manera que debido a la velocidad distinta de cero\(\ \mathbf{u}_{\mathrm{ret}}\) de la partícula, esta tasa difiere de la tasa de llegada de carga por el factor de\(\ d t_{\mathrm{ret}} / d t\), dada por la Ec. (16). (Si la partícula se mueve hacia el punto de observación\(\ (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})_{\mathrm{ret}}>0\), como se muestra en la Fig. 2, este factor es mayor que 1.) Este efecto de compresión de radiación conduce al cambio de campo (at\(\ (\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})_{\mathrm{ret}}>0\), su mejora) por el mismo factor (16) —como lo describen las ecuaciones (10).

Entonces, el formalismo de 4 vectores fue muy instrumental para el cálculo de los potenciales de campo. También se puede usar para calcular los campos E y B, tapando la Eq. (7) en la Eq. (9.124) para calcular el tensor de intensidad de campo. Este cálculo rinde

\[\ F^{\alpha \beta}=\frac{\mu_{0} q}{4 \pi} \frac{1}{u_{\gamma} R^{\gamma}} \frac{d}{d \tau}\left[\frac{R^{\alpha} u^{\beta}-R^{\beta} u^{\alpha}}{u_{\delta} R^{\delta}}\right].\tag{10.18}\]

Ahora usando la Ec. (9.125) para identificar los elementos de este tensor con los componentes del campo, podemos llevar el resultado a la siguiente forma vectorial: ⁵

\[\ \mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta}}{\gamma^{2}(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^{3} R^{2}}+\frac{\mathbf{n} \times\{(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\}}{(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^{3} c R}\right]_{\mathrm{ret}},\tag{10.19}\]

Campos de partículas relativistas

\[\ \mathbf{B}=\frac{\mathbf{n}_{\mathrm{ret}} \times \mathbf{E}}{c}, \quad \text { i.e. } \mathbf{H}=\frac{\mathbf{n}_{\mathrm{ret}} \times \mathbf{E}}{Z_{0}}.\tag{10.20}\]

Así, los campos magnéticos y eléctricos de una partícula relativista son siempre proporcionales y perpendiculares entre sí, y relacionados al igual que en una onda plana — cf. Ec. (7.6), con la diferencia de que ahora el vector nret puede ser una función del tiempo. Superficialmente, este resultado contradice la electro- y magnetostática, porque para una partícula en reposo, B debería desaparecer mientras E permanece finito. No obstante, señalar que de acuerdo a la ley de Coulomb por un punto de cobro, en este caso\(\ \mathbf{E}=E \mathbf{n}_{\text {ret }}\), de manera que eso\(\ \mathbf{B} \propto \mathbf{n}_{\mathrm{ret}} \times \mathbf{E} \propto \mathbf{n}_{\mathrm{ret}} \times \mathbf{n}_{\mathrm{ret}}=0\). (En realidad, en estas relaciones, el subíndice “ret” es innecesario.)

Como comprobación de cordura, utilicemos la Eq. (19) como una forma alternativa de encontrar el campo eléctrico de una carga moviéndose sin aceleración, es decir, de manera uniforme, a lo largo de una línea recta — ver Fig. 9.11a reproducida, con cambios menores, en la Fig. 3. (Este cálculo también ilustrará los desafíos técnicos de las aplicaciones prácticas de las fórmulas de Liénard-Wiechert incluso para casos simples). En este caso, el vector\(\ \boldsymbol{\beta}\) no cambia en el tiempo, de manera que el segundo término en la ecuación (19) se desvanece, y todo lo que tenemos que hacer es deletrear los componentes cartesianos del primer término.

Seleccionemos los ejes de coordenadas y el origen del tiempo de la manera mostrada en la Fig. 3, y hagamos una clara distinción entre la posición real,\(\ \mathbf{r}^{\prime}(t)=\{u t, 0,0\}\) de la partícula cargada en el instante\(\ t\) que estamos considerando, y su posición\(\ \mathbf{r}^{\prime}\left(t_{\mathrm{ret}}\right)\) en el instante retardado definido por la Ec. (5), es decir, el momento cuando el campo de la partícula tuvo que ser irradiado para alcanzar el punto de observación r en el momento dado\(\ t\), propagándose con la velocidad de la luz. En estas coordenadas

\[\ \boldsymbol{\beta}=\{\beta, 0,0\}, \quad \mathbf{r}=\{0, b, 0\}, \quad \mathbf{r}^{\prime}\left(t_{\mathrm{ret}}\right)=\left\{u t_{\mathrm{ret}}, 0,0\right\}, \quad \mathbf{n}_{\mathrm{ret}}=\{\cos \theta, \sin \theta, 0\},\tag{10.21}\]

con\(\ \cos \theta=-u t_{\mathrm{ret}} / R_{\mathrm{ret}}\), de manera que\(\ \left[(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})_{x}\right]_{\mathrm{ret}}=-u t_{\mathrm{ret}} / R_{\mathrm{ret}}-\beta\), y la Ec. (19) rinde, en particular:

\[\ E_{x}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{-u t_{\mathrm{ret}} / R_{\mathrm{ret}}-\beta}{\gamma^{2}\left[(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^{3} R^{2}\right]_{\mathrm{ret}}} \equiv \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{-u t_{\mathrm{ret}}-\beta R_{\mathrm{ret}}}{\gamma^{2}\left[(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^{3} R^{3}\right]_{\mathrm{ret}}}.\tag{10.22}\]

Fig. 10.3. El problema de carga linealmente móvil.

Pero de acuerdo con la Ec. (5), el producto\(\ \beta R_{\mathrm{ret}}\) puede representarse como\(\ \beta c\left(t-t_{\mathrm{ret}}\right) \equiv u\left(t-t_{\mathrm{ret}}\right)\). Conectando esta expresión a la ecuación (22), podemos eliminar la dependencia explícita del\(\ E_{x}\) tiempo\(\ t_{\mathrm{ret}}\):

\[\ E_{x}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{-u t}{\gamma^{2}[(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R]_{\mathrm{ret}}^{3}}.\tag{10.23}\]

El único componente transversal distinto de cero del campo también tiene una forma similar:

\[\ E_{y}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{\sin \theta}{\gamma^{2}(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^{3} R^{2}}\right]_{\mathrm{ret}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{b}{\gamma^{2}[(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R]_{\mathrm{ret}}^{3}},\tag{10.24}\]

mientras\(\ E_{z}=0\). De la Fig. 3,\(\ \boldsymbol{\beta}-\mathbf{n}_{\mathrm{ret}}=\beta \cos \theta=-\beta u t_{\mathrm{ret}} / R_{\mathrm{ret}}\), para que\(\ (1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R_{\mathrm{ret}} \equiv R_{\mathrm{ret}}+\beta u t_{\mathrm{ret}}\), y podamos volver a usar la Eq. (5) para obtener\(\ (1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R_{\mathrm{ret}}=c\left(t-t_{\mathrm{ret}}\right)+\beta u t_{\mathrm{ret}} \equiv c t-c t_{\mathrm{ret}} / \gamma^{2}\). Lo que queda es calcular a\(\ t_{\mathrm{ret}}\) partir de la ecuación de autoconsistencia (5), cuyo cuadrado en nuestro caso actual (Fig. 3) toma la forma

\[\ R_{\mathrm{ret}}^{2} \equiv b^{2}+\left(u t_{\mathrm{ret}}\right)^{2}=c^{2}\left(t-t_{\mathrm{ret}}\right)^{2}.\tag{10.25}\]

Esta es una ecuación cuadrática simple para tret, que (con el signo negativo apropiado antes de la raíz cuadrada, para obtener\(\ t_{\mathrm{ret}}<t\)) rinde:

\[\ t_{\mathrm{ret}}=\gamma^{2} t-\left[\left(\gamma^{2} t\right)^{2}-\gamma^{2}\left(t^{2}-b^{2} / c^{2}\right)\right]^{1 / 2} \equiv \gamma^{2} t-\frac{\gamma}{c}\left(u^{2} \gamma^{2} t^{2}+b^{2}\right)^{1 / 2},\tag{10.26}\]

de manera que la única combinación de función retardada que participa en las ecuaciones. (23) - (24) es

\[\ [(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}) R]_{\mathrm{ret}}=\frac{c}{\gamma^{2}}\left(u^{2} \gamma^{2} t^{2}+b^{2}\right)^{1 / 2},\tag{10.27}\]

y, finalmente, los componentes del campo eléctrico son

\[\ E_{x}=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\gamma u t}{\left(b^{2}+\gamma^{2} u^{2} t^{2}\right)^{3 / 2}}, \quad E_{y}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\gamma b}{\left(b^{2}+\gamma^{2} u^{2} t^{2}\right)^{3 / 2}}, \quad E_{z}=0.\tag{10.28}\]

Estas son exactamente las ecuaciones (9.139), ⁶ las cuales se habían obtenido en la Sec. 9.5 por medios mucho más simples, sin la necesidad de resolver la ecuación de autoconsistencia (5). Sin embargo, ese enfoque alternativo se basó esencialmente en el movimiento inercial de la partícula, y no se puede utilizar en problemas en los que la partícula se mueve con aceleración. En tales problemas, el segundo término en la Ec. (19), bajando con la distancia más lentamente, como 1/Rret, y de ahí describir la radiación de onda, es esencial y lo más importante.

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Referencia

¹ Como muestra la Fig. 1, siempre hay otro punto “avanzado”\(\ \left\{\mathbf{r}^{\prime}\left(t_{\mathrm{adv}}\right), t_{\mathrm{adv}}\right\}\) de la línea mundial de la partícula, con\(\ t_{\mathrm{adv}}>t\), que también es una solución de la Eq. (5), pero no se ajusta a las ecuaciones (1), porque la observación, en el punto\(\ \left\{\mathbf{r}, t<t_{\mathrm{adv}}\right\}\), del campo inducido en el punto avanzado, violaría el principio de causalidad.

² Fueron derivados en 1898 por Alfred-Marie Liénard y (independientemente) en 1900 por Emil Wiechert.

³ Esta relación puede ser utilizada para una derivación alternativa de las ecuaciones (10) directamente de las ecuaciones (1), el ejercicio altamente recomendado para el lector.

⁴ Obsérvese que este efecto (lineal en\(\ \beta\)) no tiene nada que ver con la dilatación temporal de Lorentz (9.21), que es cuadrática en\(\ \beta\). (De hecho, todos nuestros argumentos anteriores se referían al mismo marco de laboratorio.) Más bien, es de naturaleza cercana al efecto Doppler.

⁵ Una forma alternativa de derivar estas fórmulas (muy recomendable para el lector como ejercicio) es enchufar las ecuaciones (10) en las relaciones generales (9.121), y realizar directamente las diferenciaciones temporales y espaciales requeridas, utilizando la Ec. (16) y su contraparte espacial (que puede derivarse absolutamente similar):

\(\ \nabla t_{\mathrm{ret}}=-\left[\frac{\mathbf{n}}{c(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})}\right]_{\mathrm{ret}}.\)

⁶ Un cálculo similar de componentes del campo magnético a partir de la ecuación (20) da los resultados idénticos a las ecuaciones (9.140).