10.2: Potencia de radiación

Calculemos la distribución angular de la radiación de la partícula. Para ello, necesitamos regresar a las ecuaciones (19) - (20) para encontrar el vector Poynting\(\ \mathbf{S}=\mathbf{E} \times \mathbf{H}\), y en particular su componente radial\(\ S_{n}=\mathbf{S} \cdot \mathbf{n}_{\mathrm{ret}}\), a grandes distancias\(\ R\) de la partícula. Siguiendo la tradición, ⁷ expresamos el resultado como la energía irradiada en unidad de ángulo sólido por unidad\(\ d t_{\mathrm{rad}}\) de intervalo de tiempo de la radiación, en lugar de esa (\(\ dt\)) de su medición. (Tendremos que volver al tiempo de medición\(\ t\) en la siguiente sección, para calcular el espectro de radiación observado.) Usando la Eq. (16), obtenemos

\[\ \frac{d \mathscr{P}}{d \Omega} \equiv-\frac{d \mathscr{E}}{d \Omega d t_{\mathrm{ret}}}=\left(R^{2} S_{n}\right)_{\mathrm{ret}} \frac{\partial t}{\partial t_{\mathrm{ret}}}=(\mathbf{E} \times \mathbf{H}) \cdot\left[R^{2} \mathbf{n}(1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})\right]_{\mathrm{ret}}.\tag{10.29}\]

A distancias suficientemente grandes de la partícula, es decir, en el límite\(\ R_{\mathrm{ret}} \rightarrow \infty\) (en la zona de radiación), la contribución del primer término (esencialmente, el campo de culombios) entre corchetes de la ecuación (19) se desvanece a medida que\(\ 1 / R^{2}\), y la sustitución del término restante en ecuaciones (20) y luego (29) rinde la siguiente fórmula, válida para una ley arbitraria de movimiento de partículas: ⁸

\[\ \text{Radiation power density}\quad\quad\quad\quad \frac{d \mathscr{P}}{d \Omega}=\frac{Z_{0} q^{2}}{(4 \pi)^{2}} \frac{|\mathbf{n} \times[(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}]|^{2}}{(1-\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^{5}}.\tag{10.30}\]

Ahora, apliquemos este importante resultado a algunos casos simples. En primer lugar, la Ec. (30) dice que una carga que se mueve con una velocidad constante\(\ \boldsymbol{\beta}\) no irradia en absoluto. Esto podría esperarse de nuestro análisis de este caso en la Sec. 9.5 porque en el marco de referencia que se mueve con la carga solo produce el campo electrostático de Coulomb, es decir, sin radiación.

A continuación, consideremos un movimiento lineal de una carga puntual con una aceleración distinta de cero, dirigida a lo largo de la línea recta del movimiento. En este caso, con los ejes de coordenadas seleccionados mostrados en la Fig. 4a, cada uno de los vectores involucrados en la Ec. (30) tiene como máximo dos componentes cartesianos distintos de cero:

\[\ \mathbf{n}=\{\sin \theta, 0, \cos \theta\}, \quad \boldsymbol{\beta}=\{0,0, \beta\}, \quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\{0,0, \dot{\beta}\},\tag{10.31}\]

donde\(\ \theta\) está el ángulo entre las direcciones del movimiento de la partícula y de la propagación de la radiación. Conectando estas expresiones a la ecuación (30) y realizando las multiplicaciones vectoriales, obtenemos fácilmente

\[\ \frac{d \mathscr{P}}{d \Omega}=\frac{Z_{0} q^{2}}{(4 \pi)^{2}} \dot{\beta}^{2} \frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\beta \cos \theta)^{5}}.\tag{10.32}\]

La Figura 4b muestra la distribución angular de esta radiación, para tres valores de la velocidad de la partícula\(\ u\).

Fig. 10.4. Radiación de partículas a aceleración lineal: (a) la geometría del problema, y (b) la última fracción de la ecuación (32) en función del ángulo\(\ \theta\).

Si la velocidad es relativamente baja\(\ (u<<c \text {, i.e. } \beta<<1)\), el denominador en la Ec. (32) es muy cercano a 1 para todos los ángulos de observación\(\ \theta\), de manera que la distribución angular de la potencia de radiación es cercana a\(\ \sin ^{2} \theta\) — tal como se desprende de la fórmula general no relativista de Larmor (8.26), para nuestro caso actual con \(\ \Theta=\theta\). Sin embargo, a medida que aumenta la velocidad, el denominador se vuelve menor que 1 para\(\ \theta<\pi / 2\), es decir, para las direcciones orientadas hacia adelante, y mayor que 1 para las direcciones posteriores. Como resultado, se incrementa la radiación en la dirección del movimiento de la partícula (¡algo contraintuitivamente, independientemente del signo de la aceleración!) , mientras que eso en la dirección de atrás se suprime. Para las partículas ultrarrelativistas\(\ (\beta \rightarrow 1)\), esta tendencia se agrava fuertemente y domina la radiación a ángulos de avance muy pequeños. Para describir esta parte principal de la distribución angular, podemos ampliar las funciones trigonométricas de\(\ \theta\) participar en la ecuación (32) en la serie Taylor en pequeña\(\ \theta\), y mantener solo sus términos principales:\(\ \sin \theta \approx \theta, \cos \theta \approx 1-\theta^{2} / 2\), para que\(\ (1-\beta \cos \theta) \approx\left(1+\gamma^{2} \theta^{2}\right) / 2 \gamma^{2}\). La expresión resultante,

\[\ \frac{d \mathscr{P}}{d \Omega} \approx \frac{2 Z_{0} q^{2}}{\pi^{2}} \dot{\beta}^{2} \gamma^{8} \frac{(\gamma \theta)^{2}}{\left(1+\gamma^{2} \theta^{2}\right)^{5}}, \quad \text { for } \gamma >> 1,\tag{10.33}\]

describe una distribución estrecha de la radiación “cono hueco”, con su máximo en el ángulo

\[\ \theta_{0}=\frac{1}{2 \gamma}<<1.\tag{10.34}\]

Otro aspecto importante de la ecuación (33) es cuán extremadamente rápido (as\(\ \gamma^8\)) crece la densidad de radiación con el factor Lorentz\(\ \gamma\), es decir, con la energía de la partícula\(\ \mathscr{E}=\gamma m c^{2}\).

Aún así, la potencia total radiada\(\ \mathscr{P}\) (en todos los ángulos de observación) a la aceleración lineal no es demasiado alta para ningún valor practicable de parámetros. Para mostrar esto, primero calculemos\(\ \mathscr{P}\) para un movimiento arbitrario de la partícula. Para comenzar, permítanme demostrar cómo se\(\ \mathscr{P}\) puede encontrar (o más bien adivinado) a partir de los argumentos relativistas generales. En la Sec. 8.2, hemos derivado la Ec. (8.27) para la potencia de la radiación dipolar eléctrica para un movimiento de partícula no relativista. Ese resultado es válido, en particular, para una partícula cargada, cuya derivada del momento dipolo eléctrico a lo largo del tiempo puede expresarse como\(\ d(q \mathbf{r}) / d t=(q / m) \mathbf{p}\), donde\(\ \mathbf{p}\) está
el momento mecánico lineal de la partícula (no su momento dipolo eléctrico). Como resultado, la fórmula de Larmor (8.27) en el espacio libre, es decir, con\(\ \nu=c\) (pero\(\ u<<c\)) se reduce a

\[\ \mathscr{P}=\frac{Z_{0}}{6 \pi c^{2}}\left(\frac{q}{m} \frac{d p}{d t}\right)^{2} \equiv \frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2}}\left(\frac{d \mathbf{p}}{d t} \cdot \frac{d \mathbf{p}}{d t}\right), \quad \text { for } u<<c.\tag{10.35}\]

Esto evidentemente no es un resultado invariante de Lorentz, pero da una clara pista de cómo tal invariante, que se reduciría a la Ec. (35) en el límite no relativista, puede formarse:

\[\ \mathscr{P}=-\frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2}}\left(\frac{d p_{\alpha}}{d \tau} \cdot \frac{d p^{\alpha}}{d \tau}\right) \equiv \frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2}}\left[\left(\frac{d \mathbf{p}}{d \tau}\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{d \mathscr{E}}{d \tau}\right)^{2}\right].\tag{10.36}\]

Usando las expresiones relativistas\(\ \mathbf{p}=\gamma m c \boldsymbol{\beta}, \mathscr{E}=\gamma m c^{2}, \text { and } d \tau=d t / \gamma\), la última fórmula puede ser refundido en la llamada extensión Liénard de la fórmula Larmor: ⁹

\[\ \text{Total radiation power via }\beta\quad\quad\quad\quad\mathscr{P}=\frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi} \gamma^{6}\left[(\dot{\boldsymbol{\beta}})^{2}-(\boldsymbol{\beta} \times \dot{\boldsymbol{\beta}})^{2}\right] \equiv \frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi} \gamma^{4}\left[(\dot{\boldsymbol{\beta}})^{2}+\gamma^{2}(\boldsymbol{\beta} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}})^{2}\right].\tag{10.37}\]

También se puede obtener por integración directa de la Ec. (30) sobre el ángulo sólido completo, confirmando así nuestra suposición.

Sin embargo, para algunas aplicaciones, es beneficioso expresar solo a\(\ \mathscr{P}\) través de la evolución temporal del impulso de la partícula. Para ello, podemos diferenciar la relación relativista fundamental (9.78),\(\ \mathscr{E}^{2}=\left(m c^{2}\right)^{2}+(p c)^{2}\), sobre el tiempo adecuado\(\ \tau\) para obtener

\[\ \text{Total radiation power via p}\quad\quad\quad\quad 2\mathscr{E} \frac{d{\mathscr{E}}}{d \tau}=2 c^{2} p \frac{d p}{d \tau}, \quad\quad\quad \text { i.e. } \frac{d \mathscr{E}}{d \tau}=\frac{c^{2} p}{\mathscr{E}} \frac{d p}{d \tau}=u \frac{d p}{d \tau},\tag{10.39}\]

Tenga en cuenta la diferencia entre las derivadas al cuadrado en esta expresión: en la primera de ellas tenemos que diferenciar primero el vector de momentum p, y solo entonces formar un escalar al cuadrado la derivada vectorial resultante, mientras que en el segundo caso, solo la magnitud del vector tiene que ser diferenciadas. Por ejemplo, para el movimiento circular con una velocidad constante (a analizar en detalle en la siguiente sección), el segundo término se desvanece, mientras que el primero no.

Sin embargo, si volvemos al caso más simple de aceleración lineal (Fig. 4), entonces\(\ (d \mathbf{p} / d \tau)^{2}= (dp/d\tau)^2\), y la Ec. (39) se reduce a

\[\ \mathscr{P}=\frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2}}\left(\frac{d p}{d \tau}\right)^{2}\left(1-\beta^{2}\right) \equiv \frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2}}\left(\frac{d p}{d \tau}\right)^{2} \frac{1}{\gamma^{2}} \equiv \frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2}}\left(\frac{d p}{d t_{\mathrm{ret}}}\right)^{2},\tag{10.40}\]

es decir, coincide formalmente con la relación no relativista (35). Para tener una mejor sensación de la magnitud de esta radiación, podemos combinar la Eq. (9.144) con\(\ \mathbf{B}=0\), y la Eq. (9.148) con\(\ \mathbf{E} \| \mathbf{u}\) para obtener\(\ d p / d t_{\mathrm{ret}}=d\mathscr{E}/dz’\), donde\(\ z^{\prime}\) está la coordenada de la partícula en este momento\(\ t_{\mathrm{ret}}\). La última relación nos permite reescribir la Eq. (40) en la siguiente forma:

\[\ \mathscr{P}=\frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2}}\left(\frac{d \mathscr{E}}{d z}\right)^{2} \equiv \frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2}} \frac{d \mathscr{E}}{d z^{\prime}} \frac{d \mathscr{E}}{d t_{\mathrm{ret}}} \frac{d t_{\mathrm{ret}}}{d z^{\prime}} \equiv \frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi m^{2} c^{2} u} \frac{d \mathscr{E}}{d z^{\prime}} \frac{d \mathscr{E}}{d t_{\mathrm{ret}}}.\tag{10.41}\]

Para el caso más importante de movimiento ultrarrelativista\(\ (u \rightarrow c)\), este resultado se reduce a

\[\ \frac{\mathscr{P}}{d \mathscr{E} / d t_{\mathrm{ret}}} \approx \frac{2}{3} \frac{d\left(\mathscr{E} / m c^{2}\right)}{d\left(z^{\prime} / r_{\mathrm{c}}\right)},\tag{10.42}\]

donde\(\ r_{\mathrm{c}}\) es el radio clásico de la partícula, definido por la Ec. (8.41). Esta fórmula muestra que la potencia radiada, es decir, el cambio de la energía de la partícula debido a la radiación, es mucho menor que la debida al campo de aceleración a menos que se obtenga energía tan grande como\(\ \sim m c^{2}\) se gana en el radio clásico de la partícula. Por ejemplo, para un electrón, con\(\ r_{\mathrm{c}} \approx 3 \times 10^{-15} \mathrm{~m}\) y\(\ m c^{2}=m_{\mathrm{e}} c^{2} \approx 0.5 \mathrm{MeV}\), tal aceleración requeriría el campo eléctrico de aceleración del orden de\(\ (0.5 \mathrm{MV}) /\left(3 \times 10^{-15} \mathrm{~m}\right) \sim 10^{14} \mathrm{MV} / \mathrm{m}\), mientras que los campos de aceleración practicables están por debajo\(\ 10^{3} \mathrm{MV} / \mathrm{m}\) —limitados por los efectos de ruptura eléctrica. (Como lo describe el factor\(\ m^{2}\) en el denominador de la Ec. (41), para partículas más pesadas como los protones, las pérdidas relativas son aún menores). Tales pérdidas radiativas insignificantes de energía son en realidad una gran ventaja de los aceleradores lineales, como el famoso SLAC de dos kilómetros de largo, ¹⁰ que puede acelerar electrones o positrones a energías de hasta 50 GeV, es decir, a\(\ \gamma \approx 10^{5}\). Si el objetivo es obtener radiación de las partículas aceleradas, se puede lograr fácilmente doblando sus trayectorias usando campos magnéticos adicionales; vea la siguiente sección.

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Referencia

⁷ Esta tradición puede estar razonablemente justificada. En efecto, podemos decir que el campo de radiación “se desprende” de la partícula en momentos cercanos a\(\ t_{\mathrm{ret}}\), mientras que el tiempo de observación\(\ t\) depende de la posición del detector, y por lo tanto es menos relevante para el proceso de radiación como tal.

⁸ Si la dirección de la radiación, n, no cambia en el tiempo, esta fórmula no depende de la posición R del observador. De ahí que, a partir de este punto, el índice “ret” pueda caer de manera segura por brevedad, aunque siempre debemos recordar que\(\ \boldsymbol{\beta}\) en la ecuación (30) se encuentra la velocidad reducida de la partícula en el instante de la emisión de la radiación, no de su observación.

⁹ La segunda forma de la Ec. (10.37), que frecuentemente es más conveniente para aplicaciones, se puede obtener fácilmente de la primera aplicando MA Eq. (7.7a) al producto vector.

¹⁰ Véase, por ejemplo, https://www6.slac.stanford.edu/.