10.7: Problemas de ejercicio

10.1. Derivar Eqs. (10) de Eqs. (1) por un directo (¡pero cuidado!) integración.

10.2. Derivar las partes relacionadas con la radiación de las ecuaciones (19) - (20) a partir de los potenciales de Liénard-Wiechert (10) por diferenciación directa.

10.3. Una carga puntual\(\ q\) que había estado en posición estacionaria sobre un círculo de radio\(\ R\), se transporta, a lo largo del círculo, a la posición opuesta en el mismo diámetro (ver la figura de la derecha) lo más rápido posible solo físicamente, y luego se mantiene estable en esta nueva posición. Calcular y esbozar la dependencia temporal de su campo eléctrico E en el centro del círculo.

10.4. Expresar la potencia total de la radiación electromagnética mediante una partícula relativista con carga eléctrica\(\ q\) y masa de reposo\(\ m\), moviéndose con velocidad u, a través de la fuerza externa de Lorentz F ejercida sobre la partícula.

10.5. Una partícula relativista con la masa en reposo\(\ m\) y la carga eléctrica\(\ q\), inicialmente en reposo, es acelerada por una fuerza constante F hasta alcanzar cierta velocidad\(\ u\), y luego se mueve por inercia. Calcular la energía total irradiada durante la aceleración.

10.6. Calcular

(i) la potencia instantánea, y

(ii) el espectro de potencia

de la radiación emitida, en un ángulo sólido unitario, por una partícula relativista con carga\(\ q\), realizando oscilaciones armónicas 1D con frecuencia\(\ \omega_{0}\) y amplitud de desplazamiento\(\ a\).

10.7. Analizar la polarización y el contenido espectral de la radiación sincrotrón propagándose en la dirección perpendicular al plano de rotación de la partícula. ¿Cómo cambian los resultados si no uno, sino partículas\(\ N>1\) similares se mueven alrededor del círculo, a distancias angulares iguales?

10.8. Calcular y analizar la dependencia temporal de la energía de una partícula relativista cargada realizando movimiento sincrotrón en un campo magnético B constante y uniforme, y de ahí emitir la radiación sincrotrón. Cualitativamente, ¿cuál es la trayectoria de la partícula?

Pista: Se puede suponer que la pérdida de energía es relativamente lenta\(\ \left(-d \delta / d t<<\omega_{\mathrm{c}} \theta\right)\), pero debe deletrear la condición de validez de esta suposición.

10.9. Analizar la polarización de la radiación sincrotrón que se propaga dentro del plano de rotación de la partícula.

10.10.* La teoría cuántica básica de la radiación muestra que la radiación dipolar eléctrica por una partícula solo se permite si el cambio de la magnitud de su momento angular\(\ L\) en la transición es del orden de la constante de Planck\(\ \hbar\).

(i) Estimar el cambio\(\ L\) de una partícula ultra-relativista debido a su emisión de un fotón único típico de la radiación sincrotrónica.

ii) ¿La mecánica cuántica prohíbe tal radiación? Si no, ¿por qué?

10.11. Una partícula relativista se mueve a lo largo del eje z, con velocidad\(\ u_{z}\), a través de un ondulador, un sistema de imanes permanentes que proporciona (en el modelo más simple) un campo magnético perpendicular, cuya distribución cerca del eje es sinusoidal: ⁵⁷

\(\ \mathbf{B}=\mathbf{n}_{y} B_{0} \cos k_{0} z.\)

Suponiendo que el campo es tan débil que provoca desviaciones insignificantes de la trayectoria de la partícula desde la línea recta, calcular la distribución angular de la radiación resultante. ¿Qué condición impone la suposición anterior a los parámetros del sistema?

10.12. Discutir los posibles efectos de la interferencia de la radiación onduladora de diferentes períodos de su distribución de campo estático. En particular, calcular las posiciones angulares de los máximos de densidad de potencia.

10.13. Un electrón lanzado directamente hacia una superficie plana de un conductor perfecto, es instantáneamente absorbido por él en la colisión. Calcular la distribución angular y el espectro de frecuencia de las ondas electromagnéticas radiadas en esta colisión, si la energía cinética inicial\(\ T\) de la partícula es mucho mayor que la función de trabajo del conductor\(\ \psi\). ⁵⁸ ¿Tu resultado es válido cerca de la superficie del conductor?

10.14. Una partícula relativista, con masa en reposo\(\ m\) y carga eléctrica\(\ q\), vuela balísticamente, con velocidad\(\ u\), por una carga puntual inmóvil\(\ q’\), con un parámetro de impacto\(\ b\) tan grande que las desviaciones de su trayectoria desde la línea recta son despreciables. Calcular la pérdida total de energía debida a la radiación electromagnética durante el paso. Formular las condiciones de validez de su resultado.

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Referencia

⁵⁷ Como\(\ \nabla \times \mathbf{H}\) muestra la ecuación de Maxwell, dicha distribución de campo no se puede crear en ningún volumen de espacio libre distinto de cero. Sin embargo, se puede crear en una línea, por ejemplo, en la trayectoria de la partícula.