10.6: Retroacción de la radiación

Un lector atento y crítico podría notar que hasta ahora nuestro tratamiento de la dinámica de partículas cargadas nunca ha sido completamente autoconsistente. En efecto, en la Sec. 9.6 hemos analizado el movimiento de las partículas en diversos campos externos, ignorando los irradiados por la propia partícula, mientras que en la Sec. 8.2 y anteriormente en este capítulo estos campos han sido calculados (es cierto, solo por algunos casos simples), pero, nuevamente, su acción de retroceso sobre la partícula emisora ha sido ignorado. Sólo en muy pocos casos hemos tomado implícitamente los efectos posteriores de la radiación, a través de los argumentos de conservación de energía. Sin embargo, incluso en estos casos, se han ignorado los efectos de campo cercano, como el primer término en la Ec. (19), que más afectan a la partícula en movimiento.

Al mismo tiempo, es claro que en agudo contraste con la electrostática, no siempre se puede ignorar la interacción de una carga de punto móvil con su propio campo. Como ejemplo más simple, si un electrón se hace volar a través de una cavidad resonante, induciendo así oscilaciones electromagnéticas en ella, y luego es forzado (digamos, por un campo estático apropiado) a regresar a la cavidad antes de que las oscilaciones hayan decaído, su movimiento sin duda se verá afectado por la oscilación campos, así como si hubieran sido inducidos por otra fuente. No hay ningún problema conceptual con la aplicación de la teoría de Maxwell a tales efectos de “encuentro de partículas de campo”; además, es la base del diseño de ingeniería de dispositivos electrónicos de vacío tales como klystrones, magnetrones y láseres de electrones libres.

Un problema surge solo cuando no se imponen puntos claros de “encuentro” por condiciones de límite, de manera que los efectos de autocampo más importantes están en\(\ R \equiv\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| \rightarrow 0\), siendo el ejemplo más evidente la radiación de la partícula cargada hacia el espacio libre, descrita anteriormente en este capítulo. Ya sabemos que tal radiación quita una parte de la energía cinética de la carga, es decir, tiene que provocar su desaceleración. Uno debería preguntarse, sin embargo, si tales efectos de autoacción podrían describirse de una manera más directa, no perturbadora.

Como primer intento, probemos un enfoque fenomenológico basado en las fórmulas ya derivadas para la potencia de radiación\(\ \mathscr{P}\). En aras de la simplicidad, consideremos una carga puntual no relativista\(\ q\) en el espacio libre, de manera que\(\ \mathscr{P}\) se describe en la Ec. (8.27), con la derivada del momento dipolo eléctrico a lo largo del tiempo igual a\(\ q \mathbf{u}\):

\[\ \mathscr{P}=\frac{Z_{0} q^{2}}{6 \pi c^{2}} \dot{u}^{2} \equiv \frac{2}{3 c^{3}} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \dot{u}^{2}.\tag{10.133}\]

El enfoque más ingenuo sería escribir la ecuación del movimiento de las partículas en la forma

\[\ m \dot{\mathbf{u}}=\mathbf{F}_{\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{\mathrm{self}},\tag{10.134}\]

y tratar de calcular la fuerza de retroacción de radiación Fself requiriendo su potencia instantánea,\(\ -\mathbf{F}_{\text {self }} \mathbf{u}\), para ser igual a\(\ \mathscr{P}\). Sin embargo, este enfoque (digamos, para una moción 1D) daría un resultado muy antinatural,

\[\ F_{\text {self }} \propto \frac{\dot{u}^{2}}{u},\tag{10.135}\]

que podrían divergir en algunos puntos de la trayectoria de la partícula. Esta falla se debe claramente al efecto de retardo: como puede recordar el lector, la ecuación (133) resulta del análisis de campos de radiación en la zona de campo lejano, es decir, a grandes distancias\(\ R\) de la partícula, por ejemplo, del segundo término en la ecuación (19), es decir, cuando el primer término no radiativo (que es mucho mayor a pequeñas distancias,\(\ R \rightarrow 0\)) se ignora.

Antes de explorar los efectos de este término, hagamos, sin embargo, un intento más en la Ec. (133), considerando su efecto promedio sobre algún movimiento periódico de la partícula. (Un posible argumento para este paso es que en el movimiento periódico, los efectos de retardo deben promediarse —justo en la transferencia de la Ec. (8.27) a la Ec. (8.28).) Para calcular el promedio, escribamos

\[\ \overline{\dot{u}^{2}} \equiv \frac{1}{\mathcal{T}} \int_{0}^{\mathcal{T}} \dot{\mathbf{u}} \cdot \dot{\mathbf{u}} d t,\tag{10.136}\]

y llevar a cabo la integración en el lado derecho de esta identidad por partes durante el periodo de movimiento\(\ \mathcal{T}\):

\[\ \overline{\mathscr{P}}=\frac{2}{3 c^{3}} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \overline{(\dot{\mathbf{u}})^{2}}=\frac{2}{3 c^{3}} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{\mathcal{T}}\left(\left.\dot{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{u}\right|_{0} ^{\mathcal{T}}-\int_{0}^{\mathcal{T}} \ddot{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{u} d t\right)=-\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\mathcal{T}} \frac{2}{3 c^{3}} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \ddot{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{u} d t.\tag{10.137}\]

Por otro lado, la fuerza de retroceso debería dar

\[\ \overline{\mathscr{P}}=-\frac{1}{\mathcal{T}} \int_{0}^{\mathcal{T}} \mathbf{F}_{\text {self }} \cdot \mathbf{u} d t.\tag{10.138}\]

Estos dos promedios coinciden si ⁵³

\[\ \text{Abraham-Lorentz force}\quad\quad\quad\quad \mathbf{F}_{\text {self }}=\frac{2}{3 c^{3}} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \ddot{\mathbf{u}}.\tag{10.139}\]

Se trata de la llamada fuerza Abraham-Lorentz para la autoacción. Antes de ir tras una derivación más seria de esta fórmula, estimaremos su escala, representando la Ec. (139) como

\[\ \mathbf{F}_{\text {self }}=m \tau \ddot{\mathbf{u}}, \quad \text { with } \tau \equiv \frac{2}{3 m c^{3}} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}},\tag{10.140}\]

donde la constante\(\ \tau\) evidentemente tiene la dimensión del tiempo. Recordando la definición (8.41) del radio clásico\(\ r_{\mathrm{c}}\) de la partícula, la ecuación (140) para\(\ \tau\) puede reescribirse como

\[\ \tau=\frac{2}{3} \frac{r_{\mathrm{c}}}{c}.\tag{10.141}\]

Para el electrón,\(\ \tau\) es del orden de\(\ 10^{-23} \mathrm{~s}\), de modo que el lado derecho de la ecuación (139) es muy pequeño. Esto significa que en la mayoría de los casos la fuerza Abrahams-Lorentz es despreciable o conduce a los mismos resultados que los tratamientos perturbadores de pérdida de energía que hemos utilizado anteriormente en este capítulo.

Sin embargo, la ecuación (140) trae algunas sorpresas desagradables. Por ejemplo, consideremos un oscilador 1D con la propia frecuencia\(\ \omega_{0}\). Para ello, la Ec. (134), con la fuerza de retroceso dada por la Ec. (140), toma la forma

\[\ m \ddot{x}+m \omega_{0}^{2} x=m \tau \dddot x.\tag{10.142}\]

Buscando la solución a esta ecuación diferencial lineal en la forma exponencial habitual,\(\ x(t) \propto\mathrm{exp}\{\lambda t\}\), obtenemos la siguiente ecuación característica,

\[\ \lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=\tau \lambda^{3}.\tag{10.143}\]

Puede parecer que para cualquier valor “razonable” de\(\ \omega_{0}<<1 / \tau \sim 10^{23} \mathrm{~s}^{-1}\), el lado derecho de esta ecuación algebraica no lineal puede tratarse como una perturbación. En efecto, buscando sus soluciones en la forma natural\(\ \lambda_{\pm}=\pm i \omega_{0}+\lambda^{\prime}\), con\(\ \left|\lambda^{\prime}\right|<<\omega_{0}\), expandiendo ambas partes de la Eq. (143) en la serie Taylor en el parámetro pequeño\(\ \lambda^{\prime}\), y manteniendo solo los términos lineales en\(\ \lambda^{\prime}\), obtenemos

\[\ \lambda^{\prime} \approx-\frac{\omega_{0}^{2} \tau}{2}.\tag{10.144}\]

Esto significa que la energía de las oscilaciones libres disminuye en el tiempo ya que\(\ \exp \left\{2 \lambda^{\prime} t\right\}=\exp \left\{-\omega_{0}^{2} \tau t\right\}\); esta es exactamente la amortiguación radiativa analizada anteriormente. Sin embargo, la Ec. (143) es engañosa; tiene la tercera raíz correspondiente a soluciones no físicas, de crecimiento exponencial (las llamadas run-away). Es más fácil ver esto por una partícula libre, con\(\ \omega_{0}=0\). Entonces la Eq. (143) se vuelve muy simple,

\[\ \lambda^{2}=\tau \lambda^{3},\tag{10.145}\]

y es fácil encontrar todas sus 3 raíces explícitamente:\(\ \lambda_{1}=\lambda_{2}=0\) y\(\ \lambda_{3}=1 / \tau\). Si bien las dos primeras raíces corresponden a los valores\(\ \lambda_{\pm}\) encontrados anteriormente, la última describe una exponencial (¡y extremadamente rápida!) aceleración.

Para eliminar este artefacto, intentemos desarrollar un enfoque autoconsistente de los efectos de retroacción, teniendo en cuenta los términos de campo cercano de los campos de partículas. Para ello, necesitamos superar de alguna manera la divergencia de las ecuaciones (10) y (19) at\(\ R \rightarrow 0\). La forma más razonable de hacerlo es esparcir la carga de la partícula sobre una bola de radio a, con una densidad esféricamente simétrica (pero no necesariamente constante)\(\ \rho(r)\), y al final de los cálculos trazar el límite\(\ a \rightarrow 0\). ⁵⁴ De nuevo apegándonos al caso no relativista (para que el componente magnético de la fuerza de Lorentz no sea importante), debemos calcular

\[\ \mathbf{F}_{\text {self }}=\int_{V} \rho(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) d^{3} r,\tag{10.146}\]

donde el campo eléctrico es el de la propia carga, con el campo de cualquier carga elemental\(\ d q=\rho(r) d^{3} r\) descrito por la Ec. (19).

Para permitir un cálculo analítico de la fuerza, necesitamos hacer la suposición\(\ a<<r_{\mathrm{c}}\), tratar la relación\(\ R / r_{\mathrm{c}} \sim a / r_{\mathrm{c}}\) como un parámetro pequeño y expandir el lado derecho resultante de la Ec. (146) en la serie Taylor en R. pequeño Este procedimiento rinde

\[\ \mathbf{F}_{\text {self }}=-\frac{2}{3} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{c^{n+2} n !} \frac{d^{n+1} \mathbf{u}}{d t^{n+1}} \int_{V} d^{3} r \int_{V} d^{3} r^{\prime} \rho(r) R^{n-1} \rho\left(r^{\prime}\right).\tag{10.147}\]

La distancia se\(\ R\) cancela sólo en el término con\(\ n = 1\),

\[\ \mathbf{F}_{1}=\frac{2}{3 c^{3}} \frac{\ddot{\mathbf{u}}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} d^{3} r \int_{V} d^{3} r^{\prime} \rho(r) \rho\left(r^{\prime}\right) \equiv \frac{2}{3 c^{3}} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \ddot{\mathbf{u}},\tag{10.148}\]

demostrando que hemos recuperado (ahora de manera aparentemente legítima) Eq. (139) para la fuerza Abrahams-Lorentz. Se podría argumentar que en\(\ a \rightarrow 0\) el límite podrían ignorarse los términos superiores en\(\ R \sim a\) (con\(\ n > 1\)). Sin embargo, hay que notar que la principal contribución a la serie (147) no está descrita por la Ec. (148) para\(\ n = 1\), sino que viene dada por el término mucho mayor con\(\ n = 0\):

\[\ \mathbf{F}_{0}=-\frac{2}{3} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\dot{\mathbf{u}}}{c^{2}} \int_{V} d^{3} r \int_{V} d^{3} r^{\prime} \frac{\rho(r) \rho\left(r^{\prime}\right)}{R} \equiv-\frac{4}{3} \frac{\dot{\mathbf{u}}}{c^{2}} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{2} \int_{V} d^{3} r \int_{V} d^{3} r^{\prime} \frac{\rho(r) \rho\left(r^{\prime}\right)}{R} \equiv-\frac{4}{3 c^{2}} \dot{\mathbf{u}} U,\tag{10.149}\]

donde\(\ U\) está la energía electrostática (1.59) de la autointeracción de la carga estática. Este término puede interpretarse como la “fuerza” inercial ⁵⁵\(\ \left(-m_{\mathrm{ef}} \mathbf{a}\right)\) con la siguiente masa electromagnética efectiva:

\[\ \text{Electro-magnetic mass}\quad\quad\quad\quad m_{\mathrm{ef}}=\frac{4}{3} \frac{U}{c^{2}}.\tag{10.150}\]

Este es el famoso (o más bien infame: -) problema 4/3 que no permite interpretar la masa del electrón como la de su campo eléctrico. Una resolución (ciertamente, bastante formal) de esta paradoja sólo es posible en la electrodinámica cuántica con sus técnicas de renormalización, más allá del marco de este curso.

Obsérvese, sin embargo, que todas estas cuestiones solo son importantes para movimientos con frecuencias del orden de\(\ 1 / \tau \sim 10^{23} \mathrm{~s}^{-1}\), es decir, a energías\(\ \mathscr{E} \sim \hbar / \tau \sim 10^{8} \mathrm{eV}\), mientras que otros efectos de la electrodinámica cuántica pueden observarse a frecuencias mucho más bajas, a partir de\(\ \sim 10^{10} \mathrm{~s}^{-1}\). De ahí que el problema 4/3 no sea de ninguna manera la única motivación para la transferencia de la electrodinámica clásica a la cuántica. Sin embargo, el lector no debería pensar que su tiempo dedicado a este curso se ha perdido: la electrodinámica cuántica incorpora prácticamente todos los resultados de la electrodinámica clásica, y la transición básica a ella es sorprendentemente sencilla. ⁵⁶ Entonces, espero darle la bienvenida al lector a la siguiente parte, de mecánica cuántica de esta serie.

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Referencia

⁵³ Solo para la referencia del lector, esta fórmula puede generalizarse fácilmente al caso relativista, en la forma 4:

\(\ F_{\text {self }}^{\alpha}=\frac{2}{3 m c^{3}} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{d^{2} p^{\alpha}}{d \tau^{2}}+\frac{p^{\alpha}}{(m c)^{2}}\left(\frac{d p_{\beta}}{d \tau} \frac{d p^{\beta}}{d \tau}\right)\right],\)

-la llamada fuerza Abraham-Lorentz-Dirac.

⁵⁴ Nota: esta operación no puede interpretarse como una descripción de una dispersión cuántica debido a la extensión finita de la función de onda de la partícula puntual. En la mecánica cuántica, ¡diferentes partes de la función de onda de la misma partícula cargada no interactúan entre sí!

⁵⁵ Véase, e.g., CM Sec. 4.6.

⁵⁶ Véase, por ejemplo, QM Secs. 9.1-9.4.