1.5: Aceleración
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Objetivos de aprendizaje
- Definir y distinguir entre velocidad y aceleración, y entre aceleración instantánea y media.
- Calcular la aceleración dado el tiempo inicial, la velocidad inicial, el tiempo final y la velocidad final.
En la conversación cotidiana, acelerar significa acelerar. El acelerador en un automóvil de hecho puede hacer que se acelere. Cuanto mayor sea la aceleración, mayor será el cambio de velocidad en un tiempo dado. La definición formal de aceleración es consistente con estas nociones, pero más inclusiva.
Definición: Aceleración promedio
La aceleración promedio es la velocidad a la que cambia la velocidad,
\[\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{\mathrm{f}}-v_{0}}{t_{\mathrm{f}}-t_{0}}, \nonumber \]
donde\(\bar{a}\) es la aceleración promedio,\(v\) es la velocidad, y\(t\) es el tiempo. (La barra sobre la media\(a\) de aceleración media.)
Debido a que la aceleración es la velocidad en m/s dividida por el tiempo en s, las unidades SI para aceleración son\(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\), metros por segundo al cuadrado o metros por segundo por segundo, lo que significa literalmente por cuántos metros por segundo cambia la velocidad cada segundo.
Recordemos que la velocidad es un vector, tiene tanto magnitud como dirección. Esto significa que un cambio en la velocidad puede ser un cambio de magnitud (o velocidad), pero también puede ser un cambio de dirección. Por ejemplo, si un automóvil gira una esquina a velocidad constante, está acelerando porque su dirección está cambiando. Cuanto más rápido giras, mayor será la aceleración. Entonces hay una aceleración cuando la velocidad cambia ya sea en magnitud (un aumento o disminución de la velocidad) o en dirección, o ambas.
ACELERACIÓN COMO VECTOR
La aceleración es un vector en la misma dirección que el cambio en la velocidad,\(\Delta v\). Dado que la velocidad es un vector, puede cambiar ya sea en magnitud o en dirección. Por lo tanto, la aceleración es un cambio en la velocidad o la dirección, o en ambas.
Hay que tener en cuenta que aunque la aceleración está en la dirección del cambio de velocidad, no siempre es en la dirección del movimiento. Si la aceleración está en una dirección opuesta a la dirección del movimiento, el objeto se ralentiza.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Acceleration: A Racehorse Leaves the Gate
Un caballo de carreras que sale de la puerta acelera del reposo a una velocidad de 15.0 m/s con rumbo oeste en 1.80 s. ¿Cuál es su aceleración promedio?
Figura\(\PageIndex{3}\)
Estrategia
Primero dibujamos un boceto y asignamos un sistema de coordenadas al problema. Este es un problema sencillo, pero siempre ayuda a visualizarlo. Observe que asignamos oriente como positivo y poniente como negativo. Así, en este caso, tenemos velocidad negativa.
Figura\(\PageIndex{4}\)
Podemos resolver este problema identificando\(\Delta v\) y\(\Delta t\) a partir de la información dada y luego calculando la aceleración promedio directamente a partir de la ecuación\(\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{0}}{t_{f}-t_{0}}\).
Solución
1. Identificar los conocidos. \(v_{0}=0\),\(v_{\mathrm{f}}=-15.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) (el signo negativo indica dirección hacia el oeste),\(\Delta t=1.80 \mathrm{~s}\).
2. Encuentra el cambio en la velocidad. Dado que el caballo va de cero a −15.0 m/s, su cambio de velocidad es igual a su velocidad final:\(\Delta v=v_{\mathrm{f}}=-15.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).
3. Enchufe los valores conocidos (\(\Delta v\)y\(\Delta t\)) y resuelva para lo desconocido\(\bar{a}\).
\(\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{-15.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{1.80 \mathrm{~s}}=-8.33 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\).
Discusión
El signo negativo para la aceleración indica que la aceleración es hacia el oeste. Una aceleración de\(8.33 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) debido oeste significa que el caballo aumenta su velocidad en 8.33 m/s debido al oeste cada segundo, es decir, 8.33 metros por segundo por segundo, que escribimos como\(8.33 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\). Esto es realmente una aceleración promedio, porque el paseo no es suave. Veremos más adelante que una aceleración de esta magnitud requeriría que el jinete aguantara con una fuerza casi igual a su peso.
Aceleración instantánea
La aceleración instantánea a, o la aceleración en un instante específico en el tiempo, se obtiene por el mismo proceso que se discutió para la velocidad instantánea, es decir, considerando un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño. ¿Cómo encontramos la aceleración instantánea usando solo álgebra? La respuesta es que elegimos una aceleración promedio que sea representativa de la moción. La figura\(\PageIndex{5}\) muestra gráficas de aceleración instantánea versus tiempo para dos movimientos muy diferentes. En la Figura\(\PageIndex{5}\) (a), la aceleración varía ligeramente y el promedio a lo largo de todo el intervalo es casi el mismo que la aceleración instantánea en cualquier momento. En este caso, debemos tratar este movimiento como si tuviera una aceleración constante igual a la media (en este caso aproximadamente\(1.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\)). En la Figura\(\PageIndex{5}\) (b), la aceleración varía drásticamente con el tiempo. En tales situaciones lo mejor es considerar intervalos de tiempo más pequeños y elegir una aceleración promedio para cada uno. Por ejemplo, podríamos considerar el movimiento a lo largo de los intervalos de tiempo de 0 a 1.0 s y de 1.0 a 3.0 s como movimientos separados con aceleraciones de\(+3.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) y\(-2.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\), respectivamente.
Los siguientes ejemplos consideran el movimiento del tren subterráneo que se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\). En (a) la lanzadera se mueve hacia la derecha, y en (b) se mueve hacia la izquierda. Los ejemplos están diseñados para ilustrar aún más aspectos del movimiento y para ilustrar algunos de los razonamientos que se utilizan para resolver problemas.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Displacement: A Subway Train
¿Cuál es la magnitud y señal de los desplazamientos para los movimientos del tren subterráneo que se muestran en las partes (a) y (b) de la Figura\(\PageIndex{6}\)?
Estrategia
Ya se proporciona un dibujo con un sistema de coordenadas, por lo que no necesitamos hacer un boceto, sino que debemos analizarlo para asegurarnos de entender lo que está mostrando. Preste especial atención al sistema de coordenadas. Para encontrar el desplazamiento, utilizamos la ecuación\(\Delta x=x_{\mathrm{f}}-x_{0}\). Esto es sencillo ya que se dan las posiciones inicial y final.
Solución
1. Identificar los conocidos. En la figura vemos eso\(x_{\mathrm{f}}=6.70 \mathrm{~km}\) y\(x_{0}=4.70 \mathrm{~km}\) para la parte (a),\(x_{\mathrm{f}}^{\prime}=3.75 \mathrm{~km}\) y\(x_{0}^{\prime}=5.25 \mathrm{~km}\) para la parte (b).
2. Resolver para desplazamiento en la parte (a).
\[\Delta x=x_{\mathrm{f}}-x_{0}=6.70 \mathrm{~km}-4.70 \mathrm{~km}=+2.00 \mathrm{~km} \nonumber\]
3. Resolver para desplazamiento en la parte (b).
\[\Delta x^{\prime}=x_{\mathrm{f}}^{\prime}-x_{0}^{\prime}=3.75 \mathrm{~km}-5.25 \mathrm{~km}=-1.50 \mathrm{~km} \nonumber\]
Discusión
La dirección del movimiento en (a) es hacia la derecha y por lo tanto su desplazamiento tiene un signo positivo, mientras que el movimiento en (b) es hacia la izquierda y por lo tanto tiene un signo negativo.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Comparing Distance Traveled with Displacement: A Subway Train
¿Cuáles son las distancias recorridas para los movimientos mostrados en las partes (a) y (b) del tren subterráneo en la Figura\(\PageIndex{6}\)?
Estrategia
Para responder a esta pregunta, piense en las definiciones de distancia y distancia recorrida, y cómo se relacionan con el desplazamiento. La distancia entre dos posiciones se define como la magnitud del desplazamiento, la cual se encontró en Ejemplo\(\PageIndex{2}\). La distancia recorrida es la longitud total del camino recorrido entre las dos posiciones. En el caso del tren subterráneo mostrado en la Figura\(\PageIndex{6}\), la distancia recorrida es la misma que la distancia entre las posiciones inicial y final del tren.
Solución
1. El desplazamiento para la parte (a) fue de +2.00 km. Por lo tanto, la distancia entre las posiciones inicial y final fue de 2.00 km, y la distancia recorrida fue de 2.00 km.
2. El desplazamiento para la parte (b) fue de −1.5 km. Por lo tanto, la distancia entre las posiciones inicial y final fue de 1.50 km, y la distancia recorrida fue de 1.50 km.
Discusión
La distancia es un escalar. Tiene magnitud pero no hay señal para indicar dirección.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Calculating Acceleration: A Subway Train Speeding Up
Supongamos que el tren en la Figura\(\PageIndex{6}\) (a) acelera del reposo a 30.0 km/h en los primeros 20.0 s de su movimiento. ¿Cuál es su aceleración promedio durante ese intervalo de tiempo?
Estrategia
Vale la pena en este punto hacer un boceto sencillo:
Figura\(\PageIndex{7}\)
Este problema implica tres pasos. Primero debemos determinar el cambio en la velocidad, luego debemos determinar el cambio en el tiempo, y finalmente usar estos valores para calcular la aceleración.
Solución
1. Identificar los conocidos. \(v_{0}=0\)(los trenes empiezan en reposo),\(v_{\mathrm{f}}=30.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), y\(\Delta t=20.0 \mathrm{~s}\).
2. Calcular\(\Delta v\). Dado que el tren parte del reposo, su cambio de velocidad es\(\Delta v=+30.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), donde el signo más significa velocidad a la derecha.
3. Enchufe valores conocidos y resuelva para lo desconocido,\(\bar{a}\).
\[\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{+30.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}}{20.0 \mathrm{~s}} \nonumber\]
4. Dado que las unidades son mixtas (tenemos tanto horas como segundos por tiempo), necesitamos convertir todo en unidades SI de metros y segundos.
\[\bar{a}=\left(\frac{+30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}}{20.0 \mathrm{~s}}\right)\left(\frac{10^{3} \mathrm{~m}}{1 \mathrm{~km}}\right)\left(\frac{1 \mathrm{~h}}{3600 \mathrm{~s}}\right)=0.417 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \nonumber\]
Discusión
El signo más significa que la aceleración está a la derecha. Esto es razonable porque el tren parte del descanso y termina con una velocidad a la derecha (también positiva). Por lo que la aceleración está en la misma dirección que el cambio de velocidad, como siempre es el caso.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Calculate Acceleration: A Subway Train Slowing Down
Ahora supongamos que al final de su viaje, el tren de la Figura\(\PageIndex{6}\) (a) se ralentiza hasta detenerse desde una velocidad de 30.0 km/h en 8.00 s. ¿Cuál es su aceleración media al detenerse?
Estrategia
Figura\(\PageIndex{8}\)
En este caso, el tren se está desacelerando y su aceleración es negativa porque está hacia la izquierda. Al igual que en el ejemplo anterior, debemos encontrar el cambio en la velocidad y el cambio en el tiempo y luego resolver para la aceleración.
Solución
1. Identificar los conocidos. \(v_{0}=30.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\),\(v_{\mathrm{f}}=0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) (el tren está parado, por lo que su velocidad es 0), y\(\Delta t=8.00 \mathrm{~s}\).
2. Resolver por el cambio de velocidad,\(\Delta v\).
\[\Delta v=v_{\mathrm{f}}-v_{0}=0-30.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=-30.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \nonumber\]
3. Enchufe los conocidos, y\(\Delta t\),\(\Delta v\) y resuelva para\(\bar{a}\).
\[\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{-30.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}}{8.00 \mathrm{~s}}\nonumber\]
4. Convierte las unidades a metros y segundos.
\[\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\left(\frac{-30.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}}{8.00 \mathrm{~s}}\right)\left(\frac{10^{3} \mathrm{~m}}{1 \mathrm{~km}}\right)\left(\frac{1 \mathrm{~h}}{3600 \mathrm{~s}}\right)=-1.04 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \nonumber.\]
Discusión
El signo menos indica que la aceleración está a la izquierda. Esta señal es razonable porque el tren inicialmente tiene una velocidad positiva en este problema, y una aceleración negativa se opondría al movimiento.
Las gráficas de posición, velocidad y aceleración vs. tiempo para los trenes en Ejemplo\(\PageIndex{4}\) y Ejemplo se\(\PageIndex{5}\) muestran en la Figura\(\PageIndex{9}\). (Hemos tomado la velocidad para permanecer constantes de 20 a 40 s, tras lo cual el tren se ralentiza.)
¿Cuál es la velocidad promedio del tren en la parte b del Ejemplo\(\PageIndex{2}\), y se muestra nuevamente a continuación, si tarda 5.00 min en realizar su viaje?
Figura\(\PageIndex{10}\)
Estrategia
La velocidad promedio es el desplazamiento dividido por el tiempo. Aquí será negativo, ya que el tren se mueve hacia la izquierda y tiene un desplazamiento negativo.
Solución
1. Identificar los conocimientos. \(x_{\mathrm{f}}^{\prime}=3.75 \mathrm{~km}, \ x_{0}^{\prime}=5.25 \mathrm{~km}, \ \Delta t=5.00 \mathrm{~min}\).
2. Determinar el desplazamiento,\(\Delta x^{\prime}\). Encontramos\(\Delta x^{\prime}\) estar −1.5 km en Ejemplo\(\PageIndex{2}\).
3. Resuelva para velocidad promedio.
\[\bar{v}=\frac{\Delta x^{\prime}}{\Delta t}=\frac{-1.50 \mathrm{~km}}{5.00 \mathrm{~min}} \nonumber\]
4. Convertir unidades.
\[\bar{v}=\frac{\Delta x^{\prime}}{\Delta t}=\left(\frac{-1.50 \mathrm{~km}}{5.00 \mathrm{~min}}\right)\left(\frac{60 \mathrm{~min}}{1 \mathrm{~h}}\right)=-18.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \nonumber\]
Discusión
La velocidad negativa indica movimiento hacia la izquierda.
Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Calculating Deceleration: The Subway Train
Por último, supongamos que el tren de la Figura\(\PageIndex{10}\) ralentiza a una parada desde una velocidad de 20.0 km/h en 10.0 s. ¿Cuál es su aceleración promedio?
Estrategia
Una vez más, dibujemos un boceto:
Figura\(\PageIndex{11}\)
Como antes, debemos encontrar el cambio en la velocidad y el cambio en el tiempo para calcular la aceleración promedio.
Solución
1. Identificar los conocimientos. \(v_{0}=-20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, \ v_{\mathrm{f}}=0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, \ \Delta t=10.0 \mathrm{~s}\).
2. Calcular\(\Delta v\). El cambio de velocidad aquí es realmente positivo, ya que
\[\Delta v=v_{\mathrm{f}}-v_{0}=0-(-20 \mathrm{~km} / \mathrm{h})=+20 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \nonumber\]
3. Resolver para\(\bar{a}\).
\[\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{+20.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}}{10.0 \mathrm{~s}} \nonumber\]
4. Convertir unidades.
\[\bar{a}=\left(\frac{+20.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}}{10.0 \mathrm{~s}}\right)\left(\frac{10^{3} \mathrm{~m}}{1 \mathrm{~km}}\right)\left(\frac{1 \mathrm{~h}}{3600 \mathrm{~s}}\right)=+0.556 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \nonumber\]
Discusión
El signo más significa que la aceleración está a la derecha. Esto es razonable porque el tren inicialmente tiene una velocidad negativa (hacia la izquierda) en este problema y una aceleración positiva se opone al movimiento (y así es a la derecha).
Signo y Dirección
Quizás lo más importante a tener en cuenta sobre estos ejemplos son los signos de las respuestas. En nuestro sistema de coordenadas elegido, plus significa que la cantidad está a la derecha y menos significa que está a la izquierda. Esto es fácil de imaginar para el desplazamiento y la velocidad. Pero es un poco menos obvio para la aceleración. La mayoría de las personas interpretan la aceleración negativa como la ralentización de un objeto. Este no fue el caso en Ejemplo\(\PageIndex{7}\), donde una aceleración positiva ralentizó una velocidad negativa. La distinción crucial fue que la aceleración estaba en la dirección opuesta a la velocidad. De hecho, una aceleración negativa aumentará una velocidad negativa. Por ejemplo, el tren que se mueve hacia la izquierda en la Figura\(\PageIndex{10}\) se acelera por una aceleración hacia la izquierda. En ese caso, ambos\(v\) y\(a\) son negativos. Los signos más y menos dan las direcciones de las aceleraciones. Si la aceleración tiene el mismo signo que el cambio de velocidad, el objeto se está acelerando. Si la aceleración tiene el signo opuesto del cambio de velocidad, el objeto se está desacelerando.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Un avión aterriza en una pista que viaja hacia el este. Describir su aceleración.
- Contestar
-
Si tomamos el este para ser positivos, entonces el avión tiene una aceleración negativa, ya que está acelerando hacia el oeste. También se está desacelerando: su aceleración es opuesta en dirección a su velocidad.
Resumen de la Sección
- La aceleración es la velocidad a la que cambia la velocidad. En símbolos, la aceleración promedio\(\bar{a}\) es
\[\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{\mathrm{f}}-v_{0}}{t_{\mathrm{f}}-t_{0}} \nonumber\]
-
La unidad SI para aceleración es\(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\).
- La aceleración es un vector, y por lo tanto tiene una magnitud y una dirección.
- La aceleración puede ser causada por un cambio en la magnitud o la dirección de la velocidad.
- La aceleración instantánea\(a\) es la aceleración en un instante específico en el tiempo.
- Cuando una aceleración está en una dirección opuesta a la de la velocidad de un objeto, el objeto se ralentiza.
Glosario
- aceleración
- la tasa de cambio en la velocidad; el cambio en la velocidad a lo largo del tiempo
- aceleración promedio
- el cambio en la velocidad dividido por el tiempo durante el cual cambia
- aceleración instantánea
- aceleración en un punto específico en el tiempo