2.9: Ley Universal de Gravitación de Newton

Objetivos de aprendizaje

• Explicar la fuerza gravitacional de la Tierra.
• Describir el efecto gravitacional de la Luna en la Tierra.
• Explicar sensación de ingravidez en el espacio.

¿Qué tienen en común los pies doloridos, una manzana que cae y la órbita de la Luna? Cada uno es causado por la fuerza gravitacional. Nuestros pies están tensos al soportar nuestro peso, la fuerza de la gravedad de la Tierra sobre nosotros. Una manzana cae de un árbol debido a la misma fuerza que actúa a pocos metros sobre la superficie de la Tierra. Y la Luna orbita a la Tierra porque la gravedad es capaz de suministrar la fuerza centrípeta necesaria a una distancia de cientos de millones de metros. De hecho, la misma fuerza hace que los planetas orbiten el Sol, las estrellas orbiten el centro de la galaxia y las galaxias se agrupen. La gravedad es otro ejemplo de simplicidad subyacente en la naturaleza. Es la más débil de las cuatro fuerzas básicas que se encuentran en la naturaleza, y de alguna manera la menos entendida. Se trata de una fuerza que actúa a distancia, sin contacto físico, y se expresa mediante una fórmula que es válida en todas partes del universo, para masas y distancias que varían de lo minúsculo a lo inmenso.

Sir Isaac Newton fue el primer científico en definir con precisión la fuerza gravitacional, y en demostrar que podía explicar tanto cuerpos caídos como movimientos astronómicos. Ver Figura\(\PageIndex{1}\). Pero Newton no fue el primero en sospechar que la misma fuerza causó tanto nuestro peso como el movimiento de los planetas. Su precursor Galileo Galilei había sostenido que los cuerpos caídos y los movimientos planetarios tenían la misma causa. Algunos de los contemporáneos de Newton, como Robert Hooke, Christopher Wren y Edmund Halley, también habían avanzado hacia la comprensión de la gravitación. Pero Newton fue el primero en proponer una forma matemática exacta y en usar esa forma para mostrar que el movimiento de los cuerpos celestes deben ser secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Esta predicción teórica fue un gran triunfo; desde hacía tiempo se sabía que lunas, planetas y cometas siguen tales caminos, pero nadie había podido proponer un mecanismo que les hiciera seguir estos caminos y no otros.

Figura\(\PageIndex{1}\): Según los primeros relatos, Newton se inspiró para hacer la conexión entre cuerpos caídos y movimientos astronómicos cuando vio caer una manzana de un árbol y se dio cuenta de que si la fuerza gravitacional podía extenderse sobre el suelo a un árbol, también podría llegar al Sol. La inspiración de la manzana de Newton forma parte del folclore mundial e incluso puede basarse de hecho. Se le da gran importancia porque la ley universal de la gravitación de Newton y sus leyes del movimiento respondieron preguntas muy antiguas sobre la naturaleza y dieron tremendo apoyo a la noción de simplicidad subyacente y unidad en la naturaleza. Los científicos aún esperan que la simplicidad subyacente surja de sus investigaciones continuas sobre la naturaleza.

La fuerza gravitacional es relativamente simple. Siempre es atractivo, y sólo depende de las masas involucradas y de la distancia entre ellas. Declarada en el lenguaje moderno, la ley universal de la gravitación de Newton establece que cada partícula en el universo atrae a todas las demás partículas con una fuerza a lo largo de una línea que las une. La fuerza es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

Figura\(\PageIndex{2}\): La atracción gravitacional es a lo largo de una línea que une los centros de masa de estos dos cuerpos. La magnitud de la fuerza es la misma en cada uno, consistente con la tercera ley de Newton.

ALERTA DE FALLO

La magnitud de la fuerza sobre cada objeto (uno tiene mayor masa que el otro) es la misma, consistente con la tercera ley de Newton.

Los cuerpos con los que estamos tratando tienden a ser grandes. Para simplificar la situación suponemos que el cuerpo actúa como si toda su masa estuviera concentrada en un punto específico llamado centro de masa (CM). Para dos cuerpos que tienen masas\(m\) y\(M\) con una distancia\(r\) entre sus centros de masa, la ecuación para la ley universal de la gravitación de Newton es

\[F=G \frac{m M}{r^{2}}, \nonumber \]

donde\(F\) está la magnitud de la fuerza gravitacional y\(G\) es un factor de proporcionalidad llamado la constante gravitacional. \(G\)es una constante gravitacional universal, es decir, se piensa que es la misma en todas partes del universo. Se ha medido experimentalmente para ser

\[G=6.673 \times 10^{-11} \frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~kg}^{2}} \nonumber \]

en unidades SI. Obsérvese que las unidades de\(G\) son tales que se obtiene una fuerza en newtons\(F=G \frac{m M}{r^{2}}\), al considerar masas en kilogramos y distancia en metros. Por ejemplo, dos masas de 1.000 kg separadas por 1.000 m experimentarán una atracción gravitacional de\(6.673 \times 10^{-11} \mathrm{~N}\). Se trata de una fuerza extraordinariamente pequeña. La pequeña magnitud de la fuerza gravitacional es consistente con la experiencia cotidiana. No somos conscientes de que incluso los objetos grandes como las montañas ejercen fuerzas gravitacionales sobre nosotros. De hecho, nuestro peso corporal es la fuerza de atracción de toda la Tierra sobre nosotros con una masa de\(5.98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\).

Recordemos que la aceleración debida a la gravedad\(g\) está a punto\(9.80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) en la Tierra. Ahora podemos determinar por qué esto es así. El peso de un objeto mg es la fuerza gravitacional entre éste y la Tierra. Sustituir mg por\(F\) en la ley universal de gravitación de Newton da

\[m g=G \frac{m M}{r^{2}}, \nonumber \]

donde\(M\) está la masa del objeto,\(M\) es la masa de la Tierra, y\(r\) es la distancia al centro de la Tierra (la distancia entre los centros de masa del objeto y la Tierra). Ver Figura\(\PageIndex{3}\). La masa\(M\) del objeto se cancela, dejando una ecuación para\(g\):

\[g=G \frac{M}{r^{2}}. \nonumber \]

Sustituir los valores conocidos por la masa y el radio de la Tierra (a tres cifras significativas),

\[g=\left(6.67 \times 10^{-11} \frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~kg}^{2}}\right) \times \frac{5.98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}}{\left(6.38 \times 10^{6} \mathrm{~m}\right)^{2}}, \nonumber\]

y obtenemos un valor para la aceleración de un cuerpo que cae:

\[g=9.80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. \nonumber \]

 

Figura\(\PageIndex{3}\): La distancia entre los centros de masa de la Tierra y un objeto en su superficie es casi la misma que el radio de la Tierra, porque la Tierra es mucho más grande que el objeto.

Este es el valor esperado y es independiente de la masa del cuerpo. La ley de la gravitación de Newton lleva la observación de Galileo de que todas las masas caen con la misma aceleración un paso más allá, explicando la observación en términos de una fuerza que hace que los objetos caigan, de hecho, en términos de una fuerza de atracción universalmente existente entre las masas.

Experimento para llevar a casa

Toma una canica, una bola y una cuchara y déjalas caer desde la misma altura. ¿Golpean al suelo al mismo tiempo? Si también se te cae un trozo de papel, ¿se comporta como los otros objetos? Explique sus observaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Earth’s Gravitational Force on a Mass

a) Determinar el peso de una roca de 5.00 kg cuando está en la superficie de la Tierra.

b) Determinar el peso de una roca de 5.00 kg cuando está a 3620 km sobre la superficie de la Tierra.

Estrategia para a)

Usa la aceleración debido a la gravedad cerca de la superficie de la Tierra y la segunda ley de Newton.

Solución para (a)

\[F=m g=5.00 \mathrm{~kg} \times 9.80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}=49.0 \mathrm{~N} \nonumber\]

Estrategia para b)

Usa la ley universal de gravitación de Newton. Recuerda que la distancia es del centro de la Tierra. En este caso la distancia es de 6380 km + 3620 km = 10,000 km =\(1.00 \times 10^{7} \mathrm{~m}\).

Solución para (b)

\[F=G \frac{m M}{r^{2}}=\left(6.673 \times 10^{-11} \frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~kg}^{2}}\right) \frac{(5.00 \mathrm{~kg})\left(5.98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\right)}{\left(1.00 \times 10^{7} \mathrm{~m}\right)^{2}}=20.0 \mathrm{~N} \nonumber\]

Mareas

Las mareas oceánicas son un resultado muy observable de la gravedad de la Luna actuando sobre la Tierra. La figura\(\PageIndex{4}\) es un dibujo simplificado de la posición de la Luna en relación con las mareas. Debido a que el agua fluye fácilmente sobre la superficie de la Tierra, se crea una marea alta en el lado de la Tierra más cercano a la Luna, donde la atracción gravitacional de la Luna es más fuerte. ¿Por qué también hay una marea alta en el lado opuesto de la Tierra? La respuesta es que la Tierra es arrastrada hacia la Luna más que el agua en el otro lado, porque la Tierra está más cerca de la Luna. Por lo que el agua del lado de la Tierra más cercano a la Luna se aleja de la Tierra, y la Tierra se aleja del agua en el lado lejano. A medida que la Tierra gira, el bulto de las mareas (un efecto de las fuerzas mareales entre un satélite natural en órbita y el planeta primario que orbita) mantiene su orientación con la Luna. Por lo tanto, hay dos mareas por día (el periodo real de mareas es de aproximadamente 12 horas y 25.2 minutos), porque la Luna se mueve en su órbita cada día también).

Figura\(\PageIndex{4}\): La Luna provoca mareas oceánicas al atraer el agua del lado cercano más que la Tierra, y al atraer a la Tierra más que al agua del otro lado. Las distancias y tamaños no están a escala. Para esta representación simplificada del sistema Tierra-Luna, hay dos mareas altas y dos bajas por día en cualquier lugar, debido a que la Tierra gira bajo el bulto de las mareas.

El Sol también afecta las mareas, aunque tiene aproximadamente la mitad del efecto de la Luna. Sin embargo, las mareas más grandes, llamadas mareas primaverales, ocurren cuando la Tierra, la Luna y el Sol están alineados. Las mareas más pequeñas, llamadas mareas neap, ocurren cuando el Sol está en un\(90^{\circ}\) ángulo con la alineación Tierra-Luna.

Figura\(\PageIndex{5}\): (a, b) Mareas primaverales: Las mareas más altas ocurren cuando la Tierra, la Luna y el Sol están alineados. (c) Marea neap: Las mareas más bajas ocurren cuando el Sol se encuentra en\(90^{\circ}\) la alineación Tierra-Luna. Obsérvese que esta figura no está dibujada a escala.

Las mareas no son exclusivas de la Tierra sino que ocurren en muchos sistemas astronómicos. Las mareas más extremas ocurren donde la fuerza gravitacional es la más fuerte y varía más rápidamente, como cerca de agujeros negros (ver Figura\(\PageIndex{6}\)). En nuestra galaxia se han observado algunos probables candidatos a los agujeros negros. Estos tienen masas mayores que el Sol pero tienen diámetros de solo unos pocos kilómetros de ancho. Las fuerzas mareales cercanas a ellos son tan grandes que en realidad pueden arrancar materia de una estrella compañera.

Figura\(\PageIndex{6}\): Un agujero negro es un objeto con una gravedad tan fuerte que ni siquiera la luz puede escapar de él. Este agujero negro fue creado por la supernova de una estrella en un sistema de dos estrellas. Las fuerzas mareales creadas por el agujero negro son tan grandes que arranca materia de la estrella compañera. Esta materia es comprimida y calentada a medida que es aspirada hacia el agujero negro, creando luz y rayos X observables desde la Tierra.

” Ingravidez” y Microgravedad

Es posible que hayas visto imágenes de astronautas en la Estación Espacial Internacional, flotando en su entorno. ¿Cuál es el efecto de la “ingravidez” en un astronauta que está en órbita durante meses? ¿O qué pasa con el efecto de la ingravidez en el crecimiento de las plantas? La ingravidez no significa que un astronauta no esté siendo actuado por la fuerza gravitacional. No hay “gravedad cero” en la órbita de un astronauta. El término solo significa que el astronauta está en caída libre, acelerando con la aceleración debida a la gravedad. Si se rompe un cable de elevador, los pasajeros dentro estarán en caída libre y experimentarán ingravidez. Puede experimentar cortos períodos de ingravidez en algunos paseos en parques de diversiones, y los paseos comerciales en avión “Zero-G” simulan esta experiencia de ingravidez de unos 20 segundos a la vez.

Figura\(\PageIndex{7}\): Astronautas que experimentan ingravidez a bordo de la Estación Espacial Internacional. (crédito: NASA)

La microgravedad se refiere a un entorno en el que la aceleración de un cuerpo debido a fuerzas no gravitacionales es pequeña comparada con la producida por la Tierra en su superficie. En las últimas tres décadas se han estudiado muchos temas interesantes de biología y física en presencia de microgravedad. De inmediata preocupación es el efecto sobre los astronautas de tiempos prolongados en el espacio ultraterrestre, como en la Estación Espacial Internacional. Los investigadores han observado que los músculos se atrofiarán (desperdiciarán) en este ambiente. También hay una pérdida correspondiente de masa ósea. Continúa el estudio sobre la adaptación cardiovascular al vuelo espacial. En la Tierra, la presión arterial suele ser mayor en los pies que en la cabeza, debido a que la columna más alta de sangre ejerce una fuerza descendente sobre ella, debido a la gravedad. Al estar de pie, el 70% de tu sangre se encuentra por debajo del nivel del corazón, mientras que en posición horizontal, ocurre justo lo contrario. ¿Qué diferencia tiene sobre el corazón la ausencia de este diferencial de presión?

Algunos hallazgos en la fisiología humana en el espacio pueden ser clínicamente importantes para el manejo de enfermedades en la Tierra. En una nota algo negativa, se sabe que los vuelos espaciales afectan el sistema inmunológico humano, posiblemente haciendo que los tripulantes sean más vulnerables a las enfermedades infecciosas. Los experimentos volados en el espacio también han demostrado que algunas bacterias crecen más rápido en microgravedad que en la Tierra. Sin embargo, en una nota positiva, los estudios indican que la producción de antibióticos microbianos puede aumentar en un factor de dos en cultivos cultivados en el espacio. Se espera poder comprender estos mecanismos para que se puedan lograr éxitos similares sobre el terreno. En otra área de la investigación espacial física, se han cultivado cristales inorgánicos y cristales de proteínas en el espacio exterior que tienen una calidad mucho mayor que cualquier cultivado en la Tierra, por lo que los estudios de cristalografía sobre su estructura pueden arrojar resultados mucho mejores.

Las plantas han evolucionado con el estímulo de la gravedad y con sensores de gravedad. Las raíces crecen hacia abajo y los brotes crecen hacia arriba. Las plantas podrían proporcionar un sistema de soporte vital para misiones espaciales de larga duración regenerando la atmósfera, purificando el agua y produciendo alimentos. Algunos estudios han indicado que el crecimiento y desarrollo de las plantas no se ven afectados por la gravedad, pero aún existe incertidumbre sobre los cambios estructurales en las plantas cultivadas en un ambiente de microgravedad.

Resumen de la Sección

• La ley universal de la gravitación de Newton: Cada partícula en el universo atrae a todas las demás partículas con una fuerza a lo largo de una línea que las une. La fuerza es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. En forma de ecuación, esto es

  \[F=G \frac{m M}{r^{2}}, \nonumber\]

  donde F es la magnitud de la fuerza gravitacional. \(G\)es la constante gravitacional, dada por\(G=6.673 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}\).

• La ley de la gravitación de Newton se aplica universalmente.

Glosario

constante gravitacional, G

un factor de proporcionalidad utilizado en la ecuación para la ley universal de gravitación de Newton; es una constante universal, es decir, se piensa que es la misma en todas partes del universo

centro de masa

el punto donde se puede pensar que toda la masa de un objeto se concentra

microgravedad

un entorno en el que la aceleración de un cuerpo debido a fuerzas no gravitacionales es pequeña comparada con la producida por la Tierra en su superficie

La ley universal de la gravitación de Newton

cada partícula en el universo atrae a cada otra partícula con una fuerza a lo largo de una línea que las une; la fuerza es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas