2.10: Fuerza centrípeta
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Objetivos de aprendizaje
- Explicar el papel de la fuerza centrípeta en un movimiento circular uniforme.
- Calcular la fuerza centrípeta y la aceleración para situaciones simples.
Cualquier fuerza o combinación de fuerzas puede provocar una aceleración centrípeta o radial. Solo algunos ejemplos son la tensión en la cuerda sobre una bola de atadura, la fuerza de la gravedad de la Tierra sobre la Luna, la fricción entre los patines y el piso de una pista, la fuerza de una calzada inclinada sobre un automóvil y las fuerzas en el tubo de una centrífuga giratoria.
Cualquier fuerza neta que cause un movimiento circular uniforme se denomina fuerza centrípeta. La dirección de una fuerza centrípeta es hacia el centro de curvatura, la misma que la dirección de la aceleración centrípeta. De acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton, la fuerza neta es la aceleración por masa:\(F_{\text {net }}=m a\). Para un movimiento circular uniforme, la aceleración es la aceleración centrípeta—\(a=a_{c}\). Así, la magnitud de la fuerza centrípeta\(F_{c}\) es
\[F_{\mathrm{c}}=m a_{\mathrm{c}}. \nonumber \]
Al usar las expresiones para la aceleración centrípeta\(a_{c}\) de\(a_{c}=\frac{v^{2}}{r}\), obtenemos una expresión para la fuerza centrípeta\(\mathrm{F}_{\mathrm{c}}\) en términos de masa, velocidad y radio de curvatura:
\[F_{c}=m \frac{v^{2}}{r}. \nonumber \]
Ten en cuenta que si resuelves la primera expresión para\(r\), obtienes
\[r=\frac{m v^{2}}{F_{c}}. \nonumber \]
Esto implica que para una masa y velocidad dadas, una gran fuerza centrípeta provoca un pequeño radio de curvatura, es decir, una curva estrecha.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): What Coefficient of Friction Do Car Tires Need on a Flat Curve?
a) Calcular la fuerza centrípeta ejercida sobre un automóvil de 900 kg que negocia una curva de radio de 500 m a 25.0 m/s.
(b) Asumiendo una curva no bancarizada, encontrar el coeficiente mínimo de fricción estático, entre las llantas y la carretera, siendo la fricción estática la razón que impide que el automóvil se deslice (ver Figura\(\PageIndex{2}\)).
Estrategia y Solución para (a)
Eso lo sabemos\(F_{\mathrm{c}}=\frac{m v^{2}}{r}\). Por lo tanto,
\[F_{\mathrm{c}}=\frac{m v^{2}}{r}=\frac{(900 \mathrm{~kg})(25.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s})^{2}}{(500 \mathrm{~m})}=1125 \mathrm{~N}. \nonumber\]
Estrategia para b
La figura\(\PageIndex{2}\) muestra las fuerzas que actúan sobre el carro sobre una curva no bancarizada (terreno nivelado). La fricción es hacia la izquierda, evitando que el carro se deslice, y debido a que es la única fuerza horizontal que actúa sobre el carro, la fricción es la fuerza centrípeta en este caso. Sabemos que la fricción estática máxima (a la que ruedan las llantas pero no resbalan) es\(\mu_{\mathrm{s}} N\), donde\(\mu_{\mathrm{s}}\) está el coeficiente estático de fricción y NN es la fuerza normal. La fuerza normal equivale al peso del auto sobre terreno nivelado, así que eso\(N=m g \). Así la fuerza centrípeta en esta situación es
\[F_{\mathrm{c}}=f=\mu_{\mathrm{s}} N=\mu_{\mathrm{s}} m g. \nonumber\]
Ahora tenemos una relación entre la fuerza centrípeta y el coeficiente de fricción. Usando la expresión para\(\mathrm{F}_{\mathrm{c}}\)
\ [\ begin {reunió}
F_ {c} =m\ frac {v^ {2}} {r},\\
m\ frac {v^ {2}} {r} =\ mu_ {\ mathrm {s}} m g.
\ end {reunido}\ nonumber\]
Resolvemos esto para\(\mu_{\mathrm{s}}\), señalando que la masa cancela, y obtenemos
\[\mu_{\mathrm{s}}=\frac{v^{2}}{r g}. \nonumber\]
Solución para (b)
Sustituyendo los conocimientos,
\[\mu_{\mathrm{s}}=\frac{(25.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s})^{2}}{(500 \mathrm{~m})\left(9.80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)}=0.13. \nonumber\]
(Debido a que los coeficientes de fricción son aproximados, la respuesta se da a sólo dos dígitos).
Discusión
El coeficiente de fricción que se encuentra en la parte (b) es mucho menor que el que se encuentra típicamente entre llantas y carreteras. El automóvil seguirá negociando la curva si el coeficiente es mayor a 0.13, debido a que la fricción estática es una fuerza de respuesta, pudiendo asumir un valor menor que pero no mayor que\(\mu_{\mathrm{s}} N\). Un coeficiente más alto también permitiría al automóvil negociar la curva a mayor velocidad, pero si el coeficiente de fricción es menor, la velocidad segura sería inferior a 25 m/s Obsérvese que la masa cancela, lo que implica que en este ejemplo, no importa cuán cargado esté el automóvil para negociar el giro. La masa se cancela porque la fricción se asume proporcional a la fuerza normal, que a su vez es proporcional a la masa. Si se bancara la superficie de la carretera, la fuerza normal sería menor como se discutirá a continuación.
En el caso de curvas inclinadas, donde la pendiente de la carretera ayuda a negociar la curva, parte o la totalidad de la fuerza centrípeta necesaria es proporcionada por la fuerza normal. Ver Figura\(\PageIndex{3}\). Cuanto mayor sea el ángulo\(\theta\), más rápido podrás tomar la curva. Las pistas de carreras para bicicletas así como los autos, por ejemplo, suelen tener curvas pronunciadas. En una “curva idealmente inclinada”, el ángulo\(\theta\) es tal que se puede negociar la curva a cierta velocidad sin la ayuda de la fricción entre las llantas y la carretera. Conceptualmente, para la banca ideal, la fuerza externa neta es igual a la fuerza centrípeta horizontal en ausencia de fricción. Los componentes de la fuerza normal N en las direcciones horizontal y vertical deben ser iguales a la fuerza centrípeta y al peso del automóvil, respectivamente.
La figura\(\PageIndex{3}\) muestra un diagrama de carrocería libre para un automóvil en una curva bancada sin fricción. Si el ángulo\(\theta\) es ideal para la velocidad y el radio, entonces la fuerza externa neta será igual a la fuerza centrípeta necesaria. Las únicas dos fuerzas externas que actúan sobre el automóvil son su peso\(w\) y la fuerza normal de la carretera\(N\). (Una superficie sin fricción solo puede ejercer una fuerza perpendicular a la superficie, es decir, una fuerza normal). Estas dos fuerzas deben sumarse para dar una fuerza externa neta que sea horizontal hacia el centro de curvatura y tenga magnitud\(\mathrm{mv}^{2} / \mathrm{r}\). Omitimos cálculos detallados, que requieren trigonometría.
Resumen de la Sección
- \(\mathrm{F}_{\mathrm{c}}\)La fuerza centrípeta es cualquier fuerza que cause un movimiento circular uniforme. Se trata de una fuerza de “búsqueda de centro” que siempre apunta hacia el centro de rotación. Es perpendicular a la velocidad lineal\(v\) y tiene magnitud
\[F_{\mathrm{c}}=m a_{\mathrm{c}}, \nonumber\]
que también se puede expresar como
\[F_{c}=m \frac{v^{2}}{r}. \nonumber\]
Glosario
- fuerza centrípeta
- cualquier fuerza neta que provoque un movimiento circular uniforme
- banca ideal
- la inclinación de una curva en una carretera, donde el ángulo de la pendiente permite al vehículo negociar la curva a cierta velocidad sin la ayuda de fricción entre las llantas y la carretera; la fuerza externa neta sobre el vehículo es igual a la fuerza centrípeta horizontal en ausencia de fricción
- curva bancada
- la curva en una carretera que está inclinada de manera que ayuda a un vehículo a negociar la curva