6.2: Aceleración angular

Objetivos de aprendizaje

• Describir el movimiento circular uniforme.
• Explicar el movimiento circular no uniforme.
• Explique qué es la aceleración angular.

Anteriormente, observábamos un movimiento circular uniforme, donde un objeto se mueve en una trayectoria circular a una velocidad constante (pero cambiando de dirección, por lo que sufre una aceleración centrípeta). También podemos describirlo en términos de una rotación a un ritmo constante. Por ejemplo, se puede decir que un objeto que completa un círculo cada segundo gira a una velocidad constante de 360 grados por segundo alrededor del centro del círculo, ya que hay 360 grados en un círculo completo.

Para las fórmulas y ecuaciones que verá en este capítulo, introduciremos una unidad matemáticamente conveniente de ángulo llamada radianes. Una medida angular en radián se define por la longitud del arco cubierta por el ángulo dividido por el radio del círculo del que forma parte la longitud del arco. ¿Ves cómo, si el tamaño angular sigue siendo el mismo, como consideramos círculos más grandes, con una longitud de arco coincidente más larga, la relación entre la longitud del arco y el radio del círculo permanece constante? Considera este ejemplo. La circunferencia\(S\) de un círculo de radio\(r\) viene dada por\(S=2 \pi r\). Entonces el tamaño angular de un círculo completo es esta circunferencia (un tipo especial de longitud de arco) dividido por el radio, o\(2 \pi\) (así se podría decir que\(2 \pi\) los radianes son iguales a 360 grados).

Entonces, imagina un objeto completando un movimiento circular uniforme de radio\(r\) a velocidad\(v\), y digamos que lleva tiempo\(\Delta t\) completar un círculo completo. Luego, usando lo que aprendimos en cinemática, sabemos que esto sostiene:

\[v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2 \pi r}{\Delta t}, \label{1} \]

donde\(\Delta s\) está la longitud del arco, o la circunferencia, en este caso. También podemos describir esto en términos de velocidad angular, o la velocidad de cambio de ángulo,

\[\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{2 \pi}{\Delta t}, \label{2} \]

donde el cambio de ángulo\(\Delta \theta\) en este caso es el círculo completo, o\(2 \pi\) radianes. Usamos\(\omega\) (omega minúsculas) para denotar velocidad angular.

Comparando cuidadosamente la ecuación\(\eqref{1}\) con la ecuación\(\eqref{2}\), vemos que las siguientes relaciones se mantienen:

\[v=r \omega \label{3} \]

y

\[\omega=\frac{v}{r}. \label{4} \]

Vamos a utilizar esta relación para relacionar el movimiento lineal con la rotación (o movimiento angular) siempre que sea necesario. Un resumen con figura se encuentra en la Figura\(\PageIndex{1}\). En la Figura\(\PageIndex{1}\), también tenga en cuenta que, dada la misma velocidad angular\(\omega\), un objeto a un radio mayor tiene una velocidad lineal mayor (¿esto tiene sentido intuitivo?).

Figura\(\PageIndex{1}\): Esta figura muestra un movimiento circular uniforme y algunas de sus cantidades definidas.

La velocidad angular no es constante cuando una patinadora tira de sus brazos (acelerando por alguna razón, que veremos por qué más adelante), cuando un niño inicia un tiovivo desde el reposo, o cuando el disco duro de una computadora se ralentiza hasta detenerse cuando se apaga. En todos estos casos, hay una aceleración angular, en la que\(\omega\) cambia. Cuanto más rápido se produzca el cambio, mayor será la aceleración angular. \(\alpha\)La aceleración angular se define como la velocidad de cambio de la velocidad angular. En forma de ecuación, la aceleración angular se expresa de la siguiente manera:

\[\alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}, \nonumber \]

donde\(\Delta \omega\) es el cambio en la velocidad angular y\(\Delta t\) es el cambio en el tiempo. Las unidades de aceleración angular son (rad/s) /s, o rad/s ². Si\(\omega\) aumenta, entonces\(\alpha\) es positivo. Si\(\omega\) disminuye, entonces\(\alpha\) es negativo. Ojalá todo esto suene bastante familiar a partir de una discusión similar en cinemática lineal.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating the Angular Acceleration and Deceleration of a Bike Wheel

Supongamos que una adolescente pone su bicicleta en su espalda y comienza a girar la rueda trasera desde el reposo hasta una velocidad angular final de 250 rpm en 5.00 s. (a) Calcular la aceleración angular en rad/s ². (b) Si ahora pisa los frenos, provocando una aceleración angular de —87.3 rad/s ², ¿cuánto tiempo tarda la rueda en detenerse?

Estrategia para: a

La aceleración angular se puede encontrar directamente a partir de su definición\(\alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\) porque se dan la velocidad angular final y el tiempo. Vemos que\(\Delta \omega\) es de 250 rpm y\(\Delta t\) es de 5.00 s.

Solución para (a)

Ingresando información conocida en la definición de aceleración angular, obtenemos

\ [\ begin {alineado}
\ alpha &=\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t}\\
\\ [0 pt] &=\ frac {250\ mathrm {rpm}} {5.00\ mathrm {~s}}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Porque\(\Delta \omega\) es en revoluciones por minuto (rpm) y queremos las unidades estándar de rad/s ² para aceleración angular, necesitamos convertir\(\Delta \omega\) de rpm a rad/s:

\ [\ begin {alineado}
\ Delta\ omega &=250\ frac {\ mathrm {rev}} {\ min}\ cdot\ frac {2\ pi\ mathrm {rad}} {\ mathrm {rev}}\ cdot\ frac {1\ mathrm {~min}} {60\ mathrm {sec}}\\
&=26.2\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Ingresando esta cantidad en la expresión para\(\alpha\), obtenemos

\ [\ begin {alineado}
\ alpha &=\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t}\\
&=\ frac {26.2\ mathrm {rad}/\ mathrm {s}} {5.00\ mathrm {~s}}\\
&=5.24\ mathrm {rad}/\ mathrm {s} ^ {2}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Estrategia para b

En esta parte, conocemos la aceleración angular y la velocidad angular inicial. Podemos encontrar el tiempo de parada usando la definición de aceleración angular y resolviendo para\(\Delta t\), cediendo

\[\Delta t=\frac{\Delta \omega}{\alpha}. \nonumber\]

Solución para (b)

Aquí la velocidad angular disminuye de 26.2 rad/s (250 rpm) a cero, de manera que\(\Delta \omega\) es —26.2 rad/s, y\(\alpha\) se da para ser —87.3 rad/s ². Por lo tanto,

\ [\ begin {alineado}
\ Delta t &=\ frac {-26.2\ mathrm {rad}/\ mathrm {s}} {-87.3\ mathrm {rad}/\ mathrm {s} ^ {2}}\\
&=0.300\ mathrm {~s}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Discusión

Tenga en cuenta que la aceleración angular a medida que la niña hace girar la rueda es pequeña y positiva; se necesitan 5 s para producir una velocidad angular apreciable. Cuando golpea el freno, la aceleración angular es grande y negativa. La velocidad angular va rápidamente a cero. En ambos casos, las relaciones son análogas a lo que sucede con el movimiento lineal. Por ejemplo, hay una gran desaceleración cuando choca contra una pared de ladrillos; el cambio de velocidad es grande en un intervalo de tiempo corto.

Si la bicicleta del ejemplo anterior hubiera estado sobre sus ruedas en lugar de al revés, primero habría acelerado por el suelo y luego se habría parado. Esta conexión entre el movimiento circular y el movimiento lineal necesita ser explorada. Por ejemplo, sería útil saber cómo se relacionan la aceleración lineal y angular. En movimiento circular, la aceleración lineal es tangente al círculo en el punto de interés, como se ve en la Figura\(\PageIndex{2}\). Así, la aceleración lineal se llama aceleración tangencial\(a_{\mathrm{t}}\). Esto no debe confundirse con la aceleración centrípeta que cubrimos anteriormente (ver: Figura\(\PageIndex{3}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): En movimiento circular, la aceleración lineal\(a\), ocurre a medida que cambia la magnitud de la velocidad:\(a\) es tangente al movimiento. En el contexto del movimiento circular, la aceleración lineal también se llama aceleración tangencial\(a_{\mathrm{t}}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): La aceleración centrípeta\(a_{\mathrm{c}}\) se produce a medida que cambia la dirección de la velocidad; es perpendicular al movimiento circular. La aceleración centrípeta y tangencial son así perpendiculares entre sí.

Esta aceleración tangencial\(a_{\mathrm{t}}\) está relacionada con la aceleración angular de\(\alpha\) manera similar a cómo se relaciona la velocidad lineal con la velocidad angular. Entonces, tomando las señales de Ecuación\(\eqref{3}\) y Ecuación\(\eqref{4}\), la aceleración tangencial y la aceleración angular están relacionadas por,

\[a_{\mathrm{t}}=r \alpha, \nonumber \]

y

\[\alpha=\frac{a_{\mathrm{t}}}{r}. \nonumber \]

Estas ecuaciones significan que la aceleración lineal y la aceleración angular son directamente proporcionales. Cuanto mayor es la aceleración angular, mayor es la aceleración lineal (tangencial), y viceversa. Por ejemplo, cuanto mayor sea la aceleración angular de las ruedas motrices de un automóvil, mayor será la aceleración del automóvil. El radio también importa. Por ejemplo, cuanto más pequeña es una rueda, menor es su aceleración lineal para una aceleración angular dada\(\alpha\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating the Angular Acceleration of a Motorcycle Wheel

Una potente motocicleta puede acelerar de 0 a 30.0 m/s (unos 108 km/h) en 4.20 s. ¿Cuál es la aceleración angular de sus llantas de 0.320 m de radio? (Ver Figura\(\PageIndex{4}\).)

Figura\(\PageIndex{4}\): La aceleración lineal de una motocicleta va acompañada de una aceleración angular de sus ruedas.

Estrategia

Se nos da información sobre las velocidades lineales de la motocicleta. Así, podemos encontrar su aceleración lineal\(a_{\mathrm{t}}\). Entonces, la expresión\(\alpha=\frac{a_{t}}{r}\) puede ser utilizada para encontrar la aceleración angular.

Solución

La aceleración lineal es

\ [\ begin {alineado}
a_ {\ mathrm {t}} &=\ frac {\ Delta v} {\ Delta t}\\
&=\ frac {30.0\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}} {4.20\ mathrm {~s}}\\
&=7.14\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} ^ {2}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

También conocemos el radio de las ruedas. Ingresando los valores para\(a_{\mathrm{t}}\) y\(r\) en\(\alpha=\frac{a_{t}}{r}\), obtenemos

\ [\ begin {alineado}
\ alpha &=\ frac {a_ {\ mathrm {t}}} {r}\\
&=\ frac {7.14\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} ^ {2}} {0.320\ mathrm {~m}}\\
&=22.3\ mathrm {rad}/\ mathrm {s} ^ {2}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Discusión

Las unidades de radianes son adimensionales y aparecen en cualquier relación entre cantidades angulares y lineales.

Hasta ahora, hemos definido tres cantidades rotacionales—\(\theta\),\(\omega\), y\(\alpha\). Estas cantidades son análogas a las cantidades de traducción\(x\),\(v\), y\(a\). La tabla muestra las cantidades rotacionales, las cantidades de traslación análogas y las relaciones entre ellas.

Cantidades rotacionales y traslacionales

Rotacional	Traslacional	Relación
\(\theta\)	\(x\)	\(\theta=\frac{x}{r}\)
\(\omega\)	\(v\)	\(\omega=\frac{v}{r}\)
\(\alpha\)	\(a\)	\(\alpha=\frac{a_{t}}{r}\)

Hacer conexiones: experimento para llevar a casa

Siéntate con los pies en el suelo sobre una silla que gira. Levanta una de tus piernas de tal manera que quede desdoblada (enderezada). Usando la otra pierna, comienza a girarte empujando sobre el suelo. Deja de usar tu pierna para empujar el suelo pero permite que la silla gire. Desde el origen donde iniciaste, dibuja el ángulo, la velocidad angular y la aceleración angular de tu pierna en función del tiempo en forma de tres gráficas separadas. Estimar las magnitudes de estas cantidades.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

La aceleración angular es un vector, que tiene tanto magnitud como dirección. ¿Cómo denotamos su magnitud y dirección? Ilustrar con un ejemplo.

Contestar

La magnitud de la aceleración angular es\(\alpha\) y sus unidades más comunes son rad/s ². La dirección de la aceleración angular a lo largo de un eje fijo se denota con un signo + o a —, así como la dirección de la aceleración lineal en una dimensión se denota con un signo + o a —. Por ejemplo, considere a una gimnasta haciendo un flip hacia adelante. Su impulso angular sería paralelo a la colchoneta y a su izquierda. La magnitud de su aceleración angular sería proporcional a su velocidad angular (velocidad de giro) y su momento de inercia alrededor de su eje de giro.

Resumen de la Sección

• El movimiento circular uniforme es el movimiento con una velocidad angular constante\(\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\).
• En el movimiento circular no uniforme, la velocidad cambia con el tiempo y la tasa de cambio de la velocidad angular (es decir, aceleración angular) es\(\alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\).
• La aceleración lineal o tangencial se refiere a cambios en la magnitud de la velocidad pero no en su dirección, dado como\(a_{\mathrm{t}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\).
• Variables de movimiento lineal o tangencial\(x\),\(v\), y\(a_{t}\) son proporcionales a las cantidades rotacionales\(\theta\),\(\omega\), y\(\alpha\). También son proporcionales al radio\(r\) del movimiento rotacional.

Glosario

aceleración angular

la tasa de cambio de la velocidad angular con el tiempo

velocidad angular

la tasa de cambio de la posición angular con el tiempo

cambio en la velocidad angular

la diferencia entre los valores finales e iniciales de velocidad angular

radián

una unidad de medida angular definida por la longitud del arco cubierta por el ángulo dividido por el radio del círculo del que forma parte la longitud del arco; un círculo completo es\(2 \pi\) radianes.

aceleración tangencial

la aceleración en una dirección tangente al círculo en el punto de interés en el movimiento circular