6.3: Dinámica del Movimiento Rotacional- Inercia Rotacional

Objetivos de aprendizaje

• Comprender la relación entre par, inercia rotacional y aceleración angular.
• Estudiar el efecto de giro del par.
• Estudiar la analogía entre fuerza y par, masa y momento de inercia, y aceleración lineal y aceleración angular.

Si alguna vez has girado una rueda de bicicleta o empujado un tiovivo, sabes que se necesita fuerza para cambiar la velocidad angular como se ve en la Figura\(\PageIndex{1}\). De hecho, tu intuición es confiable para predecir muchos de los factores que están involucrados. Por ejemplo, sabemos que una puerta se abre lentamente si nos acercamos demasiado a sus bisagras. Además, sabemos que cuanto más masiva es la puerta, más lentamente se abre. El primer ejemplo implica que cuanto más lejos se aplique la fuerza del pivote, mayor será la aceleración angular; otra implicación es que la aceleración angular es inversamente proporcional a la masa. Estas relaciones deberían parecer muy similares a las relaciones familiares entre fuerza, masa y aceleración encarnadas en la segunda ley del movimiento de Newton. Existen, de hecho, análogos rotacionales precisos tanto de fuerza como de masa.

Figura\(\PageIndex{1}\): Se requiere fuerza para hacer girar la rueda de la bicicleta. Cuanto mayor sea la fuerza, mayor será la aceleración angular producida. Cuanto más masiva es la rueda, menor es la aceleración angular. Si empujas un radio más cerca del eje, la aceleración angular será menor.

Para desarrollar la relación precisa entre fuerza, masa, radio y aceleración angular, considere lo que sucede si ejercemos una fuerza\(F\) sobre una masa puntual\(m\) que está a una distancia\(r\) de un punto de pivote, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Debido a que la fuerza es perpendicular a\(r\),\(a=\frac{F}{m}\) se obtiene una aceleración en la dirección de\(F\). Podemos reorganizar esta ecuación de tal manera que\(F=m a\) y luego buscar formas de relacionar esta expresión con expresiones para cantidades rotacionales. Observamos que\(a=r \alpha\), y sustituimos esta expresión en\(F=m a\), ceder

\[F=m r \alpha . \nonumber \]

La efectividad de giro de la fuerza se llama torque. Intuitivamente, el par aumenta con un brazo de palanca más grande, o la distancia perpendicular entre el centro de rotación y el punto en el que se aplica la fuerza (piense en una sierra de balancín; para equilibrar el peso de un niño más pesado en un lado con un niño más ligero en el otro lado, el niño más ligero necesita para sentarse más lejos del punto de pivote). Entonces, el par viene dado por\(\tau=r F\). Entonces, si multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por\(r\), obtenemos torque en el lado izquierdo. Es decir,

\[r F=m r^{2} \alpha \nonumber \]

o

\[\tau=m r^{2} \alpha. \nonumber \]

Esta última ecuación es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton (\(F=m a\)), donde el par es análogo a la fuerza, la aceleración angular es análoga a la aceleración de traslación, y\(m r^{2}\) es análoga a la masa (o inercia). La cantidad\(m r^{2}\) se denomina inercia rotacional o momento de inercia de una masa puntual a\(m\) una\(r\) distancia del centro de rotación.

Figura\(\PageIndex{2}\): Un objeto es soportado por una mesa horizontal sin fricción y está unido a un punto de pivote por un cordón que suministra fuerza centrípeta. \(F\)Se aplica una fuerza al objeto perpendicular al radio\(r\), lo que hace que se acelere alrededor del punto de pivote. La fuerza se mantiene perpendicular a\(r\).

Hacer conexiones: Dinámica de movimiento rotacional

La dinámica para el movimiento rotacional es completamente análoga a la dinámica lineal o traslacional. La dinámica se ocupa de la fuerza y la masa y sus efectos sobre el movimiento. Para el movimiento rotacional, encontraremos análogos directos a la fuerza y la masa que se comportan tal como esperaríamos de nuestras experiencias anteriores.

Inercia Rotacional y Momento de Inercia

Antes de poder considerar la rotación de cualquier cosa que no sea una masa puntual como la de la Figura\(\PageIndex{2}\), debemos extender la idea de inercia rotacional a todo tipo de objetos. Para ampliar nuestro concepto de inercia rotacional, definimos el momento de inercia\(I\) de un objeto\(m r^{2}\) para que sea la suma de todas las masas puntuales de las que está compuesto. Es decir,\(I=\sum m r^{2}\). Aquí\(I\) es análogo a\(m\) en movimiento traslacional. Debido a la distancia\(r\), el momento de inercia para cualquier objeto depende del eje elegido. En realidad, el cálculo\(I\) está más allá del alcance de este texto excepto en un caso simple, el de un aro, que tiene toda su masa a la misma distancia de su eje. El momento de inercia de un aro alrededor de su eje es\(M R^{2}\), pues, dónde\(M\) está su masa total y\(R\) su radio. (Utilizamos\(M\) y\(R\) para un objeto entero para distinguirlos de\(m\) y\(r\) para masas puntuales.) La figura\(\PageIndex{3}\) muestra una variedad de fórmulas de inercia rotacional para muchas formas diferentes (derivar estas fórmulas requieren cálculo). Para nuestros propósitos, es suficiente para que veas que la inercia rotacional es proporcional a la masa, y que es proporcional al tamaño del objeto al cuadrado. Tenga en cuenta que\ tiene unidades de masa multiplicadas por la distancia al cuadrado (\(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}\)), como cabría esperar de su definición.

La relación general entre el par, el momento de inercia y la aceleración angular es

\[\text { net } \tau=I \alpha \nonumber \]

o

\[\alpha=\frac{\text { net } \tau}{I}, \nonumber \]

donde net\(\tau\) es el par total de todas las fuerzas relativas a un eje elegido. Por simplicidad, solo consideraremos los pares de torsión ejercidos por las fuerzas en el plano de la rotación. Dichos pares son positivos o negativos y se suman como números ordinarios. La relación en\(\tau=I \alpha\),\(\alpha=\frac{\text { net } \tau}{I}\) es el análogo rotacional a la segunda ley de Newton y es de aplicación muy general. Esta ecuación es realmente válida para cualquier par, aplicado a cualquier objeto, relativo a cualquier eje.

Como cabría esperar, cuanto mayor sea el par, mayor será la aceleración angular. Por ejemplo, cuanto más fuerte empuja un niño en un tiovivo, más rápido acelera. Además, cuanto más masivo es un tiovivo, más lento acelera para el mismo par. La relación básica entre el momento de inercia y la aceleración angular es que cuanto mayor es el momento de inercia, menor es la aceleración angular. Pero hay un giro adicional. El momento de inercia depende no sólo de la masa de un objeto, sino también de su distribución de la masa en relación con el eje alrededor del cual gira. Por ejemplo, será mucho más fácil acelerar un tiovivo lleno de niños si se paran cerca de su eje que si todos se paran en el borde exterior. La masa es la misma en ambos casos, pero el momento de inercia es mucho mayor cuando los niños están al borde.

Experimento para llevar a casa

Recorta un círculo que tenga un radio de aproximadamente 10 cm de cartón rígido. Cerca del borde del círculo, escribe los números del 1 al 12 como horas en la cara de un reloj. Coloca el círculo para que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal a través de su centro, como una rueda. (Podrías clavar el círculo flojamente a una pared). Sostenga el círculo estacionario y con el número 12 colocado en la parte superior, coloque un trozo de masilla azul (material adhesivo utilizado para fijar carteles a las paredes) en el número 3. ¿Qué tan grande debe ser el bulto para simplemente rotar el círculo? Describe cómo puedes cambiar el momento de inercia del círculo. ¿Cómo afecta este cambio a la cantidad de masilla azul necesaria en el número 3 para simplemente rotar el círculo? Cambia el momento de inercia del círculo y luego intenta girar el círculo usando diferentes cantidades de masilla azul. Repita este proceso varias veces.

HACER CONEXIONES

En la estática, el par neto es cero, y no hay aceleración angular. En el movimiento rotacional, el par neto es la causa de la aceleración angular, exactamente como en la segunda ley de movimiento de Newton para la rotación.

Figura\(\PageIndex{3}\): Algunas inercias rotacionales.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El par es el análogo de la fuerza y el momento de inercia es el análogo de la masa. La fuerza y la masa son cantidades físicas que dependen de un solo factor. Por ejemplo, la masa se relaciona únicamente con los números de átomos de diversos tipos en un objeto. ¿El par y el momento de inercia son igualmente simples?

Contestar

No. El par depende de tres factores: la magnitud de la fuerza, la dirección de la fuerza y el punto de aplicación. El momento de inercia depende tanto de la masa como de su distribución relativa al eje de rotación. Entonces, si bien las analogías son precisas, estas cantidades rotacionales dependen de más factores.

Resumen de la Sección

• Cuanto más lejos se aplica la fuerza del pivote, mayor es la aceleración angular; la aceleración angular es inversamente proporcional a la masa.
• El par aplicado a un objeto viene dado por el brazo de palanca multiplicado por la fuerza aplicada:\(\tau=r F\).
• Usando el par, podemos descubrir la versión rotacional de la Segunda Ley de Newton. Dice\(\tau=I \alpha\), donde\(I\) está la inercia rotacional, definida para una masa puntual que se mueve en un círculo de radio\(r\) como\(I=m r^{2}\).
• La fórmula para la inercia rotacional de un cuerpo extendido puede ser complicada. Pero todos son proporcionales a la masa del objeto y proporcionales al cuadrado del tamaño del objeto.

Glosario

par

la efectividad de giro de una fuerza

brazo de palanca

la distancia perpendicular entre el centro de rotación y el punto en el que se aplica la fuerza

inercia rotacional

resistencia al cambio de velocidad angular; también llamado momento de inercia; para una masa puntual,\(I=m r^{2}\)