9.6: Potencial eléctrico y energía potencial

Objetivos de aprendizaje

• Definir el potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica.
• Describir la relación entre la diferencia de potencial eléctrico y el campo eléctrico.
• Describir la relación entre el potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica.
• Explicar el electrón voltio y su uso en el proceso submicroscópico.

Cuando una carga positiva libre \(q\)es acelerada por un campo eléctrico, tal como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\), se le da energía cinética. El proceso es análogo a que un objeto sea acelerado por un campo gravitacional. Es como si la carga estuviera bajando por una colina eléctrica donde su energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética. Exploremos el trabajo realizado sobre una carga \(q\)por el campo eléctrico en este proceso, para que podamos desarrollar una definición de energía eléctrica potencial.

Figura\(\PageIndex{1}\): Una carga acelerada por un campo eléctrico es análoga a una masa que desciende una colina. En ambos casos la energía potencial se convierte a otra forma. El trabajo lo realiza una fuerza, pero como esta fuerza es conservadora, podemos escribir\(W=-\Delta \mathrm{PE}\).

La fuerza electrostática o Coulomb es conservadora, lo que significa que el trabajo realizado \(q\)es independiente del camino tomado. Esto es exactamente análogo a la fuerza gravitacional en ausencia de fuerzas disipativas como la fricción. Cuando una fuerza es conservadora, es posible definir una energía potencial asociada a la fuerza, y suele ser más fácil lidiar con la energía potencial (porque depende únicamente de la posición) que calcular el trabajo realizado directamente a partir de la fuerza (\(W=\langle\boldsymbol{F}, \boldsymbol{d}\rangle\), donde d es desplazamiento y F es la fuerza).

Utilizamos las letras PE para denotar energía potencial eléctrica, la cual tiene unidades de julios (J). El cambio en la energía potencial,\(\triangle \mathrm{PE}\), es crucial, ya que el trabajo que realiza una fuerza conservadora es el negativo del cambio en la energía potencial; es decir,\(W=-\Delta \mathrm{PE}\). Por ejemplo, el trabajo\(W\) realizado para acelerar una carga positiva del descanso es positivo y resulta de una pérdida en PE, o una negativa\(\triangle \mathrm{PE}\). Debe haber un signo menos delante\(\triangle \mathrm{PE}\) para hacer\(W\) positivo. El PE se puede encontrar en cualquier punto tomando un punto como referencia y calculando el trabajo necesario para mover una carga al otro punto.

Definición: ENERGÍA Potencial

\(W=-\Delta \mathrm{PE}\). Por ejemplo, el trabajo\(W\) realizado para acelerar una carga positiva del descanso es positivo y resulta de una pérdida en PE, o una negativa\(\Delta \mathrm{PE}\). Debe haber un signo menos delante\(\Delta \mathrm{PE}\) para hacer\(W\) positivo. El PE se puede encontrar en cualquier punto tomando un punto como referencia y calculando el trabajo necesario para mover una carga al otro punto.

La energía potencial gravitacional y la energía potencial eléctrica son bastante análogas. La energía potencial da cuenta del trabajo realizado por una fuerza conservadora y da una visión adicional sobre la energía y la transformación energética sin la necesidad de tratar directamente con la fuerza. Es mucho más común, por ejemplo, utilizar el concepto de voltaje (relacionado con la energía potencial eléctrica) que tratar directamente con el campo eléctrico (relacionado con la fuerza de Coulomb).

Dada cierta fuerza conservadora\(F\) y desplazamiento\(d\) bajo la fuerza, el trabajo realizado y el cambio en la energía potencial pueden calcularse como,\(W=\langle\boldsymbol{F}, \boldsymbol{d}\rangle\) y\(\Delta \mathrm{PE}=-\mathrm{W}=\langle-\mathbf{F}, \boldsymbol{d}\rangle\). Para la fuerza eléctrica, la fuerza viene dada por el producto de la carga eléctrica y el campo eléctrico\(\boldsymbol{F}=q \boldsymbol{E}\), donde\(q\) está la carga que experimenta la fuerza y\(E\) es el campo eléctrico en la ubicación de la carga. Por lo que es el cambio energético potencial debido al trabajo realizado por la fuerza eléctrica\(\Delta \mathrm{PE}=q(\langle-\mathbf{E}, \boldsymbol{d}\rangle)\). Si definimos el cambio en el potencial eléctrico\(V\) como\(\Delta V=\langle-\mathbf{E}, \boldsymbol{d}\rangle\), entonces la energía potencial eléctrica PEPE se expresa simplemente en términos de potencial eléctrico\(\mathrm{PE}=q V\), o,

\[V=\frac{\mathrm{PE}}{q}, \nonumber \]

energía eléctrica potencial por carga.

Definición: POTENCIAL ELECTRICO

El potencial eléctrico es la energía potencial eléctrica por unidad de carga.

\[V=\frac{\mathrm{PE}}{q} \nonumber\]

Con la energía potencial, el caso a menudo es que su valor en un solo punto no tiene un significado significativo pero lo importante es la diferencia en la energía potencial. A partir de la diferencia de energía potencial, podemos calcular otras cantidades, como el cambio en la energía cinética (si no actúa ninguna fuerza que no sea la fuerza conservadora) o el trabajo que necesita ser realizado por otras fuerzas (si actúan otras fuerzas). Así mismo, en lugar del propio potencial eléctrico, a menudo nos interesa la diferencia en el potencial eléctrico\(\Delta V\) entre dos puntos, donde,

\[\Delta V=V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}}=\frac{\Delta \mathrm{PE}}{q}. \nonumber \]

La diferencia de potencial entre los puntos A y B\(V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}}\),, se define así como el cambio en la energía potencial de una carga \(q\)movida de A a B, dividida por la carga. Las unidades de diferencia de potencial son julios por culombo, dado el nombre volt (V) después de Alessandro Volta.

\[1 \mathrm{~V}=1 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} \nonumber \]

Definición: DIFERENCIA Potencial

La diferencia de potencial entre los puntos A y B\(V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}}\),, se define como el cambio en la energía potencial de una carga q movida de A a B, dividida por la carga. Las unidades de diferencia de potencial son julios por culombo, dado el nombre volt (V) después de Alessandro Volta.

\[1 \mathrm{~V}=1 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} \nonumber\]

El término familiar voltaje es el nombre común para la diferencia de potencial. Tenga en cuenta que siempre que se cotiza un voltaje, se entiende que es la diferencia de potencial entre dos puntos. Por ejemplo, cada batería tiene dos terminales, y su voltaje es la diferencia de potencial entre ellos. Más fundamentalmente, el punto que eliges ser cero voltios es arbitrario. Esto es análogo al hecho de que la energía potencial gravitacional tiene un cero arbitrario, como el nivel del mar o quizás el piso de una sala de conferencias.

En resumen, la relación entre la diferencia de potencial (o voltaje) y la energía potencial eléctrica viene dada por

\[\Delta V=\frac{\Delta \mathrm{PE}}{q} \text { and } \Delta \mathrm{PE}=q \Delta V. \nonumber \]

Diferencia de potencial y energía eléctrica

La relación entre la diferencia de potencial (o voltaje) y la energía potencial eléctrica viene dada por

\[\Delta V=\frac{\Delta \mathrm{PE}}{q} \text { and } \Delta \mathrm{PE}=q \Delta V. \nonumber\]

La segunda ecuación es equivalente a la primera.

El voltaje no es lo mismo que la energía. El voltaje es la energía por unidad de carga. Así, una batería de motocicleta y una batería de automóvil pueden tener ambas el mismo voltaje (más precisamente, la misma diferencia de potencial entre los terminales de la batería), sin embargo, una almacena mucha más energía que la otra desde entonces\(\Delta \mathrm{PE}=q \Delta V\). La batería del automóvil puede mover más carga que la batería de la motocicleta, aunque ambas son baterías de 12 V.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Energy

Supongamos que tiene una batería de motocicleta de 12.0 V que puede mover 5000 C de carga, y una batería de automóvil de 12.0 V que puede mover 60,000 C de carga. ¿Cuánta energía entrega cada uno? (Supongamos que el valor numérico de cada carga es exacto a tres cifras significativas.)

Estrategia

Decir que tenemos una batería de 12.0 V significa que sus terminales tienen una diferencia de potencial de 12.0 V. Cuando dicha batería mueve la carga, pone la carga a través de una diferencia de potencial de 12.0 V, y a la carga se le da un cambio en la energía potencial igual a\(\Delta \mathrm{PE}=q \Delta V\).

Entonces, para encontrar la salida de energía, multiplicamos la carga movida por la diferencia de potencial.

Solución

Para la batería de la motocicleta,\(q=5000 \ \mathrm{C}\) y\(\Delta V=12.0 \mathrm{~V}\). La energía total entregada por la batería de la motocicleta es

\ [\ begin {aligned}
\ Delta\ mathrm {PE} _ {\ text {ciclo}} & =( 5000\ mathrm {C}) (12.0\ mathrm {~V})\\
& =( 5000\ mathrm {C}) (12.0\ mathrm {~J}/\ mathrm {C})\\
&=6.00\ veces 10^ {4}\ mathrm {J}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Del mismo modo, para la batería del automóvil,\(q=60,000 \ \mathrm{C}\) y

\ [\ begin {aligned}
\ Delta\ mathrm {PE} _ {\ mathrm {car}} & =( 60.000\ mathrm {C}) (12.0\ mathrm {~V})\\
&=7.20\ times 10^ {5}\ mathrm {~J}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Discusión

Si bien el voltaje y la energía están relacionados, no son lo mismo. Los voltajes de las baterías son idénticos, pero la energía suministrada por cada una es bastante diferente. Tenga en cuenta también que a medida que se descarga una batería, parte de su energía se usa internamente y su voltaje de terminal cae, como cuando los faros se atenúan debido a una batería baja del automóvil. La energía suministrada por la batería todavía se calcula como en este ejemplo, pero no toda la energía está disponible para uso externo.

Obsérvese que las energías calculadas en el ejemplo anterior son valores absolutos. El cambio en la energía potencial para la batería es negativo, ya que pierde energía. Estas baterías, como muchos sistemas eléctricos, en realidad mueven la carga negativa, en particular los electrones. Las baterías repelen electrones de sus terminales negativos (A) a través de cualquier circuito involucrado y los atraen a sus terminales positivos (B) como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). El cambio en el potencial es\(\Delta V=V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}}=+12 \mathrm{~V}\) y la carga\(q\) es negativa, por lo que\(\Delta \mathrm{PE}=q \Delta V\) es negativa, es decir, la energía potencial de la batería ha disminuido cuando se\(q\) ha movido de A a B.

Figura\(\PageIndex{2}\): Una batería mueve la carga negativa desde su terminal negativo a través de un faro a su terminal positivo. Las combinaciones apropiadas de químicos en la batería separan las cargas para que el terminal negativo tenga un exceso de carga negativa, que es repelida por ella y atraído al exceso de carga positiva en el otro terminal. En términos de potencial, el terminal positivo está a un voltaje mayor que el negativo. Dentro de la batería, se mueven tanto las cargas positivas como las negativas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): How Many Electrons Move through a Headlight Each Second?

Cuando una batería de automóvil de 12.0 V funciona con un solo\(W\) faro 30.0, ¿cuántos electrones pasan a través de él cada segundo?

Estrategia

Para encontrar el número de electrones, primero debemos encontrar la carga que se movió en 1.00 s. La carga movida está relacionada con el voltaje y la energía a través de la ecuación\(\Delta \mathrm{PE}=q \Delta V\). Una lámpara de 30.0 W utiliza 30.0 julios por segundo. Ya que la batería pierde energía, la tenemos\(\Delta \mathrm{PE}=-30.0 \mathrm{~J}\) y, como los electrones van del terminal negativo al positivo, eso lo vemos\(\Delta V=+12.0 \mathrm{~V}\).

Solución

Para encontrar la carga \(q\)movida, resolvemos la ecuación\(\Delta \mathrm{PE}=q \Delta V\):

\[q=\frac{\Delta \mathrm{PE}}{\Delta V}. \nonumber\]

Ingresando los valores para\(\triangle \mathrm{PE}\) y\(\Delta V\), obtenemos

\[q=\frac{-30.0 \mathrm{~J}}{+12.0 \mathrm{~V}}=\frac{-30.0 \mathrm{~J}}{+12.0 \mathrm{~J} / \mathrm{C}}=-2.50 \mathrm{C}. \nonumber\]

El número de electrones\(\mathrm{n}_{\mathrm{e}}\) es la carga total dividida por la carga por electrón. Es decir,

\[\mathrm{n}_{\mathrm{e}}=\frac{-2.50 \mathrm{C}}{-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C} / \mathrm{e}^{-}}=1.56 \times 10^{19} \text { electrons. } \nonumber\]

Discusión

Se trata de un número muy grande. No es de extrañar que ordinariamente no observemos electrones individuales con tantos estando presentes en los sistemas ordinarios. De hecho, la electricidad había estado en uso durante muchas décadas antes de que se determinara que las cargas de mudanza en muchas circunstancias eran negativas. La carga positiva que se mueve en la dirección opuesta a la carga negativa a menudo produce efectos idénticos; esto dificulta determinar cuál se está moviendo o si ambos se están moviendo.

El electrón voltio

La energía por electrón es muy pequeña en situaciones macroscópicas como la del ejemplo anterior, una pequeña fracción de un julio. Pero a escala submicroscópica, tal energía por partícula (electrón, protón o ion) puede ser de gran importancia. Por ejemplo, incluso una pequeña fracción de un joule puede ser lo suficientemente grande como para que estas partículas destruyan moléculas orgánicas y dañen los tejidos vivos. La partícula puede hacer su daño por colisión directa, o puede crear radiografías dañinas, que también pueden infligir daño. Es útil tener una unidad de energía relacionada con efectos submicroscópicos. La figura\(\PageIndex{3}\) muestra una situación relacionada con la definición de dicha unidad de energía. Un electrón se acelera entre dos placas de metal cargadas como podría ser en un tubo de televisión u osciloscopio modelo antiguo. Al electrón se le da energía cinética que luego se convierte en otra forma: luz en el tubo de televisión, por ejemplo. (Tenga en cuenta que cuesta abajo para el electrón es cuesta arriba para una carga positiva.) Dado que la energía está relacionada con el voltaje por\(\Delta \mathrm{PE}=q \Delta V\), podemos pensar en el joule como un coulomb-volt.

Figura\(\PageIndex{3}\): Un cañón de electrones típico acelera los electrones usando una diferencia de potencial entre dos placas metálicas. La energía del electrón en electrón-voltios es numéricamente la misma que la tensión entre las placas. Por ejemplo, una diferencia de potencial de 5000 V produce 5000 electrones eV.

Definición: ELECTRON VOLT

En la escala submicroscópica, es más conveniente definir una unidad de energía llamada electrón voltio (eV), que es la energía dada a una carga fundamental acelerada a través de una diferencia de potencial de 1 V. En forma de ecuación,

\ [\ begin {aligned}
1\ mathrm {eV} &=\ left (1.60\ times 10^ {-19}\ mathrm {C}\ right) (1\ mathrm {~V}) =\ left (1.60\ times 10^ {-19}\ mathrm {C}\ right) (1\ mathrm {~J}/\ mathrm {C})\\
&=1.60 veces\ 10^ {-19}\ mathrm {~J}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

A un electrón acelerado a través de una diferencia de potencial de 1 V se le da una energía de 1 eV. De ello se deduce que un electrón acelerado a través de 50 V recibe 50 eV. Una diferencia de potencial de 100,000 V (100 kV) le dará a un electrón una energía de 100,000 eV (100 keV), y así sucesivamente. De igual manera, a un ion con una doble carga positiva acelerada a través de 100 V se le darán 200 eV de energía. Estas simples relaciones entre el voltaje de aceleración y las cargas de partículas hacen que el electrón voltio sea una unidad de energía simple y conveniente en tales circunstancias.

CONEXIONES: UNIDADES DE

El electrón voltio (eV) es la unidad de energía más común para procesos submicroscópicos. Esto será particularmente notable en los capítulos sobre la física moderna. La energía es tan importante para tantos temas que existe una tendencia a definir una unidad energética especial para cada tema principal. Hay, por ejemplo, calorías para la energía alimentaria, y kilovatios-hora para la energía eléctrica.

El electrón voltio se emplea comúnmente en procesos submicroscópicos: las energías de valencia química y las energías de unión molecular y nuclear se encuentran entre las cantidades que a menudo se expresan en electronvoltios. Por ejemplo, se requieren aproximadamente 5 eV de energía para romper ciertas moléculas orgánicas. Si un protón se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 30 kV, se le da una energía de 30 keV (30,000 eV) y puede romper hasta 6000 de estas moléculas (\(30,000 \ \mathrm{eV} \div 5 \mathrm{eV} \text { per molecule }=6000 \text { molecules }\)). Las energías de desintegración nuclear son del orden de 1 MeV (1,000,000 eV) por evento y, por lo tanto, pueden producir daños biológicos significativos.

Conservación de Energía

La energía total de un sistema se conserva si no hay suma (o resta) neta de trabajo o transferencia de calor. Para las fuerzas conservadoras, como la fuerza electrostática, la conservación de la energía establece que la energía mecánica es una constante.

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema; es decir,\(\mathrm{KE}+\mathrm{PE}=\text { constant }\). Una pérdida de PE de una partícula cargada se convierte en un incremento en su KE. Aquí PE es la energía eléctrica potencial. La conservación de la energía se establece en forma de ecuación como

\[\mathrm{KE}+\mathrm{PE}=\text { constant } \nonumber \]

o

\[\mathrm{KE}_{\mathrm{i}}+\mathrm{PE}_{\mathrm{i}}=\mathrm{KE}_{\mathrm{f}}+\mathrm{PE}_{\mathrm{f}}, \nonumber \]

donde i y f representan condiciones iniciales y finales. Como hemos encontrado muchas veces antes, considerar la energía puede darnos ideas y facilitar la resolución de problemas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Electrical Potential Energy Converted to Kinetic Energy

Calcular la velocidad final de un electrón libre acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 100 V. (Supongamos que este valor numérico es exacto a tres cifras significativas.)

Estrategia

Tenemos un sistema con solo fuerzas conservadoras. Suponiendo que el electrón se acelera en vacío, y descuidando la fuerza gravitacional (verificaremos esta suposición más adelante), toda la energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética. Podemos identificar las formas inicial y final de energía a ser\(\mathrm{KE}_{\mathrm{i}}=0, \mathrm{KE}_{\mathrm{f}}=1 / 2 m v^{2}, \mathrm{PE}_{\mathrm{i}}=q V, \text { and } \mathrm{PE}_{\mathrm{f}}=0\).

Solución

Conservación de la energía afirma que

\[\mathrm{KE}_{\mathrm{i}}+\mathrm{PE}_{\mathrm{i}}=\mathrm{KE}_{\mathrm{f}}+\mathrm{PE}_{\mathrm{f}}. \nonumber\]

Al ingresar los formularios identificados anteriormente, obtenemos

\[q V=\frac{m v^{2}}{2}. \nonumber\]

Resolvemos esto para\(v\):

\[v=\sqrt{\frac{2 q V}{m}}. \nonumber\]

Ingresar valores para\(q\),\(V\), y\(m\) da

\ [\ begin {alineado}
v &=\ sqrt {\ frac {2\ left (-1.60\ times 10^ {-19}\ mathrm {C}\ right) (-100\ mathrm {~J}/\ mathrm {C})} {9.11\ veces 10^ {-31}\ mathrm {~kg}}}\\
&=5.93\ veces 10^ {6}\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Discusión

Obsérvese que tanto la carga como la tensión inicial son negativas, como en la Figura\(\PageIndex{3}\). Sabemos que las fuerzas electrostáticas sobre partículas pequeñas son generalmente muy grandes en comparación con la fuerza gravitacional. La gran velocidad final confirma que la fuerza gravitacional es ciertamente insignificante aquí. La gran velocidad también indica lo fácil que es acelerar electrones con pequeños voltajes debido a su masa muy pequeña. Los voltajes mucho más altos que los 100 V en este problema se utilizan típicamente en los cañones de electrones.

Resumen de la Sección

• El potencial eléctrico es energía potencial por unidad de carga.
• La diferencia de potencial entre los puntos A y B\(V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}}\),, definida como el cambio en la energía potencial de una carga \(q\)movida de A a B, es igual al cambio en la energía potencial dividida por la carga, La diferencia de potencial se denomina comúnmente voltaje, representada por el símbolo \(\Delta V\).

  \[.\Delta V=\frac{\Delta \mathrm{PE}}{q} \text { and } \Delta \mathrm{PE}=q \Delta V \nonumber\]

• Un electrón voltio es la energía dada a una carga fundamental acelerada a través de una diferencia de potencial de 1 V. En forma de ecuación,

  \ [\ begin {aligned}
  1\ mathrm {eV} &=\ left (1.60\ times 10^ {-19}\ mathrm {C}\ right) (1\ mathrm {~V}) =\ left (1.60\ times 10^ {-19}\ mathrm {C}\ right) (1\ mathrm {~J}/\ mathrm {C})\\
  &=1.60 veces\ 10^ {-19}\ mathrm {~J}.
  \ end {alineado}\ nonumber\]

• La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema, es decir,\(\mathrm{KE}+\mathrm{PE}\) Esta suma es una constante.

Glosario

potencial eléctrico

energía potencial por unidad de carga

diferencia de potencial (o voltaje)

cambio en la energía potencial de una carga movida de un punto a otro, dividida por la carga; las unidades de diferencia de potencial son julios por culombo, conocidos como voltios

electrón voltio

la energía dada a una carga fundamental acelerada a través de una diferencia de potencial de un voltio

energía mecánica

suma de la energía cinética y energía potencial de un sistema; esta suma es una constante