11.10: Formación de Imagen por Espejos

Objetivos de aprendizaje

• Ilustrar la formación de imágenes en un espejo plano.
• Explicar con diagramas de rayos la formación de una imagen utilizando espejos esféricos.
• Determinar la distancia focal y el aumento dado el radio de curvatura, la distancia del objeto y la imagen.

Sólo tenemos que mirar hasta el baño más cercano para encontrar un ejemplo de una imagen formada por un espejo. Las imágenes en los espejos planos son del mismo tamaño que el objeto y se encuentran detrás del espejo. Al igual que los lentes, los espejos pueden formar una variedad de imágenes. Por ejemplo, los espejos dentales pueden producir una imagen ampliada, tal como lo hacen los espejos de maquillaje. Los espejos de seguridad en las tiendas, por otro lado, forman imágenes que son más pequeñas que el objeto. Utilizaremos la ley de la reflexión para entender cómo los espejos forman las imágenes, y encontraremos que las imágenes especulares son análogas a las formadas por lentes.

La figura\(\PageIndex{1}\) ayuda a ilustrar cómo un espejo plano forma una imagen. Se muestran dos rayos emergiendo del mismo punto, golpeando el espejo y reflejándose en el ojo del observador. Los rayos pueden divergir ligeramente, y ambos aún se meten en el ojo. Si los rayos son extrapolados hacia atrás, parecen originarse desde un punto común detrás del espejo, ubicando la imagen. (Los caminos de los rayos reflejados hacia el ojo son los mismos que si hubieran venido directamente de ese punto detrás del espejo). Usando la ley de la reflexión, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, podemos ver que la imagen y el objeto están a la misma distancia del espejo. Se trata de una imagen virtual, ya que no se puede proyectar, los rayos sólo parecen originarse desde un punto común detrás del espejo. Obviamente, si caminas detrás del espejo, no puedes ver la imagen, ya que los rayos no van ahí. Pero frente al espejo, los rayos se comportan exactamente como si hubieran venido de detrás del espejo, de manera que ahí es donde se sitúa la imagen.

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos conjuntos de rayos de puntos comunes sobre un objeto son reflejados por un espejo plano en el ojo de un observador. Los rayos reflejados parecen originarse desde detrás del espejo, ubicando la imagen virtual.

Ahora consideremos la distancia focal de un espejo, por ejemplo, los espejos esféricos cóncavos en la Figura\(\PageIndex{2}\). Los rayos de luz que golpean la superficie siguen la ley de la reflexión. Para un espejo que es grande comparado con su radio de curvatura, como en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a), vemos que los rayos reflejados no se cruzan en el mismo punto, y el espejo no tiene un punto focal bien definido. Si el espejo tuviera la forma de una parábola, los rayos se cruzarían todos en un solo punto, y el espejo tendría un punto focal bien definido. Pero los espejos parabólicos son mucho más caros de fabricar que los espejos esféricos. La solución es utilizar un espejo que sea pequeño en comparación con su radio de curvatura, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b). (Este es el equivalente espejo de la aproximación de lente delgada). A una muy buena aproximación, este espejo tiene un punto focal bien definido en F que es la distancia focal\(f\) desde el centro del espejo. La distancia focal\(f\) de un espejo cóncavo es positiva, ya que es un espejo convergente.

Figura\(\PageIndex{2}\): (a) Los rayos paralelos reflejados desde un gran espejo esférico no se cruzan todos en un punto común. (b) Si un espejo esférico es pequeño en comparación con su radio de curvatura, los rayos paralelos se enfocan a un punto común. La distancia del punto focal desde el centro del espejo es su distancia focal\(f\). Dado que este espejo está convergiendo, tiene una distancia focal positiva.

Al igual que para las lentes, cuanto más corta es la distancia focal, más potente es el espejo; así,\(P=1 / f\) para un espejo, también. Un espejo más fuertemente curvado tiene una distancia focal más corta y una mayor potencia. Usando la ley de reflexión y alguna trigonometría simple, se puede demostrar que la distancia focal es la mitad del radio de curvatura, o

\[f=\frac{R}{2}, \nonumber \]

donde\(R\) está el radio de curvatura de un espejo esférico. Cuanto menor es el radio de curvatura, menor es la distancia focal y, por lo tanto, más potente es el espejo.

El espejo convexo que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\) también tiene un punto focal. Los rayos paralelos de luz reflejados desde el espejo parecen originarse desde el punto F a la distancia focal\(f\) detrás del espejo. La distancia focal y la potencia de un espejo convexo son negativas, ya que es un espejo divergente.

Figura\(\PageIndex{3}\): Los rayos paralelos de luz reflejados desde un espejo esférico convexo (de tamaño pequeño en comparación con su radio de curvatura) parecen originarse a partir de un punto focal bien definido a la distancia focal\(f\) detrás del espejo. Los espejos convexos divergen los rayos de luz y, por lo tanto, tienen una distancia focal negativa.

El trazado de rayos es tan útil para espejos como para lentes. Las reglas para el trazado de rayos para espejos se basan en las ilustraciones que se acaban de discutir:

1. Rayo Principal 1: un rayo que se aproxima a un espejo cóncavo convergente paralelo a su eje se refleja a través del punto focal F del espejo en el mismo lado. (Ver los rayos 1 y 3 en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b).); un rayo que se aproxima a un espejo convexo divergente paralelo a su eje se refleja de manera que parece provenir del punto focal F detrás del espejo. (Ver los rayos 1 y 3 en la Figura\(\PageIndex{3}\).)
2. Rayo Principal 2: cualquier rayo que golpee el centro de un espejo es seguido por la aplicación de la ley de reflexión; hace el mismo ángulo con el eje al salir que cuando se acerca. (Ver rayo 2 en la Figura\(\PageIndex{4}\).)
3. Rayo Principal 3: un rayo que se aproxima a un espejo cóncavo convergente a través de su punto focal se refleja paralelo a su eje. (El reverso de los rayos 1 y 3 en la Figura\(\PageIndex{2}\).); un rayo que se aproxima a un espejo convexo divergente dirigiéndose hacia su punto focal en el lado opuesto se refleja paralelo al eje. (El reverso de los rayos 1 y 3 en la Figura\(\PageIndex{3}\).) El tercer rayo principal es opcional y puede usarse para verificar la precisión de la ubicación de la imagen.

Utilizaremos el trazado de rayos para ilustrar cómo las imágenes están formadas por espejos, y podemos usar el trazado de rayos cuantitativamente para obtener información numérica. Pero como suponemos que cada espejo es pequeño en comparación con su radio de curvatura, podemos usar las ecuaciones de lentes delgadas para los espejos tal como lo hicimos con las lentes.

Consideremos la situación que se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\), reflejo de espejo esférico cóncavo, en el que un objeto se coloca más lejos de un espejo cóncavo (convergente) que su distancia focal. Es decir,\(f\) es positivo y\(d_{\mathrm{o}}>f\), para que podamos esperar una imagen similar al caso 1 imagen real formada por una lente convergente. El trazado de rayos en la Figura\(\PageIndex{4}\) muestra que todos los rayos de un punto común en el objeto se cruzan en un punto del mismo lado del espejo que el objeto. Así, una imagen real puede ser proyectada sobre una pantalla colocada en esta ubicación. La distancia de la imagen es positiva, y la imagen se invierte, por lo que su ampliación es negativa. Esta es una imagen de caso 1 para espejos. Se diferencia de la imagen del caso 1 para lentes sólo en que la imagen está en el mismo lado del espejo que el objeto. Por lo demás, es idéntico.

Figura\(\PageIndex{4}\): Una imagen de caso 1 para un espejo. Un objeto está más lejos del espejo convergente que su distancia focal. Los rayos de un punto común sobre el objeto se trazan usando las reglas del texto. El rayo 1 se acerca paralelo al eje, el rayo 2 golpea el centro del espejo y el rayo 3 atraviesa el punto focal en el camino hacia el espejo. Los tres rayos cruzan en un mismo punto después de ser reflejados, localizando la imagen real invertida. Si bien se muestran tres rayos, solo se necesitan dos de los tres para ubicar la imagen y determinar su altura.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): A Concave Reflector

Los calentadores eléctricos de habitación utilizan un espejo cóncavo para reflejar la radiación infrarroja (IR) de las bobinas calientes. Tenga en cuenta que IR sigue la misma ley de reflexión que la luz visible. Dado que el espejo tiene un radio de curvatura de 50.0 cm y produce una imagen de las bobinas a 3.00 m de distancia del espejo, ¿dónde están las bobinas?

Estrategia y Concepto

Se nos da que el espejo cóncavo proyecta una imagen real de las bobinas a una distancia de imagen\(d_{\mathrm{i}}=3.00 \mathrm{~m}\). Las bobinas son el objeto, y se nos pide encontrar su ubicación, es decir, encontrar la distancia del objeto\(d_{\mathrm{o}}\). También se nos da el radio de curvatura del espejo, para que su distancia focal sea\(f=R / 2=25.0 \mathrm{~cm}\) (positiva ya que el espejo es cóncavo o convergente). Asumiendo que el espejo es pequeño en comparación con su radio de curvatura, podemos usar las ecuaciones de lente delgada, para resolver este problema.

Solución

Desde\(d_{\mathrm{i}}\) y\(f\) son conocidos, la ecuación de lente delgada se puede utilizar para encontrar\(d_{\mathrm{o}}\):

\[\frac{1}{d_{\mathrm{o}}}+\frac{1}{d_{\mathrm{i}}}=\frac{1}{f}. \nonumber\]

Reorganizar para aislar\(d_{\mathrm{o}}\) da

\[\frac{1}{d_{\mathrm{o}}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_{\mathrm{i}}}. \nonumber\]

Introducir cantidades conocidas da un valor para\(1 / d_{\mathrm{o}}\):

\[\frac{1}{d_{\mathrm{o}}}=\frac{1}{0.250 \mathrm{~m}}-\frac{1}{3.00 \mathrm{~m}}=\frac{3.667}{\mathrm{~m}}. \nonumber\]

Esto debe invertirse para encontrar\(d_{\mathrm{o}}\):

\[d_{\mathrm{o}}=\frac{1 \mathrm{~m}}{3.667}=27.3 \mathrm{~cm}. \nonumber\]

Discusión

Tenga en cuenta que el objeto (el filamento) está más lejos del espejo que la distancia focal del espejo. Se trata de una imagen de caso 1 (\(d_{\mathrm{o}}>f\)y\(f\) positiva), consistente con el hecho de que se forma una imagen real. Obtendrás la energía térmica más concentrada directamente frente al espejo y a 3.00 m de él. Generalmente, esto no es deseable, ya que podría provocar quemaduras. Por lo general, se quiere que los rayos emerjan paralelos, y esto se logra al tener el filamento en el punto focal del espejo.

Tenga en cuenta que el filamento aquí no está mucho más lejos del espejo que su distancia focal y que la imagen producida está considerablemente más alejada. Esto es exactamente análogo a un proyector de diapositivas. Colocar una diapositiva solo un poco más lejos de la lente del proyector que su distancia focal produce una imagen significativamente más alejada. A medida que el objeto se acerca a la distancia focal, la imagen se aleja más. De hecho, a medida que la distancia del objeto se acerca a la distancia focal, la distancia de la imagen se acerca al infinito y los rayos se envían paralelos entre sí.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Solar Electric Generating System

Una de las tecnologías solares utilizadas hoy en día para generar electricidad es un dispositivo (llamado cilindroparabólico o colector de concentración) que concentra la luz solar en una tubería ennegrecida que contiene un fluido. Este fluido calentado se bombea a un intercambiador de calor, donde su energía térmica se transfiere a otro sistema que se utiliza para generar vapor y así generar electricidad a través de un ciclo de vapor convencional. La figura\(\PageIndex{5}\) muestra dicho sistema de trabajo en el sur de California. Los espejos cóncavos se utilizan para concentrar la luz solar en la tubería. El espejo tiene la forma aproximada de una sección de un cilindro. Para el problema, suponga que el espejo es exactamente una cuarta parte de un cilindro lleno.

1. Si deseamos colocar la tubería portadora de fluido a 40.0 cm del espejo cóncavo en el punto focal del espejo, ¿cuál será el radio de curvatura del espejo?
2. Por metro de tubería, ¿cuál será la cantidad de luz solar concentrada en la tubería, suponiendo que sea la insolación (radiación solar incidente)\(0.900 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}\)?
3. Si la tubería portadora de fluido tiene un diámetro de 2.00-cm, ¿cuál será el aumento de temperatura del fluido por metro de tubería en un período de un minuto? Supongamos que toda la radiación solar incidente en el reflector es absorbida por la tubería, y que el fluido es aceite mineral.

Estrategia

Para resolver un Problema Conceptual Integrado debemos identificar primero los principios físicos involucrados. La parte (a) está relacionada con el tema actual. La parte (b) involucra un poco de matemáticas, principalmente geometría. La parte (c) requiere una comprensión del calor y la densidad.

Solución a (a)

A una buena aproximación para una superficie cóncava o semiesférica, el punto donde convergen los rayos paralelos del sol estará en el punto focal, entonces\(R=2 f=80.0 \mathrm{~cm}\).

Solución a (b)

La insolación es\(900 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\). Debemos encontrar el área transversal\(A\) del espejo cóncavo, ya que la potencia entregada es\(900 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \times \mathrm{A}\). El espejo en este caso es un cuarto de sección de un cilindro, por lo que el área para una longitud\(L\) del espejo es\(\mathrm{A}=\frac{1}{4}(2 \pi R) \mathrm{L}\). El área para una longitud de 1.00 m es entonces

\[\mathrm{A}=\frac{\pi}{2} R(1.00 \mathrm{~m})=\frac{(3.14)}{2}(0.800 \mathrm{~m})(1.00 \mathrm{~m})=1.26 \mathrm{~m}^{2}. \nonumber\]

La insolación en la longitud de la tubería de 1.00-m es entonces

\[\left(9.00 \times 10^{2} \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\right)\left(1.26 \mathrm{~m}^{2}\right)=1130 \mathrm{~W}. \nonumber\]

Solución a (c)

El aumento de la temperatura viene dado por\(Q=m c \Delta T\). La masa\(m\) del aceite mineral en la sección de un metro de la tubería es

\ [\ begin {alineado}
m &=\ rho\ mathrm {V} =\ rho\ pi\ izquierda (\ frac {d} {2}\ derecha) ^ {2} (1.00\ mathrm {~m})\\
&=\ izquierda (8.00\ times 10^ {2}\ mathrm {~kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha) (3.14) (0.0100\ mathrm {~m}) ^ {2} (1.00\ mathrm {~m})\\
&=0.251\ mathrm {~kg}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Por lo tanto, el aumento de la temperatura en un minuto es

\ [\ begin {alineado}
\ Delta T &=Q/m c\\
&=\ frac {(1130\ mathrm {~W}) (60.0\ mathrm {~s})} {(0.251\ mathrm {~kg})\ left (1670\ mathrm {~J}\ cdot\ mathrm {kg}/{} ^ {\ circ}\ mathrm {C}\ derecha)}\\
&=162^ {\ circ}\ mathrm {C}.
\ end {alineado}\ nonumber\]

Discusión para (c)

Una serie de tales tuberías en el desierto de California puede proporcionar una salida térmica de 250 MW en un día soleado, con fluidos que alcanzan temperaturas tan altas como\(400^{\circ} \mathrm{C}\). Estamos considerando solo un metro de tubería aquí, e ignorando las pérdidas de calor a lo largo de la tubería.

Figura\(\PageIndex{5}\): Los colectores cilindroparabólicos se utilizan para generar electricidad en el sur de California. (crédito: kjkolb, Wikimedia Commons)

¿Qué sucede si un objeto está más cerca de un espejo cóncavo que su distancia focal? Esto es análogo a una imagen de caso 2 para lentes (\(d_{\mathrm{o}}<f\)y\(f\) positiva), que es una lupa. De hecho, así es como los espejos de maquillaje actúan como lupas. La Figura\(\PageIndex{6}\) (a) utiliza el trazado de rayos para localizar la imagen de un objeto colocado cerca de un espejo cóncavo. Los rayos de un punto común sobre el objeto se reflejan de tal manera que parecen venir de detrás del espejo, lo que significa que la imagen es virtual y no puede proyectarse. Al igual que con una lupa, la imagen es vertical y más grande que el objeto. Esta es una imagen de caso 2 para espejos y es exactamente análoga a la de lentes.

Figura\(\PageIndex{6}\): (a) Las imágenes del Caso 2 para espejos se forman cuando un espejo convergente tiene un objeto más cercano a él que su distancia focal. El rayo 1 se acerca paralelo al eje, el rayo 2 golpea el centro del espejo y el rayo 3 se acerca al espejo como si viniera del punto focal. b) Un espejo de aumento que muestre el reflejo. (crédito: Mike Melrose, Flickr)

Los tres rayos parecen originarse desde el mismo punto después de ser reflejados, ubicando la imagen virtual vertical detrás del espejo y mostrando que es más grande que el objeto. (b) Los espejos de maquillaje son quizás el uso más común de un espejo cóncavo para producir una imagen más grande y vertical.

Un espejo convexo es un espejo divergente (\(f\)es negativo) y forma solo un tipo de imagen. Se trata de una imagen de caso 3, una que es vertical y más pequeña que el objeto, al igual que para lentes divergentes. La Figura\(\PageIndex{7}\) (a) utiliza el trazado de rayos para ilustrar la ubicación y el tamaño de la imagen de la caja 3 para espejos. Dado que la imagen está detrás del espejo, no se puede proyectar y, por lo tanto, es una imagen virtual. También se ve que es más pequeño que el objeto.

Figura\(\PageIndex{7}\): Las imágenes del caso 3 para espejos están formadas por cualquier espejo convexo. El rayo 1 se acerca paralelo al eje, el rayo 2 golpea el centro del espejo y el rayo 3 se acerca hacia el punto focal. Los tres rayos parecen originarse desde el mismo punto después de ser reflejados, ubicando la imagen virtual vertical detrás del espejo y mostrando que es más pequeña que el objeto. (b) Los espejos de seguridad son convexos, produciendo una imagen más pequeña y vertical. Debido a que la imagen es más pequeña, se imagina un área más grande en comparación con lo que se observaría para un espejo plano (y por lo tanto se mejora la seguridad). (crédito: Laura D'Alessandro, Flickr)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Image in a Convex Mirror

Un queratómetro es un dispositivo utilizado para medir la curvatura de la córnea, particularmente para ajustar lentes de contacto. La luz se refleja desde la córnea, que actúa como un espejo convexo, y el queratómetro mide el aumento de la imagen. Cuanto menor es el aumento, menor es el radio de curvatura de la córnea. Si la fuente de luz está a 12.0 cm de la córnea y el aumento de la imagen es 0.0320, ¿cuál es el radio de curvatura de la córnea?

Estrategia

Si podemos encontrar la distancia focal del espejo convexo formado por la córnea, podemos encontrar su radio de curvatura (el radio de curvatura es el doble de la distancia focal de un espejo esférico). Se nos da que la distancia del objeto es\(d_{\mathrm{o}}=12.0 \mathrm{~cm}\) y eso\(m=0.0320\). Primero resolvemos para la distancia de la imagen\(d_{\mathrm{i}}\), y luego para\(f\).

Solución

\(m=-d_{\mathrm{i}} / d_{\mathrm{o}}\). Resolviendo esta expresión para\(d_{\mathrm{i}}\) da

\[d_{\mathrm{i}}=-m d_{\mathrm{o}}. \nonumber\]

Ingresar valores conocidos rendimientos

\[d_{\mathrm{i}}=-(0.0320)(12.0 \mathrm{~cm})=-0.384 \mathrm{~cm}. \nonumber\]

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{d_{\mathrm{o}}}+\frac{1}{d_{\mathrm{i}}} \nonumber\]

Sustituyendo valores conocidos,

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{12.0 \mathrm{~cm}}+\frac{1}{-0.384 \mathrm{~cm}}=\frac{-2.52}{\mathrm{~cm}}. \nonumber\]

Esto debe invertirse para encontrar\(f\):

\[f=\frac{\mathrm{cm}}{-2.52}=-0.400 \mathrm{~cm}. \nonumber\]

El radio de curvatura es el doble de la distancia focal, de modo que

\[R=2|f|=0.800 \mathrm{~cm}. \nonumber\]

Discusión

Aunque la distancia focal\(f\) de un espejo convexo se define como negativa, tomamos el valor absoluto para darnos un valor positivo para\(R\). El radio de curvatura encontrado aquí es razonable para una córnea. La distancia de la córnea a la retina en un ojo adulto es de aproximadamente 2.0 cm. En la práctica, muchas córneas no son esféricas, complicando el trabajo de ajustar lentes de contacto. Tenga en cuenta que la distancia de imagen aquí es negativa, consistente con el hecho de que la imagen está detrás del espejo, donde no se puede proyectar. En Problemas y Ejercicios de esta sección, se mostrará que para una distancia fija de objeto, cuanto menor sea el radio de curvatura, menor será la ampliación.

Los tres tipos de imágenes formadas por espejos (casos 1, 2 y 3) son exactamente análogos a los formados por lentes, como se resume en la tabla al final de “Formación de imágenes por lentes”. Es más fácil concentrarse en solo tres tipos de imágenes; luego recuerde que los espejos cóncavos actúan como lentes convexas, mientras que los espejos convexos actúan como lentes cóncavas.

Experimento para llevar a casa: espejos cóncavos cerca de casa

Encuentra una linterna e identifica el espejo curvo que se usa en ella. Encuentra otra linterna y enciende la primera linterna sobre la segunda, que está apagada. Estimar la distancia focal del espejo. Podrías intentar encender una linterna en el espejo curvo detrás del faro de un automóvil, mantener el faro apagado y determinar su distancia focal.

Resumen de la Sección

• Las características de una imagen formada por un espejo plano son: (a) La imagen y el objeto están a la misma distancia del espejo, (b) La imagen es una imagen virtual, y (c) La imagen se sitúa detrás del espejo.
• La longitud de la imagen es la mitad del radio de curvatura.

  \[f=\frac{R}{2} \nonumber\]

• Un espejo convexo es un espejo divergente y forma solo un tipo de imagen, a saber, una imagen virtual.

Glosario

espejo convergente

un espejo cóncavo en el que los rayos de luz que lo golpean paralelos a su eje convergen en uno o más puntos a lo largo del eje

espejo divergente

un espejo convexo en el que los rayos de luz que lo golpean paralelos a su eje se doblan (divergen) de su eje

ley de reflexión

ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia