12.2: Radiación de cuerpo negro

Objetivos de aprendizaje

• Explicar la contribución de Max Planck al desarrollo de la mecánica cuántica, explicando la radiación de cuerpo negro.
• Explicar el significado de la constante de Planck y la pequeñez de su valor.

Catástrofe ultravioleta

La historia de la mecánica cuántica comienza con el estudio de la física térmica. Con el desarrollo de la teoría del electromagnetismo y la termodinámica en el siglo XVIII, los físicos se sintieron lo suficientemente seguros como para intentar desarrollar una teoría de la radiación de cuerpo negro, que describa el espectro EM irradiado por un sólido caliente. Se llama radiación de cuerpo negro, porque un radiador ideal es el negro azabache. Absorbe toda la radiación incidente sobre él, y así puede estar en equilibrio térmico con el entorno mientras emite más radiación que un objeto blanco, que refleja la radiación. Entonces un objeto tan hipotético se llama cuerpo negro. El primer intento clásico de descripción teórica de este fenómeno fue nada menos que una catástrofe. El espectro observado experimentalmente mostró menor intensidad de radiación EM tanto en el límite de longitud de onda muy corta como en el límite de longitud de onda muy larga, pero la predicción de la teoría clásica predijo una intensidad cada vez mayor a longitudes de onda más cortas y más cortas. (Ver Figura\(\PageIndex{1}\).)

Figura\(\PageIndex{1}\): Gráficas de radiación de cuerpo negro (de un radiador ideal) a tres temperaturas diferentes del radiador. La intensidad o tasa de emisión de radiación aumenta drásticamente con la temperatura, y el pico del espectro se desplaza hacia las partes visible y ultravioleta del espectro. La predicción de la teoría clásica se muestra para la temperatura más alta, la cual muestra intensidad aumentando sin límite a límite de longitud de onda corta. (Crédito de la figura: Darth Kule en Wikipedia)

Este resultado llegó a llamarse catástrofe ultravioleta, debido a la intensidad catastróficamente grande de radiación predicha en el rango ultravioleta del espectro EM. Este problema perplejo a muchos físicos hasta que a Max Planck se le ocurrió una novedosa sugerencia.

Ley Planck

El espectro de radiación de cuerpo negro fue ampliamente estudiado y bien conocido. El físico alemán Max Planck (1858—1947) adivinó por primera vez una forma funcional de dependencia de la intensidad de la longitud de onda de la radiación EM, que ahora se conoce como la Ley Planck. La Ley Planck fue un buen ajuste a los resultados experimentales (mostrados en la Figura\(\PageIndex{2}\)), disminuyendo tanto en el límite de longitud de onda larga como en el límite de longitud de onda corta, pero solo fue una descripción fenomenológica que no incluyó una explicación satisfactoria de por qué fue así.

Figura\(\PageIndex{2}\): El físico alemán Max Planck tuvo una gran influencia en el desarrollo temprano de la mecánica cuántica, siendo el primero en reconocer que la energía a veces se cuantifica. Planck también hizo importantes contribuciones a la relatividad especial y a la física clásica. (crédito: Biblioteca del Congreso, División de Grabados y Fotografías vía Wikimedia Commons)

Esto llevó a Planck a buscar una razón por la cual la intensidad de la radiación debería disminuir en el límite de longitud de onda corta o alta frecuencia. Utilizando la idea de que los átomos y las moléculas en un cuerpo actúan como osciladores para absorber y emitir radiación, supuso que la energía de estos osciladores se cuantifica. Es decir, la energía de los osciladores sólo podía cambiar en una cantidad discreta, y esta cantidad discreta de cambio de energía fue\(\Delta E=h f\), donde\(f\) está la frecuencia del oscilador y\(h\) es una constante fundamental de la naturaleza que ahora llamamos constante de Planck, dada por

\[h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}. \nonumber \]

Sin entrar en la derivación matemática detallada, podemos ver intuitivamente por qué esta suposición conduciría al resultado que Planck estaba buscando. Un objeto en equilibrio térmico tiene una cierta cantidad de energía térmica, la cual se asocia con la energía cinética de movimientos microscópicos y vibraciones. Si esta energía se distribuye aleatoriamente, tanto los osciladores de muy alta frecuencia como los osciladores de muy baja frecuencia tendrían la misma energía térmica en promedio. Pero si era cierto que esta energía térmica se cuantifica, y tiene que venir en unidades enteras de\(hf\), entonces a frecuencias muy altas, no va a haber suficiente energía térmica para ni siquiera una unidad de\(hf\). Esto coloca un límite superior en la frecuencia máxima posible de estos osciladores, para una cantidad dada de energía térmica por oscilador, dando como resultado el comportamiento de ahusamiento para la intensidad de radiación emitida por estos osciladores a la frecuencia más alta (o longitudes de onda más cortas).

Este modelo también explicaría por qué la longitud de onda máxima se desplaza a la longitud de onda más corta (frecuencia más alta) a temperaturas más altas. A temperaturas más altas, hay más energía térmica disponible por oscilador, por lo que el límite superior en la frecuencia máxima posible será mayor, ya que\(hf\) se permite un mayor tamaño de unidad.

Tenga en cuenta que la constante de Planck\(h\) es un número muy pequeño. Entonces, para una frecuencia infrarroja de\(10^{14} \mathrm{~Hz}\) ser emitida por un cuerpo negro, por ejemplo, la diferencia entre los niveles de energía es solo\(\Delta E=h f=\left(6.63 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\right)\left(10^{14} \mathrm{~Hz}\right)=6.63 \times 10^{-20} \mathrm{~J}\) o de aproximadamente 0.4 eV. Este 0.4 eV de energía es significativo en comparación con las energías atómicas típicas, que son del orden de un electrón voltio, o energías térmicas, que suelen ser fracciones de un electrón voltio. Pero en una escala macroscópica o clásica, las energías suelen ser del orden de los julios. A pesar de que las energías macroscópicas están cuantificadas, los pasos cuánticos son demasiado pequeños para ser notados. Este es un ejemplo del principio de correspondencia. Para un objeto grande, la mecánica cuántica produce resultados indistinguibles de los de la física clásica.

Resumen de la Sección

• El primer indicio de que la energía a veces se cuantifica provino de la radiación de cuerpo negro, que es la emisión de radiación EM por un objeto que absorbe toda la radiación incidente sobre él.
• El fracaso de la teoría clásica para explicar con éxito la radiación de cuerpo negro se llama “catástrofe ultravioleta”, después de la gran intensidad de radiación de longitud de onda corta predicha incorrectamente.
• Planck derivó la Ley Planck asumiendo que la energía de los osciladores se cuantifica y puede cambiar solo por cantidad\(\Delta E=h f\), donde\(h\), la constante de Planck es,

  \[h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}. \nonumber\]

Glosario

cuerpo negro

un radiador ideal, que emite radiación térmica de manera ideal y absorbe toda la radiación incidente sobre él en todas las longitudes de onda

radiación de cuerpo negro

una radiación térmica, generalmente modelada para un cuerpo negro

catástrofe ultravioleta

fracaso de la teoría clásica para describir correctamente la radiación de cuerpo negro a longitudes de onda cortas

Constante de Planck

\(h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s} \)

Ley de Planck

primera descripción teórica exitosa de la radiación térmica que utilizó la cuantificación de hipótesis de energía