12.4: La naturaleza ondulada de la materia

Objetivos de aprendizaje

• Describir la longitud de onda de las partículas de Broglie.
• Explicar la dualidad onda-partícula de la naturaleza.

De Broglie Longitud de onda

En el efecto fotoeléctrico, hemos visto que la luz, entendida clásicamente como ondas, se comporta a veces como partículas. En 1923 un estudiante francés de posgrado en física llamado Príncipe Luis Víctor de Broglie (1892—1987) hizo una propuesta radical basada en la esperanza de que la naturaleza sea simétrica, sugiriendo que no solo la radiación EM tiene propiedades de partículas y ondas sino que esta naturaleza dual podría ser universal para todas las partículas. La sugerencia de De Broglie, hecha como parte de su tesis doctoral, fue tan radical que fue recibida con cierto escepticismo. Se envió una copia de su tesis a Einstein, quien dijo que no sólo probablemente era correcta, sino que podría ser de fundamental importancia. Con el apoyo de Einstein y algunos otros destacados físicos, de Broglie fue galardonado con su doctorado.

De Broglie tomó en cuenta tanto la relatividad como la mecánica cuántica para desarrollar la propuesta de que todas las partículas tengan una longitud de onda, dada por

\[\lambda=\frac{h}{p} \text { (matter and photons), } \nonumber \]

donde\(h\) está la constante de Planck y\(p\) es el impulso. Esta se define como la longitud de onda de Broglie. Esto es consistente con la expresión de energía de un fotón,\(E=h f\). En la relatividad, la energía de una partícula sin masa como un fotón se relaciona con el impulso por\(E=p c\), donde\(c\) está la velocidad de la luz (contrasta esto con la energía cinética no relativista de las partículas de masa\(m\),\(\mathrm{KE}=p^{2} / 2 m\); revisa las unidades por ti mismo). De la relación de onda entre la velocidad de onda, la longitud de onda y la frecuencia, tenemos, para los fotones,\(c=\lambda f\). Conectando estos\(E\) y\(f\) en la energía fotónica del efecto fotoeléctrico, obtenemos\(p c=h c / \lambda\), y cancelando\(c\) desde ambos lados da la misma expresión que la longitud de onda de Broglie.

El sello distintivo de una onda es la interferencia. Si la materia es una ola, entonces debe exhibir interferencias constructivas y destructivas. ¿Por qué no se observa esto ordinariamente? La respuesta es que para poder ver efectos de interferencia significativos, una onda debe interactuar con un objeto aproximadamente del mismo tamaño que su longitud de onda. Ya que\(h\) es muy pequeño, también\(\lambda\) es pequeño, especialmente para objetos macroscópicos. Una bola de boliche de 3 kg que se mueve a 10 m/s, por ejemplo, tiene

\[\lambda=h / p=\left(6.63 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\right) /[(3 \mathrm{~kg})(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s})]=2 \times 10^{-35} \mathrm{~m}. \nonumber\]

Esto significa que para ver sus características de ola, la bola de boliche tendría que interactuar con algo\(10^{-35} \mathrm{~m}\) de tamaño, mucho más pequeño que cualquier cosa conocida. Cuando las ondas interactúan con objetos mucho mayores que su longitud de onda, muestran efectos de interferencia insignificantes y se mueven en líneas rectas (como los rayos de luz en óptica geométrica). Para obtener longitudes de onda más largas y hacer evidente la naturaleza de onda de la materia, necesitamos un impulso más pequeño\(p\), y esto es más fácil de lograr en electrones, la partícula de materia común más ligera que conocemos.

Los físicos estadounidenses Clinton J. Davisson y Lester H. Germer en 1925 y, independientemente, el físico británico G. P. Thomson (hijo de J. J. Thomson, descubridor del electrón) en 1926 dispersaron electrones de los cristales y encontraron patrones de difracción. Estos patrones son exactamente consistentes con la interferencia de electrones que tienen la longitud de onda de Broglie y son algo análogos a la luz que interactúa con una rejilla de difracción. (Ver Figura\(\PageIndex{1}\).)

CONEXIONES: ONDAS

Todas las partículas microscópicas, ya sean sin masa, como fotones, o que tengan masa, como electrones, tienen propiedades de onda. La relación entre el momento y la longitud de onda es fundamental para todas las partículas.

La propuesta de De Broglie de naturaleza ondulatoria para todas las partículas inició una era notablemente productiva en la que se sentaron las bases de la mecánica cuántica. En 1926, el físico austriaco Erwin Schrödinger (1887—1961) publicó cuatro artículos en los que la naturaleza de onda de las partículas se trataba explícitamente con ecuaciones de onda. Al mismo tiempo, muchos otros iniciaron importantes trabajos. Entre ellos se encontraba el físico alemán Werner Heisenberg (1901—1976) quien, entre muchas otras contribuciones a la mecánica cuántica, formuló un tratamiento matemático de la naturaleza ondulatoria de la materia que utilizó matrices en lugar de ecuaciones de onda. La obra de De Broglie, el reconocimiento de la naturaleza universal de la dualidad onda-partícula, expresada en la longitud de onda de Broglie, fue un hito para el desarrollo de la mecánica cuántica. De Broglie fue galardonado con el Premio Nobel en 1929 por su visión, al igual que Davisson y G. P. Thomson en 1937 por su verificación experimental de la hipótesis de de Broglie.

Figura\(\PageIndex{1}\): Este patrón de difracción se obtuvo para electrones difractados por silicio cristalino. Las regiones brillantes son las de interferencia constructiva, mientras que las regiones oscuras son las de interferencia destructiva. (crédito: Ndthe, Wikimedia Commons)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Electron Wavelength versus Velocity and Energy

Para un electrón que tiene una longitud de onda de Broglie de 0.167 nm (apropiada para interactuar con estructuras de celosía cristalina que son de aproximadamente este tamaño): (a) Calcular la velocidad del electrón, asumiendo que es no relativista. (b) Calcular la energía cinética del electrón en eV.

Estrategia

Para la parte (a), dado que se da la longitud de onda de Broglie, la velocidad del electrón se puede obtener a partir\(\lambda=h / p\) del uso de la fórmula no relativista para el impulso,\(p=m v\). Para la parte (b), una vez que\(v\) se obtiene (y se ha verificado que no\(v\) es relativista), la energía cinética clásica es simplemente\((1 / 2) m v^{2}\).

Solución para (a)

Sustituir la fórmula no relativista por momentum (\(p=m v\)) en la longitud de onda de Broglie da

\[\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m v}. \nonumber\]

Resolviendo para\(v\) da

\[v=\frac{h}{m \lambda}. \nonumber\]

Sustitución de rendimientos de valores conocidos

\[v=\frac{6.63 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}}{\left(9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)\left(0.167 \times 10^{-9} \mathrm{~m}\right)}=4.36 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. \nonumber\]

Solución para (b)

Si bien es rápida en comparación con un automóvil, la velocidad de este electrón no es altamente relativista, por lo que podemos usar cómodamente la fórmula clásica para encontrar la energía cinética del electrón y convertirla a eV según se solicite.

\ [\ begin {alineado}
\ mathrm {KE} &=\ frac {1} {2} m v^ {2}\\
&=\ frac {1} {2}\ izquierda (9.11\ veces 10^ {-31}\ mathrm {~kg}\ derecha)\ izquierda (4.36\ veces 10^ {6}\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} derecha) ^ {2}\\
&=\ izquierda (8.66\ times 10^ {-18}\ mathrm {~J}\ derecha)\ izquierda (\ frac {1 ~\ mathrm {eV}} {1. 602\ veces 10^ {-19}\ mathrm {~J}}\ derecha)\\
&=54.05 ~\ mathrm {eV}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Discusión

Esta baja energía significa que estos electrones de 0.167 nm podrían obtenerse acelerándolos a través de un potencial electrostático de 54.0-V, una tarea fácil. Los resultados también confirman la suposición de que los electrones son no relativistas, ya que su velocidad es poco más del 1% de la velocidad de la luz y la energía cinética es aproximadamente 0.01% de la energía restante de un electrón (0.511 MeV). Si los electrones hubieran resultado ser relativistas, habríamos tenido que usar cálculos más involucrados empleando fórmulas relativistas.

Microscopios Electrónicos

Una consecuencia o uso de la naturaleza de onda de la materia se encuentra en el microscopio electrónico. Como hemos comentado, existe un límite al detalle observado con cualquier sonda que tenga una longitud de onda. La resolución, o detalle observable, se limita a aproximadamente una longitud de onda. Dado que un potencial de solo 54 V puede producir electrones con longitudes de onda subnanométricas, es fácil obtener electrones con longitudes de onda mucho más pequeñas que las de la luz visible (cientos de nanómetros). Por lo tanto, los microscopios electrónicos pueden construirse para detectar detalles mucho más pequeños que los microscopios ópticos. (Ver Figura\(\PageIndex{2}\).)

Básicamente hay dos tipos de microscopios electrónicos. El microscopio electrónico de transmisión (TEM) acelera los electrones que se emiten desde un filamento caliente (el cátodo). El haz se ensancha y luego pasa a través de la muestra. Una lente magnética enfoca la imagen del haz sobre una pantalla fluorescente, una placa fotográfica o (muy probablemente) un CCD (cámara sensible a la luz), desde donde se transfiere a una computadora. El TEM es similar al microscopio óptico, pero requiere de una muestra delgada examinada al vacío. Sin embargo, puede resolver detalles tan pequeños como 0.1 nm (\(10^{-10} \mathrm{~m}\)), proporcionando aumentos de 100 millones de veces el tamaño del objeto original. El TEM nos ha permitido ver átomos individuales y estructura de núcleos celulares.

El microscopio electrónico de barrido (SEM) proporciona imágenes mediante el uso de electrones secundarios producidos por el haz primario que interactúa con la superficie de la muestra (ver Figura\(\PageIndex{1}\)). El SEM también utiliza lentes magnéticas para enfocar el haz sobre la muestra. Sin embargo, mueve el haz eléctricamente para “escanear” la muestra en las direcciones x e y. Se utiliza un detector CCD para procesar los datos de cada posición de electrones, produciendo imágenes como la del inicio de este capítulo. El SEM tiene la ventaja de no requerir una muestra delgada y de proporcionar una vista 3-D. No obstante, su resolución es aproximadamente diez veces menor que una TEM.

Figura\(\PageIndex{2}\): Esquema de un microscopio electrónico de barrido (SEM) (a) utilizado para observar pequeños detalles, como los que se ven en esta imagen de un diente de un Himipristis, un tipo de tiburón (b). (crédito: Dallas Krentzel, Flickr)

Los electrones fueron las primeras partículas con masa que se confirmó directamente que tenían la longitud de onda propuesta por de Broglie. Posteriormente, se ha observado que protones, núcleos de helio, neutrones y muchos otros exhiben interferencia cuando interactúan con objetos que tienen tamaños similares a su longitud de onda de Broglie. La longitud de onda de Broglie para partículas sin masa estaba bien establecida en la década de 1920 para los fotones, y desde entonces se ha observado que todas las partículas sin masa tienen una longitud de onda de Broglie\(\lambda=h / p\) La naturaleza de onda de todas las partículas es una característica universal de la naturaleza, y la longitud de onda de Broglie da una visión en dos ideas mecánicas cuánticas adicionales veremos: el principio de incertidumbre (la idea de que es fundamental y teóricamente imposible medir con precisión el impulso y la posición de una partícula) y el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno. La relación de longitud de onda de Broglie es la puerta de enlace que conecta la naturaleza de onda (longitud de onda) de todas las partículas con su naturaleza de partículas (momentum).

Resumen de la Sección

• Las partículas de materia también tienen una longitud de onda, llamada la longitud de onda de Broglie, dada por\(\lambda=\frac{h}{p}\), donde\(p\) está el impulso.
• La relación de Broglie entre longitud de onda e impulso es universalmente aplicable a todas las partículas y ondas.
• Se encuentra que la materia tiene las mismas características de interferencia que cualquier otra onda.

Glosario

longitud de onda de Broglie

la longitud de onda que posee una partícula de materia, calculada por\(\lambda=h / p\)