12.4: Ley de Ampère en Forma Diferencial (Opcional)

11.4.1 El operador de rizo

La forma diferencial de la ley de Gauss es más satisfactoria físicamente que la forma integral, porque relaciona las cargas que están presentes en algún momento con las propiedades del campo eléctrico en el mismo punto. De igual manera, sería más atractivo tener una versión diferencial de la ley de Ampère que relacionara las corrientes con el campo magnético en un solo punto.

a/El div-metro, 1, y el ril-metro, 2 y 3.

Intuitivamente, la divergencia se basó en la idea del div-metro, a /1. El dispositivo correspondiente para medir el rizado de un campo es el medidor de rizos, a /2. Si el campo es rizado, entonces los pares de torsión en las cargas no se cancelarán, y la rueda girará contra la resistencia del resorte. Si tu intuición te dice que el curlmetro nunca hará nada en absoluto, entonces tu intuición está haciendo un hermoso trabajo en campos estáticos; para campos no estáticos, sin embargo, es perfectamente posible obtener un campo eléctrico rizado.

La ley de Gauss en forma diferencial se relaciona\(\rm div​ \mathbf{E}\), un escalar, con la densidad de carga, otro escalar. La ley de Ampère, sin embargo, se ocupa de las direcciones en el espacio: si invertimos las direcciones de las corrientes, marca la diferencia. Por lo tanto, esperamos que la forma diferencial de la ley de Ampère tenga vectores en ambos lados del signo igual, y deberíamos estar pensando en el resultado del rizador como vector. Primero encontramos la orientación del rizador que da el par más fuerte, y luego definimos la dirección del vector de rizo usando la regla de la derecha que se muestra en la figura a /3.

Para convertir el concepto div-metro en una definición matemática, encontramos el flujo infinitesimal,\(d\Phi\) a través de una pequeña superficie gaussiana cúbica que contiene un volumen\(dv\). Por analogía, imaginamos una minúscula superficie ampèrian cuadrada con área infinitesimal\(d\mathbf{A}\). Suponemos que esta superficie ha sido orientada para obtener la máxima circulación. El vector de área\(d\mathbf{A}\) estará entonces en la misma dirección que el definido en la figura a /3. La ley de Ampère es

\[\begin{equation*} d\Gamma = \frac{4\pi k}{c^2}\,dI_{through} .\end{equation*}\]

Definimos una densidad de corriente por unidad de área\(\mathbf{j}\), que es un vector que apunta en la dirección de la corriente y que tiene magnitud\(\mathbf{j}=dI/|d\mathbf{A}|\). En cuanto a esta cantidad, tenemos

\[\begin{align*} d\Gamma = \frac{4\pi k}{c^2}\,{j} |\mathbf{j}|\,|d\mathbf{A}| \\ \frac{d\Gamma}{|d\mathbf{A}|} = \frac{4\pi k}{c^2}\, |\mathbf{j}| \end{align*}\]

Con esta motivación, definimos la magnitud del rizo como

\[\begin{align*} |\text{curl} \ \mathbf{B}| &= \frac{d\Gamma}{|d\mathbf{A}|} .\end{align*}\]

Tenga en cuenta que el rizo, al igual que un derivado, tiene un diferencial dividido por otro diferencial. En términos de esta definición, encontramos Amp To convertir el concepto div-meter en una definición matemática, encontramos el flujo infinitesimal,\(d\Phi\) a través de una minúscula superficie gaussiana cúbica que contiene un volumen\(dv\). Por analogía, imaginamos una minúscula superficie ampèrian cuadrada con área infinitesimal\(d\mathbf{A}\). Suponemos que esta superficie ha sido orientada para obtener la máxima circulación. El vector de área\(d\mathbf{A}\) estará entonces en la misma dirección que el definido en la figura a /3. La ley de Ampère es la ley {e} re en forma diferencial:

\[\begin{align*} \text{curl} \ \mathbf{B} &= \frac{4\pi k}{c^2} \,\mathbf{j} \end{align*}\]

El conjunto completo de ecuaciones de Maxwell en forma diferencial se recoge en la página 914.

11.4.2 Propiedades del operador de rizo

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