6: Problemas de autovalor
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\[\mathbf{A} \vec{x} = \lambda \vec{x},\]
donde\(\mathbf{A}\) es una\(N\times N\) matriz conocida. El problema es encontrar uno (o más de uno) vector distinto de cero\(\vec{x}\), que se llama vector propio, y el asociado\(\lambda \in \mathbb{C}\), que se denomina valor propio. Los problemas de autovalor son omnipresentes en prácticamente todos los campos de la física. De manera más destacada, se utilizan para describir los “modos” de un sistema físico, como los modos de un oscilador mecánico clásico, o los estados energéticos de un átomo.
Antes de discutir soluciones numéricas al problema del valor propio, revisemos rápidamente los hechos matemáticos relevantes.
- 6.2: Autosolucionadores numéricos
- Existen métodos numéricos, llamados autosolvers, que pueden calcular valores propios (y vectores propios) incluso para matrices muy grandes, con cientos de hilas/columnas, o mayores. ¿Cómo podría ser esto? La respuesta es que los autosolucionadores numéricos son aproximados, no exactos. Pero aunque sus resultados no son exactos, son muy precisos, pueden acercarse a los valores propios exactos dentro de los límites de precisión fundamentales de la aritmética de punto flotante.