7.1: Derivados

Supongamos que hemos discretizado una función de una variable, obteniendo un conjunto de\(\psi_n \equiv \psi(x_n)\) como se describió anteriormente. Por simplicidad, asumimos que los puntos de discretización están uniformemente espaciados y dispuestos en orden creciente (este es el esquema de discretización más simple y común). El espaciado entre puntos se define como

\[h \equiv x_{n+1} - x_n.\]

Discutamos cómo los derivados de primer orden y de orden superior de\(\psi(x)\) pueden ser representados bajo discretización.

7.1.1 Primera Derivada

La representación más directa de la primera derivada es la fórmula de diferencia directa:

\[\psi'(x_n) \approx \frac{\psi_{n+1} - \psi_n}{h}\]

Esto se inspira en la definición habitual de la derivada de una función, y se acerca a la verdadera derivada como\(h \rightarrow 0\). Sin embargo, no es una muy buena aproximación. Para ver por qué, analicemos el error en la fórmula, que se define como el valor absoluto de la diferencia entre la fórmula y el valor exacto de la derivada:

\[\mathcal{E} = \left|\psi'(x_n) - \frac{\psi_{n+1} - \psi_n}{h}\right|\]

Podemos expandirnos\(\psi_{n+1}\) en una serie de Taylor en torno a\(x_{n}\):

\[\psi_{n+1} = \psi_n + h\, \psi'(x_n) + \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) + \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) + O(h^4) \]

Al enchufar esto a la fórmula del error, encontramos que el error disminuye linealmente con el espaciado:

\[\mathcal{E} = \left| \frac{h}{2}\psi''(x_n) + O(h^2)\right| \sim O(h).\]

Existe una mejor alternativa, llamada fórmula de punto medio. Esto aproxima la primera derivada muestreando los puntos a la izquierda y derecha de la posición deseada:

\[\psi'(x_n) \approx \frac{\psi_{n+1} - \psi_{n-1}}{2h}.\]

Para ver por qué esto es mejor, escribamos la serie Taylor para\(\psi_{n\pm1}\):

\[\psi_{n+1} = \psi_n \,+\, h\, \psi'(x_n) \,+\, \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) \,+\, \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) \,+\, \frac{h^4}{24}\psi''''(x_n) + O(h^5) \]

\[\psi_{n-1} = \psi_n \,-\, h\, \psi'(x_n) \,+\, \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) \,-\, \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) \,+\, \frac{h^4}{24}\psi''''(x_n) \,+\, O(h^5) \]

Tenga en cuenta que las dos series tienen los mismos términos que involucran poderes pares de\(h\), mientras que los términos que involucran poderes impares de\(h\) tienen signos opuestos. De ahí que si restamos la segunda serie de la primera, el resultado es

\[\psi_{n+1} - \psi_{n-1} = 2 h\, \psi'(x_n) + 2 \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) + O(h^5) \]

Debido a que los\(O(h^{2})\) términos son iguales en las dos series, cancelan bajo resta, y solo sobreviven los términos\(O(h^{3})\) y términos superiores. Después de reorganizar la ecuación anterior, obtenemos

\[\psi'(x_n) = \frac{\psi_{n+1} - \psi_{n-1}}{2 h} + O(h^2).\]

De ahí que el error de la fórmula de punto medio escala como\(O(h^2)\), lo que es una buena mejora sobre el\(O(h)\) error de la fórmula de diferencia hacia adelante. Lo que es especialmente bueno es que la fórmula de punto medio requiere el mismo número de operaciones aritméticas para calcular que la fórmula de diferencia hacia adelante, ¡así que este es un almuerzo gratis!

Es posible llegar a mejores fórmulas de aproximación para la primera derivada al incluir términos que involucren\(\psi_{n\pm 2}\) etc., con el objetivo de cancelar los términos\(O(h^{3})\) o términos superiores en la serie Taylor. Para la mayoría de los propósitos prácticos, sin embargo, la regla del punto medio es suficiente.

7.1.2 Segunda Derivada

La discretización de la segunda derivada también es fácil de entender. Nuevamente escribimos la serie Taylor para\(\psi_{n\pm1}\):

\[\psi_{n+1} = \psi_n \,+\, h\, \psi'(x_n) \,+\, \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) \,+\, \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) \,+\, \frac{h^4}{24}\psi''''(x_n) \,+\, O(h^5) \]

\[\psi_{n-1} = \psi_n \,-\, h\, \psi'(x_n) \,+\, \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) \,-\, \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) \,+\, \frac{h^4}{24}\psi''''(x_n) \,+\, O(h^5) \]

Cuando sumamos las dos series juntas, los términos que involucran poderes impares de\(h\) cancelar, y el resultado es

\[\psi_{n+1} + \psi_{n-1} = 2\psi_n + h^2 \psi''(x_n) + \frac{h^4}{12}\psi''''(x_n) + O(h^5).\]

Un pequeño reordenamiento de la ecuación da entonces

\[\psi''(x_n) \approx \frac{\psi_{n+1} - 2\psi_n + \psi_{n-1}}{h^2} + O(h^2).\]

A esto se le llama la regla de tres puntos para la segunda derivada, porque involucra el valor de la función en los tres puntos\(x_{n+1}\),\(x_{n}\), y\(x_{n-1}\).