7: Ecuaciones de diferencia finita

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Una de las tareas más comunes en la computación científica es encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales, ya que la mayoría de las teorías físicas se formulan utilizando ecuaciones diferenciales. En la mecánica clásica, por ejemplo, un sistema mecánico se describe mediante una ecuación diferencial de segundo orden en el tiempo (segunda ley de Newton); y en el electromagnetismo clásico, los campos electromagnéticos se describen mediante ecuaciones diferenciales parciales de primer orden en el espacio y el tiempo (ecuaciones de Maxwell).

Para describir las funciones continuas (y las ecuaciones diferenciales que actúan sobre ellas), los esquemas computacionales suelen adoptar la estrategia de discretización. Considerar una función matemática general de una variable real\(\psi(x)\),, donde está el dominio de la entrada\(\mathbb{R}\), o algún intervalo finito. En principio, para poder especificar completamente la función, tenemos que enumerar sus valores para todas las entradas posibles\(x\); pero como\(x\) puede variar continuamente, el conjunto es incontablemente infinito, por lo que tal enumeración es imposible en una computadora digital con memoria discreta finita. Lo que podemos hacer, en cambio, es enumerar los valores de la función en un conjunto finito y discreto de puntos,

\[\{x_n \;|\; n = 0, 1, 2, \dots, N-1\}.\]

Definimos los valores en estos puntos como

\[\psi_n \equiv \psi(x_n).\]

Si\(x_{n}\) se elige apropiadamente, el conjunto de valores\(\{\psi_n\}\) debe describir con\(\psi(x)\) bastante precisión. Una razón para esto es que las teorías físicas generalmente involucran ecuaciones diferenciales de bajo orden (por ejemplo, primero, segundo o tercer orden, en lugar de, digamos, orden\(1,000,000\)). Por lo tanto, si los puntos de discretización están suficientemente espaciados, el valor de la función, y todas sus derivadas de orden superior, variarán solo ligeramente entre los puntos de discretización.

Como veremos, la discretización convierte las ecuaciones diferenciales en sistemas discretos de ecuaciones, llamadas ecuaciones de diferencia finita. Estos pueden ser resueltos usando los métodos estándar del álgebra lineal numérica.