7.3: Dimensiones más altas

Podemos trabajar las ecuaciones de diferencia finita para dimensiones superiores de manera similar. En dos dimensiones, por ejemplo, la función de onda\(\psi(x,y)\) se describe con dos índices:

\[\psi_{mn} \equiv \psi(x_m, y_n).\]

La discretización de las derivadas se lleva a cabo de la misma manera, utilizando la regla de punto medio para las primeras derivadas parciales en cada dirección, y la regla de tres puntos para la segunda derivada parcial en cada dirección. Supongamos que el espaciado de discretización es igual en ambas direcciones:

\[h = x_{m+1} - x_m = y_{n+1} - y_n.\]

Luego, para la segunda derivada, el operador laplaciano

\[\nabla^2 \psi(x,y) \equiv \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}\]

puede aproximarse mediante una regla de cinco puntos, que implica el valor de la función at\((m,n)\) y sus cuatro vecinos más cercanos:

\[\nabla^2\psi(x_m,y_n) \approx \frac{\psi_{m+1,n} + \psi_{m,n+1} - 4\psi_{mn} + \psi_{m-1,n} + \psi_{m,n-1}}{h^2} + O(h^2). \]

Por ejemplo, las ecuaciones de diferencia finita para la ecuación de onda de Schrödinger 2D son

\[-\frac{1}{2h^2}\, \Big[\psi_{m+1,n} + \psi_{m,n+1} - 4\psi_{mn} + \psi_{m-1,n} + \psi_{m,n-1} \Big] + V_{mn} \psi_{mn} = E \psi_{mn}.\]

7.3.1 Remodelación de Matrices

Las ecuaciones diferenciales de dimensiones superiores introducen una complicación molesta: para convertir entre la ecuación de diferencia finita y la ecuación matricial, los índices tienen que ser reorganizados. Por ejemplo, la forma de matriz de la ecuación de onda de Schrödinger 2D debería tener la forma

\[\sum_{\nu} H_{\mu\nu} \psi_\nu = E \psi_\mu,\]

donde las funciones de onda se organizan en una matriz 1D etiquetada por un “índice de puntos”\(\mu\). Cada índice de puntos corresponde a un par de “índices de cuadrícula”\((m,n)\), que representan coordenadas espaciales en una cuadrícula 2D. Tenemos que tener cuidado de no mezclar los dos tipos de índices.

Adoptaremos el siguiente esquema de conversión entre índices de puntos e índices de cuadrícula:

\[\mu(m,n) = m N + n,\quad \mathrm{where}\; m \in \{ 0, \dots, M-1\}, \;\; n \in \{ 0, \dots, N-1\}.\]

Una cosa buena de este esquema de conversión es que Scipy proporciona una función de remodelación que puede convertir una matriz 2D con índices de cuadrícula\((m,n)\) en una matriz 1D con el índice de puntos\(\mu\):

>>> a = array([[0,1,2],[3,4,5],[6,7,8]])
>>> a
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])
>>> b = reshape(a, (9))     # Reshape a into a 1D array of size 9
>>> b
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])

La función reshape también puede convertir un 1D nuevamente en la matriz 2D, en el orden correcto:

>>> c = reshape(b, (3,3))   # Reshape b into a 2D array of size 3x3
>>> c
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])

Bajo índices puntuales, los derivados discretizados adoptan las siguientes formas:

\[\frac{\partial \psi}{\partial x}(\vec{r}_\mu)\;\, \approx \frac{1}{2h} \left(\psi_{\mu+N} - \psi_{\mu-N}\right) \]

\[\frac{\partial \psi}{\partial y}(\vec{r}_\mu)\;\, \approx \frac{1}{2h} \left(\psi_{\mu+1} - \psi_{\mu-1}\right) \]

\[\nabla^2\psi(\vec{r}_\mu) \approx \frac{1}{h^2} \left(\psi_{\mu+N} + \psi_{\mu+1} - 4\psi_{\mu} + \psi_{\mu-N} + \psi_{\mu-1}\right). \]

El papel de las condiciones de contorno se deja como ejercicio. Ahora hay dos conjuntos de límites, en\(m \in \{0,M-1\}\) y\(n \in \{0, N-1\}\). Al examinar las ecuaciones de diferencia finita a lo largo de cada límite, podemos (i) asignar las coordenadas de discretización correctas y (ii) modificar los elementos de la matriz de diferencia finita para que se ajusten a las condiciones del límite. Los detalles son un poco tediosos de resolver, pero la lógica es esencialmente la misma que en los casos 1D previamente discutidos.