10.1: Ejemplo- Ecuaciones de Movimiento en Mecánica Clásica
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
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\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
La formulación estándar anterior del problema del valor inicial se puede utilizar para describir una clase muy grande de ODE dependientes del tiempo que se encuentran en la física. Por ejemplo, supongamos que tenemos una partícula mecánica clásica con posición\(\vec{r}\), sujeta a una fuerza externa arbitraria dependiente del espacio y el tiempo\(\vec{f}(\vec{r},t)\) y una fuerza de fricción\(-\lambda d\vec{r}/dt\) (donde\(\lambda\) es un coeficiente de amortiguación). La segunda ley de Newton da la siguiente ecuación de movimiento:
\[m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = - \lambda \frac{d\vec{r}}{dt} + \vec{f}(\vec{r}, t).\]
Esta es una ODE de segundo orden, mientras que el problema del valor inicial estándar involucra una ODE de primer orden. No obstante, podemos convertirla en una ODE de primer orden con el siguiente truco. Definir el vector de velocidad
\[\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt},\]
y definir el vector de estado combinando los vectores de posición y velocidad:
\[\vec{y} = \begin{bmatrix}\vec{r} \\ \vec{v}\end{bmatrix}.\]
Entonces la ecuación del movimiento toma la forma
\[\frac{d\vec{y}}{dt} = \frac{d}{dt}\begin{bmatrix}\vec{r} \\ \vec{v}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{v} \\ - (\lambda/m) \vec{v} + \vec{f}(\vec{r}, t)/m\end{bmatrix},\]
que es una ODE de primer orden, según se desee. La cantidad en el lado derecho es la función derivada\(\vec{F}(\vec{y},t)\) para el problema del valor inicial. Su dependencia\(\vec{r}\) y simplemente\(\vec{v}\) se considera como una dependencia de las porciones superior e inferior del vector de estado\(\vec{y}\). En particular, tenga en cuenta que la función derivada no necesita ser lineal, ya que\(\vec{f}\) puede tener cualquier dependencia no lineal arbitraria de\(\vec{r}\), por ejemplo, podría depender de la cantidad\(|\vec{r}|\).
El “estado inicial”,\(\vec{y}(t_0)\), nos obliga a especificar tanto la posición inicial como la velocidad de la partícula, lo cual es consistente con el hecho de que la ecuación original del movimiento era una ecuación de segundo orden, requiriendo dos conjuntos de valores iniciales para especificar completamente una solución. De manera similar, las ODEs de orden superior se pueden convertir en forma de primer orden, definiendo las derivadas superiores como variables de estado y aumentando el tamaño del vector de estado.