11.2: Resolución espectral y rango

En la sección anterior, mostramos cómo una integral continua de Fourier se convierte en una DFT. Este proceso implicó dos aproximaciones distintas. En primer lugar, la integral de Fourier se trunca desde su rango original\(x \in (-\infty,\infty)\),, a un intervalo finito de longitud\(N \Delta x\). En segundo lugar, la integral se discretiza al reducir la variable continua\(x\) a un conjunto de puntos discretos\(\{x_0,\dots,x_{N-1}\}\). Ambas aproximaciones tienen consecuencias importantes para la precisión de nuestro espectro numérico de Fourier, que examinaremos a su vez.

11.2.1 Resolución espectral

El truncamiento de la integral de Fourier limita la resolución espectral del espectro de Fourier. Para ver esto, supongamos que realizamos truncamiento sin discretización, tomando una integral continua de Fourier y truncándolo a un rango finito\(x \in [0, X]\):

\[F(k) \;\;\approx\;\; \int_0^X dx\; e^{-ikx} \, f(x).\]

Considera una función armónica\(f(x) = e^{ik_0 x}\). La transformada exacta de Fourier puede mostrarse como una función delta, es decir\(F(k) = 2\pi \, \delta(k - k_0)\), un pico infinitamente agudo centrado en\(k=k_{0}\). Con el truncamiento anterior, sin embargo, la integral resultante es

\[F(k) \;\;\approx\;\; \int_0^X dx \; e^{-i(k - k_0)x} \;\; =\;\; \frac{2\sin[(k-k_0)X/2]}{k-k_0} \cdot e^{-i(k-k_0)X/2}.\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Espectro de potencia de Fourier a partir de una transformada de Fourier truncada de\(f(x) = \exp(ik_0 x)\), con\(k_{0}=1\) e intervalo de muestreo\(k \in [0,300]\) (aproximadamente\(48\) periodos).

Para\(X \rightarrow \infty\), la fórmula anterior se acerca a una función delta (un pico infinitamente delgado) centrada en\(k=k_{0}\). Pero para finitos\(X\), la gráfica de\(|F(k)|^2\) versus se\(\omega\) comporta como se muestra en la Fig\(\PageIndex{1}\). Evidentemente, truncar la integral de Fourier ha “manchado” el espectro de Fourier, ampliando el pico de función delta infinitesimalmente delgado en un pico de ancho finito. El ancho de pico,\(\Delta k \sim 1/X\), limita la “resolución” de nuestro análisis de Fourier.

En la transformada discretizada de Fourier, el truncamiento de la integral de Fourier tiene esencialmente el mismo efecto. Como se discutió en la sección anterior, la DFT se define en\(k_n \equiv 2\pi n/X\); de ahí que la resolución del espectro de Fourier sea\(\Delta k = 2\pi/X\).

11.2.2 Rango espectral

La otra aproximación que hicimos al pasar de una transformada continua de Fourier a la DFT implicó el muestreo\(f(x)\) a valores discretos de\(x\). Esta discretización tiene el efecto de limitar el rango espectral. Para ver esto, volvamos a ver la fórmula DFT, que es adimensional:

\[F_n = \sum_{m=0}^{N-1} e^{-2\pi i \frac{mn}{N}}\, f_m.\]

Normalmente, consideramos solo los índices\(n = 0, 1, \dots, N-1.\) Sin embargo, si\(n\) reemplazamos por\(n+N\) en el lado derecho, el resultado sería el mismo:

\[F_{n+N} = \sum_{m=0}^{N-1} e^{-2\pi i \frac{m(n+N)}{N}}\, f_m = \sum_{m=0}^{N-1} e^{-2\pi i \frac{mn)}{N} - 2\pi i m}\, f_m = F_n.\]

Por lo tanto, podemos considerar\(F\) como una función discreta periódica de\(n\), con periodo\(N\). A continuación, considere cómo se relaciona la DFT con lo físico\(x\) y\(k\) las variables. Tomando\(x_{0}=0\) por simplicidad,

\[F(k_n) = \sum_{m=0}^{N-1} e^{-2\pi i \frac{mn}{N}}\, f(x_m) = \sum_{m=0}^{N-1} e^{-i k_n \,\cdot\, m \Delta x}\, f(x_m).\]

Si realizamos el reemplazo

\[k_n \rightarrow k_n + K, \quad \mathrm{where}\;\; K \equiv\frac{2\pi}{\Delta x},\]

entonces evidentemente\(F(k_{n})\) se deja sin cambios. De hecho, podríamos agregar cualquier múltiplo entero de\(K\) sin alterar el resultado. Esto significa que el espectro DFT solo se define bajo\(k\) módulo\(K\), en contraste con la transformada continua de Fourier que se define a lo largo de todo el intervalo\(-\infty < k < \infty\).

La definición por defecto de la DFT da los índices enteros\(n = 0, 1, \dots, N-1\), que corresponde a\(0 \le k \lesssim K\). Sin embargo, al trazar el espectro DFT, generalmente ajustamos el rango de\(k\) a\(-K/2 \lesssim k \lesssim K/2\). Esto se hace tomando la “mitad superior” del espectro DFT\(K/2 \lesssim k \lesssim K\), y traduciéndolo a través del reemplazo\(k \rightarrow k - K\). Debido a la periodicidad de la DFT, la mitad superior del espectro DFT se convierte en la\(k\) parte negativa del espectro. En términos de los índices enteros\(n\), el proceso se representa en la siguiente figura:

Figura\(\PageIndex{2}\): Un espectro DFT,\(F_{n}\), es periódico con periodo\(N\). Por defecto, la DFT se reporta en el rango espectral\(n \in [0, N-1]\) (curva roja en la gráfica superior). Para relacionarlo con la transformada continua de Fourier, volvemos a centrar el espectro en\(n=0\), lo que equivale a traducir la mitad superior del espectro a valores negativos (curva roja en la gráfica inferior).

La razón de este ajuste es que, intuitivamente, el espectro discretizado de Fourier contiene información sobre la parte de “baja frecuencia” del espectro\(|k| < K/2\), incluyendo valores tanto positivos como negativos de\(k\). Por otro lado, el espectro discretizado de Fourier carece de información sobre la parte de “alta frecuencia” del espectro, que corresponde a armónicos con periodos más cortos que el paso de discretización\(\Delta x\). De ahí que tenga sentido “centrar” nuestro espectro de Fourier alrededor del origen. Entonces se puede demostrar que a medida que el paso de discretización se acerca a cero (y por lo tanto\(K = 2\pi/\Delta x \rightarrow \infty\)), la\(|k| \ll K\) parte del espectro de DFT ajustado converge al espectro exacto (continuo) de Fourier.

El corolario de la discusión anterior es que si tenemos una función que no tiene componentes de frecuencia mayores que\(k_\mathrm{max}\), entonces es suficiente usar un intervalo de muestreo\(\Delta x = \pi / k_\mathrm{max}\). Esto se llama el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon.

11.2.3 Resumen de las relaciones espectrales

Los resultados de las secciones anteriores se pueden resumir de esta manera:

• El rango total de\(x\), que se denota por\(X\), limita la resolución del espectro a\(\Delta k = 2\pi/X\).
• La resolución de\(x\), que es el paso de discretización\(\Delta x\), limita el rango del espectro a\(K = 2\pi/\Delta x\).

Estas relaciones son fáciles de recordar, porque la “longitud del intervalo” en un dominio pone un límite al “paso de discretización” en el otro dominio. ¡Es muy importante tener en cuenta estas relaciones cuando se trabaja con transformadas discretas de Fourier! Por ejemplo, un error común que cometen las personas es tratar de mejorar la resolución de un espectro de Fourier aumentando el número de pasos de discretización\(N\), mientras se mantiene\(X\) fijo el intervalo total. Esto no funciona; ¡deja inalterada la resolución espectral! Para mejorar la resolución espectral, se tiene que aumentar el intervalo total en su lugar.